結構動力學ch21ppt課件

1、第二章 單自由度體系的振動 主要內容2.1運動方程的建立2.2無阻尼自由振動2.3阻尼自由振動2.4對簡諧荷載的響應2.5對周期荷載的響應2.6對沖擊荷載的響應2.7對一般動力荷載的響應2.8阻尼理論與阻尼比的量測第二章 單自由度體系的振動v單自由度體系動力分析的重要性：具有實際應用價值，或進行初步的估算。很多實際動力問題可按單自由度體系計算。多自由度體系動力分析的基礎。單自由度體系包括振動分析中涉及到的所有物理量和基本概念。2.1運動方程的建立v1、水平振動 作用在質量塊上有三個真實力、一個虛擬的力：荷載、彈簧彈性力和阻尼力; 慣性力 左邊的三個力都是位移y(t)或y(t)對時間t導數的函數

2、，正向與位移y(t)的負方向相對應，與外荷載p(t)的方向相反。 坐標y的坐標原點取在彈簧自然放松的位置。( )Dsfffp t根據力的平衡條件得:2.1運動方程的建立( )sfky t( )fmy t( )Dfcy t 2.1運動方程的建立( )Dsfffp t)()()()(tptkytyctym 單自由度體系的運動方程彈性力等于彈簧剛度k與位移y(t)的乘積：慣性力是質量與加速度的乘積：c)(ty 阻尼為粘滯阻尼，則阻尼力是阻尼系數 與速度 的乘積:v2、豎向振動 v 質量塊沿垂直方向上下振動，建立振動微分方程，考慮重力的影響。2.1運動方程的建立v根據平衡條件，體系的振動方程： Wtp

3、tkytyctym)()()( ( )( )sty ty t 2.1運動方程的建立 是由重力W產生的靜力位移，是不隨時間變化的，即： 是動力位移，由靜力平衡位置開始計算。 ststWk)(ty)(ty質量塊m的總位移 分解為兩部分：彈簧力部分可寫成：)()(tykktkyfsts)()()()(tptyktyctym ( )( )sty ty t 2.1運動方程的建立 相對于靜力平衡位置所寫出的振動方程不受重力影響，即重力對動力位移無影響。 振動方程：1、位移以靜力平衡位置作為基準的，而這樣確定的位移即為動力響應。2、在求總撓度和總應力時，要把動力分析的結果與靜力分析結果相加。 v3、支座運動

4、的影響 v 結構的動位移和動應力既可以由動荷載引起，也可以由結構支座的運動而產生。 2.1運動方程的建立1由地震引起建筑物基礎的運動；2由建筑物的振動而引起安置在建筑物內的設備基底的運動等等。 地震導致的地面水平運動用相對于固定參考軸的結構基底位移 表示。 )(tyg1、地震動問題的簡化模型2.1運動方程的建立 假定： （1剛架內水平橫梁是剛性的，且包含了結構所有的運動質量， （2柱假定無重量且在軸向不能變形，抵抗剛架側向位移的恢復力由兩根柱的側向剛度來提供。 0SDIfff2.1運動方程的建立一個自由度即可描述剛架的運動情況。 剛架體系的平衡方程可寫為：)(tymftI )(tyt表示橫梁相

5、對于參考軸的總位移，即：)()()(tytytygtsfDfIf彈性力 和阻尼力 與前相同，而慣性力 則由下式計算： 運動方程：0)()()()(tkytyctymtymg )()()()()(tPtymtkytyctymeffg 或： 2.1運動方程的建立0SDIfff)(tPeff ：等效荷載，即在地面加速度 影響下，結構的響應就和在外荷載 作用下的響應一樣，只是外荷載 等于質量和地面加速度的乘積。 負號表示等效力的方向和地面加速度方向相反。)(tyg )(tp)(tp2.2 無阻尼自由振動 自由振動(free vibration) ：無外界干擾的體系振動形態(tài)稱為自由振動free vibr

6、ation）。振動是由初始位移或初始速度或兩者共同影響下所引起的。無阻尼自由振動：如果阻尼系數等于零，則這種自由振動稱為無阻尼自由振動undamped free vibration）。假設由于外界干擾，質點離開平衡位置，干擾消失后，質點將圍繞靜力平衡點作自由振動。my.1自由振動微分方程的建立(依據原理：達朗伯原理)mky(t)y(t)a、剛度法(stiffness method)kmymky從力系平衡建立的自由振動微分方程： ).(0akyym my.my.(DAlembers principle)2.2 無阻尼自由振動1、運動方程建立及其解的形式b、柔度法(flexibility meth

