第7次課-鏡像法及電軸法

1、第第 一一 章章靜靜 電電 場場1.7 1.7 鏡像法與電軸法鏡像法與電軸法Image Method and Electric Axis Method鏡像法與電軸法的基本思想鏡像法與電軸法的基本思想 根據(jù)唯一性定理，用虛設(shè)的簡單分布電荷替代未知的復(fù)根據(jù)唯一性定理，用虛設(shè)的簡單分布電荷替代未知的復(fù)雜分布電荷，把求解偏微分方程的問題轉(zhuǎn)化為求解簡單分布雜分布電荷，把求解偏微分方程的問題轉(zhuǎn)化為求解簡單分布電荷電場的問題。是唯一性定理的典型應(yīng)用之例，可使某些電荷電場的問題。是唯一性定理的典型應(yīng)用之例，可使某些問題化難為易。問題化難為易。 鏡像法是一種求解邊值問題的間接計算方法。用放置在鏡像法是一種求解邊

2、值問題的間接計算方法。用放置在所求場域之外的假想的鏡像電荷等效替代導(dǎo)體表面感應(yīng)電荷所求場域之外的假想的鏡像電荷等效替代導(dǎo)體表面感應(yīng)電荷或介質(zhì)分界面極化電荷對電場分布的影響?；蚪橘|(zhì)分界面極化電荷對電場分布的影響。 只要不改變求解區(qū)域的電荷分布，邊界條件和邊值關(guān)系，只要不改變求解區(qū)域的電荷分布，邊界條件和邊值關(guān)系，鏡像電荷可以取代感應(yīng)電荷，鏡像電荷在所考慮區(qū)域產(chǎn)生的鏡像電荷可以取代感應(yīng)電荷，鏡像電荷在所考慮區(qū)域產(chǎn)生的電場就是感應(yīng)電荷產(chǎn)生的電場。電場就是感應(yīng)電荷產(chǎn)生的電場。第第 一一 章章靜靜 電電 場場1.7.1 鏡像法（Image Method)圖1.7.1 平面導(dǎo)體的鏡像 方程相同，邊界條件相

3、同，解惟一。空氣中除點電荷外0導(dǎo)板qSSD d，02a02上半場域除點電荷外b04400rqrqqSSD d1. 1. 點電荷對平面導(dǎo)體的鏡像點電荷對平面導(dǎo)體的鏡像第第 一一 章章靜靜 電電 場場上半場域的電位和電場上半場域的電位和電場201044rqrqp - -q q 是虛設(shè)的電荷，稱為鏡像電荷，用來替代導(dǎo)板是虛設(shè)的電荷，稱為鏡像電荷，用來替代導(dǎo)板上復(fù)雜分布的感應(yīng)電荷的作用；上復(fù)雜分布的感應(yīng)電荷的作用；注意注意鏡像電荷應(yīng)放置在所求區(qū)域（有效區(qū)）以外；鏡像電荷應(yīng)放置在所求區(qū)域（有效區(qū)）以外；根據(jù)疊加原理，導(dǎo)板上方有任意分布的電荷時也可根據(jù)疊加原理，導(dǎo)板上方有任意分布的電荷時也可作相應(yīng)的鏡像。

4、作相應(yīng)的鏡像。pr1r22220121044rrperqerqE第第 一一 章章靜靜 電電 場場地面上感應(yīng)電荷的總量為（方向指向地面）EEE204cos2rqE2/3220)(2xhqh2/3220)(2xhqhEDnpxxxhqhSSpd2)(2d02/322q例1.7.1 試求空氣中點電荷 q 在地面引起的感應(yīng)電荷分布。解：設(shè)點電荷 q 鏡像后圖1.7.2 地面電荷分布第第 一一 章章靜靜 電電 場場鏡像法小結(jié) 鏡像法的理論基礎(chǔ)是： 鏡像法的實質(zhì)是：鏡像法的關(guān)鍵是： 鏡像電荷（電軸）只能放在待求場域以外的區(qū) 域。疊加時，要注意場的適用區(qū)域。 用虛設(shè)的鏡像電荷替代未知電荷的分布，使計算場域為

5、無限大均勻媒質(zhì)；靜電場惟一性定理；確定鏡像電荷的個數(shù)、大小及位置；應(yīng)用鏡像法解題時，注意：第第 一一 章章靜靜 電電 場場點電荷位于接地導(dǎo)體球外的邊值問題（除q點外的空間)002球面r0442010rqrqpcos2cos222222221RbRbrRdRdr 設(shè)鏡像電荷 如圖，球面電位 q圖1.7.3 點電荷對接地導(dǎo)體球的鏡像2. 2. 點電荷對球面導(dǎo)體的鏡像點電荷對球面導(dǎo)體的鏡像第第 一一 章章靜靜 電電 場場0cos)(2)()(22222222bqdqRRdqRbq將 r1, r2 代入方程 ，得012rqrq00)()(22222222bqdqRdqRbq聯(lián)立求解得到qdRqdbqd

