函數(shù)的基本性質(zhì)及常用結(jié)論

1、函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)的單調(diào)性反映了函數(shù)圖像的走勢(shì)，求最值。定義：(略)定理 1 ： xi x2a,b ,xi x2 那么(xix2)f(x1)f(x2)0f(x1)f(x2)0x x2(x1x2)f(x1)f(x2)0f(x1)f(x2)0x x2定理2:(導(dǎo)數(shù)法確定單調(diào)區(qū)間)若x a,b ,那么f x 0f(x)在a,b上是增函數(shù)；f x 0函數(shù)的基本性質(zhì)及常用結(jié)論、函數(shù)的單調(diào)性高考中?？计湟幌伦饔茫罕容^大小，解不等式,f(x)在a,b上是增函數(shù)；f(x)在a,b上是減函數(shù).f(x)在a,b上是減函數(shù).1 .函數(shù)單調(diào)性的判斷(證明)(1)作差法(定義法)(2)作商法(3)導(dǎo)數(shù)法2 .復(fù)合函數(shù)的單

2、調(diào)性的判定對(duì)于函數(shù)yf(u)和ug(x),如果函數(shù)ug(x)在區(qū)間(a,b)上具有單調(diào)性，當(dāng)xa,b時(shí)um,n,且函數(shù)yf(u)在區(qū)間(m,n)上也具有單調(diào)性，則復(fù)合函數(shù)yf(g(x)在區(qū)間a,b具有單調(diào)性。3 .由單調(diào)函數(shù)的四則運(yùn)算所得到的函數(shù)的單調(diào)性的判斷對(duì)于兩個(gè)單調(diào)函數(shù)f(x)和g(x),若它們的定義域分別為I和J,且IJ:(1)當(dāng)f(x)和g(x)具有相同的增減性時(shí)，F(xiàn)i(x)f(x)g(x)的增減性與f(x)相同，F(xiàn)z(x)f(x)g(x)、F3(x)f(x)g(x)、F,(x)f區(qū)(g(x)0)的增減性不能確定；g(x)(2)當(dāng)f(x)和g(x)具有相異的增減性時(shí)，我們假設(shè)f(x)

3、為增函數(shù)，g(x)為減函數(shù)，那么:Fi(x)f(x)g(x)、F2(x)f(x)g(x)、F4(x)fx)(g(x)0)、Fs(x)幽(f(x)0)的增減性g(x)f(x)不能確定：F3(x)f(x)g(x)為增函數(shù)。4.奇偶函數(shù)的單調(diào)性奇函數(shù)在其定義域內(nèi)的對(duì)稱區(qū)間上的單調(diào)性相同，偶函數(shù)在其定義域內(nèi)的對(duì)稱區(qū)間上的單調(diào)性相反。二、函數(shù)的對(duì)稱性函數(shù)的對(duì)稱性是函數(shù)的一個(gè)基本性質(zhì)，對(duì)稱關(guān)系不僅廣泛存在于數(shù)學(xué)問題之中，而且利用對(duì)稱性往往能夠更簡捷的使問題得到解決對(duì)稱關(guān)系同時(shí)還充分體現(xiàn)數(shù)學(xué)之美。1.函數(shù)yf(x)的圖象的對(duì)稱性(自身)：ab定理1:函數(shù)yf(x)的圖象關(guān)于直x對(duì)稱f(axf(bx)f(ab

4、x)f(x)特殊的有：函數(shù)yf(x)的圖象關(guān)于直線xa對(duì)稱f(ax)f(ax)f(2ax)f(x)。函數(shù)yf(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(偶函數(shù))f(x)f(x)。函數(shù)yf(xa)是偶函數(shù)f(x)關(guān)于xa對(duì)稱。定理2:函數(shù)yf(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a,b)對(duì)稱f(x)2bf(2ax)f(ax)f(ax)2b特殊的有：函數(shù)yf(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a,0)對(duì)稱f(x)f(2ax)。函數(shù)yf(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(奇函數(shù))f(x)f(x)o函數(shù)yf(xa)是奇函數(shù)f(x)關(guān)于點(diǎn)a,0對(duì)稱。定理3:(性質(zhì))若函數(shù)y=f(x)的圖像有兩條對(duì)稱軸x=a和x=b,(awb),那么f(x)為周期函數(shù)且2|a-b|

5、是它的一個(gè)周期。若函數(shù)y=f(x)的圖像有一個(gè)對(duì)稱中心M(m,n)和一條鉛直對(duì)稱軸x=a,那么f(x)為周期函數(shù)且4|a-m|為它的一個(gè)周期。若函數(shù)y=f(x)圖像同時(shí)關(guān)于點(diǎn)A(a©和點(diǎn)B(b©成中心對(duì)稱(awb),則y=f(x)是周期函數(shù)，且2|a-b|是其一個(gè)周期。若一個(gè)函數(shù)的反函數(shù)是它本身，那么它的圖像關(guān)于直線y=x對(duì)稱。2.兩個(gè)函數(shù)圖象的對(duì)稱性：函數(shù)yf(x)與函數(shù)yf(x)的圖象關(guān)于直線x0(即y軸)對(duì)稱.ab函數(shù)yf(mxa)與函數(shù)yf(bmx)的圖象關(guān)于直線x對(duì)稱.2m特殊地：yf(xa)與函數(shù)yf(ax)的圖象關(guān)于直線xa對(duì)稱函數(shù)yf(x)的圖象關(guān)于直線xa

