宏觀經(jīng)濟(jì)乘數(shù)加速數(shù)模型分析及運動分析原理

1、3.宏觀經(jīng)濟(jì)乘數(shù)加速數(shù)模型及經(jīng)濟(jì)波動周期分析乘數(shù)、加速數(shù)模型為宏觀經(jīng)濟(jì)學(xué)中的基本模型之一。它是討論經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)中的國民收入消費、儲蓄等變量之間關(guān)系及經(jīng)濟(jì)增長規(guī)律的模型。社會總產(chǎn)出：所有產(chǎn)品的產(chǎn)值。是否等于GNP?GNP=社會總產(chǎn)出一期間產(chǎn)品的耗費；同時GNPST用于消費和固定資產(chǎn)的投資。-將上述這些宏觀經(jīng)濟(jì)用以量化，構(gòu)造出系統(tǒng)模型即為(標(biāo)題)(1)建立模型設(shè)Y(t)為第t年國民生產(chǎn)總值，C(t)為用t年個人消費總額，G(t)為用t年公共消費(政府支出、政府購買)I(t)為第t年投資總額。Y(t)GNP公共消費G企業(yè)與個人消費C(t)公共投資+企業(yè)與個人投資=I(t)則有統(tǒng)計規(guī)律：Y(t)=C(t)

2、+I(t)+G(t)*另外，設(shè)第t年個人消費總額C(t)與上一年國民生產(chǎn)總值Y(t1)有關(guān)。今年消費是去年的GNP勺線性函數(shù)，設(shè)為：C(t)=a+bY(t-1)*其中：a,b為常數(shù)，b<1，稱為邊際消費傾向。(傾向一一系數(shù)；邊際一一求導(dǎo))b=Y第t年投資總額I(t)與人們消費需求及銀行利率等有關(guān)。在市場經(jīng)濟(jì)下一個國家和地區(qū)平衡增長時利率變換不大，所以近似認(rèn)為投資I(t)主要受消費的增加而增加，關(guān)系如下：I(t)=q+k(C(t)-C(t-1)*其中：q,k為常數(shù)。K>0,表明當(dāng)消費量增加時將使得投資額也增加。比如，今年比去年消費提高，這樣拉動了投資的增加，我們稱-需求拉動。綜上，Y

3、(t)=C(t)+I(t)+G(t)C(t)=a+bY(t-1)(*)I(t)=q+k(C(t)-C(t-1)稱為宏觀經(jīng)濟(jì)乘數(shù)加速數(shù)模型。這是經(jīng)濟(jì)學(xué)上的革命，該模型以經(jīng)有50年歷史，我國現(xiàn)在還在使用。由凱恩斯提出來的。(2)分析該模型：1.當(dāng)上述變量都為常數(shù)時，稱為系統(tǒng)的平衡解。容易看出，丫與G的關(guān)系由方程組確定Y=CIGC=abYI=qk(C-C)二q即丫JgU1-b1-b表明，當(dāng)政府購買力為G時，系統(tǒng)達(dá)到平衡后的國民生產(chǎn)總值為丫。如果G增加AG,那Y1么Y變化，并最終達(dá)到Y(jié)+*Y.那么稱Y與乙G之比為乘數(shù)(放大倍數(shù))。即G1-b當(dāng)b=0.5時，1/(1-0.5)=2,這就意味著購買力增加1

4、萬萬萬億元，那么國民生產(chǎn)總值增加2萬萬萬億元，但如果這樣，就會發(fā)生通貨膨脹。這是因為我們這里說的變量，都是名義值，而不是實際值。這是因為我們模型中沒有考慮價格變量。該模型僅考慮宏觀經(jīng)濟(jì)變量名義值的變化規(guī)律。實際的宏觀經(jīng)濟(jì)調(diào)控政策設(shè)計中，我們讓G適當(dāng)?shù)纳仙沟妹x值Y也相應(yīng)上升，不至于產(chǎn)生通貨膨脹。Y的實際值應(yīng)為物價指數(shù)P乘以Y1,Y1由固定資產(chǎn)K和人工確定(生產(chǎn)函數(shù))，即Y=P*Y1經(jīng)濟(jì)危機(jī)時，煤、面包、衣服、出現(xiàn)了惡性循環(huán)。這時，政府要出資投入(發(fā)債券等手段)，刺激經(jīng)濟(jì)發(fā)展。這樣加速了經(jīng)濟(jì)的發(fā)展一一加速數(shù)。但分析該模型有漏洞，如此不斷的刺激，將會導(dǎo)致滯脹：通貨膨脹，GNPW快速增長實質(zhì)上是

5、停滯。一一經(jīng)濟(jì)增長理論。我國使用刺激內(nèi)需如修公路，花錢。該模型靈不靈？取決于外部的參量。b、k(3)分析模型的變化下面直觀了解模型的變化，設(shè)(a=10q=5b=0.5k=2)并且，政府購買力G=5,系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)Y=CIGJC=a+bYJ=q+k(C-C)=q由此得Y=40,C=30.當(dāng)政府購買力從5變?yōu)?0時，變動過程使用方程組,Y(t)=C(t)+I(t)+G(t)C(t)=10+0.5Y(t-1)J(t)=5+2(C(t)C(t1)Y(-1)=40C(-1)=30I(-1)=5其中，t=-1為平衡狀態(tài)沒有實際時間含義。不使用原方程組，是使用平衡方程組)Y(0)=C(0)+1(0)+G(

