函數(shù)恒成立能成立問題及課后練習(xí)(含答案)

1、如文檔對(duì)你有用，請(qǐng)下載支持!恒成立、能成立問題專題一、基礎(chǔ)理論回顧1、恒成立問題的轉(zhuǎn)化：af(x)恒成立=a、f(x*ax;a<f(x)恒成立.a«f(x%in2、能成立問題的轉(zhuǎn)化：af(x)能成立二af(xKn；aEf(x陛成立=2£“*濡3、恰成立問題的轉(zhuǎn)化：a>fX在M上恰成立之a(chǎn)>f)x的解集為fa>f(x在M上恒成立M：二一a<f(x盧CRM上恒成立另一轉(zhuǎn)化方法：若xwD,f(x)2A在D上恰成立，等價(jià)于f(x)在D上的最小值fmin(x)=A,若x=D,f(x)<B在D上恰成立，則等價(jià)于f(x)在D上的最大值fmax(x)=B

2、.4、設(shè)函數(shù)f(x卜g(x),對(duì)任意的xiwa,b】，存在x2wb,d，使得f(ximgN),則fminx-gminx5、設(shè)函數(shù)f(x)、g(x),對(duì)任意的毛乞,，存在x2wb,d，使得f(x1g(x2),則fmaxx-gmaxx6、設(shè)函數(shù)f(x卜g(x),存在XiWa,b1存在x2WC,d，使得f僅1)之g(x2),則fmx(x戶gm,(x)7、設(shè)函數(shù)f(x)、g(x),存在Xiwa,b】，存在X2wC,d，使彳#f(XiAg“2),則(x)gma<(x)8、若不等式f(x)>g(x)在區(qū)間D上包成立，等價(jià)于在區(qū)間D上函數(shù)y=f(x)和圖象在函數(shù)y=g(x)圖象上方；9、若不等式

3、f(x)<g(x)在區(qū)間D上包成立，等價(jià)于在區(qū)間D上函數(shù)y=f(x)和圖象在函數(shù)y=g(x)圖象下方;二、經(jīng)典題型解析題型一、簡(jiǎn)單型例1、已知函數(shù)f(x)=x22ax+1,g(x)=a,其中a>0,x=0.x1)對(duì)任意xw1,2,都有f(x)>g(x)包成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(構(gòu)造新函數(shù))2)對(duì)任意x1可1,2«2可2,4,都有f(x1)>g(x2)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(轉(zhuǎn)化)3 3簡(jiǎn)解：(1)由x2-2ax+1-a>0=aM成立，只需滿足穴x)=上廣的最小值大于a即x2x212x214 2.32xx1可.對(duì)文x)=2求導(dǎo)，b(x)=2x2x

4、21>0,故中(x)在xw1,2是增函數(shù)，2x21(2x21)22 2中mi(nx)=9(1)=,所以a的取值范圍是0<a<2.3 3a.一、1.1例2、設(shè)函數(shù)h(x)=+x+b,對(duì)任意a,2,都有h(x)410在xw,1恒成立，求實(shí)數(shù)b的x24范圍.分析：思路、解決雙參數(shù)問題一般是先解決一個(gè)參數(shù)，再處理另一個(gè)參數(shù).以本題為例,實(shí)質(zhì)還是通過函數(shù)求最值解決.方法1:化歸最值，h(x)E10Uhmax(x)<10；方法2:變量分離，bM10_(a+x)或aMx2+(10b)x；x11萬法3:變更王兀(新函數(shù)),5(a)=a+x+b10E0,a-,2x2簡(jiǎn)解：方法1：對(duì)a求導(dǎo)

5、，h(x)=1-4=(x-"a)2x"a),(單調(diào)函數(shù))h(x)二一xbxxx,1.1.由此可知，h(x)在-,1上的最大值為h(一)與h(1)中的較大者.441139h(-)<104ab<：10b4a17二個(gè)/-10=4b-10=f-44a，對(duì)于任意a*,2,得b的取值范圍是b".h(1)二101abM10bM9-a24例3、已知兩函數(shù)f(x)=x2,g(x)=j-m,對(duì)任意xj0,2，存在*2乏1,2，使得2f(x1)Ng%),則實(shí)數(shù)m的取值范圍為答-1案：m-4題型二、更換主元和換元法例1、已知函數(shù)f(x)=ln(ex+a)(a為常數(shù))是實(shí)數(shù)集R

