同濟(jì)大學(xué)材料力學(xué)總復(fù)習(xí)

1、材料強(qiáng)度材料強(qiáng)度結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性123強(qiáng)度理論強(qiáng)度理論xy xy軸向拉伸軸向拉伸扭轉(zhuǎn)扭轉(zhuǎn)彎曲彎曲組合變形組合變形（判斷：彎曲中心+形心主慣性軸）（內(nèi)力圖-應(yīng)力）（內(nèi)力圖-應(yīng)力）（內(nèi)力圖-應(yīng)力）（應(yīng)力分析）結(jié)構(gòu)剛度結(jié)構(gòu)剛度軸向拉伸軸向拉伸扭轉(zhuǎn)扭轉(zhuǎn)彎曲彎曲組合變形組合變形（合成撓度）（內(nèi)力圖-單位長(zhǎng)變形-節(jié)點(diǎn)位移）（內(nèi)力圖-單位長(zhǎng)變形）（內(nèi)力圖-撓度/轉(zhuǎn)角）載荷性質(zhì)：載荷性質(zhì)：靜載荷靜載荷 / / 動(dòng)載荷動(dòng)載荷內(nèi)力圖截面法內(nèi)力圖特性結(jié)構(gòu)性質(zhì)結(jié)構(gòu)性質(zhì)：靜定型靜定型 / / 超靜定超靜定撓曲線微分方程-積分法-疊加法22)( lEIFNcr22EcrSP能量法一、基本變形一、基本變形（注意：變形特

2、征、應(yīng)力分布特征）（注意：變形特征、應(yīng)力分布特征）剛度條件剛度條件截面法求截面法求FS、M(x)或微分關(guān)系微分關(guān)系求截面法求截面法求Mn(x)截面法求截面法求FN(x)內(nèi)力內(nèi)力1、撓曲線微分方程；、撓曲線微分方程；2、積分法；積分法；3、疊加法、疊加法變形變形,強(qiáng)度條件強(qiáng)度條件應(yīng)力應(yīng)力 受力特征受力特征彎曲彎曲扭轉(zhuǎn)扭轉(zhuǎn)拉伸與壓縮拉伸與壓縮AxFN)(PnIxM)()()(,)(*ySbIxFyIxMzzSzmaxmaxmaxmaxdxxFEAllN)(1lnPdxxMGI)(1180maxmaxPnGIM,maxmax ww傳動(dòng)軸轉(zhuǎn)速傳動(dòng)軸轉(zhuǎn)速n (轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)/分分)、功率、功率P(kW) 及其外力

3、偶矩及其外力偶矩Me之間的關(guān)系：之間的關(guān)系：nPM260103e)mN(1055. 93nP剪力圖、彎矩圖特性：剪力圖、彎矩圖特性：1、結(jié)構(gòu)對(duì)稱、外力對(duì)稱時(shí)，彎矩圖為正對(duì)稱，剪力圖為反對(duì)稱；、結(jié)構(gòu)對(duì)稱、外力對(duì)稱時(shí)，彎矩圖為正對(duì)稱，剪力圖為反對(duì)稱； 結(jié)構(gòu)對(duì)稱、外力反對(duì)稱時(shí)，彎矩圖為反對(duì)稱，剪力圖為正對(duì)稱。結(jié)構(gòu)對(duì)稱、外力反對(duì)稱時(shí)，彎矩圖為反對(duì)稱，剪力圖為正對(duì)稱。2、集中力作用處，剪力圖發(fā)生突變，突變幅度為集中力值；、集中力作用處，剪力圖發(fā)生突變，突變幅度為集中力值；遇向上力，遇向上力，剪力沿剪力沿x軸正突變。軸正突變。 集中力偶作用處，彎矩圖發(fā)生突變，突變幅度為集中力偶值；集中力偶作用處，彎矩圖發(fā)