6、0)C(0)=10+0.5Y(-1)J(0)=5+2(C(0)-C(-1)Y(-1)=40C(-1)=30J(-1)=5t = 0時，政府購買為10。依上式，有(t=-1Y(0) =C(0) I (0) 10,C(0) =10+0.5x40 =30I(0)=5+2(C(0)30)如下表:Y(t)G(-1)=5G(0)=10G(1)=1040+10 Y(t-1) 0.5Y(t-1) 30 20 22.54552.55+2(C(t)-,C(t-1)C(t)3032.5C(t-1)530_30I(t)510當(dāng)G由5至ij 10時，立即拉動了國民生產(chǎn)總值，也增加了5。進(jìn)一步，再代入上式，當(dāng)G= 10不

7、再上升時，可得 Y(1)=52.5.這表明，雖然 G不再增加，但國民生產(chǎn)總值升到45后，引起了消費與投資的進(jìn)一步增加，從而刺激了國民生產(chǎn)總值的進(jìn)一步增加。這種國民生產(chǎn)總值一輪又一輪的增加稱為加速過程。再進(jìn)一步將Y(1)=52.5代入，我們可以得到Y(jié)(2)=58.57, Y(3)=60.625, Y(4)=57.19, Y(5)=50.16,即得：C(0)=30,I(0)=5Y(0)=30+5+10=45Y= 50 (從可以看出，Y(t)的發(fā)展是波動的，如此波動下去，最后趨于新的平衡狀態(tài):門學(xué)科，繼控制論之后這是一個平衡點到另一個平衡點的過程稱為過渡過程的一門課，研究的人不多）。那么，波動的周期

8、如何？（4）周期（運動分析）（我們說系統(tǒng)的特征根由系數(shù)陣的特征根確定，所以找到特征根即可一一這個結(jié)論正確嗎？）將方程改寫為：Y(t+1)=C(t+1)+I(t+1)+10C(t+1)=10+0.5丫I(t1)=52(C(t1)-C(t)Y(0)=45,C(0)=30,I(0)=5變形為-1)-C(t1)-I(t1)=10C(t 1)-10 0.5Y(t)矩陣方程:可以整理為-2C(t 1) I (t 1) -5 -2C(t)1-1-1Y(t 1)00010C(t+1) =0.501-21J (t +1) _0-20Y(t) 一1010 C(t) + 100二一工Y(t 1)1.5C(t +1)

9、 = 0.5 /(t+1)1 J一20-'20Y(t)10 C(t) +0Jt)1一65120：451簡記為：x(t1)=Ax(t)u其中：Z變換:整理：Yt)一1.5-2 0x(t) = C(t) , A = 0.500 u(t) 一J-2 0 一zx(z) - zx(0) = Ax(z)/、 (zI-A)小 x(Z)二匚AZx(0)二Au工zI - A z 7一6520：45 一245z -60z*_2=65z -40z*x(z)=1-Tz-1.5z1(z-1.5z1)(z-1)2245z2-60z65z2-40z于是Y(z)2-z2-1.5z1(z2-1.5z1)(z-1),_2

10、_(45z-40z20)z(z2-1.5z1)(z-1),_2_(45z-40z20)z一z0.75-0.6614jz0.750.6614jz-1_AzBz50z-z-0.75-0.6614jz-0.750.6614jz-1其中：A,B為待定系數(shù)。且z-0.75-0.6614j=z-(0.750.6614j)=z-(cos(41.41t)jsin(41.41t)z-0.750.6614j=z-(0.75-0.6614j)=z-(cos(41.41t)-jsin(41.41t)Z-1變換：并由歐拉公式：ttY(t)=Acos41.41jsin41.41tBcos41.41-jsin41.41t5

11、0-cos(41.41t)-.?sin(41.41t)50A(cos41.41jsin41.41)t=Atcos41.41tjsin41.41t則：t=360為8.69年41.41以上，我們經(jīng)過一系列復(fù)雜的計算討論了國民生產(chǎn)總值的波動周期。如果我們掌握規(guī)律抓住特征，計算結(jié)果大為簡化。總結(jié)：我們這節(jié)研究了宏觀經(jīng)濟(jì)模型討論了其波動周期。平均每8.69年達(dá)到一個平衡。二、運動分析原理（系統(tǒng)的特征分析）我們在前面的問題中已經(jīng)提過，系統(tǒng)本身固有的特征根對系統(tǒng)起決定作用。如橋由于本身自有一個頻率，當(dāng)外界的輸入頻率等于自有的頻率時，橋就會塌。對于經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)來講，如果出現(xiàn)了這樣的共振現(xiàn)象，系統(tǒng)就會崩潰，所以我們

