不定積分教案

1、第五章 不定積分 教學安排說明章節(jié)題目：5.1 不定積分的概念 5.2 不定積分的性質5.3 換元積分法 5.4 分部積分法學時分配：共6學時。5.1 不定積分的概念 1學時5.2 不定積分的性質 1學時5.3 換元積分法 2學時 5.4 分部積分法 2學時本章教學目的與要求：理解并掌握原函數(shù)與不定積分的概念；熟練掌握不定積分的基本公式和基本積分方法，熟練地利用換元積分法與分部積分法求不定積分。課 堂 教 學 方 案（一）課程名稱：5.1 不定積分的概念；5.2 不定積分的性質授課時數(shù)：2學時授課類型:理論課教學方法與手段：講授法教學目的與要求：理解并掌握原函數(shù)與不定積分的概念；熟練掌握不定積

2、分的基本公式，了解不定積分的基本運算法則，能夠用不定積分的基本公式和性質求不定積分教學重點、難點：教學重點：原函數(shù)和不定積分的概念,不定積分的性質及幾何意義，不定積分的基本公式；教學難點：不定積分的概念及幾何意義和用不定積分的性質求不定積分。教學內容5.1 不定積分的概念1.原函數(shù)與不定積分在微分學中，我們討論了求已知函數(shù)的導數(shù)與微分的問題。但是，在科學、技術和經(jīng)濟的許多問題中，常常還需要解決相反的問題，也就是要由一個函數(shù)的已知導數(shù)（或微分），求出這個函數(shù)。這種由函數(shù)的已知導數(shù)（或微分）去求原來的函數(shù)的運算，稱為不定積分，這是積分學的基本問題之一。定義1 如果函數(shù)與為定義在某同一區(qū)間內的函數(shù),

3、并且處處都有 或, 則稱是的一個原函數(shù).根據(jù)導數(shù)公式或微分公式,我們很容易得出一些簡單函數(shù)的原函數(shù).如 ， 故是的一個原函數(shù)； ， 故也是的一個原函數(shù)；， 故是的一個原函數(shù)；， 故也是的一個原函數(shù).由此可見,一個函數(shù)的原函數(shù)并不是唯一的.對此有以下兩點需要說明：第一，若在某區(qū)間內為的一個原函數(shù)，即,則對任意常數(shù), 由于,所以函數(shù)都是的原函數(shù).這說明如果函數(shù)有原函數(shù),那么它就有無限多個原函數(shù).第二，若在某區(qū)間內為的一個原函數(shù)，那么，的其它原函數(shù)和有什么關系？設是在同一區(qū)間上的另一個原函數(shù)，即，于是有由于導數(shù)恒為零的函數(shù)必為常數(shù)，因此即這說明的任意兩個原函數(shù)之間只差一個常數(shù).因此,如果是的一個原函

4、數(shù),則的全體原函數(shù)可以表示為 (其中為任意常數(shù)).為了更方便地表述一個函數(shù)的全體原函數(shù),我們引入下面不定積分的概念.2.不定積分的概念定義2 函數(shù)在某區(qū)間內的全體原函數(shù)稱為在該區(qū)間內的不定積分,記為 ，其中記號稱為積分號,稱為被積函數(shù),稱為被積表達式,稱為積分變量.即 .這說明,要計算函數(shù)的不定積分,只需求出它的一個原函數(shù),再加上任意常數(shù)就可以了.例1 求的不定積分.解：因為,所以 例2 求的不定積分.解：因為,所以 3.不定積分學的幾何意義 不定積分的幾何意義:若是的一個原函數(shù)，則稱的圖象為的一條積分曲線.于是,的不定積分在幾何上表示的某一條積分曲線沿縱軸方向任意平移所得一組積分曲線組成的曲

