PQ變換與DQ變換的理解與推導(dǎo)

1、一、 p-q變換與d-q變換的理解與推導(dǎo)1. 120變換和空間向量120坐標(biāo)系是一個(gè)靜止的復(fù)數(shù)坐標(biāo)系。120分量首先由萊昂（Lyon）提出，所以亦成為萊昂分量。下面以電流為例說明120變換。、為三相電流瞬時(shí)值，120坐標(biāo)系與abc坐標(biāo)系之間的關(guān)系為1：式中和分別為定子繞組平面內(nèi)的120和240空間算子，上式的逆變換為：可以看出，120變換在形式上與矢量對(duì)稱分量變換很相似，不過這里的是瞬時(shí)值而不是矢量，是瞬時(shí)復(fù)數(shù)值，所以120變換亦稱為瞬時(shí)值對(duì)稱分量變換。由于是瞬時(shí)值之間的變換，所以120變換對(duì)瞬態(tài)（動(dòng)態(tài)）和任何電流波形都適用，而矢量對(duì)稱分量法僅適用于交流穩(wěn)態(tài)和正弦波的情況。另外，由于和是空間算

2、子，所以和是空間向量而不是時(shí)域里的矢量；所以瞬時(shí)值對(duì)稱分量和矢量對(duì)稱分量具有本質(zhì)上的區(qū)別。另外，從上式可知，等于的共軛值，所以不是獨(dú)立變量。用矩陣表示時(shí)，可寫成，（1-1），此變換矩陣為等幅變換 如何理解式（1-1）中的變換矩陣是等幅值變換？。所謂等幅值變換，是指原三相電流形成的總的磁動(dòng)勢(shì)（MMF：Magnetic Motive Force）和變換后的電流形成的磁動(dòng)勢(shì)MMF幅度一樣。由于本文中120變換的目的是生成電壓電流的空間矢量。而電流矢量的定義為其單獨(dú)產(chǎn)生的磁動(dòng)勢(shì)與原三相電流產(chǎn)生的磁動(dòng)勢(shì)相等，所以此處從abc到120的變換應(yīng)以磁動(dòng)勢(shì)不變?yōu)闇?zhǔn)則，應(yīng)選取等幅值變換。雖然等幅值變換雖然有明確的

3、物理意義，但是如果對(duì)三相電壓、電流均進(jìn)行等幅值變換，在計(jì)算功率的時(shí)候就會(huì)出現(xiàn)功率不守恒的情況。因此，相對(duì)于等幅值變換，還有等功率變換。所謂等功率變換，是指原三相系統(tǒng)中的功率和變換后的功率相等。對(duì)實(shí)線性空間，由于正交變換 正交變換：變換矩陣為正交矩陣，滿足保持內(nèi)積不變，而功率恰好是電流、電壓矢量的內(nèi)積，只要將組成變換矩陣的特征向量規(guī)范化（單位化），即可保證變換前后的功率形式不變。令，變換矩陣為C。原三相系統(tǒng)中功率為：變換后的功率為：當(dāng)，即，可使變換前后功率不變，滿足此條件的C即為正交矩陣。在120分量中，由于負(fù)序分量不是一個(gè)獨(dú)立變量，所以可以把它省略；另外，零序分量是一個(gè)孤立系統(tǒng)，可以單獨(dú)處理；

4、所以實(shí)用上通常僅需用到正序分量。為此定義定子電流的空間矢量，它等于的2倍 考慮這里為什么空間矢量是正序分量的2倍？是不是考慮到空間矢量是正序和負(fù)序分量之和。I1為瞬時(shí)值i1組成的空間矢量，以順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，定義空間矢量Iori同I1一樣以順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，為保證等幅值定義Iori幅值為I1兩倍，即=（1-2）式中的1、和分別表示a相、b相和c相軸線位置處的單位空間矢量。若零序電流為0，在a、b、c相軸線上的投影即為，如圖1-1所示。從式（1-2）可以看出，定子電流的空間矢量既表達(dá)了三相電流在時(shí)域內(nèi)的變化情況，又表達(dá)了三相繞組在空間的不同位置；就物理意義而言，它實(shí)質(zhì)上是代表定子三相繞組所組成的基波合成磁動(dòng)