4、生突變，突變幅度為集中力偶值；遇遇順順時(shí)針力偶，彎矩沿時(shí)針力偶，彎矩沿x軸正突變。軸正突變。3、自由鉸接點(diǎn)處，彎矩必為零；剪力為零的截面，彎矩必有極值。、自由鉸接點(diǎn)處，彎矩必為零；剪力為零的截面，彎矩必有極值。4、q(x)-FS(x)-M(x) 之間的微分（斜率、凹向）、積分（面積、內(nèi)力的之間的微分（斜率、凹向）、積分（面積、內(nèi)力的區(qū)間遞增）關(guān)系：區(qū)間遞增）關(guān)系：qdxxdFS)()()(xFdxxdMSqdxxMd22)(注意剪力圖、彎矩圖特性的參照坐標(biāo)參照坐標(biāo)（上圖）baSSdxxqaFbF)()()(baSdxxFaMbM)()()(a, b區(qū)間的內(nèi)力增量?jī)?nèi)力增量a, b區(qū)間的分布圖面積

5、分布圖面積1nbh32bh=結(jié)構(gòu)對(duì)稱、外力對(duì)稱時(shí)，剪力圖為反對(duì)稱，彎矩圖為正對(duì)稱。結(jié)構(gòu)對(duì)稱、外力對(duì)稱時(shí)，剪力圖為反對(duì)稱，彎矩圖為正對(duì)稱。_ _ 彎曲彎曲集中力作用處，剪力圖集中力作用處，剪力圖發(fā)生突變，突變幅度為發(fā)生突變，突變幅度為集中力值；集中力值；遇向上力，遇向上力，剪力沿剪力沿x軸正突變。軸正突變。集中力偶作用處，彎矩圖集中力偶作用處，彎矩圖發(fā)生突變，突變幅度為集發(fā)生突變，突變幅度為集中力偶值；中力偶值；遇逆時(shí)針力偶，遇逆時(shí)針力偶，彎矩沿彎矩沿x軸負(fù)突變。軸負(fù)突變。剪力為零的截面，彎矩剪力為零的截面，彎矩必有極值。必有極值。例例1:1:作圖示梁的剪力圖和彎矩圖。作圖示梁的剪力圖和彎矩圖。

6、,35qaFRAqaFRB31解：由平衡方程解得解：由平衡方程解得FS5qa/3xqa/38a/3B3aACMe =3qa2axqFRAFRB例例2:2:作圖示梁的剪力圖和彎矩圖。作圖示梁的剪力圖和彎矩圖。,611qaFRAqaFRB61解：由平衡方程解得解：由平衡方程解得qa611qa65qa61234qa231qa疊加法中最常用的撓度疊加法中最常用的撓度- -轉(zhuǎn)角公式：轉(zhuǎn)角公式：EIqlB243EIqlwC38454EIFlB162EIFlwC483EIlMeB3EIqlwC84EIFlwC33彈性支座+基本彎矩圖EIFlC22EIqlC63二、應(yīng)力狀態(tài)分析二、應(yīng)力狀態(tài)分析. .強(qiáng)度理論強(qiáng)

7、度理論1 1、應(yīng)力狀態(tài)的概念：、應(yīng)力狀態(tài)的概念：指受力構(gòu)件某點(diǎn)在指受力構(gòu)件某點(diǎn)在不同截面上不同截面上 2 2、平面應(yīng)力狀態(tài)分析、平面應(yīng)力狀態(tài)分析（1 1）斜截面）斜截面上的應(yīng)力上的應(yīng)力2sin2cos22xyyxyx2cos2sin2xyyx（2 2）主平面）主平面和主應(yīng)力和主應(yīng)力2222xyyxyxyxxy2arctan210時(shí)當(dāng)0yx的應(yīng)力情況。的應(yīng)力情況。方向的確定：yx時(shí)，o銳角為方向銳角為yx時(shí)，o 方向總與總與xy的的匯交方向一致匯交方向一致。（3）應(yīng)力圓 （用于定性分析）OC2FA1B1B2A2D1D2Exyyx1202應(yīng)力圓和單元體的對(duì)應(yīng)關(guān)系：應(yīng)力圓和單元體的對(duì)應(yīng)關(guān)系：圓上一點(diǎn)

