【數(shù)學(xué)】1-3《空間幾何體的表面積與體積--球體》課件（新人教A版必修2）

1、 割割 圓圓 術(shù)術(shù) 早在公元三世紀(jì)，我國數(shù)學(xué)家劉徽為推早在公元三世紀(jì)，我國數(shù)學(xué)家劉徽為推導(dǎo)圓的面積公式而發(fā)明了導(dǎo)圓的面積公式而發(fā)明了“倍邊法割圓術(shù)倍邊法割圓術(shù)”。他用加倍的方式不斷增加圓內(nèi)接正多邊形的他用加倍的方式不斷增加圓內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)，使其面積與圓的面積之差更小，即所邊數(shù)，使其面積與圓的面積之差更小，即所謂謂“割之彌細(xì)，所失彌小割之彌細(xì)，所失彌小”。這樣重復(fù)下去，。這樣重復(fù)下去，就達到了就達到了“割之又割，以至于不可再割，則割之又割，以至于不可再割，則與圓合體而無所失矣與圓合體而無所失矣”。這是世界上最早的。這是世界上最早的“極限極限”思想。思想。球面：半圓以它的直徑為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)所成

2、的曲面。球面：半圓以它的直徑為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)所成的曲面。球球( (即球體即球體):):球面所圍成的幾何體。球面所圍成的幾何體。它包括它包括球面球面和和球面所包圍的空間球面所包圍的空間。半徑是半徑是R R的球的體積：的球的體積：推導(dǎo)方法推導(dǎo)方法：334RV 分割分割求近似和求近似和化為準(zhǔn)確和化為準(zhǔn)確和復(fù)習(xí)回顧復(fù)習(xí)回顧球的概念球的概念球心球心球的半徑球的半徑球的直徑球的直徑二、球的概念二、球的概念v點集角度點集角度 旋轉(zhuǎn)體角度旋轉(zhuǎn)體角度球面所圍成的球面所圍成的幾何體幾何體叫叫球體球體簡稱簡稱球球。球面球面:半圓以它的直徑為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)所成的半圓以它的直徑為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)所成的曲面曲面。球體與球面的區(qū)別？球

3、體與球面的區(qū)別？在在空間內(nèi)空間內(nèi)到一個定點的距離為定長的點的集合到一個定點的距離為定長的點的集合0半圓以它的直徑為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)所成的半圓以它的直徑為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)所成的曲面曲面。球體與球面的區(qū)別？球體與球面的區(qū)別？球面概念球面概念：球面所圍成的球面所圍成的幾何體幾何體叫叫球體球體簡稱簡稱球球。0ACD球心球心半半徑徑直徑直徑半圓以它的直徑為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)所成的半圓以它的直徑為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)所成的曲面曲面（旋轉(zhuǎn)體角度）（旋轉(zhuǎn)體角度）球面概念球面概念：在在空間內(nèi)空間內(nèi)到一個定點的距離為定長的點的到一個定點的距離為定長的點的集合集合（點集的角度）（點集的角度）二、球的概念二、球的概念球的截面的形狀圓面圓面球面被經(jīng)

4、過球心的平面截得的圓叫做球面被經(jīng)過球心的平面截得的圓叫做大圓大圓不過球心的截面截得的圓叫做球的不過球心的截面截得的圓叫做球的小圓小圓球的體積公式的推導(dǎo)球的體積公式的推導(dǎo)球的體積公式及應(yīng)用球的體積公式及應(yīng)用球的表面積公式及應(yīng)用球的表面積公式及應(yīng)用球的表面積公式的推導(dǎo)球的表面積公式的推導(dǎo)l教學(xué)重點l教學(xué)難點化為準(zhǔn)確和思想方法化為準(zhǔn)確和思想方法求近似和求近似和分割分割重點難點重點難點球面被經(jīng)過球心的平面截得的圓叫做球面被經(jīng)過球心的平面截得的圓叫做大圓大圓不過球心的截面截得的圓叫做球的不過球心的截面截得的圓叫做球的小圓小圓R.34,32:33RVRV 從從而而猜猜測測半半球球? 半球半球V331RV

5、圓錐圓錐333RV 圓柱圓柱高等于底面半徑的旋轉(zhuǎn)體體積對比高等于底面半徑的旋轉(zhuǎn)體體積對比球的體積球的體積 學(xué)習(xí)球的知識要注意和圓的有關(guān)指示結(jié)合起來所以學(xué)習(xí)球的知識要注意和圓的有關(guān)指示結(jié)合起來所以我們先來回憶圓面積計算公式的導(dǎo)出方法我們先來回憶圓面積計算公式的導(dǎo)出方法球的體積球的體積 我們把一個半徑為我們把一個半徑為R的圓分成若干等分，然后如上圖重新的圓分成若干等分，然后如上圖重新拼接起來，把一個圓近似的看成是邊長分別是拼接起來，把一個圓近似的看成是邊長分別是.的的矩矩形形和和RR .2R 于于那那么么圓圓的的面面積積就就近近似似等等當(dāng)所分份數(shù)不斷增加時，精確程度就越來越高；當(dāng)當(dāng)所分份數(shù)不斷增加