5、勢(shì)。圖1-1 電流的空間向量電壓矢量同理可得。2. Park變換與Clarke變換（1）Clarke變換0坐標(biāo)系是一個(gè)兩相坐標(biāo)系，其中軸與a相繞組軸線重合，軸超前軸90電角，0序則是一個(gè)孤立的系統(tǒng)。以電流為例，說明abc與0坐標(biāo)系之間的坐標(biāo)變換。把圖中和軸線上的電流和分別投影到a、b、c三相軸線上，再加上孤立的零序電流，可得、和：圖1-2 0變換，其中，不難看出，此變換是等幅值變換，如果得到等功率變換，需要把進(jìn)行單位正交化，變?yōu)檎痪仃?，使得，得到等功率變換矩陣為（2）Park變換dq0坐標(biāo)系是一種與轉(zhuǎn)子一起旋轉(zhuǎn)的兩相坐標(biāo)系和零序系統(tǒng)的組合。若轉(zhuǎn)子為凸極，則d軸與凸極的中心軸線重合，q軸超前d

6、軸90電角，如圖1-3所示。dq0變換是從靜止的abc坐標(biāo)系變換到旋轉(zhuǎn)的dq0坐標(biāo)系的一種變換。圖1-3 dq0變換以定子電流為例。設(shè)定子三相繞組中電流為、，轉(zhuǎn)子d軸與定子a相繞組軸線之間夾角為（電角），dq0變換后定子電流的dq0分量分別為、。把旋轉(zhuǎn)的d、q軸上的、分別投影到定子a、b、c三相軸線上，再加上零序電流，可得到、和：，其中式中，為轉(zhuǎn)子的角速度，為0時(shí)刻時(shí)，d軸與a軸夾角，轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)時(shí)，是一個(gè)時(shí)變陣。若，即轉(zhuǎn)子不轉(zhuǎn)，且d軸與a軸重合時(shí)，dq0坐標(biāo)系退化為0坐標(biāo)系。實(shí)際上，由圖1-3可知，若，就意味著。與圖1-2一致。顯然上式不是正交矩陣，上述變換為等幅值變換，把變換矩陣單位正交化變?yōu)?/p>

7、正交矩陣則，此時(shí)變換將成為等功率變換。Clarke變換也是變換，它變換后的量仍然是交流量，也就是說，它的值是隨著abc三相值的變化而變化的。它的主要用途是瞬時(shí)無功功率控制。Park變換是交流坐標(biāo)系變換為直流坐標(biāo)系，一般在VSC（voltage source converter）的控制中常用，它將交流變化的量變換到直流坐標(biāo)系下，穩(wěn)態(tài)時(shí)dq量可以保持恒定。VSC控制就是控制變換過的dq量從而對(duì)系統(tǒng)的電壓電流等參數(shù)進(jìn)行控制的3。3. 瞬時(shí)無功理論設(shè)三相電路各相電壓和電流的瞬時(shí)值分別為、和、。為分析問題方便，把他們變換到兩相正交的坐標(biāo)系上研究。如圖1-4所示2。圖1-4 系中電壓、電流矢量由下面的變換

8、可以得到、兩相瞬時(shí)電壓、和、兩相瞬時(shí)電流、。（1-3）（1-4）式中。此變換為等功率變換，標(biāo)準(zhǔn)正交化成可逆的轉(zhuǎn)移矩陣（正交陣）為，不難推導(dǎo)出，120分量與0分量之間具有下列關(guān)系，（1-5）以電流為例推導(dǎo)過程如下：空間矢量與分量的關(guān)系為（1-6）在圖1-4所示的平面上，矢量、和、。分別可以合成為（旋轉(zhuǎn)）電壓矢量和電流矢量用于瞬時(shí)功率計(jì)算中的Clarke變換需要保證變換前后功率保持不變，因此應(yīng)采用為等功率變換。電壓電流矢量的原始定義中采用的120變換為等幅值變換，Clarke等幅值變換矩陣系數(shù)為，等功率變換矩陣系數(shù)為。電壓電流矢量應(yīng)用到等功率變換體系中應(yīng)相應(yīng)改變系數(shù)，因此此處的等功率變換中應(yīng)用的電

