數(shù)值分析報(bào)告試卷及其問題詳解8

1、數(shù)值分析期末考試一、設(shè) -. 80 ,若要確保其近似數(shù)的相對誤差限為 0.1%,則它的近 似數(shù)x至少取幾位有效數(shù)字？（ 4分）解：設(shè)x有n位有效數(shù)字。因?yàn)? = 64 ： . 80 ： -.81=9，所以可得x的第一位有效數(shù)字為8（ 1分）1 11又因?yàn)?一 101-10,，令1-n - -2 = n = 3，可知x至少2x81000 10具有3位有效數(shù)字（3分）。二、求矩陣A的條件數(shù)Cond（A）1 （4分）。解：A其中A1引_241-2 11.5-0.5（1 分）A1=7（ 1 分）=2 （ 1 分）Con d（A）=49（ 1 分）三、用列主元Gauss消元法法求解以下方程組（6分）x1

2、 2x2 3x3 - -20-x1 x2 2x3 二-82x1 4x2 x3 = 9解:1-23-201一24192419 -1128T 112 -8T 032.5-3.5'2419 一'J-23-20 一o-42.5-24.5 一4191 2419 10-42.524.5 t |o-42.5-24,5（4分）'032.3-3.5 一003% -%2% 4x2 x3 = 9,等價(jià)三角方程組為:« 4x2 +2.5x3-24.5,(1 分)351758回代得 X3 = -5, X2 = 3,xi = 1 ( 1 分)四、設(shè) f （x） = x4 3x3 x2 -

3、10, x0 = 1, x<| = 3, x2 = -2,x3 = 0.1） 求以X0,X1,X2,X3為節(jié)點(diǎn)的3次Lagrange多項(xiàng)式；（6分）2） 求以X0,X1,X2,X3為節(jié)點(diǎn)的3次Newt on多項(xiàng)式;（6分）3）給出以上插值多項(xiàng)式的插值余項(xiàng)的表達(dá)式（3分）解：由 X0 "必=3,X2 - -2,X3 = 0可得f(x。)= -11, f(xj = 1, f(X2)=34, f(X3) =10即得:L3(x)f（X。）(x -xj(x -X2)(X -X3)(x° -X1 )(X0 -X2 )(X0 -X3)f(X1)(XX0)(XX2)(X X3)(X1

4、 -X°)(X1 -X2)(X1 -X3)f(X2)(X -Xo)(X -xj(x -X3)(X2X0)(X2X1 )(X2(X - Xo)(X Xi)(X - X2)(X3 X。)(X3 Xi )(X3 X2)(x_3)(x2)(x_0)1) (x_1)(x 2)(x_0)(1 -3)(12)(1-0)-(3-1)(32)(3-0)(x _1)(x _3)(x _0)(_2 _1)( _2 _3)(_2 _0)(-10)(x-1)(x-3)(x2)(0 _ 1)(0 _ 3)(0 2)210 -6x 6x-x32）計(jì)算差商表如下:Xif (Xi)一階差商二階差商二階差商1-113-

5、15-234-740-10-225-1則 N3(x) =11 5(x-1) 4(x-1)(x-3)-(x-1)(x-3)(x 2)=-10 -6x 6x2 -x33) R3(x) J (X-X0)(X-X1)(X-X2)(X-X3)=x(x-1)(x-3)(x 2)4!1ww五、給定方程組Ax=b，其中A=3w10。w01 一Jacobi 迭代法與試確定w R的取值范圍，使求解該方程組的Gauss-Seidel迭代法均收斂。（10分）九 W W解：1) Jacobi迭代格式的特征方程為3w h o = o,即九3_4w%=o,w 0 k求彳得為=0,工_2 = 2w,工_3 = _2w于是當(dāng)且

6、僅當(dāng)2w <1t |w <舟時(shí)，Jacobi迭代法收斂(5分)2) Gauss-Seidel迭代格式的特征方程為ww0丸3w-3w2=0,02 -wn2- w、 1求得=0,入2 = 0,幾3 = 4w2，于是得w c ?。故當(dāng)w : 1時(shí)，求解該方程組的Jacobi迭代法與Gauss-Seidel迭代法均收斂六、設(shè) f(x)c4a,b， f f (x)dx 壯f (a) + f(b) + (b；) f'(a) f'(b)求上述求積公式的代數(shù)精度，并利用求積公式給出計(jì)算/ f(x)dx的一a個(gè)復(fù)化求積公式。(12分)解：1)當(dāng)f(x) =1時(shí)，左邊二b-a二右邊當(dāng)f

