概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì) 第10講ppt課件

1、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)福建師范大學(xué)福清分校數(shù)計(jì)系福建師范大學(xué)福清分校數(shù)計(jì)系第六章樣本及抽樣分布1 隨機(jī)樣本定義 設(shè)X是具有分布函數(shù)F的隨機(jī)變量, 假設(shè)X1,X2,.,Xn是具有同一分布函數(shù)F的, 相互獨(dú)立的隨機(jī)變量, 那么稱X1,X2,.,Xn為從分布函數(shù)F(或總體F, 或總體X)得到的容量為n的簡單隨機(jī)樣本, 簡稱樣本, 它們的察看值x1,x2,.,xn稱為樣本值, 又稱為X的n個(gè)獨(dú)立的察看值.也可以將樣本看成是一個(gè)隨機(jī)向量, 寫成(X1,X2,.,Xn), 此時(shí)樣本值應(yīng)寫成(x1,x2,.,xn). 假設(shè)(x1,x2,.,xn)與(y1,y2,.,yn)都是相應(yīng)于樣本(X1,X2,.,Xn)的樣

2、本值, 普通說來它們是不一樣的.由定義得: 假設(shè)X1,X2,.,Xn為F的一個(gè)樣本, 那么X1,X2,.,Xn相互獨(dú)立, 且它們的分布函數(shù)都是F, 所以(X1,X2,.,Xn)的分布函數(shù)為. )(),(121* niinxFxxxF niinxfxxxf121*)(),(又假設(shè)X具有概率密度f, 那么(X1,X2,.,Xn)的概率密度為2 抽樣分布定義 設(shè)X1,X2,.,Xn是來自總體X的一個(gè)樣本, g(X1,X2,.,Xn)是X1,X2,.,Xn的函數(shù), 假設(shè)g中不含未知參數(shù), 那么g(X1,X2,.,Xn)稱是一統(tǒng)計(jì)量.由于X1,X2,.,Xn都是隨機(jī)變量, 而統(tǒng)計(jì)量g(X1,X2,.,X

3、n)是隨機(jī)變量的函數(shù), 因此統(tǒng)計(jì)量是一個(gè)隨機(jī)變量. 設(shè)是x1,x2,.,xn相應(yīng)于樣本的樣本值, 那么稱g(x1,x2,.,xn)是g(X1,X2,.,Xn)的察看值.幾個(gè)常用的統(tǒng)計(jì)量:樣本平均值:;11 niiXnX;11)(11212122 XnXnXXnSniinii樣本方差:樣本規(guī)范差:;)(11122 niiXXnSS樣本k階(原點(diǎn))矩:;, 2 , 1,11 kXnAnikik., 3 , 2,)(11 kXXnBnikik樣本k階中心矩:它們的察看值分別為 niiniiniiniixxnsxnxnxxnsxnx12212122)(11;11)(11;1這些察看值仍分別稱為樣本均值

4、, 樣本方差, 樣本規(guī)范差, 樣本k階(原點(diǎn))矩以及樣本k階中心矩., 3 , 2,)(1;, 2 , 1,111 kxxnbkxnnikiknikik 假設(shè)總體X的k階矩E(Xk)存在, 記mk=E(Xk), 那么當(dāng)kknkkkknkknkPkXEXEXEXXXXXXXXkAn )()()(,., 2 , 1,212121故故有有同同分分布布獨(dú)獨(dú)立立且且與與所所以以同同分分布布獨(dú)獨(dú)立立且且與與這這是是因因?yàn)闉闀r(shí)時(shí), 2 , 1,11 kXnAkPnikik 從而由第五章的辛欽定理知進(jìn)而由第五章中關(guān)于依概率收斂的序列的性質(zhì)知道),(),(2121kPkgAAAg 其中g(shù)為延續(xù)函數(shù). 這就是下一

5、章要引見的矩估計(jì)法的實(shí)際根據(jù)., 2 , 1,11 kXnAkPnikik 閱歷分布函數(shù) 可以作出與總體分布函數(shù)F(x)相應(yīng)的統(tǒng)計(jì)量-閱歷分布函數(shù), 它的作法為, 設(shè)X1,X2,.,Xn是總體F的一個(gè)樣本, 用S(x), -x, 表示X1,X2,.,Xn中不大于x的隨機(jī)變量的個(gè)數(shù), 定義閱歷分布函數(shù)Fn(x)為.),(1)( xxSnxFn例如(1) 設(shè)總體F具有一個(gè)樣本值1,2,3, 那么閱歷分布函數(shù)F3(x)的察看值為 . 3, 1, 32,32, 21,31, 1, 0)(3xxxxxF若若若若若若若若(2) 設(shè)總體F具有一個(gè)樣本值1,1,2, 那么閱歷分布函數(shù)F3(x)的察看值為 .

