二章第五節(jié)函數(shù)的微分ppt課件

1、 第二章第二章第五節(jié)第五節(jié)二、微分運(yùn)算法那二、微分運(yùn)算法那么么三、微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用三、微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用四、微分在估計(jì)誤差中的應(yīng)用四、微分在估計(jì)誤差中的應(yīng)用一、微分的概念一、微分的概念 函數(shù)的微分函數(shù)的微分2高高等等數(shù)數(shù)學(xué)學(xué) 第二二章 第五節(jié) /27一、微分的概念一、微分的概念 引例引例: 一塊正方形金屬薄片受溫度變化的影響一塊正方形金屬薄片受溫度變化的影響,問此薄片面積改變了多少問此薄片面積改變了多少? 設(shè)薄片邊長為設(shè)薄片邊長為 x , 面積為面積為 A , 那那么么,2xA0 xx面積的增量為面積的增量為220)(xxxA20)(2xxxxx 020 xA xx 02)( x關(guān)于

2、關(guān)于x 的的線性主部線性主部高階無窮小高階無窮小0 x時(shí)為時(shí)為故故xxA02稱為函數(shù)在稱為函數(shù)在 的微分的微分0 x當(dāng)當(dāng) x 在在0 x取取得增量得增量x時(shí)時(shí),0 x變到變到,0 xx邊長由邊長由其其3高高等等數(shù)數(shù)學(xué)學(xué) 第二二章 第五節(jié) /27的微分的微分,定義定義: 假設(shè)函數(shù)假設(shè)函數(shù))(xfy 在點(diǎn)在點(diǎn) 的增量可表示為的增量可表示為0 x)()(00 xfxxfy( A 為不依賴于為不依賴于x 的常數(shù)的常數(shù))那么稱函那么稱函數(shù)數(shù))(xfy 而而 稱為稱為xA在)(xf0 x點(diǎn)記作記作yd,df或即即xAyd定理定理: 函數(shù)函數(shù))(xfy 在點(diǎn)在點(diǎn) 可微的充要條件是可微的充要條件是0 x處可導(dǎo)

3、，在點(diǎn)0)(xxfy , )(0 xfA且)( xoxA即即xxfy)(d0在點(diǎn)在點(diǎn)0 x可微可微,4高高等等數(shù)數(shù)學(xué)學(xué) 第二二章 第五節(jié) /27定理定理 : 函數(shù)函數(shù)證證: “必要性必要性 知知)(xfy 在點(diǎn)在點(diǎn) 可微可微 ,0 x那那么么)()(00 xfxxfy)(limlim00 xxoAxyxxA故故Axf)(0)( xoxA)(xfy 在點(diǎn)在點(diǎn) 的可導(dǎo)的可導(dǎo),0 x且且)(xfy 在點(diǎn)在點(diǎn) 可微的充要條件是可微的充要條件是0 x)(xfy 在點(diǎn)在點(diǎn) 處可導(dǎo)處可導(dǎo),0 x且且, )(0 xfA即即xxfy)(d05高高等等數(shù)數(shù)學(xué)學(xué) 第二二章 第五節(jié) /27定理定理 : 函數(shù)函數(shù))(x

4、fy 在點(diǎn)在點(diǎn) 可微的充要條件是可微的充要條件是0 x)(xfy 在點(diǎn)在點(diǎn) 處可導(dǎo)處可導(dǎo),0 x且且, )(0 xfA即即xxfy)(d0“充沛性充沛性知知)(lim00 xfxyx)(xfy )(0 xfxy)0lim(0 xxxxfy)(0故)()(0 xoxxf 線性主部 即即xxfy)(d0在點(diǎn)在點(diǎn) 的可導(dǎo)的可導(dǎo),0 x)0)(0時(shí) xf那那么么6高高等等數(shù)數(shù)學(xué)學(xué) 第二二章 第五節(jié) /27說明說明:0)(0 xf時(shí)時(shí) ,xxfy)(d0)()(0 xoxxfyyyxdlim0 xxfyx)(lim00 xyxfx00lim)(11所以所以0 x時(shí)時(shí)yyd很小時(shí)很小時(shí), 有近似公式有近似