7、 (x)二x時(shí)，左邊=-(b2 - a2)二右邊2當(dāng)f(x)=x2時(shí)，左邊=3(b3-a3)二右邊當(dāng)f(x)=x3時(shí)，左邊 J(b4-a4)=右邊4當(dāng)f(x)=x4時(shí)，左邊J(b5-a5)=右邊5因此，所給求積公式具有3次代數(shù)精度。(6分)2 ）將a,b作門等分，記h =匕週， =a ih,0叮乞n.nff(x)dx=Ff(x)dx,axi(2 分)而 f + f(x)dx2f(xi)f(xi1)If (Xi .J,由此可得復(fù)化公式：f(x)dx ： h【f(Xi) f(Xida 0 2gf'(Xi)_12(xi 1)i -1 hh 2二 2f(xi xii)石f'(a) f&

8、#39;(b)(4 分)3七、求f（x） =x2在0,1上的一次最佳平方逼近多項(xiàng)式。（8分）解：令所要求的多項(xiàng)式為：Pi（x）=a bx，即取o（x） =1, i（xH x，計(jì)算(0, 0)=1(0, 11 (1, 11 (f, 01(f,小 2(4 分)2357得法方程組：1 2 a +-b = 2 5爲(wèi)b二237解方程組得a敖煜，于是得一次最佳平方逼近多項(xiàng)式為口（x）436x35 35(4 分)八、寫出方程的Newton迭代格式，并迭代一次求近似解(6分)(1) _在 x°=2 附近的根。(2) 廣；： > 八在X。"附近的根。解：(1)1 - - - '

9、 ：- ；取 X。= 2，(2)則 Xk 1 =Xkx： -3xk -eXk 22Xk -ex<2x'xf (x)二 x -3x -e 2, f (x)二 2x -3 -e取 Xo =1，則 Xi -( 3 分)1 +e九、已知三點(diǎn) Gauss公式(10分)1 f (x)dx ：5f ( 0.6) 8 f(0)5 f (- .0.6)，用該公式估算Ixdx 的'49990.5值。解：令ax b，于是有:1 = a + b廠1 = 0.5a +ba = 4 = -3，于是t = 4x - 31dx dt，4于是Mdx = G欄3dt(5 分)5 13 - 694、4令 f(

10、t) . t,，就得:f f (x)d5 f G/0.6PH- f (0)+-f <0.6 5 1 3 + " 丄9999 4(5 分)十、龍格庫塔（10分）取步長h =0.4，寫出用經(jīng)典四階Runge-Kutta方法求解初值問題 齊xsigy）的計(jì)算公式。y（1） =0（1 豈 x 乞9）解：Xn =x° nh=1 0.4ny。=0( 1 分)hyn4h =yn +一(匕 +2k2 +2k3 卄4)6k1 = f (Xn,yn)也=f (Xn +?+?«)( 6 分)k3 = f (Xn +?,yn +尹)k f (Xn h, yn hk3)取門=0,1,

11、2,20,，其經(jīng)典四階Runge-Kutta計(jì)算公式為:0.4 丄 丄 丄yn =yn +(k1 +2k2 +2k3+k4)kr =(1 +0.4 n)si n(1 +0.4 n + yn)*k2 =(1.2+0.4 n)si n(1.2+0.4 n+yn +0.2kJ ( 3 分)k3 =(1.2 +0.4 n)s in (1.2+0.4n + yn +0.2k2)k4 =(1.4+0.4 n)si n(1.4+0.4 n+yn +0.4k3)卜一、用乘幕法計(jì)算矩陣 A按模最大特征值和相應(yīng)的特征向量。取x（0） =（1,1,1）T，迭代兩步即可。（7 分）|-4 140其中 A = _5 13 0'-1 0 2_解:y(1Ax(0)=-5 13 01=8i-1 0 2 一i1 _-4 14 0 110= (1,0.8,0.1)t(1) =10 ( 3 分)(2)（1）y-5 1300.8=5.4.一1 0 2一衛(wèi).1 一i 0.8一二Ax|4 140 17.2相應(yīng)特征向量取7.2 11 5.47.20.8(4 分)十二、設(shè)X°,X1, Xn為個(gè)互異的節(jié)點(diǎn),h（x）（i =0,j n）為這組節(jié)點(diǎn)上n的n次Lagrange插值基函數(shù)，證明：黠心）三xk（k =0,1n） （8分）0證明：對于k=0,1，n，令f（x）=xk，則f （x）的次Lagra nge插值