matlab進(jìn)行數(shù)值分析

1、數(shù)據(jù)插值、函數(shù)逼近問題的計(jì)算機(jī)求解數(shù)據(jù)插值、函數(shù)逼近問題的計(jì)算機(jī)求解插值與數(shù)據(jù)擬合樣條插值與數(shù)值微積分信號(hào)分析與數(shù)字信號(hào)處理基礎(chǔ)一.插值與數(shù)據(jù)擬合一維數(shù)據(jù)插值問題 一維插值函數(shù)interp1()函數(shù)的調(diào)用格式為： y1=interp1(x,y,x1,方法)其中，x=x1,x2,.xN,y=y1,y2,.yN,兩個(gè)向量分別表示給定的一組自變量和函數(shù)值數(shù)據(jù)。X1為用戶指定的一組新的插值點(diǎn)的橫坐標(biāo)，得出的y1為插值點(diǎn)處的插值結(jié)果。插值方法為linear,nearest,cubic,spline 背景知識(shí)背景知識(shí) 如果可以將一個(gè)實(shí)際問題用函數(shù)來描述，那么對(duì)這個(gè)如果可以將一個(gè)實(shí)際問題用函數(shù)來描述，那么對(duì)

2、這個(gè)函數(shù)性質(zhì)以及運(yùn)算規(guī)律的研究，就是對(duì)這一實(shí)際問題的某函數(shù)性質(zhì)以及運(yùn)算規(guī)律的研究，就是對(duì)這一實(shí)際問題的某些內(nèi)在規(guī)律的理性揭示。些內(nèi)在規(guī)律的理性揭示。 在工程實(shí)踐和科學(xué)實(shí)驗(yàn)中，經(jīng)常需要建立函數(shù)關(guān)系，在工程實(shí)踐和科學(xué)實(shí)驗(yàn)中，經(jīng)常需要建立函數(shù)關(guān)系，即即y=f(x)。雖然從原則上說，它在某個(gè)區(qū)間。雖然從原則上說，它在某個(gè)區(qū)間a,b上是存在的，上是存在的，但通常只能觀測(cè)到它的部分信息，即只能獲取但通常只能觀測(cè)到它的部分信息，即只能獲取a,b上一系上一系列離散點(diǎn)上的值，這些值構(gòu)成了觀測(cè)數(shù)據(jù)。這就是說，我列離散點(diǎn)上的值，這些值構(gòu)成了觀測(cè)數(shù)據(jù)。這就是說，我們只知道的一張觀測(cè)數(shù)據(jù)表，們只知道的一張觀測(cè)數(shù)據(jù)表，

3、而不知道函數(shù)在其他點(diǎn)而不知道函數(shù)在其他點(diǎn)x上的取值，這時(shí)只能用一個(gè)經(jīng)上的取值，這時(shí)只能用一個(gè)經(jīng)驗(yàn)函數(shù)驗(yàn)函數(shù)y=g(x)對(duì)真實(shí)函數(shù)對(duì)真實(shí)函數(shù)y=f(x)作近似。作近似。 x x1 x2 xnf(x)f(x1) f(x2) f(xn)已知數(shù)據(jù)表已知數(shù)據(jù)表 下面兩種辦法常用來確定經(jīng)驗(yàn)函數(shù)下面兩種辦法常用來確定經(jīng)驗(yàn)函數(shù)y=g(x)（1）插值法）插值法 （2）擬合法）擬合法 根據(jù)問題的不同，有時(shí)要用插值技術(shù)來解決，有時(shí)則根據(jù)問題的不同，有時(shí)要用插值技術(shù)來解決，有時(shí)則應(yīng)該采用擬合的方法才合理。應(yīng)該采用擬合的方法才合理。 （1）插值法的基本思想）插值法的基本思想 x x1 x2 xnf(x)f(x1) f(

4、x2) f(xn)求一個(gè)經(jīng)驗(yàn)函數(shù)求一個(gè)經(jīng)驗(yàn)函數(shù)y=g(x)，使，使g(xi)=f(xi), i=1,n.（2）擬合法的基本思想）擬合法的基本思想已知數(shù)據(jù)表已知數(shù)據(jù)表 x x1 x2 xnf(x)f(x1) f(x2) f(xn)2)minniii=1求一個(gè)經(jīng)驗(yàn)函數(shù)y=g(x)，使(g(xf(x插值的任務(wù)插值的任務(wù)就是由已知的觀測(cè)點(diǎn)就是由已知的觀測(cè)點(diǎn)(xi,yi),為物理量為物理量(未知量未知量)建建立一個(gè)簡(jiǎn)單的、連續(xù)的解析模型立一個(gè)簡(jiǎn)單的、連續(xù)的解析模型F(x) ，以便能根據(jù)該模型，以便能根據(jù)該模型推測(cè)該物理量在非觀測(cè)點(diǎn)處的特性推測(cè)該物理量在非觀測(cè)點(diǎn)處的特性。oxy y0 x1 x2 xn y

