彈性變形與塑性變形

1、一、彈性和塑性的概念可變形固體在外力作用下將發(fā)生變形。根據(jù)變形的特點(diǎn)，固體在受力過程中的力學(xué)行為可 分為兩個(gè)明顯不同的階段：當(dāng)外力小于某一限值（通常稱之為彈性極限荷載）時(shí)，在引起變形的外力卸除后，固體能完全恢復(fù)原來的形狀，這種能恢復(fù)的變形稱為彈性變形，固體只產(chǎn)生彈性變形的階段稱為 彈性階段；當(dāng)外力一旦超過彈性極限荷載時(shí)，這時(shí)再卸除荷載，固體 也不能恢復(fù)原狀，其中有一部分不能消失的變形被保留下來，這種保留下來的永久變形就稱 為塑性變形，這一階段稱為 塑性階段。根據(jù)上述固體受力變形的特點(diǎn)，所謂 彈性，就定義為固體在去掉外力后恢復(fù)原來形狀的性 質(zhì)；而所謂塑性，則定義為在去掉外力后不能恢復(fù)原來形狀的性

2、質(zhì)?！皬椥裕‥lasticity ）”和“塑性（Plasticity ） ”是可變形固體的基本屬性，兩者的主要區(qū)別在于以下兩個(gè)方面：1）變形是否可恢復(fù)：彈性變形是可以完全恢復(fù)的，即彈性變形過程是一個(gè)可逆的過程；塑性 變形則是不可恢復(fù)的，塑性變形過程是一個(gè)不可逆的過程。2） 應(yīng)力和應(yīng)變之間是否一一對(duì)應(yīng):在彈性階段，應(yīng)力和應(yīng)變之間存在對(duì)應(yīng)的單值函數(shù)關(guān) 系，而且通常還假設(shè)是線性關(guān)系；在塑性階段，應(yīng)力和應(yīng)變之間通常不存在一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系， 而且是非線性關(guān)系（這種非線性稱為物理非線性）。工程中，常把脆性和韌性也作為一對(duì)概念來講，它們之間的區(qū)別在于固體破壞時(shí)的變形大 小，若變形很小就破壞，這種性質(zhì)稱為脆性；

3、能夠經(jīng)受很大變形才破壞的，稱為韌性或延性。 通常，脆性固體的塑性變形能力差，而韌性固體的塑性變形能力強(qiáng)。二、彈塑性力學(xué)的研究對(duì)象及其簡(jiǎn)化模型彈塑性力學(xué)是固體力學(xué)的一個(gè)分支學(xué)科，它由彈性理論和塑性理論組成。彈性理論研究理想 彈性體在彈性階段的力學(xué)問題，塑性理論研究經(jīng)過抽象處理后的可變形固體在塑性階段的力 學(xué)問題。因此，彈塑性力學(xué)就是研究經(jīng)過抽象化的可變形固體，從彈性階段到塑性階段、直 至最后破壞的整個(gè)過程的力學(xué)問題。構(gòu)成實(shí)際固體的材料種類很多，它們的性質(zhì)各有差異，為便于研究，往往根據(jù)材料的主要性 質(zhì)做出某些假設(shè)，忽略一些次要因素，將它抽象為理想的“模型”。在彈性理論中，實(shí)際固 體即被抽象為所謂的

4、“理想彈性體”，它是一個(gè)近似于真實(shí)固體的簡(jiǎn)化模型?！袄硐霃椥浴钡奶?征是：在一定的溫度下，應(yīng)力和應(yīng)變之間存在一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，而且與加載過程無關(guān)，與時(shí) 間無關(guān)。在塑性理論中，由于實(shí)際固體材料在塑性階段的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系過于復(fù)雜，若采用它進(jìn)行理論 研究和計(jì)算都非常復(fù)雜，因此，同樣需要進(jìn)行簡(jiǎn)化處理。常用的簡(jiǎn)化模型可分為兩類，即 理 想塑性模型和強(qiáng)化模型。1 理想塑性模型在單向應(yīng)力狀態(tài)下，理想塑性模型的特征如圖 0.1所示。理想塑性模型又分為 理想彈塑性 模型和理想剛塑性模型。當(dāng)所研究的問題具有明顯的彈性變形時(shí)，常采用理想彈塑性模型。 在總變形較大、而且彈性變形部分遠(yuǎn)小于塑性變形部分時(shí)，為簡(jiǎn)化計(jì)算，常常