9、壓電流矢量應(yīng)為原始定義的電壓電流矢量的倍：（1-7）式中、為矢量、的模（黑體、為矢量，非黑體、為矢量的幅值），、分別為矢量、的相角?！径x1】三相電路瞬時(shí)有功電流和瞬時(shí)無功電流分別為矢量在矢量及其法線上的投影。即（1-8）式中，。平面中的和如圖1-4所示?！径x2】三相電路瞬時(shí)有功功率p為電壓矢量的模和三相電路瞬時(shí)有功電流的乘積，三相電路瞬時(shí)無功功率q為電壓矢量的模和三相電路瞬時(shí)無功電流的乘積，即（1-9）把式（1-8）及代入式（1-9）中，并寫成矩陣形式得出（1-10）把式（1-3）、式（1-4）代入上式，可得出p、q對(duì)于三相電壓、電流的表達(dá)式由于，所以上式可以寫為由上述推導(dǎo)得到：（1-11

10、）就三相電路而言，其功率的瞬時(shí)值實(shí)際上應(yīng)該理解為：把瞬時(shí)值分別置于各軸成120的abc坐標(biāo)系中，按有功無功理論進(jìn)行數(shù)乘，有功是電流在電壓方向上的分量與電壓數(shù)乘，無功是電流在電壓法向上的分量與電壓數(shù)乘。顯然，從式（1-11）可以看出，三相電路瞬時(shí)有功功率就是三相電路的瞬時(shí)功率。4. 派克變換與瞬時(shí)功率之間的關(guān)系當(dāng)電網(wǎng)電壓三相對(duì)稱且波形無畸變時(shí)，設(shè)電網(wǎng)電壓角頻率為，且A相電壓初相角為，E為電網(wǎng)電壓基波即電網(wǎng)電壓的有效值，則電壓瞬時(shí)值為（1-12）（1）第一種推導(dǎo)方式則將式（1-12）代入式（1-3）將得到：（1-13）將式（1-13）代入式（1-10）計(jì)算出瞬時(shí)有功和無功為（1-14）對(duì)于式（1-

11、14）中系數(shù)的理解為：原系統(tǒng)電壓幅值為，由于是等功率變換，由等幅值與等功率變換矩陣系數(shù)可知，系統(tǒng)中的電壓向量的幅值，即，為=。因此由式（1-9）可知與式（1-14）對(duì)比可得（1-15）其中為從坐標(biāo)系到pq坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)移矩陣。下面推導(dǎo)坐標(biāo)到dq坐標(biāo)的變換矩陣。dq坐標(biāo)逆時(shí)針以角頻率同步旋轉(zhuǎn)，d軸與a軸的夾角為,為t=0時(shí)刻d軸與a軸的夾角，q軸位于在旋轉(zhuǎn)方向上比d軸超前90的位置上。從abc坐標(biāo)到dq坐標(biāo)的轉(zhuǎn)移公式為3：（1-16）其中abc坐標(biāo)到dq坐標(biāo)的轉(zhuǎn)移矩陣：拓展為可逆轉(zhuǎn)移矩陣為由Clarke等功率逆變換得出下式：代入式（1-16）：得出：（1-17）顯然，由式（1-15）和式（1-17）

12、對(duì)比可知：與并不相同，d、q與p、q變量，并不能直接等價(jià)。由式（1-15）可得代入（1-17）得（1-18）注意：式（1-18）中等式兩端的變量意義，等式左邊的、為派克變換后得到的d-q軸瞬時(shí)電流；而等式右邊的、為瞬時(shí)有功電流、瞬時(shí)無功電流。另外，這里再次重申式（1-18）中變量的意義如下：空間矢量初始角為t=0時(shí)刻A相電壓的初相角此處電壓表示為sin（wt+），Cdq0中采用cos（wt+）因此得到下面結(jié)論，若都采用sin或都采用cos，坐標(biāo)軸夾角為t=0時(shí)刻d軸與a軸的夾角。因此列出以下幾種特殊情況：id=ip，iq=-iq。dq坐標(biāo)d軸超前q軸90， pq坐標(biāo)p軸滯后q軸90。 （1-1