6、上的奇函數(shù)，函數(shù)g(x尸?j(x)+sinx是區(qū)問口,1上的減函數(shù)，(I)求a的值；(H)若g(x)Mt2+1在xW-1,1上包成立，求t的取值范圍；(R)分析：在不等式中出現(xiàn)了兩個(gè)字母：九及t,關(guān)鍵在于該把哪個(gè)字母看成是一個(gè)變量，另一個(gè)作為常數(shù)。顯然可將久視作自變量，則上述問題即可轉(zhuǎn)化為在(q，-1內(nèi)關(guān)于九的一次函數(shù)大于等于0包成立的問題。(H)略解：由(I)知：f(x)=x,.g(x)=zx+sinx,g(x)在口1,1上單調(diào)遞減，.g(x)厘+cox<0九M_cosx在，1上恒成立，:.九w1b(x)max=g(-1壯右一si,n.只需4Tin1t2+Jt+1,(t+1)九五2+s

7、in1+10(其中九£_1)恒成立，由上述結(jié)論：可令心尸"次正.心一則力一二十鴛不:黑a，而J+sin色0a成立，J.t三10例2、已知二次函數(shù)f(x)=ax2+x+1對(duì)xwb,2何有f(x)0,求a的取值范圍。解：又tx三0,2恒有f(x)a0即ax2十x+1a0變形為ax2>-(x+1)當(dāng)x=0時(shí)對(duì)任意的a者B滿足f(x)>0只須考慮x#0的情況a>(x2+1)即a>-1-4要滿足題意只要保證a比右邊的最大值大就行。xxx現(xiàn)求1在xW(0,2】上的最大值。令t=1-tA1g(t)=-t2-t=-(t+-)2+-(t>-)xxx2242133

8、g(t)max=g(二)=-所以a-2443又f(x)=ax2+x+1是二次函數(shù)，a#0所以aa-3且a#04例3、對(duì)于?f足0EaE4的所有實(shí)數(shù)a求使不等式x2+ax>4x+a-3都成立的x的取值范圍答案：x<-1或x>3題型三、分離參數(shù)法(欲求某個(gè)參數(shù)的范圍，就把這個(gè)參數(shù)分離出來)此類問題可把要求的參變量分離出來，單獨(dú)放在不等式的一側(cè)，將另一側(cè)看成新函數(shù)，于是將問題轉(zhuǎn)化成新函數(shù)的最值問題：若對(duì)于x取值范圍內(nèi)的任一個(gè)數(shù)都有f(x)*g(a)包成立，則g(a)«f(x)min；若對(duì)于X取值范圍內(nèi)的任一個(gè)數(shù)都有f(x)«g(a)恒成立,則g(a)>f(

9、x)max.例1、當(dāng)xW(1,2)時(shí)，不等式x2+mx+4<0恒成立，則m的取值范圍是L解析：當(dāng)x(1,2)時(shí)，由x2+mx+4<0得m<.二m<-5.x例2、已知函數(shù)f(x)=ln(ex+a)(a為常數(shù))是實(shí)數(shù)集R上的奇函數(shù)，函數(shù)g(x)=ilx-cosx在區(qū)間白胃上是減函數(shù).(I)求a的值與人的范圍；(H)若對(duì)(I)中的任意實(shí)數(shù)人都有g(shù)(x)1在.匚，至上包成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍.一33(田)若m>0,試討論關(guān)于x的方程nx=x22ex+m的根的個(gè)數(shù).f(x)解：(I)、(田)略(H)由題意知，函數(shù)g(x)=M-cosx在區(qū)間J,"上是減函數(shù).,3

10、3g(x)max=g(R3P2,g(x)"I在匕(>恒成立£"一汗一1題型四、數(shù)形結(jié)合(包成立問題與二次函數(shù)聯(lián)系(零點(diǎn)、根的分布法)例1、若對(duì)任意xwR,不等式|xRax包成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是解析:對(duì)VxwR,不等式|x|之a(chǎn)x恒成立、則由一次函數(shù)性質(zhì)及圖像知-IWaWl,即-iWaMl。例2、不等式axE%；x(4-x)在xw0,3內(nèi)恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍。解：畫出兩個(gè)曲數(shù)y=ax和y=Sx(4x)在xW0,3上的圖象如圖知當(dāng)x=3時(shí)y="3,當(dāng)春3x0,3時(shí)總有ax < <x(4-x)所以a < 3，若不等式f (x