5、忽略彈性變形 部分，而采用理想剛塑性模型；另外，在計(jì)算結(jié)構(gòu)塑性極限荷載時(shí)，也常采用理想剛塑性模 型。2強(qiáng)化模型在單向應(yīng)力狀態(tài)下，強(qiáng)化模型的特征如圖0.2所示。強(qiáng)化模型又分為線性強(qiáng)化彈塑性模型、 線性強(qiáng)化剛塑性模型 和幕次強(qiáng)化模型 三種。 = £與爲(wèi)& 莓)銭性強(qiáng)化剛塑性模型圖02強(qiáng)化模型b =込(刃耳幾0簽圧1(c)幕次強(qiáng)化模型以上介紹的塑性簡(jiǎn)化模型僅僅是材料在單向應(yīng)力狀態(tài)下的情況，在二維和三維復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下，塑性模型就要復(fù)雜得多了，有關(guān)這方面的概念，將在第三章中介紹。由于在土木工程 實(shí)踐中，理想塑性模型應(yīng)用較多，所以，本書在介紹與塑性理論相關(guān)的內(nèi)容時(shí)，基本都采用 了這個(gè)簡(jiǎn)化

6、模型。三、基本假定彈塑性力學(xué)是一門力學(xué)學(xué)科，所以，由牛頓最早總結(jié)出，其后又由拉格朗日(Lagrange)和哈米爾頓(Hamilton )等發(fā)展了的力學(xué)的一般原理在這里仍然有效，而且是構(gòu)成它的理論體系的基石。但除此而外，它還包含有新的內(nèi)容，這主要是以下幾個(gè)基本假定：1 連續(xù)性假定所謂連續(xù)性假定，是指將可變形固體視為連續(xù)密實(shí)的物體，即組成固體的質(zhì)點(diǎn)無空隙地充滿整個(gè)物體空間。任何物體都是由原子分子組成的。對(duì)于固體來講，還由于整個(gè)固體由許多 結(jié)晶顆粒組成，從而更增加了固體的不連續(xù)性。所以，仔細(xì)推敲起來，這個(gè)假設(shè)與實(shí)際情況 是不相符合的。但如果研究的是固體的宏觀力學(xué)性態(tài)，則所研究的每個(gè)微小單位實(shí)際上不僅

7、 包含有相當(dāng)多的原子、分子，而且還包含有相當(dāng)多的晶體，這時(shí)物體便可以認(rèn)為是“連續(xù)的” 了。可見，連續(xù)性假定是在一定條件下對(duì)客觀事物的一個(gè)近似。從這一假定出發(fā)進(jìn)行的力學(xué) 分析，得到的結(jié)果已被廣泛的實(shí)驗(yàn)和工程實(shí)踐證明是正確的。根據(jù)連續(xù)性假定，固體內(nèi)部任何一點(diǎn)的力學(xué)性質(zhì)都是連續(xù)的，例如密度、應(yīng)力、位移和應(yīng)變等，就可以用坐標(biāo)的連續(xù)函數(shù)來表示（因而相應(yīng)地被稱為 密度場(chǎng)、應(yīng)力場(chǎng)、位移場(chǎng)和應(yīng)變 場(chǎng)等），而且變形后物體上的質(zhì)點(diǎn)與變形前物體上的質(zhì)點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)的。有了連續(xù)性假定，在進(jìn)行彈塑性力學(xué)分析時(shí)，就可以利用基于連續(xù)函數(shù)的一系列數(shù)學(xué)工具，避免了數(shù)學(xué)上的極大 困難。2 均勻性假定所謂均勻性假定，即認(rèn)為所研究的可

