高等數(shù)學-1矢量ppt課件

1、數(shù)量關系數(shù)量關系 第八章第八章第一部分第一部分 向量代數(shù)向量代數(shù)第二部分第二部分 空間解析幾何空間解析幾何 在三維空間中在三維空間中: :空間形式空間形式 點點, , 線線 , , 面面 基本方法基本方法 坐標法坐標法; 坐標坐標, , 方程組）方程組）空間解析幾何與向量代數(shù)空間解析幾何與向量代數(shù) 向量法向量法(曲線曲線)(曲面曲面)四、利用坐標作向量的線性運算四、利用坐標作向量的線性運算 一、向量的概念一、向量的概念二、向量的線性運算二、向量的線性運算 三、空間直角坐標系三、空間直角坐標系五、向量的模、方向角、投影五、向量的模、方向角、投影8.1 向量及其線性運算 第八章 表示法表示法:向量

2、的模向量的模 : 向量的大小向量的大小,21MM記作一、向量的概念一、向量的概念向量向量:(又稱矢量又稱矢量). 1M2M既有大小既有大小, 又有方向的量稱為向量又有方向的量稱為向量向徑向徑 (矢徑矢徑):自由向量自由向量: 與起點無關的向量與起點無關的向量.起點為原點的向量起點為原點的向量.單位向量單位向量: 模為模為 1 的向量的向量,0a零向量零向量: 模為模為 0 的向量的向量,記作記作0有向線段有向線段 M1 M2 ,或或 a ,a或表示與表示與 同向的單位向量同向的單位向量a(簡單介紹簡單介紹)ae規(guī)定規(guī)定: 零向量與任何向量平行零向量與任何向量平行 ;若向量若向量 a 與與 b大

3、小相等大小相等, 方向相同方向相同, 則稱則稱 a 與與 b 相等相等,記作記作 ab ;若向量若向量 a 與與 b 方向相同或相反方向相同或相反,則稱則稱 a 與與 b 平行平行, ab ;與與 a 的模相同的模相同, 但方向相反的向量稱為但方向相反的向量稱為 a 的負向量的負向量,記作記作因平行向量可平移到同一直線上因平行向量可平移到同一直線上, 故兩向量平行又稱故兩向量平行又稱 兩向量共線兩向量共線 .假設假設 k (3)個向量經(jīng)平移可移到同一平面上個向量經(jīng)平移可移到同一平面上 , 則稱此則稱此 k 個向量共面?zhèn)€向量共面記作記作a ;( (或平移至始點重合時或平移至始點重合時,k,k個終

4、點及公共的始點共面?zhèn)€終點及公共的始點共面) )二、向量的線性運算二、向量的線性運算1. 向量的加法向量的加法三角形法則三角形法則平行四邊形法則平行四邊形法則運算規(guī)律運算規(guī)律 交換律交換律結合律結合律三角形法則可推廣到多個向量相加三角形法則可推廣到多個向量相加 .abbacba )()(cbacbas3a4a5a2a1a54321aaaaas折線法折線法,或稱首尾連接法或稱首尾連接法.2. 向量的減法向量的減法三角不等式三角不等式ab)( ab有時特別當,ab aa)( aa,abab03. 向量與數(shù)的乘法向量與數(shù)的乘法 是一個數(shù)是一個數(shù) ,.a 與與 a 的乘積是一個新向量的乘積是一個新向量,

5、 記作記作方向的規(guī)定方向的規(guī)定:aa運算律運算律 : 結合律結合律分配律分配律)(a)(aaa)(aa)(baba模的規(guī)定模的規(guī)定:(三種情況三種情況);abab(等號何時成立？等號何時成立？)定理定理1. 設設 a 為非零向量為非零向量 , 那那么么( 為惟一實為惟一實數(shù)數(shù))abab定理定理ab存在不全為零的實數(shù)存在不全為零的實數(shù),使得使得0ab定理定理存在不全為零的實數(shù)存在不全為零的實數(shù)k1 ,k2, k3使得使得1 122330k ak ak a 123,a a a 共面共面 注注:aaa a1aaa(0)a a的負向量的負向量( 1) a(1)(2)(3)(0)a OPxi (4) 數(shù)