5、線族.若在每一條積分曲線上橫坐標相同的點處作切線,則這些切線互相平行(如圖-1),任意兩條曲線的縱坐標之間相差一個常數(shù).給定一個初始條件,就可以確定一個常數(shù)的值，因而就確定了一個原函數(shù)，于是就確定了一條積分曲線例3設曲線通過點,且其上任一點處的切線斜率等于這點橫坐標的兩倍,求此曲線的方程解：設所求的曲線方程為,按題設，曲線上任一點處的切線斜率為 說明是的一個原函數(shù).因為的全體原函數(shù)為，所以曲線方程為,又由于曲線過點,故, 解得,于是所求曲線為 .例4 一物體作直線運動，速度為路程為3m，求物體的運動方程。 解：設物體的運動方程為依題意有所以 將一般，若是函數(shù)的原函數(shù)，那么所表示的曲線稱為的一條

6、積分曲線。不定積分在幾何上表示由積分曲線沿軸方向上下平移而得到的一族曲線，稱為積分曲線族。這就是不定積分的幾何意義。課堂練習：填空 小結：本節(jié)講述了原函數(shù)的概念，不定積分的概念，性質及幾何意義。4.基本積分表及常用的積分公式第一節(jié)我們知道積分與微分互為逆運算，因此由第二章的導數(shù)的基本公式可以相應地寫出不定積分的基本公式。列表如下：（1） (是常數(shù))；（2） ；（3）；（4） ；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）；（11）；（12）；（13）；以上13個基本積分公式是求不定積分的基礎,若能熟記,則對不定積分的運算會起到關鍵性的作用.以上11個公式是求不定積分的基礎，必須熟記。例5求

7、下列不定積分：（1） （2） （3） 解：(1) (2) (3) 5.2 不定積分的性質根據(jù)不定積分的定義，可以得到其如下性質：性質1 兩個函數(shù)之和(差)的不定積分等于這兩個函數(shù)的不定積分之和(差),即.證明：根據(jù)導數(shù)的運算法則，因此是的原函數(shù),而且上式含有不定積分記號,因此已經(jīng)含有任意常數(shù),故上式即為的不定積分.證畢.類似可證明如下性質.性質2 不為零的常數(shù)因子可以移到積分號前例1 求不定積分解：.例2 求解：=例3 求不定積分.解：.例4 求不定積分.解：.注意：在分項積分后，每個不定積分的結果都應有一個積分常數(shù)，但任意常數(shù)的和仍是常數(shù)，因此最后結果只要寫一個任意常數(shù)即可。例5 求解：例6

8、求 解：上面例題都是屬于基本積分法的應用，就是利用基本積分公式和積分運算法則直接求不定積分.但有時并不是被積函數(shù)直接就符合基本積分公式，需要對被積函數(shù)作適當?shù)暮愕茸儞Q. 如用代數(shù)運算或三角關系等對被積函數(shù)進行變形，是變形后的被積函數(shù)能直接使用基本公式和運算法則求出不定積分.例7求解：例8 求不定積分.解：.例9求不定積分.解：.例10 求不定積分.解：由于 ，所以小結：本節(jié)講述了不定積分的基本公式和基本運算法則，以及利用直接積分法求函數(shù)的積分方法。 作業(yè)：P151 1；3（1）（4）（6）（7）（10）（11）課 堂 教 學 方 案（二）課程名稱：5.3換元積分法授課時數(shù)：2學時授課類型:理論

9、課教學方法與手段：講授法教學目的與要求：掌握第一類換元積分法和第二類換元積分法求不定積分的基本方法和步驟；強調第二類換元積分法與第一類換元積分法之間的區(qū)別；了解第二類換元積分法適用的函數(shù)類型教學重點、難點：教學重點：第一類換元積分法和第二類換元積分法；教學難點：第一類換元積分法中中間變量的選取，靈活地運用微分公式湊微分第二類換元積分法中適當選取單調連續(xù)函數(shù)，將積分化為積分，求出結果。教學內容5.3 換元積分法有時僅僅依靠不定積分的性質和基本積分表來計算不定積分是非常有限的,因此有必要討論求不定積分的一種重要方法,其實質是把復合函數(shù)的求導法則反過來用于求不定積分,也就是利用變量代換來求不定積分,