8、變形固體是由同一類型的均勻材料所構(gòu)成的，因此， 其各部分的物理性質(zhì)都是相同的，并不因坐標(biāo)位置的變化而變化。例如，固體內(nèi)各點(diǎn)的彈性 性質(zhì)都相同。根據(jù)均勻性假定，在研究問題的時(shí)候，就可以從固體中取出任一單元來進(jìn)行分 析，然后將分析的結(jié)果用于整個(gè)物體。3 各向同性假定所謂各向同性，即假定可變形固體內(nèi)部任意一點(diǎn)在各個(gè)方向上都具有相同的物理性質(zhì)，因 而，其彈性常數(shù)不隨坐標(biāo)方向的改變而改變。實(shí)際上，有不少固體材料不具有這種性質(zhì)，例如木材、竹材、纖維增強(qiáng)復(fù)合材料等，但這類材料不在本書討論范圍之內(nèi)。此外，各向同性 假定也僅僅應(yīng)用于彈性階段，即使是初始各向同性的固體，在進(jìn)入塑性階段后，也成為各向 異性的。4.

9、小變形假定所謂小變形假定，即假定固體在外部因素（外力、溫度變化等）作用下所產(chǎn)生的變形，遠(yuǎn) 小于其自身的幾何尺寸。根據(jù)小變形假定，可以不考慮因變形引起的固體的尺寸變化，而采 用變形前的幾何尺寸來代替變形后的尺寸，使得問題大為簡(jiǎn)化。例如，在研究物體的平衡時(shí)， 可不考慮由于變形所引起的物體尺寸和位置的變化；在建立應(yīng)變和位移之間的關(guān)系時(shí)，就可 以略去幾何方程中的二階小量等，使基本方程線性化。5. 無初應(yīng)力假定假定所研究的可變形固體初始處于自然狀態(tài)，即在外部因素（外力、溫度變化等）作用之 前，其內(nèi)部是沒有應(yīng)力的。這個(gè)假定僅僅為了表述簡(jiǎn)便而引進(jìn)的，若固體內(nèi)有初應(yīng)力存在， 則在外部因素（外力、溫度變化等）作

10、用時(shí)，其內(nèi)部實(shí)際存在的應(yīng)力即等于初應(yīng)力加上外部 因素作用所產(chǎn)生的應(yīng)力。以上假定是本書所討論的問題的基礎(chǔ)。此外，本書還不考慮固體與時(shí)間有關(guān)的力學(xué)性質(zhì)如 粘性等；同時(shí)，也不考慮固體在外力作用下的動(dòng)力效應(yīng)，即假設(shè)外力作用過程是一個(gè)緩慢的 加載過程，在這個(gè)過程中，慣性力效應(yīng)可以忽略不計(jì)（這樣的加載過程稱為準(zhǔn)靜態(tài)加載過程）。四、彈塑性力學(xué)問題的研究方法彈塑性力學(xué)作為固體力學(xué)的一個(gè)獨(dú)立的分支學(xué)科，已有一百多年的歷史。它源于生產(chǎn)實(shí)踐, 反過來又直接為生產(chǎn)實(shí)踐服務(wù)。彈塑性力學(xué)雖然是一門古老的學(xué)科，但在土木、機(jī)械、水利、 航空、材料等工程領(lǐng)域，隨著新材料、新結(jié)構(gòu)和新技術(shù)的不斷發(fā)展，實(shí)踐又給它提出了越來 越多新的

11、理論問題和工程應(yīng)用問題，使這門古老的學(xué)科處于不斷的發(fā)展中。工程實(shí)踐中，一個(gè)具體的彈塑性力學(xué)問題的求解方法可以分為以下幾類：1） 經(jīng)典方法。采用數(shù)學(xué)分析方法對(duì)彈塑性力學(xué)問題的定解方程進(jìn)行求解，從而得出固體內(nèi)部的應(yīng)力和位移分布等。這種方法需要求解一個(gè)偏微分方程組的邊值問題，在很多情況下，求 解的難度都相當(dāng)大，所以，常采用近似解法，例如，基于能量原理的Ritz法和迦遼金等。2）數(shù)值方法。許多實(shí)際工程問題無法采用經(jīng)典解法求解，而需要采用數(shù)值方法求得近似解。 在數(shù)值方法中，常用的有差分法、有限元法及邊界元法等。隨著電子計(jì)算機(jī)技術(shù)的不斷發(fā)展， 目前，數(shù)值方法已被廣泛應(yīng)用于各類工程結(jié)構(gòu)彈塑性力學(xué)問題的求解中