6、時，精確程度就越來越高；當(dāng)份數(shù)無窮大時，就得到了圓的面積公式份數(shù)無窮大時，就得到了圓的面積公式法法導(dǎo)導(dǎo)出出球球的的體體積積公公式式下下面面我我們們就就運運用用上上述述方方即先把半球分割成即先把半球分割成n部分，再求出每一部分的近似體積，部分，再求出每一部分的近似體積，并將這些近似值相加，得出半球的近似體積，最后考慮并將這些近似值相加，得出半球的近似體積，最后考慮n變變?yōu)闊o窮大的情形，由半球的近似體積推出準(zhǔn)確體積為無窮大的情形，由半球的近似體積推出準(zhǔn)確體積球的體積球的體積分割分割求近似和求近似和化為準(zhǔn)確和化為準(zhǔn)確和,21RRr ,)(222nRRr ,)2(223nRRr AOB2C2球的體積球

7、的體積AOOR)1( inR半半徑徑：層層“小小圓圓片片”下下底底面面的的第第i.,2,1,)1(22niinRRri irOA球的體積球的體積nininRnRrVii,2,1,)1(1232 niinRRri,2,1,)1(22 nVVVV 21半球半球)1(2122223nnnnR 6) 12() 1(123 nnnnnnR 6)12)(1(1123 nnnR 球的體積球的體積6)12)(11(13nnRV 半半球球.01, nn時時當(dāng)當(dāng).343233RVRV 從從而而半半球球334RVR 的的球球的的體體積積為為：定定理理：半半徑徑是是球的體積球的體積2)2)若每小塊表面看作一個平面若每

8、小塊表面看作一個平面, ,將每小塊平面作為底面將每小塊平面作為底面, ,球心作為球心作為頂點便得到頂點便得到n n個棱錐個棱錐, ,這些棱錐體積之和近似為球的體積這些棱錐體積之和近似為球的體積. .當(dāng)當(dāng)n n越大越大, ,越接近于球的體積越接近于球的體積, ,當(dāng)當(dāng)n n趨近于無窮大時就精確到等于球的體積趨近于無窮大時就精確到等于球的體積. .1) 1)球的表面是曲面球的表面是曲面, ,不是平面不是平面, ,但如果將表面平均分割成但如果將表面平均分割成n n個小塊個小塊, ,每小塊表面可近似看作一個平面每小塊表面可近似看作一個平面, ,這這n n小塊平面面積之和可近似小塊平面面積之和可近似看作球

9、的表面積看作球的表面積. .當(dāng)當(dāng)n n趨近于無窮大時趨近于無窮大時, ,這這n n小塊平面面積之和接小塊平面面積之和接近于甚至等于球的表面積近于甚至等于球的表面積. . 球面不能展開成平面圖形，所以求球的表面積無法用展開圖球面不能展開成平面圖形，所以求球的表面積無法用展開圖求出，如何求球的表面積公式呢求出，如何求球的表面積公式呢? ?回憶球的體積公式的推導(dǎo)方法回憶球的體積公式的推導(dǎo)方法, ,是否也可借助于這種是否也可借助于這種極限極限思想方法來推導(dǎo)球的表面積公式呢思想方法來推導(dǎo)球的表面積公式呢? ? 下面，我們再次運用這種方法來推導(dǎo)球的表面積公式下面，我們再次運用這種方法來推導(dǎo)球的表面積公式球

10、的表面積球的表面積oiS o球的表面積球的表面積第第一一步：步：分分割割球面被分割成球面被分割成n n個網(wǎng)格，表面積分別為：個網(wǎng)格，表面積分別為：nSSSS ,321，則球的表面積：則球的表面積：nSSSSS 321則球的體積為：則球的體積為：iV 設(shè)“小錐體”的體積為設(shè)“小錐體”的體積為iVnVVVVV 321iSO OO O球的表面積球的表面積第第二二步：步：求求近近似似和和ih由第一步得：由第一步得：nVVVVV 321nnhShShShSV 31313131332211 iiihSV 31 O OiSiVO O球的表面積球的表面積第第三三步：步：化化為為準(zhǔn)準(zhǔn)確確和和RSVii31 如果

11、網(wǎng)格分的越細(xì)如果網(wǎng)格分的越細(xì), ,則則: “: “小小錐體錐體”就越接近小棱錐就越接近小棱錐RSRSRSRSVni 3131313132 RSSSSSRni31).(3132 334RV 又又球球的的體體積積為為：RiS iVihiSO OiV234,3134RSRSR 從從而而球的表面積球的表面積Rhi的的值值就就趨趨向向于于球球的的半半徑徑 例例1.1.鋼球直徑是鋼球直徑是5cm,5cm,求它的體積求它的體積. .3336125)25(3434cmRV (變式變式1 1)一種空心鋼球的質(zhì)量是一種空心鋼球的質(zhì)量是142g,142g,外徑是外徑是5cm,5cm,求它求它的內(nèi)徑的內(nèi)徑.( .(鋼