5、1 y2 yn x0y=f(x)F(x) 機(jī)翼斷面的下輪廓線如圖所示，下表給出了下輪廓線上機(jī)翼斷面的下輪廓線如圖所示，下表給出了下輪廓線上的部分?jǐn)?shù)據(jù)。用程控銑床加工時(shí)，每一刀只能沿的部分?jǐn)?shù)據(jù)。用程控銑床加工時(shí)，每一刀只能沿x方向和方向和y方方向走非常小的一步。例如，如果工藝要求銑床沿向走非常小的一步。例如，如果工藝要求銑床沿x方向每次只方向每次只能移動(dòng)能移動(dòng)0.1單位，這時(shí)就需要求出當(dāng)單位，這時(shí)就需要求出當(dāng)x坐標(biāo)每改變坐標(biāo)每改變0.1單位時(shí)的單位時(shí)的y坐標(biāo)。試完成加工所需的數(shù)據(jù)，畫出曲線。坐標(biāo)。試完成加工所需的數(shù)據(jù)，畫出曲線。 問題問題1：機(jī)床加工：機(jī)床加工 x 0 3 5 7 911 12

6、13 1415 y 01.2 1.7 2.0 2.1 2.0 1.8 1.2 1.01.6 在水文數(shù)據(jù)的測(cè)量中，不同水深的流速是不同的。水文在水文數(shù)據(jù)的測(cè)量中，不同水深的流速是不同的。水文數(shù)據(jù)的測(cè)量是天天進(jìn)行的，為了減少測(cè)量的工作量，希望確定數(shù)據(jù)的測(cè)量是天天進(jìn)行的，為了減少測(cè)量的工作量，希望確定水深和流速之間的關(guān)系。為此測(cè)量了一系列不同水深和流速值，水深和流速之間的關(guān)系。為此測(cè)量了一系列不同水深和流速值，下表給出了對(duì)某河流的測(cè)量數(shù)據(jù)下表給出了對(duì)某河流的測(cè)量數(shù)據(jù) 問題問題2：水深和流速的關(guān)系：水深和流速的關(guān)系水深水深x 0 0.1 0.2 0.30.40.50.60.70.8 0.9流速流速y3

7、.195 3.229 3.253 3.261 3.251 3.228 3.187 3.126 3.059 2.975函數(shù)插值的基本問題函數(shù)插值的基本問題Lagrange插值插值Newton插值插值帶導(dǎo)數(shù)條件的帶導(dǎo)數(shù)條件的Hermite插值插值分段三次樣條插值分段三次樣條插值插值法插值法:由實(shí)驗(yàn)或測(cè)量的方法得到所求函數(shù)由實(shí)驗(yàn)或測(cè)量的方法得到所求函數(shù) y=f(x) 在互異在互異點(diǎn)點(diǎn)x0 , x1, . , xn 處的值處的值 y0 , y1 , , yn ,構(gòu)造一個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)構(gòu)造一個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù) F(x) 作為函數(shù)作為函數(shù) y=f(x) 的近似表達(dá)式的近似表達(dá)式y(tǒng)= f(x) F(x)使使 F(x0)=

8、y0 , F(x1)=y1 , , F(xn)=yn ,(a)這類問題稱為這類問題稱為插值問題插值問題。 f(x) 稱為稱為被插值函數(shù)被插值函數(shù)，F(xiàn)(x) 稱為稱為插值函數(shù)插值函數(shù)， x0 , x1, . , xn 稱為稱為插值節(jié)點(diǎn)插值節(jié)點(diǎn)。(a)式稱為式稱為插值條件插值條件。常用的插值函數(shù)是多項(xiàng)式。常用的插值函數(shù)是多項(xiàng)式。函數(shù)插值的基本問題函數(shù)插值的基本問題插值函數(shù)的類型插值函數(shù)的類型( )( )ixcx nii=0nii=0在函數(shù)類中，選取若干個(gè)函數(shù)，以作為插值函數(shù)。 1110( )( )( )innnnxxxxa xaxa xa nnii=0i=0n：取=，插值函數(shù)為F=P代數(shù)插值( )

9、sin ,cos ,sin2 ,cos2 ,sin,cosxxxxxnxnx nii=0：取三角插值=( )sincosF xaxbx例：( )sinF xabxcx例：( )( )( )xxQxmnP有：F=理插值2012230123( )aa xa xF xbb xb xb x例：( )( )iF xcxnii=0一般地： 當(dāng)插值函數(shù)是代數(shù)多項(xiàng)式時(shí)，插值問題稱為當(dāng)插值函數(shù)是代數(shù)多項(xiàng)式時(shí)，插值問題稱為代數(shù)插值代數(shù)插值。代數(shù)插值定理定理1 設(shè)設(shè)x0 ,x1,xn 是是n+1個(gè)互異節(jié)點(diǎn)個(gè)互異節(jié)點(diǎn),函數(shù)函數(shù)f(x)在這在這組節(jié)點(diǎn)的值組節(jié)點(diǎn)的值yk=f(xk)(k=0,1,n)是給定的，那么存在是給