8、，體上一面；圓上一點(diǎn)，體上一面；圓上半徑，體上法線；圓上半徑，體上法線；轉(zhuǎn)向一致，數(shù)量一半；轉(zhuǎn)向一致，數(shù)量一半；直徑兩端，垂直兩面。直徑兩端，垂直兩面。單向應(yīng)力單元體分析、純剪切單元體分析3、空間應(yīng)力狀態(tài)的概念最大切應(yīng)力最大切應(yīng)力231max主應(yīng)力主應(yīng)力三向應(yīng)力圓三向應(yīng)力圓O321maxBDAmax3214、應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系213331223211111EEE廣義胡克定律廣義胡克定律:主應(yīng)變主應(yīng)變與主應(yīng)力主應(yīng)力位于同一截面！例例 求圖求圖a所示應(yīng)力狀態(tài)的主應(yīng)力及方向。所示應(yīng)力狀態(tài)的主應(yīng)力及方向。MPa100 xMPa40 xyMPa30y 解：解：y30MPa100MPa40MPax01yxMPa

9、MPaxyyxyx4011022221383010040222tan0yxxy908 .15,8 .15oo銳角為方向！yx本題例例 求圖示應(yīng)力狀態(tài)的主應(yīng)力及方向。求圖示應(yīng)力狀態(tài)的主應(yīng)力及方向。MPa20 xMPa20 xyMPa30y解：解：y30MPa20MPa20MPaxMPaxyyxyx4155)2(2 220 MPaMPa02.27, 0,02.3732154302020222tanyxxy33.109,33.190注意注意主應(yīng)力主應(yīng)力對(duì)應(yīng)位置對(duì)應(yīng)位置！習(xí)題習(xí)題：計(jì)算圖示應(yīng)力狀態(tài)的主應(yīng)力：計(jì)算圖示應(yīng)力狀態(tài)的主應(yīng)力和主平面的位置。和主平面的位置。70 MPa10 MPa40 MPa（2

10、）、各向同性材料的體積應(yīng)變各向同性材料的體積應(yīng)變zyxE215、空間應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)變能密度313221232221221Ev體積改變比能2321621EvV形狀改變比能231232221d61Ev強(qiáng)度理論的統(tǒng)一形式：強(qiáng)度理論的統(tǒng)一形式：,ctri11r3212r313r 第一強(qiáng)度理論：第一強(qiáng)度理論： 第二強(qiáng)度理論：第二強(qiáng)度理論： 第三強(qiáng)度理論：第三強(qiáng)度理論：231232221421r 第四強(qiáng)度理論：第四強(qiáng)度理論：6 6、四個(gè)常用強(qiáng)度理論、四個(gè)常用強(qiáng)度理論注意各自的局限性！注意各自的局限性！011 1、組合變形解題步驟、組合變形解題步驟外力分析：外力分析：外力向形心簡(jiǎn)化并沿主慣性軸分解；外力向形

11、心簡(jiǎn)化并沿主慣性軸分解；內(nèi)力分析：內(nèi)力分析：求每個(gè)外力分量對(duì)應(yīng)的內(nèi)力圖，確求每個(gè)外力分量對(duì)應(yīng)的內(nèi)力圖，確定危險(xiǎn)面；由定危險(xiǎn)面；由中性軸中性軸確定確定危險(xiǎn)點(diǎn)危險(xiǎn)點(diǎn)。計(jì)算危險(xiǎn)點(diǎn)的應(yīng)力（疊加）；計(jì)算危險(xiǎn)點(diǎn)的應(yīng)力（疊加）；三、組合變形組合變形建立危險(xiǎn)點(diǎn)的強(qiáng)度條件。建立危險(xiǎn)點(diǎn)的強(qiáng)度條件。（有棱角截面、園截面）（有棱角截面、園截面）有棱角的截面有棱角的截面maxyyzzWMWM圓截面：圓截面：22maxWMMyz3 3、拉伸（壓縮）與彎曲、拉伸（壓縮）與彎曲max,max,max,maxyyzzNWMWMAF2 2、組合彎曲正應(yīng)力計(jì)算、組合彎曲正應(yīng)力計(jì)算有棱角的截面：有棱角的截面：圓截面圓截面maxmax

