插值方法應(yīng)用ppt課件

1、插值方法的運用插值方法的運用代數(shù)插值問題代數(shù)插值問題線性插值與二次插值公式線性插值與二次插值公式拉格朗日插值公式拉格朗日插值公式 13引例引例1.正弦函數(shù)正弦函數(shù) sin x 的計算問題的計算問題2/18(1) 線性函數(shù)逼近線性函數(shù)逼近 y0 = x(2)泰勒級數(shù)逼近泰勒級數(shù)逼近 y1(x)= x x3/3! + x5/5! (3)拋物線逼近拋物線逼近 y2=4x( x)/20123400.511.50123400.511.50123400.511.500.20.40.60.811.21.41.61.82-0.4-0.200.20.40.6(1)復(fù)雜函數(shù)的計算復(fù)雜函數(shù)的計算;(2)函數(shù)表中非表

2、格點計算函數(shù)表中非表格點計算(3)光滑曲線的繪制光滑曲線的繪制;(4)提高照片分辯率算法提高照片分辯率算法(5)定積分的離散化處置定積分的離散化處置;(6)微分方程的離散化處置微分方程的離散化處置;(7)積分方程的離散化處置積分方程的離散化處置;插值方法的運用插值方法的運用:5101551015246824683/18 xtdtexErf022)( 引例引例2. 誤差函數(shù)誤差函數(shù)x 0 0.5000 1.0000 1.5000 2.0000 2.5000 3.0000y 0 0.5205 0.8427 0.9661 0.9953 0.9996 1.00005205. 0)1(8427. 0)5

3、 . 0(5 . 011)( xxxErf當(dāng)當(dāng) x(0.5, 1)時時8427. 0)5 . 1(9661. 0)1(15 . 11)( xxxErf當(dāng)當(dāng) x(1, 1.5)時時4/18知知f(x)在點在點xi上的函數(shù)值上的函數(shù)值 yi=f(xi), (i=0,1,2,n)那么稱那么稱 P(x) 為為 f(x) 的的 n 次代數(shù)插值多項式次代數(shù)插值多項式. 稱稱 x0, x1, , xn為為 插值結(jié)點插值結(jié)點; 稱稱 f(x) 為被插值函數(shù)為被插值函數(shù). 假設(shè)假設(shè) P(x)=a0 + a1x + anxn滿足滿足: P(xk)= yk (k = 0,1,n)設(shè)設(shè) f(x)C a , b, 取點

4、取點 a x0 x1xnb代數(shù)插值問題代數(shù)插值問題插值函數(shù)插值函數(shù)插值條件插值條件5/18點點,那么滿足插值條件那么滿足插值條件 P(xk)= yk (k = 0,1,n)的的n次插值多項式次插值多項式 P(x)=a0 + a1x + anxn存在而且是獨一的。存在而且是獨一的。 nnnnnnnnnyxaxaayxaxaayxaxaa101111000010證明證明: 由插值條件由插值條件P(x0)= y0P(x1)=y1P(xn)=yn定理定理5.1 假設(shè)插值結(jié)點假設(shè)插值結(jié)點x0,x1,xn 是是(n+1)個互異個互異6/18nnnnnxxxxxxA111|1100 方程組系數(shù)矩陣取行列式方

5、程組系數(shù)矩陣取行列式故方程組有獨一解故方程組有獨一解.從而插值多項式從而插值多項式P(x)存在而且是獨一的存在而且是獨一的.例例5.1 知誤差函數(shù)在四個點處函數(shù)值知誤差函數(shù)在四個點處函數(shù)值 x 00.60001.20001.8000 Erf(x) 00.60390.91030.98910)(0 jijinxx7/18構(gòu)造構(gòu)造3次多項式次多項式P(x) 逼近逼近 Erf(x)設(shè)設(shè)P(x)= a0 + a1x +a2x2 + a3x3, 令令 P(xk)=Erf(xk) 9891. 0)8 . 1()8 . 1(8 . 19103. 0)2 . 1()2 . 1(2 . 16039. 0)6 .