5、公式xyyd與與是等價(jià)無窮小是等價(jià)無窮小,當(dāng)當(dāng)故當(dāng)故當(dāng)7高高等等數(shù)數(shù)學(xué)學(xué) 第二二章 第五節(jié) /27微分的幾何意義微分的幾何意義xxfy)(d0 xx0 xyo)(xfy 0 xyydxtan當(dāng)當(dāng) 很小時(shí)很小時(shí),xyyd時(shí)，當(dāng)xy 那么那么有有xxfyd)(d從而從而)(ddxfxy導(dǎo)數(shù)也叫作微商導(dǎo)數(shù)也叫作微商切線縱坐標(biāo)的增量切線縱坐標(biāo)的增量自變量的微分自變量的微分,為稱 x記作記作xdxyxd記記8高高等等數(shù)數(shù)學(xué)學(xué) 第二二章 第五節(jié) /27例如例如,3xy yd02. 0d2xx23xxd02. 0d2xx24. 0,arctanxy ydxxd112根本初等函數(shù)的微分公式根本初等函數(shù)的微分公

6、式 (見見 P115表表)又如又如,9高高等等數(shù)數(shù)學(xué)學(xué) 第二二章 第五節(jié) /27二、二、 微分運(yùn)算法那么微分運(yùn)算法那么設(shè)設(shè) u(x) , v(x) 均可微均可微 , 那那么么)(d. 1vu )(d. 2uC(C 為常數(shù)為常數(shù))(d. 3vu)0()(d. 4vvu分別可微分別可微 ,)(, )(xuufy )(xfy的微分為的微分為xyyxddxxufd)()(uduufyd)(d微分形式不變微分形式不變5. 復(fù)合函數(shù)的微分復(fù)合函數(shù)的微分那么復(fù)合函那么復(fù)合函數(shù)數(shù)vudd uCdvuuvdd 2ddvvuuv10高高等等數(shù)數(shù)學(xué)學(xué) 第二二章 第五節(jié) /27例例1., )1(ln2xey求 .dy

7、解解:211dxey)1(d2xe211xe)(d2xxxeexxd21122xeexxxd12222xe11高高等等數(shù)數(shù)學(xué)學(xué) 第二二章 第五節(jié) /27例例2. 設(shè)設(shè),0)cos(sinyxxy求求 .dy解解: 利用一階微分形式不變性利用一階微分形式不變性 , 有有0)d(cos()sin( dyxxyxxyyxdcosdsin)sin(yx0)d(d yxxyd d )sin(cosyxxyxyxsin)sin(例例3. 在以下括號(hào)中填入適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)使等式成立在以下括號(hào)中填入適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)使等式成立:xxd) d() 1 (ttdcos) d()2(221xtsin1說明說明: 上述微分的反問題

8、是不定積分要研究的內(nèi)容上述微分的反問題是不定積分要研究的內(nèi)容.CC注意注意: 數(shù)學(xué)中的反問題往往呈現(xiàn)多值性數(shù)學(xué)中的反問題往往呈現(xiàn)多值性.12高高等等數(shù)數(shù)學(xué)學(xué) 第二二章 第五節(jié) /27)(22 44)(22)(4sin22)sin(k2224數(shù)學(xué)中的反問題往往呈現(xiàn)多值性數(shù)學(xué)中的反問題往往呈現(xiàn)多值性 , 例如例如13高高等等數(shù)數(shù)學(xué)學(xué) 第二二章 第五節(jié) /27三、三、 微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用)()(0 xoxxfy當(dāng)當(dāng)x很小時(shí)很小時(shí),)()(00 xfxxfyxxf)(0 xxfxfxxf)()()(000 xxx0令使用原那使用原那么么:;)(, )() 100好算xfxf.

9、)20靠近與xx)()()(000 xxxfxfxf得近似等式得近似等式:14高高等等數(shù)數(shù)學(xué)學(xué) 第二二章 第五節(jié) /27特別當(dāng)特別當(dāng)xx,00很小時(shí)很小時(shí),xffxf)0()0()(常用近似公式常用近似公式:x1)1 () 1 (x很小很小)x(xxxx1xsin)2(xe)3(xtan)4( )1ln()5(x證明證明: 令令)1 ()(xxf得得, 1)0(f)0(f,很小時(shí)當(dāng) xxx1)1 (15高高等等數(shù)數(shù)學(xué)學(xué) 第二二章 第五節(jié) /27180dx29sin的近似值 .解: 設(shè),sin)(xxf取300 x,629x那么1802918029sin6sin6cos2123)0175. 0(

10、485. 0)180(例4. 求29sin4848. 029sin16高高等等數(shù)數(shù)學(xué)學(xué) 第二二章 第五節(jié) /275245的近似值的近似值 .解解:24335524551)2243(51)24321(33)2432511(0048. 3例例5. 計(jì)算計(jì)算xx1)1 (17高高等等數(shù)數(shù)學(xué)學(xué) 第二二章 第五節(jié) /27例例6. 有一批半徑為有一批半徑為1cm 的球的球 , 為了進(jìn)步球面的光潔度為了進(jìn)步球面的光潔度,解解: 知球體體積為知球體體積為334RV鍍銅體積為鍍銅體積為 V 在在01. 0, 1RR時(shí)體積的增量時(shí)體積的增量,VVVd01. 01RRRR 2401. 01RR)(cm13. 03因