12、,maxWMAFNy、z均為截面對(duì)稱軸時(shí)例、圖示帶開槽的軸向拉伸桿例、圖示帶開槽的軸向拉伸桿問題問題：（：（1 1）彎矩圖？）彎矩圖？ （2 2）最危險(xiǎn)截面及其應(yīng)力分布圖？）最危險(xiǎn)截面及其應(yīng)力分布圖？4、彎扭組合彎扭組合223WMMnr75. 0224WMMnr統(tǒng)一形式：統(tǒng)一形式： WMriri22422375. 0nrnrMMMMMM323DW四、壓桿穩(wěn)定四、壓桿穩(wěn)定1 1、壓桿穩(wěn)定的概念、壓桿穩(wěn)定的概念2 2、細(xì)長(zhǎng)壓桿臨界力（、細(xì)長(zhǎng)壓桿臨界力（臨界軸力臨界軸力）的歐拉公式）的歐拉公式22)( lEIFcr或22Ecr3、歐拉公式的應(yīng)用范圍歐拉公式的應(yīng)用范圍PPE2）桿的柔度（或長(zhǎng)細(xì)比 iL

13、即僅適用于細(xì)長(zhǎng)桿！即僅適用于細(xì)長(zhǎng)桿！22)( lEIFcrN0.5l各種支承約束條件下各種支承約束條件下等截面細(xì)長(zhǎng)壓桿臨界力臨界力的歐拉公式支承情況兩端鉸支兩端鉸支一端固定另端鉸支兩端固定一端固定另端自由兩端固定但可沿橫向相對(duì)移動(dòng)失穩(wěn)時(shí)撓曲線形狀FcrABl臨界力Fcr歐拉公式長(zhǎng)度系數(shù)22lEIFcr22)7 . 0(lEIFcr22)5 . 0(lEIFcr22)2( lEIFcr22lEIFcr=1 0.7=0.5=2=1FcrABlFcrABl0.7lCCDC 撓曲線拐點(diǎn)C、D 撓曲線拐點(diǎn)0.5lFcrFcrl2llC 撓曲線拐點(diǎn)iL cr 22 Ecr bacrP S bass PPE

14、 2 4 4、中小柔度桿的臨界應(yīng)力計(jì)算與臨界應(yīng)力總圖、中小柔度桿的臨界應(yīng)力計(jì)算與臨界應(yīng)力總圖SPSPscrbaE),(22最大彎曲拉、壓應(yīng)力最大彎曲拉、壓應(yīng)力五、結(jié)構(gòu)的安全校核五、結(jié)構(gòu)的安全校核實(shí)際工作安全系數(shù)計(jì)算實(shí)際工作安全系數(shù)計(jì)算彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度校核彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度校核低碳鋼等塑性材料塑性材料：stsstsnnmaxmax|或鑄鐵等脆性材料脆性材料：stcbstcbcsttbsttbtnnnnmaxmaxmaxmax|)()(|)()(或或?qū)嶋H工實(shí)際工作安全作安全系數(shù)系數(shù)強(qiáng)度安強(qiáng)度安全系數(shù)全系數(shù)( (規(guī)范規(guī)范) )某物理量實(shí)際工作值某物理量上限n強(qiáng)度理論校核強(qiáng)度理論校核鑄鐵等脆性材料脆性材料：

15、strtbsttbrstrtbsttbrnnnn2211)()()()(或或?qū)嶋H工實(shí)際工作安全作安全系數(shù)系數(shù)低碳鋼等塑性材料塑性材料：strsstsrstrsstsrnnnn4433或或SPSPscrbaE),(22強(qiáng)度許用應(yīng)力強(qiáng)度許用應(yīng)力),(Ecr壓桿穩(wěn)定校核壓桿穩(wěn)定校核wcrwcrcrnn工作或工作實(shí)際工作安全系數(shù)實(shí)際工作安全系數(shù)穩(wěn)定安穩(wěn)定安全系數(shù)全系數(shù)( (規(guī)范規(guī)范) )p動(dòng)載荷小結(jié)動(dòng)載荷小結(jié)（一）垂直沖擊型（一）垂直沖擊型勢(shì)能完全轉(zhuǎn)化為結(jié)構(gòu)的變形能勢(shì)能完全轉(zhuǎn)化為結(jié)構(gòu)的變形能動(dòng)荷系數(shù)：動(dòng)荷系數(shù)：)211 (stdhK（二）（二）“水平水平”沖擊型沖擊型動(dòng)能完全轉(zhuǎn)化為結(jié)構(gòu)變形動(dòng)能完全轉(zhuǎn)化