6、0()6 . 0(6 . 003322103322103322100aaaaaaaaaaaaa得得求解求解,得得a0=0,a1=1.293,a2= -0.5099,a3=0.0538所以所以, P(x)=1.293 x 0.5099 x2 + 0.0538 x38/18x=0:.6:1.8; y=erf(x);x=x;y=y;A=ones(4,1) x x.2 x.3;p=Ay;a0=p(1);a1=p(2);a2=p(3);a3=p(4);t=0:.2:2;u=a0+a1*t+a2*t.2+a3*t.3;plot(x,y,o,t,u)00.511.5200.20.40.60.81MATLAB

7、數(shù)值實驗數(shù)值實驗9/18)()(001010 xxxxyyyxL 過兩點直線方程過兩點直線方程求滿足求滿足: L(x0)=y0 , L(x1)=y1的線性函數(shù)的線性函數(shù) L(x)知函數(shù)表知函數(shù)表 x x0 x1 f(x) y0 y1例例 求求 的近似值的近似值11510.7143)100115(100121101110115 六位有效數(shù)六位有效數(shù)10.723810/1801010110)(,)(xxxxxlxxxxxl 記記當(dāng)當(dāng)x0 x x1時時0l0(x)1, 0l1(x)1x x0 x1l0(x) 1 0l1(x) 0 11100)()()(yxlyxlxL y0 y1 = 1 0y0 +

8、 0 1y100111010)(yxxxxyxxxxxL 線性插值函數(shù)線性插值函數(shù)的對稱方式的對稱方式11/18二次插值問題二次插值問題x x0 x1 x2f(x) y0 y1 y2知函數(shù)表知函數(shù)表求函數(shù)求函數(shù) L(x)=a0 + a1x + a2 x2 滿足滿足: L(x0)=y0 , L(x1)=y1, L(x2)=y2y0 y1 y2 = 1 0 0y0 + 0 1 0y1+ 0 0 1y2L(x)=l0(x)y0+l1(x)y1+l2(x)y2，12/18)()()(2010210 xxxxxxxxxl 二次插值函數(shù)二次插值函數(shù): L(x)=l0(x)y0+l1(x)y1+l2(x)y

9、2，xx0 x1x2l0(x) 1 0 0l0(x) 100l1(x) 010l2(x) 0 0 1L(x) y0y1y2 xx0 x1 x2)()()(2101201xxxxxxxxxl )()()(1202102xxxxxxxxxl 13/18二次插值基函數(shù)圖形二次插值基函數(shù)圖形00.51-0.500.5100.51-0.500.5100.5100.51取取 x0 =0, x1 = 0.5, x2 = 100.51-0.500.51l0(x)=2(x 0.5)(x 1);l1(x)= 4 x(x 1);l2(x) = 2(x 0.5)x14/18二次插值的一個運用二次插值的一個運用極值點近

10、似計算極值點近似計算二次插值函數(shù)二次插值函數(shù): L(x)=l0(x)y0+l1(x)y1+l2(x)y2，0)()()(221100 yxlyxlyxldxd)()(2)(1202102xxxxxxxxl 201102012220211202202122*)()()()()()(21yxxyxxyxxyxxyxxyxxx ,)()(2)(2010210 xxxxxxxxl )()(2)(2101201xxxxxxxxl 極值點近似計算公式極值點近似計算公式15/18拉格朗日插值公式拉格朗日插值公式插值條件插值條件:L(xk)= yk (k = 0,1,n)nnnyxlyxlyxlxL)()()

11、()(1100 )()()()()()()(110110nkkkkkknkkkxxxxxxxxxxxxxxxxxl 其中其中,第第k (k=0,1,，n)個插值基函數(shù)個插值基函數(shù)nkjjjkjkxxxxxl 0)()()(或或:16/18Runge反例反例: , (-5x5)211)(xxf -5-4-3-2-1012345-0.500.511.52L10(t) f(t) f(x)取取xk= 5+k 計算計算: f(xk) (k=0,1,10) 構(gòu)造構(gòu)造L10(x).取取:tk= 5+0.05k (k=0,1,200),計算計算: L10(tk)17/18x=-5:5;y=1./(1+x.2);t=-5:0.05:5;y1=1