10、這種方法稱為換元積分法.按照換元方式的不同,通常把換元法分為兩類.1不定積分的第一類換元法(湊微分法)例1 求不定積分分析 基本積分公式表中沒有與該積分一致的公式,因此該積分不能直接由積分公式與不定積分的性質求得.但注意到是復合函數(shù),且,于是可做如下的變換和計算:解 (令), (將回代),由,驗證上述積分結果正確.一般地，對于積分，總可以作變換，把它化為 .一般地,有:定理1 若且可導,則定理1表明,在基本積分公式中,將換成任一可導函數(shù)后公式仍然成立,從而擴充了基本積分公式的使用范圍.定理中的結論可表示為即 由此得到如下求不定積分的步驟,即（湊微分） （令） （積分公式） （將回代）.上述方法

11、稱為第一類換元法或湊微分法.注意：如果中間換了元，積分完了后，一定要回代，即將積分后的函數(shù)中的變量換成；如果熟練過后，可以不要換元這步，就將當作一個變量來積分即可，最后也不需要回代了。例2 求不定積分.解：利用湊微分方法,此時（湊微分） (換元,令) (將回代). 例3 求解：例4求解：=例5求 解：例6 求不定積分.解： (湊微分公式) (令) (將回代).注: 一般情形有當運算熟練后,可以不把換元和回代過程寫出來,而是直接計算下去.例7 求不定積分解：依據(jù)不定積分的第一類換元法，有，所以例8 求不定積分.解：例9 求 解：= =例10 求 解：例11 求 解：例12 求不定積分.解：同理例

12、13 求不定積分.解：方法一 ； 方法二 ； 方法三 .在此例中三種方法得到的結果并不一樣,這說明不定積分的結果不是唯一的,采用不同的方法,可以出現(xiàn)不同形式的結果.但不同形式的結果,他們之間只相差一個常數(shù).例14 求不定積分.解： .同理 例15 求不定積分解：依據(jù)不定積分的第一類換元法，有，即例16求不定積分解：湊微分，有第一類換元積分法在積分中是經(jīng)常使用的方法,不過如何適當?shù)剡x取代換卻沒有一般的規(guī)律可循,只能具體問題具體分析.要掌握好這種方法,需要熟記一些函數(shù)的微分公式,并善于根據(jù)這些微分公式對被積表達式做適當?shù)奈⒎肿冃?下面是部分經(jīng)常使用湊微分法的積分類型及其湊微分的方法:（1）；（2）

13、；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）2第二類換元積分法第一類換元積分法是先湊微分,再用新變量代替,但是有些不定積分需要作相反方式的換元,即令,把作為新的積分變量,從而簡化積分計算,最后再將回代.例17 求不定積分解：令 即 ，此時，于是再將 回代,整理后得一般地,定理2（第二類換元積分法） 設函數(shù)在某區(qū)間上連續(xù),又在對應的區(qū)間上的導數(shù)連續(xù),且，則有換元公式，其中是的反函數(shù).對于被積函數(shù)中含有的不定積分,可令,即作變換, ,以簡化計算. 例18 求解：令 =例19 求不定積分解：令則例20 求不定積分解：令,則，于是有再將回代,得如果被積函數(shù)中含有二次根式,時,通常

14、采用三角函數(shù)換元的方法去掉根號:含時,設;含時,設;含時,設.例21 求不定積分.解：令, ,于是 再由,得,將其回代上式,得, 例22 求解：令于是，根據(jù)知，因此 = =（其中C=）例23 求不定積分解：，令, 則有，再將回代,得到，其中例24 求不定積分解：令，則有其中 .綜上所述，當被積函數(shù)含有形如的根式時，可作如上三種變換，上述三種變換稱為三角代換。有些函數(shù)即可用第一類換元法又可用第二類換元積分法來積分。上面的三個例子中，最后的回代過程可借助直角三角形的邊角關系進行。如當被積函數(shù)中含時,設,可作輔助直角三角形如圖,易得等其它三角函數(shù)值；當含有含時,設,可作輔助直角三角形如圖4-3；當含