16、為結(jié)構(gòu)變形能能動(dòng)荷系數(shù)：動(dòng)荷系數(shù)：stdgvK2（三）一般沖擊型（三）一般沖擊型機(jī)械能完全轉(zhuǎn)化為結(jié)構(gòu)變形能機(jī)械能完全轉(zhuǎn)化為結(jié)構(gòu)變形能動(dòng)荷系數(shù)：動(dòng)荷系數(shù)：stddK當(dāng)當(dāng) h0 時(shí)，時(shí)，2dK計(jì)算步驟：計(jì)算步驟：計(jì)算（P P 或或 mgmg）靜態(tài)作用在結(jié)構(gòu)沖擊處時(shí)的靜位移st計(jì)算動(dòng)荷系數(shù)K Kd d：st2dgvK )211 (stdHK.)(.)(內(nèi)內(nèi)力力、應(yīng)應(yīng)力力、變變形形靜靜響響應(yīng)應(yīng)動(dòng)動(dòng)荷荷系系數(shù)數(shù)內(nèi)內(nèi)力力、應(yīng)應(yīng)力力、變變形形動(dòng)動(dòng)響響應(yīng)應(yīng) dK計(jì)算動(dòng)響應(yīng)：.，例例如如：stddK用能量守恒原理直接計(jì)算Kd“垂直垂直”沖擊型沖擊型“水平水平”沖擊型沖擊型一般沖擊型一般沖擊型例：已知：例：已知：

17、d1=0.3m, l=6m, P=5kN, E1=10Gpa, 求以下求以下兩種情況的動(dòng)應(yīng)力。兩種情況的動(dòng)應(yīng)力。 （1）H=1m自由下落；（自由下落；（2）H=1m, 增設(shè)橡皮墊增設(shè)橡皮墊d2=0.15m, h=20mm,E2=8Mpa. HPPhld1d1d2解：解：（1 1） =0.0425 mm 11AEPlst218211stdHKMPaKstdd42.15(2) 2211AEPhAEPlst=0.75mm, Kd=52.3 MPaKstdd7 . 3例：已知：例：已知：P=2.88kN, H=6cm; 梁：梁： E=100GPa, I=100cm4, l=1m。柱：。柱：E1=72G

18、pa, I1=6.25cm4, A1=1cm2, a=1m, P=62.8, cr=373-2.15, nst=3。試。試校核柱的穩(wěn)定性。校核柱的穩(wěn)定性。 H L L a 解：（解：（1 1）求柱的動(dòng)載荷）求柱的動(dòng)載荷 mmAEPaEIlPst9 . 4448)2(11305. 6211stdHKkNFKFstdd71. 8288. 205. 6（2）柱的穩(wěn)定性校核）柱的穩(wěn)定性校核 7 .28,40,2511111AFiammAIicrcrPkNstdcrnFFn3 . 3柱是穩(wěn)定的。柱是穩(wěn)定的。 dxEIxMxMLZc0計(jì)算轉(zhuǎn)角的莫爾定理計(jì)算轉(zhuǎn)角的莫爾定理p莫爾定理莫爾定理又稱單位力法p適用

