matlab進行數(shù)值分析

1、數(shù)據(jù)插值、函數(shù)逼近問題的計算機求解數(shù)據(jù)插值、函數(shù)逼近問題的計算機求解插值與數(shù)據(jù)擬合樣條插值與數(shù)值微積分信號分析與數(shù)字信號處理基礎一.插值與數(shù)據(jù)擬合一維數(shù)據(jù)插值問題 一維插值函數(shù)interp1()函數(shù)的調用格式為： y1=interp1(x,y,x1,方法)其中，x=x1,x2,.xN,y=y1,y2,.yN,兩個向量分別表示給定的一組自變量和函數(shù)值數(shù)據(jù)。X1為用戶指定的一組新的插值點的橫坐標，得出的y1為插值點處的插值結果。插值方法為linear,nearest,cubic,spline 背景知識背景知識 如果可以將一個實際問題用函數(shù)來描述，那么對這個如果可以將一個實際問題用函數(shù)來描述，那么對

2、這個函數(shù)性質以及運算規(guī)律的研究，就是對這一實際問題的某函數(shù)性質以及運算規(guī)律的研究，就是對這一實際問題的某些內在規(guī)律的理性揭示。些內在規(guī)律的理性揭示。 在工程實踐和科學實驗中，經常需要建立函數(shù)關系，在工程實踐和科學實驗中，經常需要建立函數(shù)關系，即即y=f(x)。雖然從原則上說，它在某個區(qū)間。雖然從原則上說，它在某個區(qū)間a,b上是存在的，上是存在的，但通常只能觀測到它的部分信息，即只能獲取但通常只能觀測到它的部分信息，即只能獲取a,b上一系上一系列離散點上的值，這些值構成了觀測數(shù)據(jù)。這就是說，我列離散點上的值，這些值構成了觀測數(shù)據(jù)。這就是說，我們只知道的一張觀測數(shù)據(jù)表，們只知道的一張觀測數(shù)據(jù)表，

3、而不知道函數(shù)在其他點而不知道函數(shù)在其他點x上的取值，這時只能用一個經上的取值，這時只能用一個經驗函數(shù)驗函數(shù)y=g(x)對真實函數(shù)對真實函數(shù)y=f(x)作近似。作近似。 x x1 x2 xnf(x)f(x1) f(x2) f(xn)已知數(shù)據(jù)表已知數(shù)據(jù)表 下面兩種辦法常用來確定經驗函數(shù)下面兩種辦法常用來確定經驗函數(shù)y=g(x)（1）插值法）插值法 （2）擬合法）擬合法 根據(jù)問題的不同，有時要用插值技術來解決，有時則根據(jù)問題的不同，有時要用插值技術來解決，有時則應該采用擬合的方法才合理。應該采用擬合的方法才合理。 （1）插值法的基本思想）插值法的基本思想 x x1 x2 xnf(x)f(x1) f(

4、x2) f(xn)求一個經驗函數(shù)求一個經驗函數(shù)y=g(x)，使，使g(xi)=f(xi), i=1,n.（2）擬合法的基本思想）擬合法的基本思想已知數(shù)據(jù)表已知數(shù)據(jù)表 x x1 x2 xnf(x)f(x1) f(x2) f(xn)2)minniii=1求一個經驗函數(shù)y=g(x)，使(g(xf(x插值的任務插值的任務就是由已知的觀測點就是由已知的觀測點(xi,yi),為物理量為物理量(未知量未知量)建建立一個簡單的、連續(xù)的解析模型立一個簡單的、連續(xù)的解析模型F(x) ，以便能根據(jù)該模型，以便能根據(jù)該模型推測該物理量在非觀測點處的特性推測該物理量在非觀測點處的特性。oxy y0 x1 x2 xn y

5、1 y2 yn x0y=f(x)F(x) 機翼斷面的下輪廓線如圖所示，下表給出了下輪廓線上機翼斷面的下輪廓線如圖所示，下表給出了下輪廓線上的部分數(shù)據(jù)。用程控銑床加工時，每一刀只能沿的部分數(shù)據(jù)。用程控銑床加工時，每一刀只能沿x方向和方向和y方方向走非常小的一步。例如，如果工藝要求銑床沿向走非常小的一步。例如，如果工藝要求銑床沿x方向每次只方向每次只能移動能移動0.1單位，這時就需要求出當單位，這時就需要求出當x坐標每改變坐標每改變0.1單位時的單位時的y坐標。試完成加工所需的數(shù)據(jù)，畫出曲線。坐標。試完成加工所需的數(shù)據(jù)，畫出曲線。 問題問題1：機床加工：機床加工 x 0 3 5 7 911 12

6、13 1415 y 01.2 1.7 2.0 2.1 2.0 1.8 1.2 1.01.6 在水文數(shù)據(jù)的測量中，不同水深的流速是不同的。水文在水文數(shù)據(jù)的測量中，不同水深的流速是不同的。水文數(shù)據(jù)的測量是天天進行的，為了減少測量的工作量，希望確定數(shù)據(jù)的測量是天天進行的，為了減少測量的工作量，希望確定水深和流速之間的關系。為此測量了一系列不同水深和流速值，水深和流速之間的關系。為此測量了一系列不同水深和流速值，下表給出了對某河流的測量數(shù)據(jù)下表給出了對某河流的測量數(shù)據(jù) 問題問題2：水深和流速的關系：水深和流速的關系水深水深x 0 0.1 0.2 0.30.40.50.60.70.8 0.9流速流速y3

