機械能守恒問題也要分析過程

1、AB水平面為重力勢li，m2到C時斜機械能守恒問題也要分析過程 鄔鵬舉（市第一中學(xué)，市0i4040某參考資料中出現(xiàn)一道機械能守恒的計算題，原題及詳解如下： 一輕繩通過無摩擦的定滑輪和在傾角為300角的光滑斜面上的物體mi連接，另一端和套在光滑豎直桿上的物體m2連接，設(shè)定滑輪到豎直桿距離為3m，又知物體 m2由靜止從 AB連接為水平位置開始下滑im時，mi和m2受力恰平衡，如圖所示 .（g=i0m/s 2） 求：（i） m2下滑過程中的最大速度；（2） m2沿豎直桿能夠下滑的最大距離。原題解析：（i ） mi、m2與地組成的系統(tǒng)的機械能守恒，物 體m2由靜止開始先做加速度不斷減小的加速運動，當加

2、速度減小到零時，隨后m2向下做加速度不斷增大的減速運動，速度為零時，m2下滑到最大距離。選取能零勢面，設(shè) m2的最大速度為 Vm。對m2從B到C的過程中，設(shè)開始時斜面上繩長為 面上繩長為12，由機械能守恒定律：0 i 2 i 20（ i ）miglisin30miVim2Vm m2gh migl2 sin302 2設(shè)/ ACB=，tan = 3，=60 0，貝U Vi = Vm cos =0.5 Vm ，（ 2）AC AB (2 . 3)m ，( 3)再根據(jù)mi、m2此時受力平衡，可知繩子拉力:Tcos =m2g，T=migsin ，所以 m2=0.25 m i。(4)將(2 ) (3 )（4

3、）代入（1 ）式，整理得：Vm2(2.3 3)2.15m/s。（2）設(shè)m2沿豎直桿能夠下滑的最大距離為H，設(shè)此時斜面上繩長為13，m1gli s in 30°m2gH mgl3s in30 0，又li l3 H2 33，代入上式解得則由機械能守恒定律：Hm 2.3im3評析：此題的確為一道典型的機械能守恒問題，但卻是一道過程很復(fù)雜的題目，題目中提到m2下落i米時mi、m2都平衡，意味著在此時刻 mi和m2同時達到最大速度， 否則必然存在一個物體有加速度而 另一個物體加速度為零的情況。但是實際運動的情況是否如題中分析呢？我們可以做如下推導(dǎo)：因為運動過程中機械能守恒，所以m2減少的重力勢

4、能等于 mi增加的重力勢能和 mi與m2各自增加的動能。由此可列方程如下：Sin30 0，其中 Vi V2，h2 3h_，代入左式得:m2gh imivi2 im2v22 mig( h2 33)V2i2m2gh 2mig( h2 33)sin30 0.h2h23 m2按題目中所給條件 m i=4 m 2的結(jié)論 代入結(jié)果中，并以 h為橫坐標、vi和V2 為縱坐標作函數(shù)圖象如圖 1 （注：本文所 有數(shù)據(jù)圖中的單位都統(tǒng)一如下：時間（妙）、高度位移（米）、加速度（米每二 次方秒）。從圖上可以看出 mi和m2并不是同h32m2gh 2mg(3 J3)si n30h2U 32 2時達到最大速度，意味著題干

5、中mi和m2同時平衡的假設(shè)是不成立的。為了更進一步了解系統(tǒng)運動過程的詳細情況，即運動物體的各個物理量（位移、速度、加速度）隨時間的變化情況，我們用微分方程來列 一下本題中的運動情景。本題中兩個物體都是受完整約束的有勢系，因此可以用完整有勢系的拉格朗日方 程來表示，我們以 m2運動位移h作為廣義坐標，AB平面為重力勢能零勢面，拉格朗日函數(shù)可表示如下:g2g22、.仁.廠,.厶LTV-m2hImih廠m2ghEpmmig(h3, 3)s in30°，Ep m1 為 mi 的初態(tài)重力勢能。寫22 h 3出拉格朗日方程:dt hL °，把L的表達式代入得:hgg gg h2m, h

6、 g h h2 3g2m1 h3h2 2(h2 3)2gg0，同樣把m i =4 m 2的結(jié)論代入左式，并使用Matlab數(shù)值求解微分方程， 可分別求得h隨時間 的變化，h的一階導(dǎo)數(shù)（m2速度V2）、二階導(dǎo)數(shù)（m2 加速度a2）隨時間的變化情況，此時m1的速度w w h ;對m 1和m2分析受力可知，m1的加 v1 v2Jh 3速度m2g m2a2 . h2 30，以時間為橫a1 g sin30m1h軸，其余變量為縱軸作圖，如圖2、圖3。由圖像可以看出 m1的確比m2晚達到最大速度， 且它們的加速度變化情況也不相同。利用Matlab數(shù)值解微分方程特點，分別計算了m1、m2速度、m“m2加速度隨

7、下降高度的變化情況，如圖4。從圖4也可以看出 m1、m2的確不能同時達到最 大速度。由以上幾幅數(shù)據(jù)圖可以看出，m1、m2、滑輪、且二者存在一定的相位差，它們不能同時達到最大速度。(圈2)沁下熬陽胃 度斜面組成的系統(tǒng)中的兩個物體實際做周期性振動,I|6 4 2 0一一曲加謹度 一耐加連度m2下蓿高虔圖們 8 & 4對第（2 ）問分析，m 2沿豎直桿能夠下滑最大距離時速度為零，因此沿繩方向的分運動一定也為零， 此時m1和m2同時速度為零。從 m1和m2的速度位移圖（圖 4）中我們也能夠看到這個結(jié)論，此時位移為2.31m，因此第（2）各問題的研究過程是符合實際運動過程的，因此使用機械能守恒定律就能夠 得到正確的結(jié)果。通過以上分析，我們得出這樣一個結(jié)論