7、od)從位移協(xié)調角度建立的自由振動微分方程。取振動體系為研究對象，慣性力：=1/kymfI ).()(bymfyI 2.2 無阻尼自由振動2.2 無阻尼自由振動0myky令mk /20)()(2tyty tCtCtycossin)(21齊次微分方程，其通解為： 系數 和 可由初始條件initial condition確定。 1C2C0t0y0v00)0(,)0(vyyy0201,/yCvCv設在初始時刻 時，有初始位移 和初始速度 ，即： 求得：tytvtycossin)(00（a沒有初始速度，僅由初始位移引起的振動按 的規(guī)律變化；（b沒有初始位移，僅由初始速度引起的振動按 的規(guī)律變化：（c既

8、有初始位移，又有初始速度引起的振動形態(tài) 按方程 進展。2200()(/)ayv00arctanvytycos0tvsin0比較兩式得： tytvtycossin)(00( )sin()y tat( )sin()y tat2.2 無阻尼自由振動簡諧振動的標準形式a：振幅， ：初相位角。Amplitude of vibrationinitial phase angley(t)ty0y0y(t )tv0/v0/TtaaT/tytvtycossin)(00( )sin()y tat2.2 無阻尼自由振動 T:自由振動的周期，單位為秒s）。 :頻率，表示單位時間內的振動次數，單位為1/秒1/s），或稱為

9、赫茲Hz）。 :圓頻率或角頻率，表示在 個單位時間內的振動次數,單位為rad/s 。/2T)()/2()(tytyTtyTf/1f222.2 無阻尼自由振動當時間t 增加一個 時，上式保持不變，即： /2T2、結構的自振周期 經過一個周期T后，質點又回到了原來的位置，因此周期T稱為自振周期或固有周期natural periold）。 )()/2()(tytyTty2.2 無阻尼自由振動計算自振周期的幾種形式：（1由周期和圓頻率的定義可知：kmT2（2將 代入上式，得：k1mT2gWT2gTst22.2 無阻尼自由振動gWm/（3將 代入上式，得：stW（4令 ，得： 圓頻率也僅與結構參數k和m

10、有關，即僅與結構體系本身的固有性質有關，而與初始干擾無關，故稱為固有頻率或自振頻率natural frequency）。 stgWgmmk12.2 無阻尼自由振動圓頻率計算公式的幾種形式：v結構自振動周期重要性質：v（1自振動周期與結構的質量和剛度有關，而且只與這兩者有關，與外界的干擾因素無關。v 干擾力的大小只能影響振幅A的大小，而對結構自振周期T的大小沒影響。2.2 無阻尼自由振動（2自振周期與質量平方根成正比，質量越大，則周期越大；自振周期與剛度的平方根成反比，剛度越大，則周期越小。要改變結構的自振周期，只有改變結構的質量或剛度。（4自振周期是結構動力性能的一個重要的數量標志。 a、兩個

11、外表相似的結構，如果周期相差很大，則動力性能相差很大； b、兩個外表看來并不相同的結構，如果其自振周期相近，則在動荷載作用下其動力性能基本一致。地震中常出現這樣的現象。2.2 無阻尼自由振動（3把集中質點放在結構上產生最大位移的地方，則可以得到最低的自振頻率和最大的振動周期。stkgmv例2-1 懸臂梁長度L=1米，其末端裝一重量Q=1221N的電動機，梁為鋼梁，彈性模量E=2.11011N/m2，慣性矩I=7810-8m4，與電動機重量相比梁的重量可以略去。求結構的自振圓頻率及周期。 2.2 無阻尼自由振動 解：懸臂梁在豎向力Q作用下，端部的豎向位移為 EIQLst331183333 2.1

12、 1078 109.862.8(1/ )1221 1.0stgEIgsQL220.1( )62.8Ts2.2 無阻尼自由振動自振周期：自振頻率：例2-2 ： 求剛架的自振頻率，不考慮橫梁的變形。2.2 無阻尼自由振動解：使橫梁發(fā)生單位位移所需外力k為: 3122hEIk324mhEImk2.2 無阻尼自由振動自振頻率： 例2-3：圖示三根單跨梁，EI=常數，在梁中點有集中質量m，不考慮梁的質量，試比較三者的自振頻率。l/2l/2l/2l/2l/2l/2mmm解：1求EIl4831P=13l/165l/32P=1l/2EIlllllEIl7687)325216322(61321EIl768732

