高等數(shù)學(xué)函數(shù)、極限和連續(xù)

1、第一章 函數(shù)、極限和連續(xù)§1.1 函數(shù)一、 主要內(nèi)容 函數(shù)的概念1. 函數(shù)的定義: y=f(x), xD定義域: D(f), 值域: Z(f).y=f(x)xD2.分段函數(shù): 1g(x)xD23.隱函數(shù): F(x,y)= 04.反函數(shù): y=f(x) x=(y)=f-1(y) y=f-1 (x)定理:如果函數(shù): y=f(x), D(f)=X, Z(f)=Y 是嚴(yán)格單調(diào)增加(或減少)的； 則它必定存在反函數(shù)：y=f-1(x), D(f-1)=Y, Z(f-1)=X且也是嚴(yán)格單調(diào)增加(或減少)的。 函數(shù)的幾何特性1.函數(shù)的單調(diào)性: y=f(x),xD,x1、x2D 當(dāng)x1x2時(shí),若f(x

2、1)f(x2),則稱f(x)在D內(nèi)單調(diào)增加( )；若f(x1)f(x2),則稱f(x)在D內(nèi)單調(diào)減少( )；若f(x1)f(x2),則稱f(x)在D內(nèi)嚴(yán)格單調(diào)增加( )；若f(x1)f(x2),則稱f(x)在D內(nèi)嚴(yán)格單調(diào)減少( )。2.函數(shù)的奇偶性：D(f)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 偶函數(shù)：f(-x)=f(x)奇函數(shù)：f(-x)=-f(x)3.函數(shù)的周期性：周期函數(shù)：f(x+T)=f(x), x(-，+) 周期：T最小的正數(shù)4.函數(shù)的有界性： |f(x)|M , x(a,b) 基本初等函數(shù)1.常數(shù)函數(shù)： y=c ， (c為常數(shù))2.冪函數(shù)： y=xn , (n為實(shí)數(shù))3.指數(shù)函數(shù)： y=ax , (a0、

3、a1)4.對(duì)數(shù)函數(shù)： y=loga x ,(a0、a1)5.三角函數(shù)： y=sin x , y=con xy=tan x , y=cot xy=sec x , y=csc x6.反三角函數(shù)：y=arcsin x, y=arccon xy=arctan x, y=arccot x 復(fù)合函數(shù)和初等函數(shù)1.復(fù)合函數(shù)： y=f(u) , u=(x)y=f(x) , xX2.初等函數(shù):由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運(yùn)算（加、減、乘、除）和復(fù)合所構(gòu)成的，并且能用一個(gè)數(shù)學(xué)式子表示的函數(shù)§1.2 極 限一、 主要內(nèi)容極限的概念1. 數(shù)列的極限: limynn=A稱數(shù)列或稱數(shù)列ynynyn以常數(shù)A為極

4、限; 收斂于A. 定理: 若的極限存在yn必定有界.2.函數(shù)的極限：當(dāng)x時(shí)，f(x)的極限：limf(x)=Ax-limf(x)=Ax limf(x)=A x+當(dāng)xx0時(shí)，f(x)的極限：limf(x)=A xx0左極限：xx0lim-f(x)=A右極限：xx0lim+f(x)=A函數(shù)極限存的充要條件：定理：xx0limf(x)=Alim-f(x)=lim+f(x)=Axx0xx0無窮大量和無窮小量1 無窮大量：limf(x)=+f(x)為無窮大量。x+,x,xx,xx,xx0稱在該變化過程中 X再某個(gè)變化過程是指： x-,無窮小量：-0+02 limf(x)=0f(x)為無窮小量。 稱在該變