13、9）由此可見，派克變換后得到的d-q瞬時(shí)電流、與瞬時(shí)有功電流、瞬時(shí)無功電流、的相對(duì)關(guān)系，取決于當(dāng)前時(shí)刻電網(wǎng)電壓相角以及d軸與a軸之間相位的關(guān)系。顯然，若在逆變器控制中利用d-q變換后得到的瞬時(shí)電流、來分別控制有功和無功，則意味著與之間相差90。因此，在逆變器控制中，通過鎖相環(huán)PLL獲得0時(shí)刻a相電壓相角，從而決定Park變換矩陣中的值，以確保d軸與a電網(wǎng)電壓矢量方向相同，從而達(dá)到有功無功獨(dú)立控制的目的。在Simulink仿真平臺(tái)自帶的Park變換模塊中，默認(rèn)0時(shí)刻a相電壓相角為0，由PLL模塊獲得、，形成，進(jìn)行Park變換，如圖1-5所示： 圖1-5逆變器控制中Park變換部分的simulin

14、k模型圖中Vabc_filter為逆變器經(jīng)濾波器并網(wǎng)處的三相電壓，Vabc_filter_pu為其標(biāo)幺值。（2）第二種推導(dǎo)方式對(duì)式（1-12）所表示的三相電壓進(jìn)行派克變換，可得將，代入上式計(jì)算得化簡可得：（1-20）同Clark變換同理，等功率變換到兩相dq坐標(biāo)中，電壓幅值變?yōu)?。為方便?jì)算，選d軸方向?yàn)殡娋W(wǎng)電壓合成矢量的方向，則上式計(jì)算結(jié)果應(yīng)為（1-21）要得出此結(jié)果需使（1-22）滿足上述條件可將瞬時(shí)功率計(jì)算公式化簡為：（1- 23）因此，在這種情況下，可以認(rèn)為相當(dāng)于有功電流，相當(dāng)于無功電流。為了清晰起見，在dq軸坐標(biāo)平面上，繪制電壓電流相對(duì)關(guān)系如圖1-6所示。圖1-6 dq系中電壓電流矢量

15、為以示區(qū)別，此圖中有功、無功分量的下標(biāo)用P、Q表示，dq分量用d、q表示。則電壓矢量與d軸的夾角為，電流矢量與d軸的夾角為。其中。對(duì)于式（1-23）的推導(dǎo)，與式（1-10）的推導(dǎo)過程一樣，即由式（1-8）、式（1-9），可得：傳統(tǒng)理論中的有功功率、無功功率等都是在平均值基礎(chǔ)或向量的意義上定義的，它們只適用于電壓、電流均為正弦波時(shí)的情況。而瞬時(shí)無功功率理論中的概念，都是在瞬時(shí)值的基礎(chǔ)上定義的，它不僅適用于正弦波，也適用于非正弦波和任何過渡過程的情況。從以上各定義可以看出，瞬時(shí)無功功率理論中的概念，在形式上和傳統(tǒng)理論非常相似，可以看成傳統(tǒng)理論的推廣和延伸。5. 無功的物理意義在正弦電路中由于儲(chǔ)能元

16、件電感和電容的存在，在電路中出現(xiàn)了一種在純電阻電路中所沒有的現(xiàn)象，這就是能量的往返交換，因而除了平均功率（有功功率）外，還引出無功功率這一概念。設(shè)電路的電壓和電流分別為：，無功的定義需借助于瞬時(shí)功率：上式中第一個(gè)分量是以P為平均值而做簡諧振蕩的分量，其值恒為非負(fù)，它是一個(gè)只有大小變化而不改變傳輸方向的瞬時(shí)功率分量，它代表電路等效電阻所吸收的瞬時(shí)功率，是反映電路實(shí)際消耗的有功分量，其平均值P即為有功功率。上式中第二個(gè)分量Qsin2t是一個(gè)以2為角頻率作正弦的交變的瞬時(shí)功率分量，在其變化的波形中，正負(fù)半周與橫軸之間構(gòu)成的面積分別代表等量的吸收能量和釋放能量，表明有一部分能量在電源和電路之間交換，其平均值為零。這個(gè)瞬時(shí)功率分量代表電路的等效電抗吸收的瞬時(shí)功率，反映了電源和電路之間能量往返交換的速率，是在平均意義上不能作功的無功分量。該無功分量的最大值即為通常意義上的無功功率，它實(shí)質(zhì)上是電源與電路之間能量往返交換的最大速率。1、在線性負(fù)荷電路中，無功的流動(dòng)表現(xiàn)為電源（或已經(jīng)儲(chǔ)能的元件）與儲(chǔ)能元件之間能量的交換（儲(chǔ)