6、軸上的點數(shù)軸上的點P的坐標為的坐標為xi為與軸同向的單位向量為與軸同向的單位向量利用定理利用定理1例例1. 設設 M 為為MBACD解解:ABCD 對角線的交點,ba,aAB ,bDAACMC2MA2BDMD2MB2ab試用與表示baab)(21baMA)(21abMB)(21baMC)(21abMD,.MAMCMBMD xyz三、空間直角坐標系三、空間直角坐標系由三條互相垂直的數(shù)軸按右手規(guī)則由三條互相垂直的數(shù)軸按右手規(guī)則組成一個空間直角坐標系組成一個空間直角坐標系. O稱坐標原點稱坐標原點 坐標軸坐標軸x軸軸(橫軸橫軸)y軸軸(縱軸縱軸)z 軸軸(豎軸豎軸)過空間一定點過空間一定點 o ,o

7、 坐標面坐標面 卦限卦限(八個八個)面xoy面yozzox面面1. 空間直角坐標系的基本概念空間直角坐標系的基本概念xyzo向徑向徑在直角坐標系下在直角坐標系下 11坐標軸上的點坐標軸上的點 P, Q , P, Q , R ;R ;坐標面上的點坐標面上的點 A , B , A , B , C C點點 M特殊點的坐標特殊點的坐標 : :有序數(shù)組有序數(shù)組),(zyx 11)0 , 0 ,(xP)0 , 0(yQ), 0 , 0(zR)0 ,(yxA), 0(zyB),(zoxC(稱為點稱為點 M 的坐標的坐標)原點原點 O(0,0,0) ;O(0,0,0) ;rrM坐標軸坐標軸 : 軸x00zy0

8、0 xz軸y軸z00yx坐標面坐標面 :面yox0 z面zoy0 x面xoz0 yxyzo2. 向量的坐標表示向量的坐標表示!在空間直角坐標系下在空間直角坐標系下,設點設點 M , ),(zyxM那那么么沿三個坐標軸方向的分向量沿三個坐標軸方向的分向量.kzjyixr),(zyxxoyzMNQRijkP,軸上的單位向量分別表示以zyxkji的坐標為的坐標為此式稱為向量此式稱為向量 r 的坐標分解式的坐標分解式 ,rkzjyix稱為向量,r任意向量任意向量 r 可用向徑可用向徑 OM 表示表示.NMONOMOPOQOR,OPxi,OQy jORzk四、利用坐標作向量的線性運算四、利用坐標作向量的

9、線性運算設設),(zyxaaaa , ),(zyxbbbb 那那么么ba),(zzyyxxbababaa),(zyxaaaab,0 時當aabxxabyyabzzabxxabyyabzzab平行向量對應坐標成比例平行向量對應坐標成比例:，為實數(shù), a b c 共面共面0 xyzxyzxyzaaabbbccc分母個別為零時的理分母個別為零時的理解解, ,見見P8P8下面的小字下面的小字21例例7上面上面關于行列式，請閱讀上冊關于行列式，請閱讀上冊P355 附錄附錄1例例2. 求解以向量為未知元的線性方程組求解以向量為未知元的線性方程組ayx35byx23.211,212），（），（其中ba解解:

10、 2 3 , 得得bax32)10, 1,7(代入代入得得)3(21bxy)16,2,11(例例3. 已知兩點已知兩點在在AB直線上求一點直線上求一點 M , 使使解解: 設設 M 的坐標的坐標為為, ),(zyx如下圖如下圖ABMoMAB, ),(111zyxA),(222zyxB及實數(shù)及實數(shù), 1得得.MBAMAMMBAMMB111(,)xx yy zz222(,)xx yy zz111(,)xx yy zz222(,)xx yy zz得定比分點公式得定比分點公式:,121xx,121yy121zz,1時當點點 M 為為 AB 的中點的中點 , 于是得于是得x,221xx y,221yy

11、z221zz xyz中點公式中點公式:五、向量的模、方向角、投影五、向量的模、方向角、投影 1. 向量的模與兩點間的距離公式向量的模與兩點間的距離公式222zyx),(zyxr 設則有則有OMr 222OROQOPxoyzMNQRP由勾股定理得由勾股定理得),(111zyxA因因AB得兩點間的距離公式得兩點間的距離公式:),(121212zzyyxx212212212)()()(zzyyxx對兩點對兩點與與, ),(222zyxB, rOM作OMr OROQOPBABAOAOBBA例例4. 求證以求證以)3,2,5(, )2, 1 ,7(, ) 1 ,3,4(321MMM證證:1M2M3M21