10、定的，那么存在唯一的唯一的次數(shù)次數(shù)nn的的多項(xiàng)式多項(xiàng)式pn (x)滿足滿足 pn (xk)= yk, k=0,1,n。設(shè)設(shè) Pn(x)=a0+a1x+anxn, . (1)n次代數(shù)插值問題為次代數(shù)插值問題為:求次數(shù)求次數(shù)n的多項(xiàng)式的多項(xiàng)式Pn(x),使?jié)M足使?jié)M足插值條件插值條件 pn(xi)=yi, i= 0,1,2,，n, (2) 只要求出只要求出Pn(x)的系數(shù)的系數(shù)a0 ,a1, an即可即可由插值條件由插值條件(2)(2)知知P Pn n(x)(x)的系數(shù)滿足下列的系數(shù)滿足下列n+1n+1個(gè)代數(shù)方程構(gòu)成個(gè)代數(shù)方程構(gòu)成的線性方程組的線性方程組 a0+a1x0+ a2x02 + +anx0

11、n=y0 a0+a1x1+ a2x12 + +anx1n=y1 .a0+a1xn+ a2xn2 + +anxnn=yn (3)證明證明ai(i=0,1,2,n)的系數(shù)行列式是的系數(shù)行列式是Vandermonde行列式行列式 由于由于xi互異，所以互異，所以(4)右端不為零，從而方程組右端不為零，從而方程組(3)的解的解 a0 ,a1 ,an 存在且唯一。存在且唯一。2n0002n111101n102nnnn1.1.V(X ,X ,X )()(4).1.xxxxxxxxxniijijxx 但遺憾的是方程組但遺憾的是方程組(3)是病態(tài)方程組是病態(tài)方程組,階數(shù)階數(shù)n越高，病態(tài)越高，病態(tài)越嚴(yán)重。為此我

12、們從另一途徑尋求獲得越嚴(yán)重。為此我們從另一途徑尋求獲得Pn(x) 的方法的方法-Lagrange插值和插值和Newton插值。（上述方法稱為基函數(shù)法）插值。（上述方法稱為基函數(shù)法）證畢證畢LagrangeLagrange插值插值線性插值線性插值(n=1) 求次數(shù)求次數(shù)1 1 的多項(xiàng)式的多項(xiàng)式L1(x).滿足條件滿足條件L1(x0)=y0 , L1(x1)=y1 ,1010010011010110()()( )()()( )()()f xf xL xf xxxxxxxxxL xf xf xxxxx點(diǎn)斜式對(duì)稱式0101( )( ),lxl xx x稱和為以為節(jié)點(diǎn)的插值基函數(shù)01010110( ),

13、( )xxxxl xl xxxxx記100110011( )( ) ()( ) ()( )( )L xlx f xl x f xlx yl x y00011011()1()0()0()1lxlxl xl x011010110( )()()xxxxL xf xf xxxxx令令 L2(x)=l0(x)y0 + l1(x)y1 + l2(x)y2要求要求 l0(x)，l1(x)，l2(x)是二次多項(xiàng)式，且滿足是二次多項(xiàng)式，且滿足l0 (x0)=1 , l0 (x1)=0 , l0 (x2)=0 , l1 (x0)=0 , l1 (x1)=1 , l1 (x2)=0 , l2(x0)=0 , l2(

14、x1)=0 , l2(x2)=1 .二次插值二次插值 (n=2) 求次數(shù)求次數(shù)2 2 的多項(xiàng)式的多項(xiàng)式L L2 2(x),(x),使其滿足條件使其滿足條件L2(x0)=y0 , L2(x1)=y1 , L2(x2)=y2 l0 (x)含有含有 x-x1 , x-x2 兩個(gè)因子，令兩個(gè)因子，令 l0 (x)=(x-x1)(x-x2) ,利用利用 l0 (x0)=1 確定其中的系數(shù)確定其中的系數(shù)，得到：，得到：1200102()()()()()xxxxxxxxl x類似的可以得到類似的可以得到 l1(x), l2(x)0211012()()()()()xxxxxxxxl x0122021()()(

15、)()()xxxxxxxxl xl0(x) , l1(x) , l2(x) 稱為以稱為以 x0 , x1 , x2為節(jié)點(diǎn)的為節(jié)點(diǎn)的插值基函數(shù)插值基函數(shù)。0212201001011220122021() ()( )() ()() ()() ()xxxxxxxxLxyyxxxxxxxxxxxxyxxxx0,( )1,jiijxlij0110,011()()()()( )()()()()njjnijiijjijjjjjjnx xx xx xx xx xlxxxxxxxxxxx令令 Ln(x)=l0(x)y0 + l1(x)y1 + +ln(x)yn 求求n 次多項(xiàng)式次多項(xiàng)式 lj(x) ,(j=0,

16、1,n)使其滿足條件使其滿足條件n 次插值多項(xiàng)式次插值多項(xiàng)式 求次數(shù)求次數(shù)n的多項(xiàng)式的多項(xiàng)式Ln(x), 使其滿足使其滿足Ln(x0)=y0 , Ln(x1)=y1 , . , Ln(xn)=yn .(7)容易求得容易求得lj(x)(j=0,1,n)稱為以稱為以x0 , x1,. , xn為節(jié)點(diǎn)的為節(jié)點(diǎn)的Lagrange插值基函插值基函數(shù)。數(shù)。001110011100( )( )( )()().()().()( )()().()().()()njjjnjnjjnnjjjjjjjjnnnijijjiijxxxLyllxxxxxxxxxxxyLxxxxxxxxxxjxxyxx 將代入得 .(9)公