11、) 22x-m恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范3x6,x-2例4、已知函數(shù)y=f(x)=W6-3x,x-2圍是.解：在同一個(gè)平面直角坐標(biāo)系中分別作出函數(shù)；/y=2x-m®y=f(x)的圖象，由于不等式f(x)22x-m恒成立，所以函數(shù)y=2x-m的圖象應(yīng)總在函數(shù)y=f(x)的圖象下方，因此，當(dāng)x=-2時(shí)，y=Y-mW0,所以m之T,故m的取值范圍是-4,+=°).題型五、其它(最值)處理方法若在區(qū)間D上存在實(shí)數(shù)x使不等式f(x)>A成立，則等價(jià)于在區(qū)間D上f(x)maxA；若在區(qū)間D上存在實(shí)數(shù)x使不等式f(x)<B成立，則等價(jià)于在區(qū)間D上的f(xin<B.利用不等

12、式性質(zhì)1、存在實(shí)數(shù)x,使得不等式|x+3+|x-1Ma23a有解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為。解：設(shè)f(x)=x+3|寸x，由f卜Ha2一3a有解，=a=afxn,又x叫+x-1>|(x3HxTb=4,a2-3a之4,解得a之4或aW102、若關(guān)于x的不等式x-2+x+3之a(chǎn)恒成立，試求a的范圍解：由題意知只須a比x-2+|x+3的最小值相同或比其最小值小即可，得aw(x-2+x+3)min由x2+x+33x2(x+3)=5所以a45利用分類討論1、已知函數(shù)f(x)=x2-2ax+4在區(qū)間-1,2上都不小于2,求a的值。解：由函數(shù)f(x)=x22ax+4的對(duì)稱軸為x=a所以必須考察a與-1,2

13、的大小，顯然要進(jìn)行三種分類討論1) .當(dāng)a之2時(shí)f(x)在-1,2上是減函數(shù)此時(shí)f(x)min=f(2)=4-4a+4<2即a之3結(jié)合a2,所以a之22) .當(dāng)aT時(shí)f(x)在-1,2上是增函數(shù)，止匕時(shí)f(-1)=1+2a+4«23f(x)min=f(-1)=1+2a+4w2結(jié)合aw一1IPa<-3) .當(dāng)-1<a<2時(shí)f(x)min=f(a)=x2-2a2+4<2即a272或aW-72所以22<a<2綜上1,2,3滿足條件的a的范圍為：aw3或a2/22利用導(dǎo)數(shù)迂回處理1 .1、已知f(x)=lg(x+1)g(x)=lg(2x+t)右當(dāng)XW

14、0,1時(shí)f(x)«g(x)在0,1恒成立,求頭數(shù)2t的取值范圍解：f(x)Eg(x)在0,1上恒成立，即J。？-2x-tM0在0,1上恒成立即a/x干-2x-1E0在0,1上的最大值小于或等于0令F(x)=v7+1-2x-t所以F'(x)=2=上學(xué)三口，又xW0,1所以F'(x)<0即F(x)在0,1上單調(diào)遞減2、x12.x1所以F(x)max=F(0),即F(x)MF(0)=1tM0得t之12、已知函數(shù)f(x)=lnx-；ax2-2x(a*0)存在單調(diào)遞減區(qū)間，求a的取值范圍.2解：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)存在單調(diào)遞減區(qū)間，所以f'(x=1-ax-2=-&qu

15、ot;ax2x-1:0xx-12八，、12(0,+°°)有解.即a(x=(0,+o0)能成立,設(shè)u(x)=7-.x2xx2x由u(x)=4-2=Q-1I-1得，umin(x)=一1.于是，a>-1,x2xx由題設(shè)a#0,所以a的取值范圍是(-1,0P(0,)3、已知函數(shù)f(x)=x(lnx+m),g(x)=ax3+x.3(I)當(dāng)m=2時(shí)，求f(x)的單調(diào)區(qū)間；3.(H)6m=-時(shí)，不等式g(x)Af(x)包成立求頭數(shù)a的取值沱圍.2解：(I)略3ao3(H)當(dāng)m=一時(shí)，不等式g(x)>f(x)即一x+x之x(lnx+-)恒成立.由于x>0,23211a 2