6、2, 1, 21,32, 1, 0)(3xxxxF若若若若若若普通, 設(shè)x1,x2,.,xn是總體F的一個(gè)容量為n的樣本值. 先將x1,x2,.,xn按自小到大的次序陳列, 并重新編號(hào), 設(shè)為x(1)x(2).x(n).那么閱歷分布函數(shù)Fn(x)的察看值為 ., 1, 0)()()1()()1(nkknxxxxxnkxxxF若若若若若若對(duì)于閱歷分布函數(shù)Fn(x), 格里汶科(Glivenko)在1933年證明了以下的結(jié)果: 對(duì)于任一實(shí)數(shù)x, 當(dāng)n時(shí)Fn(x)以概率1一致收斂于分布函數(shù)F(x), 即. 10| )()(|suplim xFxFPnxn因此, 對(duì)于任一實(shí)數(shù)x當(dāng)n充分大時(shí), 閱歷分布

7、函數(shù)的任一個(gè)察看值Fn(x)與總體分布函數(shù)F(x)只需微小的差別, 從而在實(shí)踐上可以當(dāng)作F(x)來運(yùn)用.對(duì)于恣意固定的x, -x, S(x)b(n, F(x), 從而可知對(duì)于固定的x, ).()(1)(1/ )()(xFxnFnxSEnnxSExFEnn 統(tǒng)計(jì)量的分布稱為抽樣分布. 在運(yùn)用統(tǒng)計(jì)量進(jìn)展統(tǒng)計(jì)推斷時(shí)常需知道它的分布. 當(dāng)總體的分布函數(shù)知時(shí), 抽樣分布是確定的, 然而要求出統(tǒng)計(jì)量的準(zhǔn)確分布, 普通來說是困難的. 下面引見來自正態(tài)總體的幾個(gè)常用統(tǒng)計(jì)量的分布.(一) c2分布 設(shè)X1,X2,.,Xn是來自總體N(0,1)的樣本, 那么稱統(tǒng)計(jì)量)1 . 2(222212nXXX )2 . 2

8、(., 0, 0,e)2/(21)(2/12/2/ 其它其它yynyfynn 服從自在度為n的c2分布, 記為c2c2(n).此處, 自在度是指(2.1)式右端包含的獨(dú)立變量的個(gè)數(shù). c2(n)分布的概率密度為f(y)的圖形如下:如今來推求(2.2)式由第二章5例3及第三章5例3知c2(1)分布即為G(1/2, 2)分布, 現(xiàn)XiN(0,1), 由定義Xi2c2(1), 即Xi2G(1/2, 2), i=1,2,.,n. 再由X1,X2,.,Xn的獨(dú)立性知X12,X22,.,Xn2相互獨(dú)立, 從而由G分布的可加性知221,2 ,(2.3)2niinX即得c2的概率密度如(2.2)式所示.2分布

9、的可加性 設(shè)122(n1), 222(n2), 并且12, 22獨(dú)立, 那么有12222(n1n2).c2分布的數(shù)學(xué)期望和方差 假設(shè)c2c2(n), 那么有 E(c2)=n, D(c2)=2n.2分布的分位點(diǎn) 對(duì)于給定的正數(shù), 01, 稱滿足222( )22( )( )d(2.6)( )( ).nPnf yynn的點(diǎn)為分布上的 分位點(diǎn)2(n)對(duì)于不同的a, n, 上a分位點(diǎn)的值已制成表格, 可以查用(見附表4). 注:實(shí)踐上許多常用的辦公軟件都有關(guān)于上a分位點(diǎn)的相應(yīng)函數(shù), 例如, excel電子表格的函數(shù)chiinv(a,n)就可以計(jì)算給定a,n值的上a分位點(diǎn). MATLAB中統(tǒng)計(jì)工具箱的相應(yīng)

10、函數(shù)為:chi2inv(X,V)Y=chi2inv(a, n)如chi2inv(0.9,25)20.1,25,(25)?naac=(二)t分布 設(shè)XN(0,1), Yc2(n), 且X,Y獨(dú)立, 那么稱隨機(jī)變量)8 . 2(/nYXt )9 . 2(,1)2/(2/ )1()(2/ )1(2 tntnnnthn 服從自在度為n的t分布, 記為tt(n).t分布又稱學(xué)生氏(Student)分布, t(n)分布的概率密度函數(shù)為h(t)的圖形為h(t)關(guān)于t=0對(duì)稱, 當(dāng)n充分大時(shí)其圖形類似于規(guī)范正態(tài)變量概率密度的圖形. 不難證明2/2e21)(limtnth 故當(dāng)n足夠大時(shí)t分布近似于N(0,1)