12、MM 2)47( 2)31 ( 2) 12( 1432MM 2)75( 2) 12( 2)23( 631MM 2)45( 2)32( 2) 13( 63132MMMM即即321MMM為等腰三角形為等腰三角形 .的三角形是等腰三角形的三角形是等腰三角形 . 為頂點為頂點13 14為等腰直角三角形為等腰直角三角形 .例例5. 在在 z 軸上求與兩軸上求與兩點點)7, 1 ,4(A等距等距解解: 設該點為設該點為, ),0,0(zM,BMAM因為 2)4(212)7(z 23252)2(z解得解得,914z故所求點為故所求點為及及)2,5,3(B. ),0,0(914M考慮考慮: (1) 如何求在如

13、何求在 xoy 面上與面上與A , B 等距離之點的軌跡方程等距離之點的軌跡方程?(2) 如何求在空間與如何求在空間與A , B 等距離之點的軌跡方程等距離之點的軌跡方程 ?離的點離的點 . 提示提示:(1) 設動點為設動點為, )0,(yxM利用利用,BMAM得得,028814 yx(2) 設動點為設動點為, ),(zyxM利用利用,BMAM得得014947zyx且且0z例例6. 已知兩點已知兩點)5,0,4(A和和, )3, 1 ,7(B解解:求求141)2,1,3(142,141,143.BABABABA(3,1, 2)AB 14AB oyzx2. 方向角與方向余弦方向角與方向余弦設有兩

14、非零向量設有兩非零向量 ,ba任取空間一點任取空間一點 O ,aOA作,bOBOAB稱稱 =AOB (0 ) 為向量為向量 ba,的夾角的夾角. ),(ab或類似可定義向量與軸類似可定義向量與軸, 軸與軸的夾角軸與軸的夾角 . ,0),(zyxr給定與三坐標軸的夾角與三坐標軸的夾角 , , rr稱為其方向角為其方向角.cosrx222zyxx方向角的余弦稱為其方向余弦方向角的余弦稱為其方向余弦. 記作記作),(ba3. 向量在軸上的投影向量在軸上的投影,在在8.2簡介簡介oyzxrcosrx222zyxxcosry222zyxycosrz222zyxz1coscoscos222方向余弦的性質(zhì)方

15、向余弦的性質(zhì):的單位向量向量 rrrr)cos,cos,(cos考慮：考慮：假設假設 , , 是向量與三坐標面的夾角，是向量與三坐標面的夾角，222coscoscos?例例7. 已知兩點已知兩點)2,2,2(1M和和, )0,3, 1(2M的模的模 、方向余弦和方向角、方向余弦和方向角 . 解解:,21,23)20計算向量計算向量)2, 1, 1(222)2(1) 1(2,21cos,21cos22cos,32,34321MM(21MM21MM例例8. 設點設點 A 位于第一卦限位于第一卦限,解解: 知知角依次為角依次為,43求點求點 A 的坐標的坐標 . ,43那么那么222coscos1c

16、os41因點因點 A 在第一卦限在第一卦限 ,故故,cos21于是于是(6,21,22)21)3,23,3(故點故點 A 的坐標為的坐標為 . )3,23,3(向徑向徑 OA 與與 x 軸軸 y 軸的夾軸的夾 ,6AO且OAOAAO作業(yè)作業(yè)P12習題習題8-1 3 , 5, 13, 14, 15, 18, 19 請閱讀請閱讀P355 附錄附錄1(下次課用下次課用)P11 3. 向量在軸上的投影向量在軸上的投影(在在8.2簡介簡介)備用題備用題. 證明證明(1)任意三角形任意三角形ABC的三條中線可構成的三條中線可構成 1 ;BCA0abcBE 證證:(1):(1)設設ABCABC三邊的中點分別為三邊的中點分別為D,E,F(D,E,F(如圖如圖) )FD DE(2) (2) 1 1 的三條中線構成的的三條中線構成的 三角形三角形2 2與與 ABC ABC 類似類似, , 并求相似比并求相似比記記,BCa ,CAb.ABc 那么那么三條中線三條中線a 12CFbc b 12ADca c