12、。3）實(shí)驗(yàn)方法。采用機(jī)電方法、光學(xué)方法、聲學(xué)方法等來測(cè)定結(jié)構(gòu)部件在外力作用下的應(yīng)力和 應(yīng)變的分布規(guī)律，如光彈性法、云紋法等。4） 實(shí)驗(yàn)與數(shù)值分析相結(jié)合的方法。這種方法常用于形狀非常復(fù)雜的工程結(jié)構(gòu)。例如對(duì)結(jié)構(gòu)的 特殊部位的應(yīng)力分布規(guī)律難以確定，可以用光彈性方法測(cè)定；而對(duì)結(jié)構(gòu)整體，則采用數(shù)值方 法進(jìn)行分析。五、與初等力學(xué)理論的聯(lián)系和區(qū)別彈塑性力學(xué)的主要任務(wù)是研究可變形固體在外部因素（例如外力、溫度變化等）作用下的 應(yīng)力和變形分布規(guī)律，這也構(gòu)成了彈塑性力學(xué)的基本內(nèi)容。從研究對(duì)象、研究問題的內(nèi)容和 基本任務(wù)來看，彈塑性力學(xué)與材料力學(xué)和結(jié)構(gòu)力學(xué)都是相同的；從處理問題的方法來看，彈 塑性力學(xué)與材料力學(xué)和結(jié)

13、構(gòu)力學(xué)都是從靜力學(xué)、幾何學(xué)和物理學(xué)三個(gè)方面進(jìn)行分析。但從所研究問題的范圍來看，它們是不同的。材料力學(xué)僅研究桿狀構(gòu)件（桿件），結(jié)構(gòu)力學(xué)主要研究由桿狀構(gòu)件組成的結(jié)構(gòu)系統(tǒng)（桿系結(jié)構(gòu)），而彈塑性力學(xué)既研究桿件，也研究諸如 板和殼以及擋土墻、堤壩、地基等實(shí)體結(jié)構(gòu)，因此，它的研究范圍涉及土木工程結(jié)構(gòu)的所有 類型。此外，材料力學(xué)和結(jié)構(gòu)力學(xué)研究的問題主要局限于彈性階段，而彈塑性力學(xué)則研究從 彈性階段到塑性階段、直至最后破壞的整個(gè)過程的力學(xué)問題。另外，從對(duì)所研究問題的簡(jiǎn)化程度來看，彈塑性力學(xué)與材料力學(xué)和結(jié)構(gòu)力學(xué)也是不完全相 同的。在材料力學(xué)和結(jié)構(gòu)力學(xué)里，除了采用上述的幾個(gè)基本假定外，它們往往還要對(duì)桿件的 應(yīng)力分

14、布和變形狀態(tài)做出某些假定，因此，得到的結(jié)果有時(shí)只是粗略的近似。但在彈塑性力 學(xué)里，貝U無須引進(jìn)那些假定，所以其得到的結(jié)果就比較精確，并可以用來校核初等力學(xué)理論（這里，初等力學(xué)理論系指采用更簡(jiǎn)化的力學(xué)模型建立起來的材料力學(xué)和結(jié)構(gòu)力學(xué)理論）的 結(jié)果是否準(zhǔn)確。例如，在材料力學(xué)里研究直梁的橫力彎曲問題時(shí)，就引進(jìn)了平截面的假定， 由此得到直梁橫截面上的彎曲應(yīng)力分布是線性的；但在彈塑性力學(xué)里研究該問題時(shí)，由于無 需采用平截面假定就可求得問題的解，所以，彈塑性力學(xué)的求解結(jié)果可用來校核平截面假定 是否正確，以及應(yīng)用該假定的條件性和局限性。總的來看，盡管彈塑性力學(xué)的研究對(duì)象和研究方法與初等力學(xué)理論基本相同，但它的研究 范圍更加廣泛，得到的結(jié)果也更加精確。彈塑性力學(xué)可以建立并給出用初等力學(xué)理論無法求 解的問題的理論和方法，同時(shí)還可以給出初等力學(xué)理論可靠性與精確度的度量。表0.1總結(jié)了彈塑性力學(xué)與初等力學(xué)理論之間的聯(lián)系和區(qū)別。表0.1彈塑性力學(xué)與初等力學(xué)理論的