15、有時,設,可作輔助直角三角形如圖4-4,圖5-1利用直角三角形的邊角關系,即可找出積分結果中新變量的三角函數(shù)還原為原積分變量的關系式下面再列出部分初等函數(shù)的不定積分，以補充基本積分公式表：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）有些函數(shù)即可用第一類換元法又可用第二類換元積分法來積分。例25 求 解1: 用第一類換元法，得 =解2:用第二類換元法。令 =課堂練習小結：本節(jié)分別講述了用第一類、第二類換元積分法求函數(shù)的積分 作業(yè)：P189 3 (2)(3)(6)(7)(8)(9)(10)(15)(17)(20) 4 (1)(4)(5)(6)課 堂 教 學 方 案（三）課

16、程名稱：5.4 分部積分法授課時數(shù)：2學時授課類型:理論課教學方法與手段：講授法教學目的與要求：掌握分部積分法的步驟和積分法適用的函數(shù)類型。教學重點、難點：教學重點：分部積分法公式的使用，正確地選取函數(shù)求出不定積分；教學難點：用分部積分法時，掌握對不同的函數(shù)積分怎樣選擇 的原則，使不定積分容易求出。教學內容5.4 分部積分法前面介紹的換元積分法雖然可以解決很多的積分計算問題，但有些積分，如等等,利用換元法求解還是無法完成的.本節(jié)我們介紹另一種基本積分方法分部積分法.設具有連續(xù)導數(shù)，則由函數(shù)求導法則得：, 移項得: ,所以有 （1）或者 （2）式（1）或式（2）稱為分部積分公式利用分部積分公式求

17、不定積分的關鍵在于如何將所給積分化為或形式, 也就是選擇好,一般情況下,選擇,可按照反三角函數(shù),對數(shù)函數(shù),冪函數(shù),三角函數(shù),指數(shù)函數(shù)的順序,把排在前面的那類函數(shù)選作,而把排在后面的那類函數(shù)選作這樣使它更容易計算.例1求不定積分.解：令，則在使用分部積分法時,可不必按部就班地寫出的表達式,而直接按照公式（1）寫出求解過程；另外，有些函數(shù)的積分需要連續(xù)多次應用分部積分法例2 求；解：令此題若令這樣新得到的積分反而比原積分更難求了。所以然在分部積分法中，的選擇不是任意的，如果選取不當，就得不出結果。在通常情況下，按以下兩個原則選擇：（1）要容易求，這是使用分部積分公式的前提；（2）要比容易求出，這是

18、使用分部積分公式的目的。例3 求；解：設注：在分部積分法中，的選擇有一定規(guī)律的。當被函數(shù)為冪函數(shù)與正（余）弦或指數(shù)函數(shù)的乘積時，往往選取冪函數(shù)為例4求不定積分.解： 例5 求不定積分.解：例6求；解：為使容易求得，選取例7 求不定積分.解：被積函數(shù)是反三角函數(shù)和冪函數(shù)的乘積,故選取,于是，再利用換元積分法得例8 求；解：設例9 求。解：注：如果被積函數(shù)含有對數(shù)函數(shù)或反三角函數(shù)，可以用考慮用分部積分當，并設對數(shù)函數(shù)或反三角函數(shù)為。注：在分部積分法應用熟練后，可把認定的，記在心里在而不寫出來，直接在分部積分公式中應用。還有一類積分的求解過程是通過分部積分，獲得所求不定積分滿足的一個方程，然后把不定積分解出來這也是一種比較典型的求不定積分的方法，特別是被積函數(shù)為三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的乘積時是經(jīng)常用到的例10 求不定積分.解：再次利用分部積分法,得到由上述等式可解得例11 求；解：由于上式第三項就是所求的積分，把它移到等式左邊，得故 注：如果被積函數(shù)為指數(shù)函