12、有必要研究這個問題，尋找特征根的規(guī)律和求法。1 .標(biāo)準(zhǔn)系統(tǒng)：x(t1)=Ax(t)Z 變換:zx(z) - zx(0) =Ax(z)即:zI - A x(z)Izx(0)若系統(tǒng)的特征根如下:zI-A=(z_兀zz-2.2y'(z_入n)無重根Xi(t)=?Xi=1'122'2"''"n'n其中，中間或許會有5（t）o此根只與系統(tǒng)的自身A有關(guān)，所以稱為系統(tǒng)特征根。m為z函數(shù)的分子的最高次數(shù)，n為z函數(shù)的分母的最高次數(shù).則mEn且m<n時，不會有6（t）,m=n時有。例如，上節(jié)的宏觀經(jīng)濟(jì)乘數(shù)加速數(shù)模型中，由于只是求周期，不要

13、求具體變化規(guī)律，所以我們可以直接采用上述結(jié)果。直接找特征根，q=a=G（t）=0時（外部輸入量）Y(t) =C(t) . I(t)C(t)=bY(t-1) 二I(t) =k(C(t) -C(t -1)Y(t) =(1+k)C(t) -kC(t -1)。=bY(t1)Y(t)=b(1k)Y(t-1)-kC(t-1)C(t)-bY(t-1)爛）d（1bk）力吐丁十工口zb(1+k)k2,一牛寸征萬程：zIA=zb(1+k)z+bk-bz當(dāng)b=0.5,k=2時有zI-A=z2-b(1+k)z+bk=z2-1.5z+1=0z1,2=0.75±0.6614j=cos41.410±js

14、in41.41：所以周期為T=/紇=8.69年41.41如沒有外界輸入，系統(tǒng)將無休止的波動。亦即，對于一個宏觀經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)，如果是用線性方程組來描述，當(dāng)輸入為0時，一定可以寫成差分方程組；同時，一定可以表示為標(biāo)準(zhǔn)形式（狀態(tài)方程），則有狀態(tài)矩陣、特征方程、特征根。所有狀態(tài)變量為特征根的t次方的線性組合。2 .前面我們假設(shè)輸入為0,如果G不為0出現(xiàn)干擾項，則有:Y_b(1k)-kY(t-1)aqak11b(t):1b0，C(t_1)_'a0，G(t)_標(biāo)準(zhǔn)化狀態(tài)方程：|x(t+1)=Ax+Bu(t)|A為狀態(tài)矩陣問題：x(t)的解與A及u(z)的特征根都有什么關(guān)系?首先,常數(shù)a的特征根為1。因

15、為h(z)=-az-z-1u(t 1) = Hu(t)其次,對于u(t)這一個干擾項(輸入)可以證明：汽0父1.產(chǎn)_|01隊1.1,一最后,x(t 1) = Ax(t) Bu (t)_u(t 1) = Hu (t) 一x(t 1)二1u(t+1)Q H 乂u(t)即將輸入的干擾項轉(zhuǎn)為系統(tǒng)內(nèi)，變成一個新系統(tǒng)。%0*如果卜BLT0%*T,10H!00h10000h2/那么xi(t)=111t:24,：屁,h2t統(tǒng)系統(tǒng)內(nèi)的任一變化規(guī)律為：固有根與外部根的疊加?？偨Y(jié)：1)線性系統(tǒng)如果可以寫成差分方程，則一定可以寫成標(biāo)準(zhǔn)方程(狀態(tài)方程)2 )有輸入，一定有輸出3 )設(shè)系統(tǒng)固有根兀，入2,輸入干擾根h1,

16、h2。幾=1.2,h2=1線性系統(tǒng)輸入加=1.1，尢2=0.8輸出4)xi(t)=%1.r+a20.8t+P11.2t+P21t對其考察變化情況。以上，求出了反映系統(tǒng)特征的規(guī)律，雖不是最終解，但可以反映系統(tǒng)的特征，可以討論系統(tǒng)的其他特性(增長率、周期等)，并可以簡化計算。三、課后作業(yè)1 .生態(tài)平衡模型自然界萬物的運動變化的規(guī)律是很復(fù)雜的，如我們前面講到的，兔口、人口模型，可以自然繁殖，在生存環(huán)境很好的情況下，就會成災(zāi)；但一些動物，如魚類，人們的捕撈可以使自然繁殖速率下降，而過量的捕撈，則可造成漁業(yè)資源的枯竭。只有適當(dāng)?shù)牟稉撇趴梢赃_(dá)到漁業(yè)資源的生態(tài)平衡。而我國近幾十年經(jīng)常會發(fā)生對資源的過渡索取，如黃花魚。對環(huán)境保護(hù)也有生態(tài)平衡問題。農(nóng)藥施肥、化工廠、汽車尾氣、等對環(huán)境造成的污染，必須加以控制以維護(hù)環(huán)境的平衡。對于生態(tài)環(huán)境的變化，用數(shù)學(xué)方程描述十分的復(fù)雜。一般使非線性差分方程或非線性微分方程。但也有一些情況，使用線性差分方程描述其運動規(guī)律也有一定的準(zhǔn)確性，下面舉例說