16、3-x +1 之In x + , 32a13(lx)3(lnx)亦即一x2之Inx+一，所以a之2-2-.令h(x)=2-2-,則32x2x2hx)=63rx,由h<x)=0得x=1.且當(dāng)0cx<1時(shí)，h'(x)a0;當(dāng)x>1時(shí)，h'(x)<0,即h(x)在x3(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,y)上單調(diào)遞減，所以h(x)在x=1處取得極大值h(1)=-,也就是函數(shù)213(lnx)3h(x)在定義域上的最大值.因此要使a2包成立，需要a>-,所以a的取值范圍為x22注：包成立問題多與參數(shù)的取值范圍問題聯(lián)系在一起，是近幾年高考的一個(gè)熱門題型，往往與函數(shù)的

17、單調(diào)性、極值、最值等有關(guān)。小結(jié)：包成立與有解的區(qū)別:不等式f(x)<M對(duì)xWl時(shí)恒成立ufmax(x)<M?,xWl。即f(x)的上界小于或等于M;不等式f(x)<M對(duì)xwi時(shí)有解=fmin(x)<M?,xWl?；騠(x)的下界小于或等于M;不等式f(x)>M對(duì)xWl時(shí)恒成立。fmin(x)AM?,xWl。即f(x)的下界大于或等于M;不等式)加對(duì)*"時(shí)有解。fmax(x)M,xl.0或f(x)的上界大于或等于M;三、包成立、能成立問題專題練習(xí)23,21、已知兩函數(shù)f(x)=7x_28x_c,g(x)=2x+4x-40x0(1)對(duì)任意xWH3,都有f(x

18、Ag(x成立，求實(shí)數(shù)c的取值范圍；(2)存在xwk,3,使f(x)Eg(x)成立，求實(shí)數(shù)c的取值范圍；(3)對(duì)任意入出三口,3,都有f(x1)0),求實(shí)數(shù)c的取值范圍；(4)存在XW3,都有f恪盧g02),求實(shí)數(shù)c的取值范圍；2、設(shè)a>1,若對(duì)于任意的xqa,2a,者B有ywa,a2滿足方程logax十logay=3,這時(shí)a的取值集合為()(A)a|1<a<2(B)a|a之2(C)a|2<a<3(D)2,3x-y_03、若任意滿足<x+y-5"的實(shí)數(shù)x,y,不等式a(x2+y2)E(x+y)2恒成立，則實(shí)數(shù)a的最大值y-3<0是.4、不等式s

19、in2x_4sinx+1a父0有解，貝a的取值范圍是5、不等式axW業(yè)(4-x)在xw10,3】?jī)?nèi)恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍。13226、設(shè)函數(shù)f(x)=-x+2ax-3ax+b(0<a<1,bWR).3(I)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值；(II)若對(duì)任意的xa+1,a+2,不等式f'(x)Ea成立，求a的取值范圍。7、已知A、B、C是直線上的三點(diǎn)，向量OA,OB,OC滿足：OA-1+2f'(NOB+ln(x+1>oC=0.(1)求函數(shù)y=f(x)的表達(dá)式；2x(2)若x>0,證明：f(x)>x+2；(3)若不等式lx2fx2)+m2-2bm-3

20、時(shí)，xwL1,1及bw匚1,1】都何成立求實(shí)數(shù)m的取值2范圍8、設(shè)f(x)=pxq_2lnx,且f(e)=qe_E_2(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))xe(I)求p與q的關(guān)系；。I)若f(x而其定義域內(nèi)為單調(diào)函數(shù)，求p的取值范圍；(III)設(shè)g(xb竺，若在1,e上至少存在一點(diǎn)xo,使得f(x°)>g(x0)成立，求實(shí)數(shù)p的取值范圍.x如文檔對(duì)你有用，請(qǐng)下載支持!課后作業(yè)答案：1、解析：(1)設(shè)h(X)=g(xLf(x)=2x3_3x2_12x4c，問題轉(zhuǎn)化為XW_3,3時(shí)，h(x/0恒成立,故in仆戶00令hx)=6x25a -1 y33、答案：解析：由不等式a(x2+y2)E(x +