5、化過程中3 無窮大量與無窮小量的關(guān)系：1limf(x)=0lim=+,(f(x)0)定理： f(x)4 無窮小量的比較：lim=0,lim=0lim=0 若,則稱是比較高階的無窮小量； lim=c 若 （c為常數(shù)），則稱與同階的無窮小量； 若lim=1，則稱與是等價(jià)的無窮小量，記作：；若lim=,則稱是比較低階的無窮小量。定理：若：11，22；則：lim12=lim12兩面夾定理1 數(shù)列極限存在的判定準(zhǔn)則：設(shè)：ynxnznnn （n=1、2、3） limy=limz=ann 且：limx=an 則： n2 函數(shù)極限存在的判定準(zhǔn)則：設(shè)：對(duì)于點(diǎn)x0的某個(gè)鄰域內(nèi)的一切點(diǎn)（點(diǎn)x0除外）有：g(x)f(

6、x)h(x)且： xx0limg(x)=limh(x)=Axx0則：xx0limf(x)=A極限的運(yùn)算規(guī)則若：limu(x)=A,limv(x)=B則：limu(x)±v(x)=limu(x)±limv(x)=A±Blimu(x)v(x)=limu(x)limv(x)=AB u(x)limu(x)Alim=(limv(x)0) v(x)limv(x)B推論：limu1(x)±u2(x)± ±un(x)=limu1(x)±limu2(x)± ±limun(x)limcu(x)=climu(x)limu(x)

7、=limu(x)nn兩個(gè)重要極限sin(x)sinxlim=1lim=1 1x0 或 (x)0 (x)x1xlim(1+)=elim(1+x)=e 2x x0x§1.3 連續(xù)一、 主要內(nèi)容 函數(shù)的連續(xù)性 1x1. 函數(shù)在x0處連續(xù)：f(x)在x0的鄰域內(nèi)有定義，x0 1ox0limy=limf(x0+x)-f(x0)=02oxx0limf(x)=f(x0)左連續(xù)：xx0lim-f(x)=f(x0)右連續(xù)：2. 函數(shù)在xx0lim+f(x)=f(x0)x0處連續(xù)的必要條件：定理：f(x)在x0處連續(xù)f(x)在x0處極限存在x0處連續(xù)的充要條件：xx0xx03. 函數(shù)在limf(x)=f

8、(x)limf(x)=limf(x)=f(x)00-+ 定理： xx04. 函數(shù)在a,bf(x)a,b在上連續(xù)： 上每一點(diǎn)都連續(xù)。在端點(diǎn)xaxba和b連續(xù)是指： limf(x)=f(a) 左端點(diǎn)右連續(xù)； + limf(x)=f(b)- 右端點(diǎn)左連續(xù)。a0 b x5. 函數(shù)的間斷點(diǎn)：若f(x)在x0處不連續(xù)，則x0為f(x)的間斷點(diǎn)。間斷點(diǎn)有三種情況：1o)x(fx0在處無定義；2oxx0limf(x)不存在；3o)x(fx0在處有定義，且xx0limf(x)。 存在， 但xx0limf(x)f(x0)兩類間斷點(diǎn)的判斷：1o第一類間斷點(diǎn)：特點(diǎn)：xx0lim-f(x)lim+f(x)和xx0都存在

9、。 可去間斷點(diǎn)：xx0limf(x)存在，但xx0limf(x)f(x0)，或)x(f在x0處無定義。2o第二類間斷點(diǎn)：特點(diǎn)：xx0lim-f(x)lim+f(x)和xx0至少有一個(gè)為， 或xx0limf(x)振蕩不存在。 無窮間斷點(diǎn)：xx0lim-f(x)lim+f(x)和xx0至少有一個(gè)為 函數(shù)在1. x0處連續(xù)的性質(zhì) 連續(xù)函數(shù)的四則運(yùn)算：設(shè)xx0limf(x)=f(x0)limg(x)=g(x0)，xx0 1oxx0limf(x)±g(x)=f(x0)±g(x0)2o xx0limf(x)g(x)=f(x0)g(x0)3o2. f(x)f(x0)lim=xx0g(x)