17、式（公式（9）就是）就是n次次Lagrange插值多項(xiàng)式插值多項(xiàng)式.特點(diǎn)：構(gòu)造容易，特點(diǎn)：構(gòu)造容易，L-型插值基函數(shù)理論上有意義，型插值基函數(shù)理論上有意義， 但增加節(jié)點(diǎn)要重新計(jì)算，不適合編程計(jì)算。但增加節(jié)點(diǎn)要重新計(jì)算，不適合編程計(jì)算。實(shí)際應(yīng)用：只用低次插值。實(shí)際應(yīng)用：只用低次插值。定理定理2:設(shè)設(shè)Ln(x)是過點(diǎn)是過點(diǎn)x0 ，x1 ，x2 ，xn的的f(x)的的n 次插次插值多項(xiàng)式，值多項(xiàng)式，f(x) Cn+1a,b ，其中，其中a，b是包含點(diǎn)是包含點(diǎn)x0 ，x1 ，x2 ，,xn的區(qū)間，則對(duì)任意給定的的區(qū)間，則對(duì)任意給定的x a，b，總，總存在一點(diǎn)存在一點(diǎn)（a，b）（依賴于）（依賴于x）使）

18、使(1)1( )( )( )( )( )(1)!nnnnR xf xL xxnf).()()(101nnxxxxxxx Lagrange插值的截?cái)嗾`差插值的截?cái)嗾`差(10)其中其中羅爾定理羅爾定理 設(shè)設(shè)f(x)在在a,b內(nèi)連續(xù)，在內(nèi)連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且有內(nèi)可導(dǎo)，且有f(a)=f(b)；則在；則在(a,b)內(nèi)一定存在一點(diǎn)內(nèi)一定存在一點(diǎn)，使得，使得f()=0。證明證明: 顯然顯然 Rn(xi ) =f(xi)-Ln(xi)=0 ,i=0,1,n,現(xiàn)在任意固定一點(diǎn)現(xiàn)在任意固定一點(diǎn)x a,b,xxi (i=0,1,n),設(shè)設(shè)Rn(x)=K(x) n+1(x), 引進(jìn)輔助函數(shù)引進(jìn)輔助函數(shù) g(t

19、)=f(t)- Ln(t)-K(x) n+1(t), (*)則則g(t)在在a,b上具有上具有n+1階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，在階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，在 t= x0, x1, xn, x 諸點(diǎn)處函諸點(diǎn)處函數(shù)值皆等于零。數(shù)值皆等于零。即即g(t)在在a,b中有中有n+2個(gè)零點(diǎn)。個(gè)零點(diǎn)。由由Rolle定理知定理知g(t)在在a,b中有中有n+1個(gè)零點(diǎn)。個(gè)零點(diǎn)。如此反復(fù)，最后可推知如此反復(fù)，最后可推知g(n+1)(t)在在a,b中有中有1個(gè)零點(diǎn)個(gè)零點(diǎn) ，即，即有有 g(n+1)( )=0, a b.因?yàn)橐驗(yàn)?n+1(t)是是n+1次多項(xiàng)式，次多項(xiàng)式， n+1(n+1)(t)=(n+1)!,又因?yàn)橛忠驗(yàn)長(zhǎng)n(t)是次數(shù)為是次

20、數(shù)為n的多項(xiàng)式的多項(xiàng)式,因此因此Ln (n+1)(t) = 0 。這樣，由。這樣，由(*)式便有式便有 )!1)()()()()()() 1() 1() 1() 1(nxKtftxKtftgnnnn代入代入Rn(x)=K(x) n+1(x),即得結(jié)論。即得結(jié)論。 證畢證畢0)!1)()()(,) 1() 1(nxKfgtnn令)!1()()() 1(nfxKn由此得由此得上式稱為帶余項(xiàng)的上式稱為帶余項(xiàng)的Lagrange插值公式插值公式,只要只要f(x)具有具有n+1階導(dǎo)階導(dǎo)數(shù)數(shù),就有上式成立就有上式成立,其余項(xiàng)為其余項(xiàng)為 1(1)( )(1)!( )( )( )nnfnnf xL xx ab

21、)()(1)!1()()1(xxRnnfnn)(!2)()(21xfxR 22)1 ()(httx|)(|max8|)(| 2110 xfhxRxxx 令令x1-x0=b-a=h, x= x0+t h , 0 t 1 則則特別，當(dāng)特別，當(dāng)n=1時(shí)，取時(shí)，取x0=a, x1=b，則有，則有易證，當(dāng)易證，當(dāng)0 t 1時(shí)時(shí),|t(1-t)|的最大值為的最大值為1/4，應(yīng)當(dāng)指出，余項(xiàng)表達(dá)式只有在應(yīng)當(dāng)指出，余項(xiàng)表達(dá)式只有在 f(x) 的高階導(dǎo)數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)存在時(shí)才能應(yīng)用。存在時(shí)才能應(yīng)用。 在在 （a，b）內(nèi)的具體位置通常不）內(nèi)的具體位置通常不可能給出，如果我們可以求出可能給出，如果我們可以求出 ，那么插值