11、而每只球需用銅約為因而每只球需用銅約為16. 113. 09 . 8( g )用銅多少克用銅多少克. )cmg9 . 8:(3銅的密度估計(jì)一下估計(jì)一下, 每只球需每只球需要鍍上一層銅要鍍上一層銅, 厚度定為厚度定為 0.01cm, 18高高等等數(shù)數(shù)學(xué)學(xué) 第二二章 第五節(jié) /27四、四、 微分在估計(jì)誤差中的應(yīng)用微分在估計(jì)誤差中的應(yīng)用某量的準(zhǔn)確值為某量的準(zhǔn)確值為 A , 其近似值為其近似值為 a ,aA稱為稱為a 的絕對(duì)誤差的絕對(duì)誤差aaA稱為稱為a 的相對(duì)誤差的相對(duì)誤差假設(shè)假設(shè)AaAA稱為丈量稱為丈量 A 的絕對(duì)誤差限的絕對(duì)誤差限aA稱為丈量稱為丈量 A 的相對(duì)誤差限的相對(duì)誤差限19高高等等數(shù)數(shù)

12、學(xué)學(xué) 第二二章 第五節(jié) /27誤差傳送公式誤差傳送公式 :知丈量誤差限為知丈量誤差限為,x按公式按公式)(xfy 計(jì)算計(jì)算 y 值時(shí)的誤差值時(shí)的誤差yydxxf)(xxf)(故故 y 的絕對(duì)誤差限約為的絕對(duì)誤差限約為xyxf)(相對(duì)誤差限約為相對(duì)誤差限約為xyxfxfy)()(假設(shè)直接丈量某量得假設(shè)直接丈量某量得 x ,20高高等等數(shù)數(shù)學(xué)學(xué) 第二二章 第五節(jié) /27例例7. 設(shè)測(cè)得圓鋼截面的直徑設(shè)測(cè)得圓鋼截面的直徑 mm,0 .60D丈量丈量D 的的 絕對(duì)誤差限絕對(duì)誤差限,mm05. 0D欲利用公式欲利用公式24DA圓鋼截面積圓鋼截面積,解解: 計(jì)算計(jì)算 A 的絕對(duì)誤差限約為的絕對(duì)誤差限約為D

13、AADD205. 00 .602715. 4 A 的相對(duì)誤差限約為的相對(duì)誤差限約為242DDADADD20 .6005. 02%17. 0試估計(jì)面積的誤差試估計(jì)面積的誤差 . 計(jì)算計(jì)算(mm)21高高等等數(shù)數(shù)學(xué)學(xué) 第二二章 第五節(jié) /27內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 微分概念微分概念 微分的定義及幾何意義微分的定義及幾何意義 可導(dǎo)可導(dǎo)可微可微2. 微分運(yùn)算法那么微分運(yùn)算法那么微分形式不變性微分形式不變性 :uufufd)()(d( u 是自變量或中間變量是自變量或中間變量 )3. 微分的應(yīng)用微分的應(yīng)用近似計(jì)算近似計(jì)算估計(jì)誤差估計(jì)誤差22高高等等數(shù)數(shù)學(xué)學(xué) 第二二章 第五節(jié) /27考慮與練習(xí)考慮與練習(xí)1.

14、 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xfy 的圖形如下的圖形如下, 試在圖中標(biāo)出的點(diǎn)試在圖中標(biāo)出的點(diǎn)0 x處的處的yy ,d及及,dyy 并說明其正負(fù)并說明其正負(fù) .yd0 xx00 xxyoy00yyd23高高等等數(shù)數(shù)學(xué)學(xué) 第二二章 第五節(jié) /272.xxeed )d(arctanxe211xd xxee21xxsindtand. 3x3secxxd2sin) (d. 4Cx2cos2124高高等等數(shù)數(shù)學(xué)學(xué) 第二二章 第五節(jié) /275. 設(shè)設(shè))(xyy 由方程由方程063sin33yxyx確定確定,.d0 xy解解: 方程兩邊求微分方程兩邊求微分, 得得xx d32當(dāng)當(dāng)0 x時(shí)時(shí),0y由上式得由上式得xyxd21d0求求yy d32xxd3cos30d6y6. 設(shè)設(shè) ,0a且且,nab 那么那么nnba1nanba25高高等等數(shù)數(shù)學(xué)學(xué) 第二二章 第五節(jié) /27作業(yè)作業(yè)P122 1 ; 3 (4) , (7) , (8) , (9) , (10) ; 4 ; 5; 8(