10、g(x0)復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性： limg(x)0 xx0y=f(u),u=(x),xx0y=f(x) lim(x)=(x0),xx0u(x0)limf(u)=f(x0) 則：3. limf(x)=flim(x)=f(x0)xx0反函數(shù)的連續(xù)性：y=f(x),xx0x=f(x),yy0-1y0=f(x0) -1-1 limf(x)=f(x0)limf(y)=f(y0)a,b上連續(xù)的性質(zhì) 函數(shù)在1.最大值與最小值定理：f(x)在a,b上連續(xù)f(x)在a,b上一定存在最大值與最小值。x2. 有界定理：f(x)在a,b上連續(xù)f(x)在a,b上一定有界。f(x)在a,b上連續(xù)在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn) 3

11、.介值定理：，使得：f()=c，其中：mcMxx推論：f(x)a,b在上連續(xù)，且f(a)與f(b)異號(hào)在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得：f()=0。4.初等函數(shù)的連續(xù)性：初等函數(shù)在其定域區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的。第二章 一元函數(shù)微分學(xué)§2.1 導(dǎo)數(shù)與微分一、主要內(nèi)容導(dǎo)數(shù)的概念1導(dǎo)數(shù)：y=f(x)在x0的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，f(x0+x)-f(x0)yli=li x0 xx0xf(x)-f(x0)=lim xx0x-x0dyy'x=x0=f'(x0)=dxx=x02左導(dǎo)數(shù)：f(x)-f(x0)f-'(x0)=lim- xx0x-x0f(x)-f(x0)f+'(x0

12、)=lim+ xx0x-x0右導(dǎo)數(shù)：定理：f(x)在x0的左（或右）鄰域上連續(xù)在其內(nèi)可導(dǎo)，且極限存在；則：f-'(x0)=lim-f'(x)xx0 （或：f+'(x0)=lim+f'(x)xx0）3.函數(shù)可導(dǎo)的必要條件：定理：f(x)在x0處可導(dǎo)f(x)在x0處連續(xù)4. 函數(shù)可導(dǎo)的充要條件：定理：y'x=x0'(x0)=f+'(x0)， =f'(x0)存在f- 且存在。5.導(dǎo)函數(shù)： y'=f'(x), x(a,b)y f(x)在(a,b)內(nèi)處處可導(dǎo)。 y f'(x0)6.導(dǎo)數(shù)的幾何性質(zhì)：f'(x0)

13、 是曲線y=f(x)上點(diǎn) x0 M(x0,y0)處切線的斜率。 o x 求導(dǎo)法則1.基本求導(dǎo)公式：2.導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算：1o2o （u±v)'=u'±v' （uv)'=u'v+uv'u'v-uv'u =2 3 (v0) vvo'3.復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：y=f(u),u=(x),y=f(x)dydydu=''' ，或 f(x)=f(x)(x) dxdudx''注意f(x)與f(x)的區(qū)別：f(x)'表示復(fù)合函數(shù)對(duì)自變量x求導(dǎo)；f'(x)表示復(fù)合函數(shù)對(duì)中間變

14、量(x)求導(dǎo)。f''(x),f'''(x),或f(3)(x) 4.高階導(dǎo)數(shù)：f(n)(x)=f(n-1)(x)',(n=2,3,4 ) 函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)等于其n-1導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)。微分的概念1.微分：f(x)在x的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，y=A(x)x+o(x)其中：A(x)與x無關(guān)，o(x)是比x較高o(x)lim=0 階的無窮小量，即：x0 x則稱y=f(x)在x處可微，記作：dy=A(x)xdy=A(x)dx (x0)f(x) 在 2.導(dǎo)數(shù)與微分的等價(jià)關(guān)系： 定理：x處可微f(x)在x處可導(dǎo)，且：3.微分形式不變性： f'(x)=A(x)dy=