22、多項(xiàng)式那么插值多項(xiàng)式Ln(x)逼近逼近f(x)的截?cái)嗾`差是的截?cái)嗾`差是(11) Mfnnbxax1)1)(max)()!1(11)(xnnMxRnn事后誤差估計(jì)事后誤差估計(jì)01(1)011(1)11(1)(1)( ),( )( )( )( )()(1)!( ),( )( )( )( )()(1)!( )( ),nnnnnniinnnnnnniinnxxxPxfRxf xPxxxnxxxPxfRxf xPxxxnff 由由， ， ，構(gòu)構(gòu)造造插插值值函函數(shù)數(shù)則則插插值值誤誤差差是是再再由由 ， ，構(gòu)構(gòu)造造插插值值函函數(shù)數(shù)插插值值誤誤差差是是近近似似地地認(rèn)認(rèn)為為得得到到01( )( )( )( )n

23、nnf xP xxxxxf xPx 01100101001( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )nnnnnnnnnnnnnf xP xxxxxf xPxxxxxf xP xPxxxxxRxf xP xxxP xPxxx 解解出出得得到到事事后后誤誤差差估估計(jì)計(jì)式式（Lagrange插值算法 function y=lagrange(x0,y0,x) ii=1:length(x0); y=zeros(size(x); for i=ii ij=find(ii=i);y1=1; for j=1:length(ij), y1=y1.*(x-x0(ij(j);end y=

24、y+y1*y0(i)/prod(x0(i)-x0(ij); endNewtonNewton插值插值 本節(jié)介紹本節(jié)介紹Newton插值多項(xiàng)式，該公式是另一插值多項(xiàng)式，該公式是另一種具有承襲性的插值多項(xiàng)式，且在后續(xù)章節(jié)有重種具有承襲性的插值多項(xiàng)式，且在后續(xù)章節(jié)有重要應(yīng)用。為了使要應(yīng)用。為了使Newton插值多項(xiàng)式具有承襲性，插值多項(xiàng)式具有承襲性，令令0100011011( )1( )()( )( )()( )()()()0,1,2,.,iiiixxxxxxxxxxxxxxxxxinNewton插值基函數(shù)取為0100111011( )( )()()()()( )()()()nniiionnnnnN

25、xcxcc xxc xxxxxxNxc xNewtonxxxxx插值多項(xiàng)式為式中式中c0,c1,cn 為插值多項(xiàng)式系數(shù)。為插值多項(xiàng)式系數(shù)。為便于表示為便于表示Nn(x), 引出差商概念引出差商概念. 利用利用Newton差分插值，計(jì)算函數(shù)差分插值，計(jì)算函數(shù)f(x)在在x* 處的處的近似值分為以下步驟：近似值分為以下步驟：1）根據(jù)等距節(jié)點(diǎn)表，構(gòu)造差分表，）根據(jù)等距節(jié)點(diǎn)表，構(gòu)造差分表，2）根據(jù)）根據(jù) x*的位置，建立的位置，建立Newton差分插值多項(xiàng)式。差分插值多項(xiàng)式。 差分表差分表xi fi 2 3 n x0 f0 x1 f1x2 f2x3 f3xn-3 fn-3xn-2 fn-2xn-1 f

26、n-1xn fnf0f1f2fn-3fn-2fn-12f02f12fn-32fn-23f03fn-3nf0ifn=ifn-i例例 給出如下函數(shù)表：給出如下函數(shù)表：xi 0 1 2 3 f(xi) 1 2 17 64 解解 造差分表造差分表xi f(xi)0 11 22 173 64115 471432 180.5靠近表頭，構(gòu)造前插公式：靠近表頭，構(gòu)造前插公式：P3(x)=1+s+7s(s-1)+3s(s-1)(s-2) ,這里這里x=s ，f(0.5)P3(0.5)=2.8752.5靠近表尾，構(gòu)造后插公式：靠近表尾，構(gòu)造后插公式：P3(x)=64+47s+16s(s+1)+3s(s+1)(s+

27、2)，這里，這里x=3+s,當(dāng)當(dāng)x=2.5時(shí)時(shí), s=-0.5 f(2.5) P3(2.5)=35.375構(gòu)造三階構(gòu)造三階Newton差分插值多項(xiàng)式，計(jì)算差分插值多項(xiàng)式，計(jì)算f(0.5)、f(1.5) 與與f(2.5)。 2 二維網(wǎng)格數(shù)據(jù)的插值問題函數(shù)為interp2()，調(diào)用格式如下： z1=interp2(x0,y0,z0,x1,y1,方法)其中 x0,y0,z0為已知的數(shù)據(jù)，而x1,y1為插值點(diǎn)構(gòu)成的新的網(wǎng)格參數(shù)，返回的z1矩陣為在所選插值網(wǎng)格點(diǎn)處的寒暑近似值問題：三維網(wǎng)格數(shù)據(jù)插值呢？問題：三維網(wǎng)格數(shù)據(jù)插值呢？樣條插值與數(shù)值微積分一 樣條插值 三次樣條函數(shù)及其Matlab表示： S=cs