19、范圍適用范圍線性彈性結(jié)構(gòu)原受力結(jié)構(gòu)l 321PPPEIzCx克隆結(jié)構(gòu)lCx1EIzcp能量法小結(jié)能量法小結(jié)VVuUd結(jié)構(gòu)結(jié)構(gòu)應(yīng)變能應(yīng)變能結(jié)構(gòu)結(jié)構(gòu)余能余能0332211uddd其中：非線性問題應(yīng)變能密度(單位體積應(yīng)變能)VcCVuUd*0332211*cuddd其中：余能密度(單位體積余能)一般情形下的一般情形下的結(jié)構(gòu)結(jié)構(gòu)應(yīng)變能應(yīng)變能和和結(jié)構(gòu)結(jié)構(gòu)余能余能: :(Complementary Energy) (Strain Energy) p能量法小結(jié)能量法小結(jié)彈性體內(nèi)的彈性體內(nèi)的應(yīng)變應(yīng)變能能式中式中 彈性體內(nèi)的彈性體內(nèi)的余能余能;*CU卡氏第一定理卡氏第一定理iiUP卡氏第二定理卡氏第二定理iiP

20、UU對(duì)于線彈性結(jié)構(gòu)對(duì)于線彈性結(jié)構(gòu)，變形能對(duì)任一外力，變形能對(duì)任一外力的偏導(dǎo)數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)等于等于作用點(diǎn)沿作用點(diǎn)沿 方向的方向的位移。位移。iPiPiP(Castiglianos first theorem) (Castiglianos second theorem) (可用于非線性材料可用于非線性材料)余能原理余能原理(Crotti-Engesser theorem) (可用于非線性材料可用于非線性材料)iCiPU*p能量法小結(jié)能量法小結(jié)卡氏第二定理卡氏第二定理FUii桁架結(jié)構(gòu)桁架結(jié)構(gòu)njiNjjjjNjiFFAElF1梁與剛架結(jié)構(gòu)梁與剛架結(jié)構(gòu)liidxFxMEIxM)()( 用能量法解超靜定系統(tǒng)

21、用能量法解超靜定系統(tǒng): :（1 1）解除多余約束，基本靜定系；）解除多余約束，基本靜定系；（2 2）建立變形協(xié)調(diào)條件；）建立變形協(xié)調(diào)條件； （3 3）用能量原理建立物理關(guān)系，得補(bǔ)充方程；）用能量原理建立物理關(guān)系，得補(bǔ)充方程；（4 4）求解補(bǔ)充方程；）求解補(bǔ)充方程；（5 5）進(jìn)行其他計(jì)算。）進(jìn)行其他計(jì)算。 p 溫度應(yīng)力溫度應(yīng)力靜定問題靜定問題：溫度引起的變形不會(huì)在桿中產(chǎn)生內(nèi)力。：溫度引起的變形不會(huì)在桿中產(chǎn)生內(nèi)力。超靜定問題超靜定問題：由于多余約束，溫度變化所引起的變：由于多余約束，溫度變化所引起的變形受到限制，從而將在桿中產(chǎn)生內(nèi)力。這種內(nèi)力稱形受到限制，從而將在桿中產(chǎn)生內(nèi)力。這種內(nèi)力稱為為溫度內(nèi)

22、力溫度內(nèi)力。其相應(yīng)的應(yīng)力則稱為。其相應(yīng)的應(yīng)力則稱為溫度應(yīng)力溫度應(yīng)力。 桿的變形桿的變形包括兩部分：即由溫度變化所引起的變形，包括兩部分：即由溫度變化所引起的變形，以及與溫度內(nèi)力相應(yīng)的彈性變形以及與溫度內(nèi)力相應(yīng)的彈性變形。 例例 圖示的等直桿圖示的等直桿 AB 的兩端分別與剛性支承連接。的兩端分別與剛性支承連接。設(shè)兩支承間的距離設(shè)兩支承間的距離(即桿長(zhǎng)即桿長(zhǎng))為為l，桿的橫截面面積為，桿的橫截面面積為A，材料的彈性模量為材料的彈性模量為E，線膨脹系數(shù)為，線膨脹系數(shù)為 l。試求溫度升。試求溫度升高高 t時(shí)桿內(nèi)的溫度應(yīng)力。時(shí)桿內(nèi)的溫度應(yīng)力。 解解：一次超靜定：一次超靜定 （1）變形：如桿只有一端）變形