12、的密度是鋼的密度是7.9g/cm7.9g/cm2 2) )例題講解例題講解(變式變式1 1)一種空心鋼球的質(zhì)量是一種空心鋼球的質(zhì)量是142g,142g,外徑是外徑是5cm,5cm,求它求它的內(nèi)徑的內(nèi)徑.( .(鋼的密度是鋼的密度是7.9g/cm7.9g/cm2 2) )解解:設(shè)空心鋼球的內(nèi)徑為設(shè)空心鋼球的內(nèi)徑為2xcm,則鋼球的質(zhì)量是則鋼球的質(zhì)量是答答:空心鋼球的內(nèi)徑約為空心鋼球的內(nèi)徑約為4.5cm.14234)25(349.733 x 3.1149.73142)25(33 x由計算器算得由計算器算得:24. 2 x5 . 42 x例題講解例題講解( (變式變式2) 2)把鋼球放入一個正方體的

13、有蓋紙盒中把鋼球放入一個正方體的有蓋紙盒中, ,至少要用多少紙至少要用多少紙? ?用料最省時用料最省時, ,球與正方體有什么位置關(guān)系球與正方體有什么位置關(guān)系? ?球內(nèi)切于正方體球內(nèi)切于正方體2215056cmS 側(cè)側(cè)側(cè)棱長為側(cè)棱長為5cm例題講解例題講解例例2.2.如圖，正方體如圖，正方體ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1的棱長為的棱長為a,a,它的各它的各個頂點都在球個頂點都在球O O的球面上，問球的球面上，問球O O的表面積。的表面積。A AB BC CD DD D1 1C C1 1B B1 1A A1 1O O分析：正方體內(nèi)接于球，則由球和正方分析：正方體

14、內(nèi)接于球，則由球和正方體都是中心對稱圖形可知，它們中心重體都是中心對稱圖形可知，它們中心重合，則正方體對角線與球的直徑相等。合，則正方體對角線與球的直徑相等。22222113423,)2()2(:aRSaRaaRDDBRt 得得中中略略解解：A AB BC CD DD D1 1C C1 1B B1 1A A1 1O O例題講解例題講解OABCO 例已知過球面上三點例已知過球面上三點A、B、C的截面到球心的截面到球心O的距的距離等于球半徑的一半，且離等于球半徑的一半，且AB=BC=CA=cm，求球的，求球的體積，表面積體積，表面積解：如圖，設(shè)球解：如圖，設(shè)球O半徑為半徑為R，截面截面 O的半徑為

15、的半徑為r，r332AB2332AO 是正三角形，是正三角形，ABCROO ,2 例題講解例題講解.34R .96491644S2 R,)332()2R(R222 OABCO ,222AOOOOAAOORt 中中解解：在在 ;81256)34(343433 RV例例.已知過球面上三點已知過球面上三點A、B、C的截面到球心的截面到球心O的距離的距離等于球半徑的一半，且等于球半徑的一半，且AB=BC=CA=cm，求球的體積，求球的體積，表面積表面積例題講解例題講解2.一個正方體的頂點都在球面上一個正方體的頂點都在球面上,它的棱長是它的棱長是4cm,這個球的體積為這個球的體積為cm3. 8 3323

16、.有三個球有三個球,一球切于正方體的各面一球切于正方體的各面,一球切于一球切于正方體的各側(cè)棱正方體的各側(cè)棱,一球過正方體的各頂點一球過正方體的各頂點,求這求這三個球的體積之比三個球的體積之比_.1.球的直徑伸長為原來的球的直徑伸長為原來的2倍倍,體積變?yōu)樵瓉淼谋扼w積變?yōu)樵瓉淼谋?練習(xí)一練習(xí)一課堂練習(xí)課堂練習(xí)33:22:14.4.若兩球體積之比是若兩球體積之比是1:21:2，則其表面積之比是，則其表面積之比是_. .練習(xí)二練習(xí)二2422:134:11.若球的表面積變?yōu)樵瓉淼娜羟虻谋砻娣e變?yōu)樵瓉淼?倍倍,則半徑變?yōu)樵瓉淼膭t半徑變?yōu)樵瓉淼腳倍倍.2.若球半徑變?yōu)樵瓉淼娜羟虬霃阶優(yōu)樵瓉淼?倍，則表面積

17、變?yōu)樵瓉淼谋叮瑒t表面積變?yōu)樵瓉淼腳倍倍.3.若兩球表面積之比為若兩球表面積之比為1:2，則其體積之比是，則其體積之比是_.課堂練習(xí)課堂練習(xí)7.7.將半徑為將半徑為1 1和和2 2的兩個鉛球，熔成一個大鉛球，那么的兩個鉛球，熔成一個大鉛球，那么 這個大鉛球的表面積是這個大鉛球的表面積是_.5.5.長方體的共頂點的三個側(cè)面積分別為長方體的共頂點的三個側(cè)面積分別為 ， 則它的外接球的表面積為則它的外接球的表面積為_. .15,5,36.6.若兩球表面積之差為若兩球表面積之差為4848 , ,它們大圓周長之和為它們大圓周長之和為1212 , , 則兩球的直徑之差為則兩球的直徑之差為_. .練習(xí)二練習(xí)二