21、 y)2可得/十工，由線性規(guī)劃可得11"。-6x_12=6(x+1Jx_2尸0,得x=1或2。由導(dǎo)數(shù)知識(shí)，可知h(x)在W單調(diào)遞增,在口,2單調(diào)遞減，在12,3單調(diào)遞增，且h(4)=c_45,h(x異值=h(-1/+7,h(x卜值=h(2)=c20,h(3)=c9,hmin(x尸h(口產(chǎn)U5,由c口5之0,得c>45。(2)據(jù)題意：存在xW口3,使f(xAg(x)成立，即為：h(x戶g(x)_f(x0在xWY13x 2有解，故hmax09,由(1)知Max0尸c十7至0,于是得c>-70(3)它與(1)問雖然都是不等式包成立問題，但卻有很大的區(qū)別，對(duì)任意式.亡匕3,都有f

22、(x1Hg作)成立，不等式的左右兩端函數(shù)的自變量不同，x、x2的取值在匕,3上具有任意性，要使不等式包成立的充要條件是：fmax(x)_gmi(x?x.£3,3=fx：l7x-22-c-28,x.I-3,3.-.f(x)ax=f(7)=147Y,g,(x產(chǎn)x248xK0=2(3x+10x2),.g”產(chǎn)0在區(qū)間4,3上只有一個(gè)解x=20g(xjin=g(2尸Y8,147cT8,即c心95.(4)存在治2乞3,3,都有f(x1)Wg(x2),等價(jià)于3(乂后g(maX,由(3)得fmin僅1)=f(2)=-c-28,gmaxd)=g(-3)=102,y-28M102nc"130點(diǎn)

23、評(píng)：本題的三個(gè)小題，表面形式非常相似，究其本質(zhì)卻大相徑庭，應(yīng)認(rèn)真審題，深入思考，多加訓(xùn)練，準(zhǔn)確使用其成立的充要條件。3232、Bo解析：由方程1。92*+1。92丫=3可得丫=邑，對(duì)于任意的xa,2a,可得里=2力2,x2x2aIa<：依題意彳322=a之2。a2-a2如文檔對(duì)你有用，請(qǐng)下載支持!+ °0)(4 分)(7分)4、解：原不等式有解=a>sin2x_4sinx+1曾sinx_句_3(_1WsinxW1有解，而x2j31in=-2,5、解：畫出兩個(gè)曲數(shù)y=ax和y=Jx(4-x)在xw0,3上的圖象如圖知當(dāng)*=3時(shí)丫=，3，a=3當(dāng)aw手，xw10,3時(shí)總有ax

24、wjx(4-x)所以aw*6、解：(I)fx)=-x2+4ax-3a2(1分)令令x)>0,得f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(a,3a)令f'(x)<0,得f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(一8，a)和(3a,當(dāng)x=a時(shí)，f(x)極小值=3a3+b;4當(dāng)x=3a時(shí)，f(x)極小值=b.(6分)(H)由|f'(x)|<a,得一awx2+4ax3a2wa.0<a<1,a+1>2a.f(x)=x2+4ax3a2在a+1,a+2上是減函數(shù).(9分)f(x)max=f(a1)=2a-1.f(x)min=f(a2)=4a-4.于是，對(duì)任意xWa+1,a+2,不等式包成

25、立，等價(jià)于4又0<a<1,.一<a<1.57、解：(1)OAy+2f/(1)ObT+ln(x+1)OC=0,.oA=y+2f/(1)OBTln(x+1)OC由于A、B、C三點(diǎn)共線即y+2f/(1)+ln(x+1)=12分.y=f(x)=ln(x+1)+12f/(1)11f/(x)=xn，得f/(1)=2,故f(x)=ln(x+1)4分2x12(x+2)2xx2(2)g(x)=f(x)x+2，由g/(x)=x+1(x+2)2=(x+1)(x+2)2.x>0,.g/(x)>0,，g(x)在(0,+8)上是增函數(shù)6分故g(x)>g(0)=02x即f(x)>xT28分1(3)原不等式等價(jià)于2x2f(x2)&m22bm3112xx3-x令h(x)=2x2f(x2)=2x2ln(1+x2),由h/(x)=x1x2=110分當(dāng)xC1,1時(shí)，h(x)max=0,m22bm3>0:Q(1)=m2-2m-3>0令Q(b)=m22bm3,則Q(1)=