13、EIl19233311481mlEIm32277681mlEIm3331921mlEIm2.2 無阻尼自由振動l/2l/2l/2l/2l/2l/2mmm311481mlEIm32277681mlEIm3331921mlEIm據此可得：結構約束越強結構約束越強, ,其剛度越大其剛度越大, ,剛度越大剛度越大, ,其自振動頻率也越大。其自振動頻率也越大。2.2 無阻尼自由振動123:1:1.512:2l/2l/2ml/2l/2k1ACB3396)2/(12lEIlEIQCB3396)2/(12lEIlEIQCAQCAQCB3192lEIQQkCBCA3192mlEImk2.2 無阻尼自由振動用剛度

14、法：例2-4:求圖示剛架的自振頻率。不計柱的質量。EIEIEI1=mlh13EI/h26EI/h26EI/h2k12EI/h33EI/h3315hEIk315mhEImk2.2 無阻尼自由振動解：274l272l9l113lEIlllllEIl43745)9327432(613311311543741mlEIml/32l/3m例2-52.2 無阻尼自由振動解：l/2lm12lEIlllllllEI8)3222212322221(131131181mlEIm2.2 無阻尼自由振動解：例2-6h1例2-7解法1：求 k=1/hMBA=kh = MBCk1hmI=EIBAClhEIlEI33lmhE

15、Imk211323lhEIk1解法2：求 EIlhhlhEI3322121121131mlhEIm2.2 無阻尼自由振動例2-8lEImk1k11k11k33lEI解：求 k3113lEIkkmkmklEI33112.2 無阻尼自由振動對于靜定結構一般計算柔度系數方便。如果讓振動體系沿振動方向發(fā)生單位位移時，所有剛節(jié)點都不能發(fā)生轉動如橫梁剛度為無窮大的剛架)計算剛度系數方便。312lEI一端鉸結的桿的側移剛度為：33lEI兩端剛結的桿的側移剛度為：2.2 無阻尼自由振動mky1) c不存在不存在0y(t)taamky=0c2) c存在存在阻尼是客觀存在的阻尼是客觀存在的 振幅隨時間減小，這表明

16、在振動過振幅隨時間減小，這表明在振動過程中要產生能量的損耗，稱為阻尼。程中要產生能量的損耗，稱為阻尼。 （1 1產生阻尼的原因產生阻尼的原因1)1)結構與支承之間的外摩擦結構與支承之間的外摩擦2)2)材料之間的內摩擦材料之間的內摩擦3)3)周圍介質的阻力周圍介質的阻力 （2 2阻尼力的確定阻尼力的確定1)1)與質點速度成正比與質點速度成正比2)2)與質點速度平方成正比與質點速度平方成正比3)3)與質點速度無關與質點速度無關粘滯阻尼粘滯阻尼( )R tcy 2.3 有阻尼的自由振動 2.3 有阻尼的自由振動 0)()()(tkytyctym mc2mk /2 如果體系內存在阻尼，單自由度體系的自

17、由振動微分方程為 :令：則方程可改寫為：0)()(2)(2tytyty ykykmP(t )ycy.( 阻尼比damping ratio ）特征方程的解為：0)()(2)(2tytyty tCety)(0222)1(22, 12.3 有阻尼的自由振動 設方程解的形式為：特征方程：(characteristic equation) C1和C2為兩個積分常數，由初始條件確定。 有阻尼自由振動的特性與根式（ ）的符號有關。 tteCeCty2121)(121mccr20)()()(tkytyctym )1(22, 12.3 有阻尼的自由振動 的通解為：所對應的阻尼系數c稱為臨界阻尼系數，記為ccr，

18、其計算公式為： crccmc22.3 有阻尼的自由振動 阻尼比(damping ratio ）稱為阻尼比damping ratio）,反映了阻尼系數與臨界阻尼系數之比。一般材料的阻尼比都很小，例如鋼0.0040.03）,木材0.04），混凝土0.05-0.08等。對一般建筑結構，其阻尼比約在0.01-0.1之間。v（1當 1時 v 體系的阻尼系數小于臨界阻尼系數，稱為低阻尼體系under damping）。式可寫為 :dii)1(22, 1)()(21tditditeAeAety)1(22, 12.3 有阻尼的自由振動 0)()(2)(2tytyty 振動微分方程 的解為：21d其中， 稱為阻