15、f'(u)dudy都具有相同的形式。 不論u是自變量，還是中間變量，函數(shù)的 微分§2.2 中值定理及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用一、主要內(nèi)容中值定理1.羅爾定理: f(x)滿足條件:1在a,b上連續(xù)；在(a,b)內(nèi)至少2在(a,b)內(nèi)可導(dǎo);存在一點(diǎn),0 '3.f(a)=f(b).使得f()=0.o0.0.2. 1在a,b上連續(xù)，在一點(diǎn)，使得：02在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)；f(b)-f(a)f'()=b-a 0在(a,b)內(nèi)至少存羅必塔法則：（,0定理： 型未定式） f(x)和g(x)滿足條件：limf(x)=0(或）1olimg(x)=0(或）； xaxa2o在點(diǎn)a的某個(gè)鄰域內(nèi)可導(dǎo)，

16、且g'(x)0；f'(x)3oxlima()g'(x)=A,（或）f(x)f則：xlima()g(x)=xlim'(x)a()g'(x)=A,（或） 注意：1o法則的意義：把函數(shù)之比的極限化成了它們導(dǎo)數(shù)之比的極限。 2o若不滿足法則的條件，不能使用法則。0即不是0型或型時(shí)，不可求導(dǎo)。3o應(yīng)用法則時(shí)，要分別對(duì)分子、分母求導(dǎo)，而不是對(duì)整個(gè)分式求導(dǎo)。4o若f'(x)和g'(x)還滿足法則的條件， 可以繼續(xù)使用法則，即：f(x)f'(x)f''xlima()g(x)=xlima()g'(x)=xlim(x)a()g

17、''(x)=A5o若函數(shù)是0,-型可采用代數(shù)變000形，化成0或型；若是1,0,型可0采用對(duì)數(shù)或指數(shù)變形，化成0或型。導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用1 切線方程和法線方程：設(shè)：y=f(x),M(x0,y0)切線方程：y-y0=f'(x0)(x-x0)）（或1y-y0=-(x-x0),(f'(x0)0)法線方程： f'(x0)2 曲線的單調(diào)性：f'(x)0x(a,b)f(x)在(a,b)內(nèi)單調(diào)增加；f'(x)0x(a,b)f(x)在(a,b)內(nèi)單調(diào)減少 f'(x)>0x(a,b)在(a,b)內(nèi)嚴(yán)格單調(diào)增加；f'(x)<0x(a,b)

18、在(a,b)內(nèi)嚴(yán)格單調(diào)減 少3.函數(shù)的極值：極值的定義：設(shè)f(x)在(a,b)內(nèi)有定義，x0是(a,b)內(nèi)的一點(diǎn)；x0的某個(gè)鄰域內(nèi)的任意點(diǎn)若對(duì)于xx0，都有：f(x0)f(x)或f(x0)f(x)則稱 f(x0)f(x)是的一個(gè)極大值（或極小值），x0f(x)稱為的極大值點(diǎn)（或極小值點(diǎn)）。極值存在的必要條件：定理：1.f(x)存在極值f(x0)f(x)=0002.f'(x0)存在。0x0稱為f(x)的駐點(diǎn)極值存在的充分條件：定理一：1.f(x)在x0處連續(xù)；f(x0)是極值；02.f'(x0)=0或f'(x0)不存在；x是極值點(diǎn)。00'3.f(x)過x0時(shí)變號(hào)。

19、當(dāng)0x漸增通過x0時(shí)，f(x)由（+）變（-）；為極大值； 則f(x0)當(dāng)x漸增通過x0時(shí)，f(x0)f(x)由（-）變（+）；則為極小值。定理二：f(x0)是極值；1.f'(x0)=0；0x0是極值點(diǎn)。2.f''(x0)存在。 0若f''(x0)<0f''(x0)>0，則f(x0)f(x0)為極大值； 若，則為極小值。注意：駐點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)，極值點(diǎn)也不一定是駐點(diǎn)。4曲線的凹向及拐點(diǎn)：若f''(x)>0,x(a,b)；則f(x)在(a,b)內(nèi)是上凹的（或凹的），（）；f''(x)<