11、分布, 但對(duì)于較小的n, t分布與N(0,1)分布相差較大.t分布的分位點(diǎn) 對(duì)于給定的a, 0a45時(shí), 對(duì)于常用的a的值, 就用正態(tài)近似:ta(n)za.(2.13)注: MATLAB中統(tǒng)計(jì)工具箱的相應(yīng)函數(shù)為:tinv(X,V)tinv(0.975,15) 0.025(15)t(三)F分布 設(shè)Uc2(n1), Vc2(n2), 且U,V獨(dú)立, 那么稱隨機(jī)變量)14. 2(/21nVnUF )15. 2(., 0, 0,)/(1)2/()2/()/(2/ )()(2/ )(21211)2/(2/21212111 其其它它ynynnnynnnnynnnn 服從自在度為(n1,n2)的F分布, 記

12、為FF(n1,n2).F分布的概率密度為(y)的圖形(n1,n2)=(10,40)(n1,n2)=(11,3)O由定義可知, 假設(shè)FF(n1,n2), 那么)16. 2().,(112nnFF)17. 2(d)(),(),(2121 nnFyynnFFPF分布的分位點(diǎn) 對(duì)于給定的a,0a1, 稱滿足條件的點(diǎn)Fa(n1,n2)為F(n1,n2)分布的上a分位點(diǎn), 此分位點(diǎn)有表格可查(見附表5).注注:在在Excel軟件中的函數(shù)軟件中的函數(shù)FINV可以查出可以查出F分分布的分布函數(shù)逆函數(shù)布的分布函數(shù)逆函數(shù), 也就容易查出上也就容易查出上a分分位點(diǎn)位點(diǎn).MATLAB中統(tǒng)計(jì)工具箱的相應(yīng)函數(shù)為中統(tǒng)計(jì)工具

13、箱的相應(yīng)函數(shù)為:finv(X,V1,V2)finv(0.95,12,9) 0.05(12,9)?F=F-分布的上a分布的表示圖OFa(n1,n2)假設(shè)FF(n1,n2), 按定義)2(.),(1),(1)1(.),(11),(111),(111),(11),(11212211211211211211 nnFFPnnFFnnFFPnnFFPnnFFPnnFFPnnFFP知知再由再由于是于是由(1),(2)式可得F分布的上a分位點(diǎn)滿足:)18. 2(,),(1),(12211nnFnnF .357. 080. 21)12, 9(1)9 ,12(05. 095. 0 FF(2.18)式常用來求F分布

14、表中未列出的常用的上a分位點(diǎn), 例如(四)正態(tài)總體的樣本均值與樣本方差的分布設(shè)總體X(不論服從什么分布, 只需均值和方差存在)的均值為m, 方差為s2, X1,X2,.,Xn是來自222221,(),()/ .(2.19)()(2.20)( ,),1.niiXX SE XD XnE SXNXXn的一個(gè)樣本是樣本均值和樣本方差 則總有進(jìn)而設(shè)則也服從正態(tài)分布 E(S2)=s2的證明:.)/()(11)()(1111)(2221222122122 nnnXnEXEnXnXnESEniniinii定理一定理一 設(shè)設(shè)X1,X2,.,Xn是來自總體是來自總體N(m,s2)的的樣本樣本, X是樣本均值是樣本

15、均值, 那么有那么有)./,(2nNX .)2()21. 2();1()1()1(2222獨(dú)立獨(dú)立與與SXnSn 定理二定理二 設(shè)設(shè)X1,X2,.,Xn是來自總體是來自總體N(m,s2)的的樣本樣本, X和和S2是樣本均值和樣本方差是樣本均值和樣本方差, 那么有那么有留意)1()(),()(,)()()()()()1()(112212221222221122122 nXXnXXEXXXXXXXXXSnXXnSniiniiinniinii 但但則則換成換成如果將上式的如果將上式的因此因此定理三定理三 設(shè)設(shè)X1,X2,.,Xn是來自總體是來自總體N(m,s2)的的樣本樣本, X和和S2是樣本均值和