28、api(x,y) 其中 x=x1,x2,xn,y=y1,y2,yn為樣本點(diǎn)，得出的S為一個(gè)三次樣條函數(shù)對(duì)象，其成員變量包括子區(qū)間點(diǎn)、各個(gè)三次多項(xiàng)式系數(shù)等。 樣條函數(shù)對(duì)象的結(jié)果可以由fnplt()繪制出來： fnplt(S)B樣條函數(shù)及其Matlab表示 S=spapi（k，x，y） 其中k為用戶選定的B樣條階次。一般選擇k=4，5能得出較好的插值結(jié)果背景知識(shí)：分段三次樣條插值背景知識(shí)：分段三次樣條插值一、問題的提出 我們已經(jīng)知道插值有多種方法：我們已經(jīng)知道插值有多種方法：Lagrange 插值、插值、 Newton插值、插值、Hermite 插值等多種方式。插值的目的插值等多種方式。插值的目的

29、就是數(shù)值逼近的一種手段，而數(shù)值逼近，是為得到一就是數(shù)值逼近的一種手段，而數(shù)值逼近，是為得到一個(gè)數(shù)學(xué)問題的精確解或足夠精確的解。那么，是否插個(gè)數(shù)學(xué)問題的精確解或足夠精確的解。那么，是否插值多項(xiàng)式的次數(shù)越高，越能夠達(dá)到這個(gè)目的呢？現(xiàn)在，值多項(xiàng)式的次數(shù)越高，越能夠達(dá)到這個(gè)目的呢？現(xiàn)在，我們來討論一下這個(gè)問題。我們來討論一下這個(gè)問題。 我們已經(jīng)知道：我們已經(jīng)知道：f(x)在在n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)個(gè)節(jié)點(diǎn)xi(i=0，1，2，n) 上的上的n次插值多項(xiàng)式次插值多項(xiàng)式Pn (x) 的余項(xiàng)的余項(xiàng) 設(shè)想當(dāng)節(jié)點(diǎn)數(shù)增多時(shí)會(huì)出現(xiàn)什么情況。由插值余項(xiàng)可設(shè)想當(dāng)節(jié)點(diǎn)數(shù)增多時(shí)會(huì)出現(xiàn)什么情況。由插值余項(xiàng)可知，當(dāng)知，當(dāng)f(x)充分光滑時(shí)

30、，余項(xiàng)隨充分光滑時(shí)，余項(xiàng)隨n增大而趨于增大而趨于0的，這說的，這說明可用增加節(jié)點(diǎn)的方法達(dá)到這個(gè)目的，那么實(shí)際是這樣明可用增加節(jié)點(diǎn)的方法達(dá)到這個(gè)目的，那么實(shí)際是這樣嗎？嗎？ niinnxxnfxPxfxR011)()!()()()()()(lim( )( )nnP xf x是否有，即要討論收斂性問題。 上述現(xiàn)象和定理，告訴我們用高次插值多項(xiàng)式是上述現(xiàn)象和定理，告訴我們用高次插值多項(xiàng)式是不妥當(dāng)?shù)?，從?shù)值計(jì)算上可解釋為高次插值多項(xiàng)式的不妥當(dāng)?shù)模瑥臄?shù)值計(jì)算上可解釋為高次插值多項(xiàng)式的計(jì)算會(huì)帶來舍入誤差的增大，從而引起計(jì)算失真。因計(jì)算會(huì)帶來舍入誤差的增大，從而引起計(jì)算失真。因此，實(shí)踐上作插值時(shí)一般只用一次

31、、二次最多用三次此，實(shí)踐上作插值時(shí)一般只用一次、二次最多用三次插值多項(xiàng)式。插值多項(xiàng)式。 那么如何提高插值精度呢？采用分段插值是一種那么如何提高插值精度呢？采用分段插值是一種辦法。辦法。定理：函數(shù)定理：函數(shù)f(x)=|x|在在-1，1上取上取n+1個(gè)等距節(jié)點(diǎn)個(gè)等距節(jié)點(diǎn) x0=-1, xn=1,構(gòu)造構(gòu)造n次插值多項(xiàng)式次插值多項(xiàng)式Pn (x)，當(dāng)，當(dāng)n 增大時(shí)，除了增大時(shí)，除了-1，0，1，三點(diǎn)外，在，三點(diǎn)外，在-1，1 中任何點(diǎn)處中任何點(diǎn)處Pn(x)都不收斂于都不收斂于|x|。因此實(shí)際應(yīng)用中常采用分段低次插值。因此實(shí)際應(yīng)用中常采用分段低次插值。（1）分段線性插值（在有限元方法中采用的插值函數(shù)）分段

32、線性插值（在有限元方法中采用的插值函數(shù)）（2）分段二次插值）分段二次插值（3）分段）分段Hermite插值插值(4) 分段三次樣條插值分段三次樣條插值0011111( )( )( ),( )( )( )( )( )nnhiiiiiiiihiiiiiiiiHxx yx yxxHermitxHxx yx yx yex y 在在上上的的表表達(dá)達(dá)分分段段三三次次插插值值多多項(xiàng)項(xiàng)式式的的一一般般形形式式就就是是式式分段三次分段三次Hermite插值插值0111()()0 1( )(1)( ) , ;,(3)(),()(0,1, )niiiihhiihiihiinxxxyf xyfxinHermiteHx

