一階線性微分方程ppt課件

1、目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 一階線性微分方程 第四節(jié) 第七章 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 一、一階線性微分方程一、一階線性微分方程一階線性微分方程標(biāo)準(zhǔn)形式:)()(ddxQyxPxy假設(shè) Q(x) 0, 0)(ddyxPxy假設(shè) Q(x) 0, 稱為非齊次方程 .1. 解齊次方程分離變量xxPyyd)(d兩邊積分得CxxPylnd)(ln故通解為xxPCyd)(e稱為齊次方程 ;目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 xxPCyd)(e對(duì)應(yīng)齊次方程通解齊次方程通解非齊次方程特解xxPCd)(e2. 解非齊次方程)()(ddxQyxPxy用常數(shù)變易法:,e)()()(xxPxuxyd那么xxPud)(

2、e)(xPxxPud)(e)(xQ故原方程的通解xxQxxPxxPde)(ed)(d)(CxxQyxxPxxPde)(ed)(d)(y即即作變換xxPuxPd)(e)(xxPxQxud)(e)(ddCxxQuxxPde)(d)(兩端積分得目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例1. 解方程解方程 .) 1(12dd25xxyxy解解: 先解先解,012ddxyxy即1d2dxxyy積分得,ln1ln2lnCxy即2) 1( xCy用常數(shù)變易法求特解.,) 1()(2xxuy那么) 1(2) 1(2 xuxuy代入非齊次方程得21) 1( xu解得Cxu23) 1(32故原方程通解為Cxxy232)

3、1(32) 1(令目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 在閉合回路中, 所有支路上的電壓降為 0例例2. 有一電路如圖所示有一電路如圖所示, ,sintEEm電動(dòng)勢(shì)為電阻 R 和電. )(tiLERQ解解: 列方程列方程 .已知經(jīng)過(guò)電阻 R 的電壓降為R i 經(jīng)過(guò) L的電壓降為tiLdd因此有,0ddiRtiLE即LtEiLRtimsindd初始條件: 00ti由回路電壓定律:其中電源求電流感 L 都是常量,目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 解方程:LtEiLRtimsindd00tiCxxQeyxxPxxPdd)(d)(e)(由初始條件: 00ti得222LRLECm)(ti tLRdetLEmsint

4、LRmCtLtRLREe)cossin(222ttLRdedC利用一階線性方程解的公式可得LERQ目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 tLRmLRLEtie)(222)cossin(222tLtRLREmtLRmLRLEtie)(222)sin(222tLREm暫態(tài)電流穩(wěn)態(tài)電流則令,arctanRL因此所求電流函數(shù)為解的意義: LERQ目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 0d2d3yyxyyxx例例3. 求方程求方程的通解 .解解: 留意留意 x, y 同號(hào)同號(hào),d2d, 0,xxxyx此時(shí)不妨設(shè)yyxyx2dd2yyP21)(yyQ1)(由一階線性方程通解公式 , 得exyy2de1(yyy2d故方程可

5、變形為yy1y1 lndCy 所求通解為 )0(eCCyyxyCyln這是以x為因變量 y 為自變量的一階線性方程Cylnd)0(C目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 *二、伯努利二、伯努利 ( Bernoulli )方程方程 伯努利方程的標(biāo)準(zhǔn)形式:)1,0()()(ddnyxQyxPxynny以)()(dd1xQyxPxyynn令,1 nyzxyynxzndd)1 (dd則)()1 ()()1 (ddxQnzxPnxz求出此方程通解后,除方程兩邊 , 得換回原變量即得伯努利方程的通解.解法解法:(線性方程)伯努利 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例4. 求方程求方程2)ln(ddyxaxyxy的通

6、解.解解: 令令,1 yz則方程變形為xaxzxzlndd其通解為ez將1 yz1)ln(22xaCxyxxd1exa)ln(xxd1Cxd2)ln(2xaCx代入, 得原方程通解: 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 一階線性方程)()(ddxQyxPxy方法1 先解齊次方程 , 再用常數(shù)變易法.方法2 用通解公式CxxQyxxPxxPde)(e)()(dd,1 nyu令化為線性方程求解.2. 伯努利方程nyxQyxPxy)()(dd)1,0(n目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 3. 注意用變量代換將方程化為已知類型的方程例如, 解方程yxxy1ddyxyxdd, yxu, xu

7、y1ddddxuxy法法1. 取取 y 作自變量作自變量: 線性方程 法法2. 作變換作變換 那么 代入原方程得 ,11dduxuuuxu1dd可分離變量方程目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 思考與練習(xí)思考與練習(xí)判別下列方程類型:xyyxyxyxdddd) 1()ln(lndd)2(xyyxyx0d2d)()3(3yxxxy0d)(d2)4(3yxyxyyxxyxydd)2ln()5(提示提示:xxyyydd1 可分離 變量方程xyxyxylndd齊次方程221dd2xyxxy線性方程221dd2yxyyx線性方程2ln2ddyxxyxxy伯努利方程目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 P315 1 (3

8、) , (6) , (9) ; 2 (5) ; 6 ; *8 (1) , (3) , (5) 作業(yè)第五節(jié) 習(xí)題課1 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 備用題備用題1. 求一連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)求一連續(xù)可導(dǎo)函數(shù))(xf使其滿足下列方程:ttxfxxfxd)(sin)(0提示提示:令txuuufxxfxd)(sin)(0則有xxfxfcos)()(0)0(f線性方程)esin(cos21)(xxxxf利用公式可求出目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 2. 設(shè)有微分方程設(shè)有微分方程, )(xfyy其中)(xf10,2 x1,0 x試求此方程滿足初始條件00 xy的連續(xù)解.解解: 1) 先解定解問(wèn)題先解定解問(wèn)題10, 2xyy00 xy利用通解公式, 得xyde1dde2Cxx)e2(e1CxxxCe21利用00 xy得21C故有) 10(e22xyx目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 2) 再解定解問(wèn)題1,0 xyy11e22) 1 ( yyx此齊次線性方程的通解為) 1(e2xCyx利用銜接條件得) 1(e22C因此有) 1(e) 1(e2xyx3) 原問(wèn)題的解為y10),e1 (2xx1,e) 1(e2xx) 10(e22xyx( 雅各布第一 伯努利 ) 書中給出的伯努利數(shù)在很多地方有用, 伯努利伯努利(1654 1705)瑞士數(shù)學(xué)家, 位數(shù)學(xué)家. 標(biāo)和極坐