20、0,x(a,b)；則f(x)在(a,b)內(nèi)是下凹的（或凸的），（）；0若(x0,f(x0)稱1.f''(x0)=0，02.f''(x)過x0時(shí)變號(hào)。為f(x)的拐點(diǎn)。5。曲線的漸近線：水平漸近線：若limf(x)=Ay=A是f(x)x-或limf(x)=A的水平漸近線。x+ 鉛直漸近線：若lim-f(x)=x=C是f(x)xC或lim+f(x)=的鉛直漸近線。xC第三章 一元函數(shù)積分學(xué)§3.1 不定積分一、主要內(nèi)容重要的概念及性質(zhì)：1原函數(shù)：設(shè)：f(x),F(x),xD若：F'(x)=f(x)f(x)F(x) 則稱是的一個(gè)原函數(shù)，并稱F(x)+

21、C是f(x)的所有原函數(shù),其中C是任意常數(shù)。2不定積分：函數(shù)f(x)的所有原函數(shù)的全體，f(x)的不定積分；記作：稱為函數(shù) f(x)dx=F(x)+Cf(x)稱為被積函數(shù)； 其中：f(x)dx稱為被積表達(dá)式；x 稱為積分變量。3. 不定積分的性質(zhì)：或：f(x)dx=f(x)df(x)dx=f(x)dx' f'(x)dx=f(x)+C或：df(x)=1f(x)+C 2n f(x)+f(x)+ +f(x)dx=f(x)dx+f(x)dx+ +f12(k為非零常數(shù)) n(x)dx 分項(xiàng)積分法 kf(x)dx=kf(x)dxf(x)'(x)dx= 4.基本積分公式： 換元積分法

22、： 第一換元法：（又稱“湊微元”法） 湊微元f(x)d(x)令t=(x)=f(t)dt=F(t)+CF(x)+C回代t=(x)常用的湊微元函數(shù)有： =1o 11dx=d(ax)=d(ax+b) (a,b為常數(shù)，a0) aa11m+1m+1xdx=dx=d(ax+b) m+1a(m+1)m2o（m為常數(shù)）1xedx=d(e)=d(ae+b) axxx 3o 1xadx=d(a),(a>0,a1) lna4o 1dx=d(lnx) x5o sindx=-d(cosx)cosxdx=d(sinx)secxdx=d(tanx)cscxdx=-d(coxt)11-x222 6 odx=d(arcs

23、inx)=-d(arccosx)1dx=d(arctaxn)=-d(arcotx)2 1+x2.第二換元法：f(x)dx=反代t=令x=(t)=f(t)d(t) ='(t)f(t)dx=F(t)+C F(x)+C-1-1 (x) 第二換元法主要是針對(duì)含有根式的被積函數(shù)，其作用是將根式有理化。一般有以下幾種代換：1o x=t,n為偶數(shù)時(shí),t>0n(當(dāng)被積函數(shù)中有x時(shí))22時(shí)) 2o x=asint,(或x=acosx),0t2 (當(dāng)被積函數(shù)中有a-x2 3o x=atant,(或x=acott),0t<,(0<t)22(當(dāng)被積函數(shù)中有a+x22時(shí)) 4o x=asect

24、,(或x=acsct),0t<,(0<t)22(當(dāng)被積函數(shù)中有分部積分法：1. 分部積分公式： x-a2時(shí))udv=uv-vdu ''uvdx=uv-uvdx2.分部積分法主要針對(duì)的類型：P(x)sinxdx,P(x)cosxdxP(x)edxP(x)lnxdxP(x)arcsinxdx,P(x)arccosxdx xP(x)arctanxdx,P(x)arccotxdxesinbxdx,ecosbxdxaxax 其中：P(x)=a0x+a1xnn-1+ +an （多項(xiàng)式）3.選u規(guī)律：在三角函數(shù)乘多項(xiàng)式中，令P(x)=u，P(x)=u， 其余記作dv;簡(jiǎn)稱“三多選