6、Rb2鏡像電荷位置鏡像電荷大小第第 一一 章章靜靜 電電 場場球外任一點 P 的電位與電場為201044rqrqp2122021044rrPrdqRrqeeE圖1.7.5 球外的電場分布鏡像電荷放在當(dāng)前求解的場域外。鏡像電荷等于負(fù)的感應(yīng)電荷總量。圖1.7.4 球外的電場計算第第 一一 章章靜靜 電電 場場例1.7.2 不接地金屬球附近放置點電荷q的電場分布。 則dRbqdRq2 ,)dd1(421222120rrrrRrRrqeeeE任一點場強解： 邊值問題0d const02SSSD（除q點外的空間)通量為零（ 大小相等） - , qq球面等位（ 位于球心） q思路圖1.7.6 不接地金屬球

7、的鏡像第第 一一 章章靜靜 電電 場場圖1.7.7 點電荷位于不接地導(dǎo)體球附近的場圖任一點電位)dd1(4210rRrRrqdq04球面電位第第 一一 章章靜靜 電電 場場3. 不同介質(zhì)分界面的鏡像t2t1EEn2n1DD根據(jù)惟一性定理圖1.7.9 點電荷對無限大介質(zhì)分界面的鏡像cos4 cos4cos4222121rqrqrqqq2121qq2122 和解得sin4 sin4sin4222rqrqrq第第 一一 章章靜靜 電電 場場圖1.7.10 電場分布圖試確定下圖鏡像電荷的個數(shù)、大小與位置。思考題： 中的電場由 q 與 q 共同產(chǎn)生，q等效替代極化電荷的影響。 1 中的電場由 q” 決定

8、，q” 等效替代自由電荷與極化電荷的作用。 2圖1.7.11 點電荷 q1 與 q2 分別置于 與 區(qū)域中12思考提示第第 一一 章章靜靜 電電 場場1.7.2 電軸法（Electric Axis Method）(導(dǎo)線以外的空間)02constB導(dǎo)體S電荷分布不均,dSDS電荷分布不均勻,dSDconstA導(dǎo)體能否用高斯定律求解？思考邊值問題1.7.12 長直平行雙傳輸線第第 一一 章章靜靜 電電 場場1. 兩根細(xì)導(dǎo)線產(chǎn)生的電位11001ln2d21CQ以 y 軸為參考電位， C=0， 則 ()lnln()Px byx by2222201022令： C， 等位線方程P22222)()(Kybx

9、ybxCP12021ln22202ln2C圖1.7.13 兩根帶電細(xì)導(dǎo)線第第 一一 章章靜靜 電電 場場K 取不同值時，得到一族偏心圓。a、h、b滿足關(guān)系22ba 222222)12()11(KbKybKKx整理后，等位線方程0, h圓心坐標(biāo)圓半徑122KbKa)(222bhbhbha圖1.7.14 兩根細(xì)導(dǎo)線的等位線bKKh1122222)12(bKbK222)11(bKK2h第第 一一 章章靜靜 電電 場場xyEExydd4)2(212212KbKyx 根據(jù) ，得到 Ex 和 Ey 分量E圖1.7.15 兩細(xì)導(dǎo)線的場圖E 線方程第第 一一 章章靜靜 電電 場場2. 電軸法)11(22102

10、1eeEP( 以 y 軸為參考電位)例1.7.3 試求兩帶電長直平行傳輸線的電場及電位分布。b) 圓柱導(dǎo)線間的電場與電位 解：a) 取圓柱坐標(biāo)系120ln2p22ahb電軸位置圖1.7.16 平行傳輸線電場的計算第第 一一 章章靜靜 電電 場場例1.7.4 試決定圖示不同半徑平行長直導(dǎo)線的電軸位置。212222221212hhdahbahb圖1.7.17 不同半徑傳輸線的電軸位置解：daadhdaadh22212222222121Cp1202 ln第第 一一 章章靜靜 電電 場場1）參考電位的位置；2）有效區(qū)域。habhabhhd222112222221解：例1.7.5 試確定圖示偏心電纜的電軸位置。注意：圖1.7.18 偏心電纜電軸位置daadhdaadh22212222222121Cp1202 ln第第 一一 章章靜靜 電電 場場例1.7.6 已知平行傳輸線之間電壓為U0, 試求電位分布。22)2(adb)()(ln)()(ln200ahbahbahbahbUhdahb2222解： 確定電軸的位置120ln2120ln)()(ln2ahbahbU所以設(shè)電軸線電荷 ，任一點電位圖1.7.19 電壓為U0的傳輸線 第第 一一 章