33、HxC a bx xHxy Hxyin 設(shè)設(shè)個(gè)個(gè)插插值值節(jié)節(jié)點(diǎn)點(diǎn) ， ，。已已知知在在節(jié)節(jié)點(diǎn)點(diǎn)上上的的函函數(shù)數(shù)值值和和導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)值值， ， ， 。分分段段三三次次插插值值多多項(xiàng)項(xiàng)式式應(yīng)應(yīng)滿滿足足條條件件：( (2 2) )在在局局部部的的每每個(gè)個(gè)小小區(qū)區(qū)間間上上是是三三次次多多項(xiàng)項(xiàng)式式；。20101100100012(),( )0,nixxxxxxxxxxxxxxx 具具體體形形式式如如下下：時(shí)時(shí)：（）( )( )( )( )(),()0()0,()( ,0,1,2, )iiiiijijijijijijxxxxHermitexxxxi jn 對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)于于節(jié)節(jié)點(diǎn)點(diǎn)函函數(shù)數(shù)的的基基函函數(shù)數(shù)對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)于

34、于節(jié)節(jié)點(diǎn)點(diǎn)導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)的的基基函函數(shù)數(shù)和和應(yīng)應(yīng)滿滿足足局局部部非非零零性性質(zhì)質(zhì)：除除此此外外，還還應(yīng)應(yīng)滿滿足足插插值值條條件件。2111121111111,2,(1)(12)()( )(12)()0iiiiiiiiiiiiiiiiiiiinxxxxxxxxxxxxxxxaxxxxxxxxxxx 時(shí)時(shí)；01211110,( )1 2,nnnnnnnnnninxx xa xxxxxxxxxxxx 時(shí)時(shí)：（）（）,0,)(011021010nnxxxxxxxxxxxxxi）（時(shí)：0)()()() 1( , 2 , 11112111211iiiiiiiiiiiiiiixxxxxxxxxxxxxxxxxxx

35、xxxni時(shí)；,0)(121110nnnnnnnixxxxxxxxxxxxxni）（時(shí)： 實(shí)際上，上面介紹的分段低次插值，雖然具實(shí)際上，上面介紹的分段低次插值，雖然具有計(jì)算簡(jiǎn)便，收斂性有保證，數(shù)值穩(wěn)定性又好且有計(jì)算簡(jiǎn)便，收斂性有保證，數(shù)值穩(wěn)定性又好且易在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)等優(yōu)點(diǎn)，但它卻不能保證整條易在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)等優(yōu)點(diǎn)，但它卻不能保證整條曲線的光滑性，從而不能滿足某些工程技術(shù)上的曲線的光滑性，從而不能滿足某些工程技術(shù)上的要求，從六十年代開始，首先由于航空、造船等要求，從六十年代開始，首先由于航空、造船等工程設(shè)計(jì)的需要而發(fā)展起來的樣條插值（工程設(shè)計(jì)的需要而發(fā)展起來的樣條插值（spline)方法，既保留

36、了分段低次插值的各種優(yōu)點(diǎn)，又提方法，既保留了分段低次插值的各種優(yōu)點(diǎn)，又提高了插值函數(shù)的光滑性，在許多領(lǐng)域有越來越廣高了插值函數(shù)的光滑性，在許多領(lǐng)域有越來越廣泛的應(yīng)用。泛的應(yīng)用。011( ) , , ()0,1,21,( )nniyf xa ba bnaxxxxbf xinf xx 若若函函數(shù)數(shù)在在上上連連續(xù)續(xù)，將將區(qū)區(qū)間間分分為為 個(gè)個(gè)小小區(qū)區(qū)間間，節(jié)節(jié)點(diǎn)點(diǎn)由由小小到到大大排排列列為為給給定定節(jié)節(jié)點(diǎn)點(diǎn)上上、函函數(shù)數(shù)值值，。要要求求構(gòu)構(gòu)造造一一個(gè)個(gè)逼逼近近的的函函數(shù)數(shù)S S( ( ) )滿滿定定義義足足以以下下條條件件：21(1) ()0 1(2) ( ) , (3) ( ),0 1( )iii

37、iS xyinS xCa bS xx xinS x ， ，；，即即在在整整體體上上是是二二階階連連續(xù)續(xù)的的；在在每每一一個(gè)個(gè)小小區(qū)區(qū)間間是是三三次次多多項(xiàng)項(xiàng)式式（， ，）稱稱為為三三次次樣樣條條函函數(shù)數(shù)。三次樣條插值三次樣條插值(1)3(1)42,nnn共有個(gè)條件缺兩個(gè)條件，由邊界條件給出。2、插值條件分析1,0,1,2,.,iy in由（）已知節(jié)點(diǎn)上函數(shù)值。n+1個(gè)條件21112( ) , ,( )( ),( )( ),( )( ),1,2,.,1iiiiiiiiiiiiS xC a bSxSxSxS xSxS xin由（ ）隱含著在內(nèi)節(jié)點(diǎn)上應(yīng)有1001112113( ) ,( ),;( )

38、 ,;( ):( ),;iinnnS xx xSxxxxS xxx xS xSxxxx由（ ）在每個(gè)上表達(dá)式不同，故應(yīng)分段構(gòu)造：( )4S xn故構(gòu)造需要個(gè)條件3(1)n個(gè)條件000(0)(0)(0)(0)(0)(0)3nnnS xS xSxSxSxSx（ ）周期邊界條件（ ）周期邊界條件，00()(),()(3).1nnSxfxSxfx邊邊常常見見的的邊邊界界條條件件有有界界條條件件（ ）給給定定端端點(diǎn)點(diǎn)一一階階導(dǎo)導(dǎo)以以下下三三種種：稱稱為為固固支支邊邊數(shù)數(shù)值值界界條條件件。000()()()2()()0()0nnnSxfxSxfxSxSx ，特特別別，（ ）給給定定端端點(diǎn)點(diǎn)二二階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)