25、多”。 在指數(shù)函數(shù)乘多項(xiàng)式中，令其余記作dv;簡(jiǎn)稱“指多選多”。在多項(xiàng)式乘對(duì)數(shù)函數(shù)中，令其余記作dv;簡(jiǎn)稱“多對(duì)選對(duì)”。在多項(xiàng)式乘反三角函數(shù)中，選反三角函數(shù)為u，其余記作dv;簡(jiǎn)稱“多反選反”。在指數(shù)函數(shù)乘三角函數(shù)中，可任選一函數(shù)為u，其余記作dv;簡(jiǎn)稱“指三任選”。簡(jiǎn)單有理函數(shù)積分： lnx=u，1. 有理函數(shù)：P(x)f(x)=Q(x)其中P(x)和Q(x)是多項(xiàng)式。P(x)f(x)=21+x2. 簡(jiǎn)單有理函數(shù)： P(x)f(x)=,1+x P(x)f(x)=(x+a)(x+b)P(x)f(x)=2(x+a)+b§3.2定積分 f(x)一 主要內(nèi)容（一）.重要概念與性質(zhì)1. 定積

26、分的定義： O a x1 x2 xi-1 i xi xn-1 b xbaf(x)dx=limf(i)x0i=1nn定積分含四步：分割、近似、求和、取極限。定積分的幾何意義：是介于x軸，曲線y=f(x),直線x=a,x=b之間各部分面積的代數(shù)和。x軸上方的面積取正號(hào)， yx 軸下方的面積取負(fù)號(hào)。 + +a 0 - b x2. 定積分存在定理：設(shè)：y=f(x)xa,b若：f(x)滿足下列條件之一:1.f(x)連續(xù)，xa,b;2.f(x)在a,b上有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn);3.f(x)在a,b上單調(diào)有界;則：f(x)在a,b上可積。若積分存在，則積分值與以下因素?zé)o關(guān)：1與積分變量形式無關(guān)，即f(x)dx

27、=f(t)dt;aabba,b可以任意劃分2與在a,b上的劃分無關(guān)，即;3 與點(diǎn)i的選取無關(guān)，即i可以在xi-1,xi上任意選取。3. 牛頓萊布尼茲公式： 積分值僅與被積函數(shù)f(x)與區(qū)間a,b有關(guān)。若F(x)是連續(xù)函數(shù)f(x)在a,b上的任意一個(gè)原函數(shù)：則：f(x)dx=F(x)=F(b)-F(a)a*牛頓萊布尼茲公式是積分學(xué)中的核心定理，其作用是將一個(gè)求曲邊面積值的問題轉(zhuǎn)化為尋找原函數(shù)及計(jì)算差量的問題。4. 原函數(shù)存在定理： bba若f(x)連續(xù)，xa,b,則：(x)=f(t)dt,axxa,b (x)是f(x)在a,b上的一個(gè)原函數(shù)，且：'(x)=(f(t)dt)'=f(

28、x)ax5. 定積分的性質(zhì)：設(shè)f(x),g(x)在a,b上可積，則： 1b bakf(x)dx=kf(x)dx aabb234 aaf(x)dx=-f(x)dx baf(x)±g(x)dx=aabf(x)dx±g(x)dxa b f(x)dx=0cbac5 baf(x)=f(x)dx+f(x)dx(a<c<b)6 1dx=b-aabyb x(ag(x)aa8估值定理：m(b-a)f(x)dxM(b-a)ab其中m,M分別為f(x)在a,b上的最小值和最大值。ym0 b 9使f(x)dx=f()(b-a)a（二）定積分的計(jì)算：1. 換元積分 b設(shè)f(x)連續(xù)，xa

29、,b，x=(t)若'(t)連續(xù)，t,且當(dāng)t從變到時(shí)，(t)單調(diào)地從a變到b, ()=a,()=b,b '則：f(x)dx=f(t)(t)dt a2. 分部積分3. baudv=uva-vdu a廣義積分 bb4. +-f(x)dx=x0-f(x)dx+0f(x)dx 定積分的導(dǎo)數(shù)公式 '1（f(t)dt)x=f(x) a2(x)af(t)dt'x=f(x)'(x)32(x)1(x)'(x)-f1(x)1'(x)f(t)dt'x=f2(x)2x=a,x=b,(a<b) (三)定積分的應(yīng)用 1. 平面圖形的面積: 1由y=f(x