16、樣本方差是樣本均值和樣本方差, 那么有那么有)22. 2().1(/ ntnSX ),1()1(),1 , 0(/222 nSnNnX 證 由定理一, 定理二且兩者獨(dú)立, 由t分布定義知).1()1()1(/22 ntnSnnX 定理四定理四1212121222112211122222121112,(,)(,),.11,;11() ,()11.nnnniiiinniiiiXXXY YYNNXX YYnnSXXSYYnn 設(shè)與分別是來自正態(tài)總體和的樣本 且這兩個(gè)樣本相互獨(dú)立設(shè)分別是這兩個(gè)樣本的均值分別是兩個(gè)樣本的樣本方差那么有2212122212222121212122222112212(1)(

17、1,1);(2),()() (2),11(1)(1),.2wwwwSSF nnXYt nnSnnnSnSSSSnn當(dāng)時(shí)其中證 (1)由定理二)1()1(),1()1(22222221221211 nSnnSn ).1, 1(),1, 1()1()1()1()1(212221222121222222211211 nnFSSnnFnSnnSn 即即由假設(shè)S12,S22獨(dú)立, 那么由F分布的定義知易知121222221122122222211221222()()(0,1).11(1)(1)(1),(1),(1)(1)(2).XYUNnnnSnSnnnSnSVnnUV與 相互獨(dú)立那么按t分布的定義可知

18、).2(11)()()2().2()1()1().1 , 0(11)()(21212121212222222112121 nntnnSYXnnVUnnSnSnVNnnYXUw 作業(yè) 第六章 習(xí)題 第174頁第1,4題請(qǐng)?zhí)釂栄a(bǔ)充練習(xí)題補(bǔ)充練習(xí)題例例1 1 從一批機(jī)器零件毛坯中隨機(jī)地抽取從一批機(jī)器零件毛坯中隨機(jī)地抽取1010件件, , 測得其分量為測得其分量為( (單位單位: : 公斤公斤):): 210, 243, 185, 240, 215, 210, 243, 185, 240, 215, 228, 196, 235, 200, 228, 196, 235, 200, 199199求這組樣本

19、值的均值、方差、二階原點(diǎn)求這組樣本值的均值、方差、二階原點(diǎn)矩與二階中心矩矩與二階中心矩. .解解),(1021xxx令令)199,200,235,196,228,215,240,185,243,210(43.433)(9110122iixxs101225 .47522101iixA0 .390)(101109101222iixxsB19.217)199200235196228215240185243230(101x那么那么例例2 2 在總體在總體 中中, ,隨機(jī)抽取一個(gè)容量隨機(jī)抽取一個(gè)容量為為3636的樣本的樣本, ,求樣本均值求樣本均值 落在落在50.850.8到到53.853.8之間的概率

20、之間的概率. .)3 . 6,52(2NX解解)36/3 . 6,52(2NX故6/ 3 . 6528 .506/ 3 . 6528 .53)8 .538 .50( XP8239. 0)1429. 1()7143. 1 (例例3 3 設(shè)總體設(shè)總體X X 的概率密度函數(shù)為的概率密度函數(shù)為101)(xxxxf為總體的樣本,求),(5021XXXX(1)(1)的數(shù)學(xué)期望與方差(2) )(2SE(3) )02. 0(XP解解(1)(1)0d)()(11xxxXEXE1001d2501)(501)(501)(1022xxxXEXDXD8414. 0)01. 0 , 0( NX近似近似(3)由中心極限定理

21、(2). 2/1)()()(22XEXDSE()()2 . 012 1 . 0002. 012)02. 0(1)02. 0(XPXP的概率不小于90%,那么樣本容量至少取多少?例例4 4設(shè)設(shè)(72 ,100)XN ,為使樣本均值大于70解解 設(shè)樣本容量為設(shè)樣本容量為 n , n , 那么那么)100,72(nNX故)70(1)70(XPXPn1072701()n2 . 0令()9 . 02 . 0n得29. 12 . 0n即6025.41n所以取42n例例5 5 從正態(tài)總體從正態(tài)總體),(2NX中，抽取了 n = 20的樣本1220(,)X XX(1) 求()22012276. 120137.

22、 0iiXXP(2) 求()22012276. 120137. 0iiXP解解 (1) (1)()19(11922012222iiXXS即) 1() 1(222nSn()22012276. 120137. 0iiXXP故()2 .3514 . 720122iiXXP()()2 .3514 . 712012220122iiiiXXPXXP98. 001. 099. 0查表(P.376)(2) (2) )20(22012iiX()22012276. 120137. 0iiXP故2 .354 . 72012iiXP2 .354 . 720122012iiiiXPXP97. 0025. 0995. 0例例6 6 設(shè)設(shè)r