39、當(dāng)當(dāng)和和稱稱為為自自然然值值邊邊界界條條件件。4,(0,1,2,., )imin（ ）再由三轉(zhuǎn)角方程邊界條件（補(bǔ)充兩個(gè)方程）封閉的方程組，可求出4.( )S x構(gòu)造的兩種基本方法1()( ),(,)iiiiiiiiyfxS xmmymy（分以下四步）（）未知，但三轉(zhuǎn)角插值法可設(shè)只是111112 ,( )( )( )( )( )1.iiiiiiiiiiiiiimHermitexx xS xh x yhx yh x mhx mmnnm（ ）如能求出 ，則可由分段三次插值構(gòu)造對(duì)在 個(gè)小區(qū)間上有個(gè)待求1(3)( )( ),1,2,.,111iiiiimSxSxinnn如何求，利用在節(jié)點(diǎn)上二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)條

40、件由導(dǎo)出三轉(zhuǎn)角方程（個(gè)方程要解個(gè)未知數(shù)）4,(0,1,2,., )iMin（ ）再由三彎矩方程邊界條件（補(bǔ)充兩個(gè)方程）封閉的方程組，可求出1()( ),(,)iiiiiiiiyfxS xMMyMy（分以下四步）（）未知，但可三彎矩插值法設(shè)只是2( ).iiiMMyS x（ ）如能求出，則可由和 構(gòu)造1(3)( )( ),1,2,.,111iiiiiMSxS xinnn如何求，利用在節(jié)點(diǎn)上一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)條件由導(dǎo)出三彎矩方程（個(gè)方程要解個(gè)未知數(shù)）11323211( ),()()()()()1,iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiS xxxhxxyS xa xxb x

41、xc xxddyS xa hb ha b cc hdMd 在在中中代代入入兩兩個(gè)個(gè)端端點(diǎn)點(diǎn) 和和并并（ ）建建立立記記和和之之的的關(guān)關(guān)系系得得到到間間132( )()()()(0 11),4(1)(0 1)1iiiiiiiiiiiiiiiiiiixxS xa xxb xxc xxdina b c dnSxMinMynM 在，上，三次樣條函數(shù)可表示為在，上，三次樣條函數(shù)可表示為， ， ， ， ，其中是四個(gè)待定系數(shù)。（共有個(gè)待求系數(shù)）其中是四個(gè)待定系數(shù)。（共有個(gè)待求系數(shù)）， ， ，四、三彎矩方程求解法四、三彎矩方程求解法、建、建，立三彎矩方立三彎矩方，共有個(gè)，共有個(gè)程程待求。待求。11111()/

42、6/226,iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiaMMhbMdyyyh Mh MchMMyyabcd 得得到到以以上上得得到到用用和和表表示示系系數(shù)數(shù) ， ， ，的的關(guān)關(guān)系系式式。211( ) ( )3()2 () ( )6()2 ( )6()22 ()62iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiS xSxa xxb xxcSxa xxbMSxa xxbbMSxa hb 對(duì)對(duì)求求導(dǎo)導(dǎo)于于是是（2）構(gòu)造三彎矩方程 2 ( ),1( ) 3( -)2( -) S xxxiiSxax xbx xciiiiii利用在內(nèi)節(jié)點(diǎn)上一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)的條件，在區(qū)間上111211111111111

43、1 (-0)(0) ()() 32 , iiiiiiiiiiiiiiiiixSxSxSxSxca hb hcabcc在節(jié)點(diǎn)上應(yīng)有，即，得到將前已得到的和 的表達(dá)式代入上式 有12111111,( ) 3( -)2( -)iiiiiiiixxSxax xbx xc在區(qū)間上00110111221222111(1) (1)112()2()2()11nnnnnnnnnnhhhhMghhhhMghhhhMgRRRnn 即即三三彎彎矩矩方方程程組組共共個(gè)個(gè)方方程程要要解解個(gè)個(gè)未未知知數(shù)數(shù)，是是不不封封閉閉的的方方程程組組, ,要要求求解解必必須須補(bǔ)補(bǔ)充充邊邊界界條條件件. .11-1-1-1-1-1-1-1-1-12-6-22(-)-6iiiiiiiiiiiiiiiiiiiyyh Mh Mhyyh Mh MMMhMhh11111126(,)(1,2,1)iiiiiiiiiiiih MhhMhMf x xf xxgin（+ ）化簡(jiǎn)后得到三彎矩方程00()()nnS xyS xy2.邊界條件補(bǔ)充方程（1）已知兩端點(diǎn)一有三種邊界條值件階導(dǎo)數(shù)和,012( ) 3( -)2( -)000000-(2)10001()-00006026(,-)00010 10 xxSxax xbx xcyyhMMySxchh Mh Mf xxy在上得補(bǔ)充方程 ,12( ) 3( -)2( -)1111112