30、)>0,與x軸所圍成的圖形的面積 y f(x) s=f(x)dx ab2由y1=f(x),by2=g(x),(f>g與x=a,x=b s=f(x)-g(x)dxa 3由x1=(y),x2=(y),(>)與y=c,y=d所圍成的圖形的面積 s=(y)-(y)dycd4.求平面圖形面積的步驟： .2. 求出曲線的交點(diǎn)，畫出草圖； 確定積分變量，由交點(diǎn)確定積分上下限； 應(yīng)用公式寫出積分式，并進(jìn)行計(jì)算。 旋轉(zhuǎn)體的體積1曲線y=f(x)>0,與x=a,x=b及x軸所圍圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積：Vx=f(x)dx ab20 a2由曲線x=(y)>0,與得旋轉(zhuǎn)體的體積：V

31、=(y)dyy c第四章 多元函數(shù)微積分初步§4.1 偏導(dǎo)數(shù)與全微分一. 主要內(nèi)容：. 多元函數(shù)的概念3. 二元函數(shù)的定義： d2z=f(x,y)(x,y)D定義域：D(f)4. 二元函數(shù)的幾何意義：二元函數(shù)是一個(gè)空間曲面。（而一元函數(shù)是平面上的曲線） . 二元函數(shù)的極限和連續(xù)：1. 極限定義：設(shè)z=f(x,y)滿足條件：1在點(diǎn)(x0,y0)的某個(gè)領(lǐng)域內(nèi)有定義。（點(diǎn)(x0,y0)可除外 ）xx0yy0 2limf(x,y)=A則稱z=f(x,y)在(x0,y0)極限存在，且等于A。2. 連續(xù)定義：設(shè)z=f(x,y)滿足條件：1在點(diǎn)(x0,y0)的某個(gè)領(lǐng)域內(nèi)有定義。 2limf(x,y

32、)=f(x0,y0)xx0yy0則稱z=f(x,y)在(x0,y0)處連續(xù)。.偏導(dǎo)數(shù)：定義:f(x,y),在(x0,y0)點(diǎn)f(x0+x,y0)-f(x0,y0)fx'(x0,y0)=lim x0xf(x0,y0+y)-f(x0,y0)fy'(x0,y0)=limy0 yfx'(x0,y0),fy'(x0,y0)分別為函數(shù)f(x,y)在(x0,y0)處對(duì)x,y的偏導(dǎo)數(shù)。z=f(x,y)在D內(nèi)任意點(diǎn)(x,y)處的偏導(dǎo)數(shù)記為：f(x,y)zfx'(x,y)=z'x xxf(x,y)zfy'(x,y)=z'y yy.全微分：1.定義：z

33、=f(x,y)若z=f(x+x,y+y)-f(x,y)=Ax+By+o()其中，A、B與x、y無關(guān)，o（）是比=x+y較高階的無窮小 量。22則:dz=df(x,y)=Ax+By是z=f(x,y) 在點(diǎn)(x,y)處的全微分。3. 全微分與偏導(dǎo)數(shù)的關(guān)系定理：若fx'(x,y),fy'(x,y)連續(xù)，(x,y)D.則：z=f(x,y)在點(diǎn)(x,y)處可微且'(x,y)dx+fy'(x,y)dy dz=fx.復(fù)全函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)：1.設(shè)：z=f(u,v),u=u(x,y),v=v(x,y) z=fu(x,y),v(x,y)zzuzv=+ xuxvxzzuzv=+yuyvy2. 設(shè)y=f(u,v),u=u(x),v=v(x) y=fu(x),v(x)dyyduydv=+dxudxvdx.隱含數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)：1.設(shè)F(x,y,z)=0,z=f(x,y),且Fz'0Fy'Fx'zz則=-,=-xFz'yFz'2. 設(shè)F(x,y)=0,y=f(x),且Fy'0Fx'dy則=-dxFy&#