6、對(duì)稱的解析式為yf(2ax)函數(shù)yf(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a,0)對(duì)稱的解析式為yf(2ax)函數(shù)y=f(x)與ax=f(ay)的圖像關(guān)于直線x+y=a成軸對(duì)稱。函數(shù)y=f(x)與x-a=f(y+a)的圖像關(guān)于直線xy=a成軸對(duì)稱。函數(shù)y=f(x)的圖像與x=f(y)的圖像關(guān)于直線x=y成軸對(duì)稱。三.奇偶函數(shù)性質(zhì)對(duì)于兩個(gè)具有奇偶性的函數(shù)f(x)和g(x),若它們的定義域分別為I和J,且IJ(1)滿足定義式子f ( x)f(x)(偶)f(x)f( x) 0 (奇)(2)在原點(diǎn)有定義的奇函數(shù)有f(0)0(3)當(dāng)f(x)和g(x)具有相同的奇偶性時(shí)，假設(shè)為奇函數(shù),那么：函數(shù)F1(x)f(x)g(x)、

7、F3(x)f(x)g(x)也為奇函數(shù);f(x);簡單地說：奇函數(shù)垃函數(shù)=奇函數(shù)，:偶函數(shù)土禺函數(shù)二偶函數(shù)，j奇函數(shù)X奇函數(shù)二偶函數(shù)，(偶函數(shù)X偶函數(shù)二偶函數(shù)，L奇函數(shù)居函數(shù).三奇函數(shù).F2(x)f(x)g(x)、F,(x)(-)(g(x)0)為偶函數(shù)；g(x)兩個(gè)偶函數(shù)之和、差、積、商為偶函數(shù)(4)當(dāng)f(x)和g(x)具有相異的奇偶性時(shí)，那么： Fi(x)f(x)g(x)、F3(x)f(x)g(x)的奇偶性不能確定; F2(x)f(x)g(x)、F4(x)山(g(x)0)、Fs(x)也(f(x)0)為奇函數(shù)。g(x)f(x)(5)常見的奇偶函數(shù)11(6)任息函數(shù)f(x)均可表不成一個(gè)前函數(shù)g(

8、x)-f(x)f(x)與一個(gè)偶函數(shù)h(x)-f(x)f(x)的和。22(7)一般的奇函數(shù)都具有反函數(shù)，且依然是奇函數(shù)，偶函數(shù)沒有反函數(shù)(8)圖形的對(duì)稱性關(guān)于y軸對(duì)稱的函數(shù)(偶函數(shù))關(guān)于原點(diǎn)0,0對(duì)稱的函數(shù)(奇函數(shù))(9)若f(x)是偶函數(shù)，則必有f(axb)f(axb)若f(x)是奇函數(shù)，則必有 f(ax b)f (ax b)(10)若f(axb)為偶函數(shù)，則必有f(axb)f(axb)若f(axb)是奇函數(shù)，則必有f(axb)f(axb)四、函數(shù)的周期性函數(shù)的周期性反映了函數(shù)的重復(fù)性，在試題中它的主要用途是將大值化小，負(fù)值化正，求值。1 .周期性的定義對(duì)于函數(shù)yf(x),如果存在一個(gè)非零常數(shù)

9、T,使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的每一個(gè)值時(shí)，都有f(xT)f(x)都成立，那么就把函數(shù)yf(x)叫做周期函數(shù)，非零常數(shù)T叫做這個(gè)函數(shù)的周期。如果所有的周期中存在著一個(gè)最小的正數(shù)，就把這個(gè)最小的正數(shù)叫做最小正周期。如果非零常數(shù)T是函數(shù)f(x)的周期，那么T、nT(nN)也是函數(shù)f(x)的周期。2 .函數(shù)的周期性的主要結(jié)論：結(jié)論1：如果f(xa)f(xb)(ab),那么f(x)是周期函數(shù)，其中一個(gè)周期Tab結(jié)論2：如果f(xa)f(xb)(ab),那么f(x)是周期函數(shù)，其中一個(gè)周期T2ab結(jié)論3：如果定義在R上的函數(shù)f(x)有兩條對(duì)稱軸xa、xb對(duì)稱，那么f(x)是周期函數(shù)，其中一個(gè)周期T2ab結(jié)論4：如果偶函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于直線xa(a0)對(duì)稱，那么f(x)是周期函數(shù)，其中一個(gè)周期T2a結(jié)論5：如果奇函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于直線xa(a0)對(duì)稱，那么f(x)是周期函數(shù)，其中一個(gè)周期T4a結(jié)論6：如果函數(shù)同時(shí)關(guān)于兩點(diǎn)a,c、b,c(ab)成中心對(duì)稱，那么f(x)是周期函數(shù)，其中一個(gè)周期T2ab結(jié)論7：如果奇函數(shù)f(x)關(guān)于點(diǎn)a,c(a0)成中心對(duì)稱，那么f(x)是周期函數(shù)，其中一個(gè)周期T2a結(jié)論8：如果函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)a,c(a0)成中心對(duì)稱，且關(guān)于直線xb(ab)成軸對(duì)稱，那么f(x)是周期函數(shù)，其中一個(gè)周期T4ab，人，e，1，1F，