19、尼固有頻率。 其中：A1及A2或A及 由初始條件確定。 設當t=0時，初始位移 ，初始速度，將此初始條件代入方程解，可得： )sin()(tAetydt0)0(yy0)0(vy01yA dvyA0022.3 有阻尼的自由振動 或： 表示低阻尼下的自由振動，不是一個嚴格的周期振動，是一個減幅的往復運動，可稱為準周期振動，其往復一次的周期時間為：220020)(dvyyA000vyytgd2122ddT)sin()(tAetydt衰減因子阻尼對周期影響？2.3 有阻尼的自由振動 或：2.3 有阻尼的自由振動 其衰減簡諧運動如圖所示。在有阻尼自由振動中，由于阻尼不斷消耗能量又沒有外界能量補充，因此結

20、構系統(tǒng)總能量不斷減少，振幅不斷衰減。tyty低阻尼y- t曲線tAe)sin()(tAetydtv（a）、阻尼對固有頻率的影響 v 有阻尼和無阻尼的固有頻率 和 間的關系由式 :v 確定。在 1的低阻尼情況下， 恒小于 ，而且 隨 的增大而減小。d21ddd2.3 有阻尼的自由振動 但一般材料的阻尼比都很小，例如鋼0.0040.03）,木材0.04），混凝土0.05-0.08等。對一般建筑結構，其阻尼比約在0.01-0.1之間。假設 0.2則0.96 1，即 與 的值很接近。所以說阻尼對固有頻率的影響很小，一般可認為 。ddd阻尼對固有頻率基本無影響！v（b）、阻尼對振幅的影響v 振幅為 ，阻

21、尼比出現在指數項，對振幅有較大影響。 tAeTktTktkkeeeyy)(1)sin()(tAetydt2.3 有阻尼的自由振動 值愈大，振幅衰減速度愈快。ky1ky經過一個周期T后，相鄰兩個振幅 與 比值為：兩邊進行對數變換后可得：dkkTyy2)ln(1)ln(211kkdyy)ln(211kkyyTktTktkkeeeyy)(12.3 有阻尼的自由振動 d假設 0.2，那么 ， 稱為對數衰減率logarithmic decrement），表征系統(tǒng)的阻尼情況，用符號 表示，定義為兩個相鄰的同號位移值之比的自然對數，即:1lnkkyy212ln21kkyy2.3 有阻尼的自由振動 對數衰減率

22、與阻尼比只差一個常數倍。)ln(211kkyy 用 和 表示兩個相隔n個周期的振幅，可得： kynky)ln(21nkkdyyn)ln(21nkkyyn2.3 有阻尼的自由振動 對于阻尼較小的體系，取相隔幾周的響應峰值來計算阻尼比，可以獲得更高的精度。d當 0.2時，即 時，v（2當 =1時v 體系阻尼等于臨界阻尼critical damping）。臨界阻尼是在自由振動響應中不出現振動所需的最小阻尼值。此時方程 的特解為 v tetAAty)()(2101yA 002yvA0)()(2)(2tytyty 2.3 有阻尼的自由振動 0v0y設初始條件： t=0時初始位移為 ，初始速度為 ，那么：

23、)1( 2 運動不呈振動形式，按指數規(guī)律隨時間t的增大而逐漸衰減以至消失。tetyvyty)()(0002.3 有阻尼的自由振動 因此：tyy0000vtg這條曲線仍具有衰減性，但不具有波動性。v（3當 1時v 體系的阻尼大于臨界阻尼時，稱為超阻尼體系over damping）。這時方程的特征根為d2, 10)()(2)(2tytyty 2.3 有阻尼的自由振動 相應的通解為:)()(21tdtdteAeAety 設t=0時，初始位移稱為 ，初始速度為 ， 待定系數為 : 0y0v)(210001dyvyA)(2100002yvyA)sinhcosh()(000tyvtyetydddt2.3 有阻尼的自由振動 故：)()(21tdtdteAeAety 運動也不再呈振動形式，而是按指數規(guī)律隨時間t的增大而逐漸衰減以至消失。 圖表示 時 的時程曲線。從該圖可以看到，系統(tǒng)不出現振動現象，同時以 時衰減得最快。 1)(ty1)sinhcosh()(000tyvtyetydddt2.3 有阻尼的自由振動 v例: 一個單層建筑物被理想化為無重柱支承的剛性梁，如圖。使橫梁產生0.2m的位移需要在橫梁處施加20KN的橫向作用力