7、.195 3.229 3.253 3.261 3.251 3.228 3.187 3.126 3.059 2.975函數(shù)插值的基本問題函數(shù)插值的基本問題Lagrange插值插值Newton插值插值帶導數(shù)條件的帶導數(shù)條件的Hermite插值插值分段三次樣條插值分段三次樣條插值插值法插值法:由實驗或測量的方法得到所求函數(shù)由實驗或測量的方法得到所求函數(shù) y=f(x) 在互異在互異點點x0 , x1, . , xn 處的值處的值 y0 , y1 , , yn ,構造一個簡單函數(shù)構造一個簡單函數(shù) F(x) 作為函數(shù)作為函數(shù) y=f(x) 的近似表達式的近似表達式y(tǒng)= f(x) F(x)使使 F(x0)=

8、y0 , F(x1)=y1 , , F(xn)=yn ,(a)這類問題稱為這類問題稱為插值問題插值問題。 f(x) 稱為稱為被插值函數(shù)被插值函數(shù)，F(xiàn)(x) 稱為稱為插值函數(shù)插值函數(shù)， x0 , x1, . , xn 稱為稱為插值節(jié)點插值節(jié)點。(a)式稱為式稱為插值條件插值條件。常用的插值函數(shù)是多項式。常用的插值函數(shù)是多項式。函數(shù)插值的基本問題函數(shù)插值的基本問題插值函數(shù)的類型插值函數(shù)的類型( )( )ixcx nii=0nii=0在函數(shù)類中，選取若干個函數(shù)，以作為插值函數(shù)。 1110( )( )( )innnnxxxxa xaxa xa nnii=0i=0n：取=，插值函數(shù)為F=P代數(shù)插值( )

9、sin ,cos ,sin2 ,cos2 ,sin,cosxxxxxnxnx nii=0：取三角插值=( )sincosF xaxbx例：( )sinF xabxcx例：( )( )( )xxQxmnP有：F=理插值2012230123( )aa xa xF xbb xb xb x例：( )( )iF xcxnii=0一般地： 當插值函數(shù)是代數(shù)多項式時，插值問題稱為當插值函數(shù)是代數(shù)多項式時，插值問題稱為代數(shù)插值代數(shù)插值。代數(shù)插值定理定理1 設設x0 ,x1,xn 是是n+1個互異節(jié)點個互異節(jié)點,函數(shù)函數(shù)f(x)在這在這組節(jié)點的值組節(jié)點的值yk=f(xk)(k=0,1,n)是給定的，那么存在是給

10、定的，那么存在唯一的唯一的次數(shù)次數(shù)nn的的多項式多項式pn (x)滿足滿足 pn (xk)= yk, k=0,1,n。設設 Pn(x)=a0+a1x+anxn, . (1)n次代數(shù)插值問題為次代數(shù)插值問題為:求次數(shù)求次數(shù)n的多項式的多項式Pn(x),使?jié)M足使?jié)M足插值條件插值條件 pn(xi)=yi, i= 0,1,2,，n, (2) 只要求出只要求出Pn(x)的系數(shù)的系數(shù)a0 ,a1, an即可即可由插值條件由插值條件(2)(2)知知P Pn n(x)(x)的系數(shù)滿足下列的系數(shù)滿足下列n+1n+1個代數(shù)方程構成個代數(shù)方程構成的線性方程組的線性方程組 a0+a1x0+ a2x02 + +anx0

11、n=y0 a0+a1x1+ a2x12 + +anx1n=y1 .a0+a1xn+ a2xn2 + +anxnn=yn (3)證明證明ai(i=0,1,2,n)的系數(shù)行列式是的系數(shù)行列式是Vandermonde行列式行列式 由于由于xi互異，所以互異，所以(4)右端不為零，從而方程組右端不為零，從而方程組(3)的解的解 a0 ,a1 ,an 存在且唯一。存在且唯一。2n0002n111101n102nnnn1.1.V(X ,X ,X )()(4).1.xxxxxxxxxniijijxx 但遺憾的是方程組但遺憾的是方程組(3)是病態(tài)方程組是病態(tài)方程組,階數(shù)階數(shù)n越高，病態(tài)越高，病態(tài)越嚴重。為此我

12、們從另一途徑尋求獲得越嚴重。為此我們從另一途徑尋求獲得Pn(x) 的方法的方法-Lagrange插值和插值和Newton插值。（上述方法稱為基函數(shù)法）插值。（上述方法稱為基函數(shù)法）證畢證畢LagrangeLagrange插值插值線性插值線性插值(n=1) 求次數(shù)求次數(shù)1 1 的多項式的多項式L1(x).滿足條件滿足條件L1(x0)=y0 , L1(x1)=y1 ,1010010011010110()()( )()()( )()()f xf xL xf xxxxxxxxxL xf xf xxxxx點斜式對稱式0101( )( ),lxl xx x稱和為以為節(jié)點的插值基函數(shù)01010110( ),

13、( )xxxxl xl xxxxx記100110011( )( ) ()( ) ()( )( )L xlx f xl x f xlx yl x y00011011()1()0()0()1lxlxl xl x011010110( )()()xxxxL xf xf xxxxx令令 L2(x)=l0(x)y0 + l1(x)y1 + l2(x)y2要求要求 l0(x)，l1(x)，l2(x)是二次多項式，且滿足是二次多項式，且滿足l0 (x0)=1 , l0 (x1)=0 , l0 (x2)=0 , l1 (x0)=0 , l1 (x1)=1 , l1 (x2)=0 , l2(x0)=0 , l2(

14、x1)=0 , l2(x2)=1 .二次插值二次插值 (n=2) 求次數(shù)求次數(shù)2 2 的多項式的多項式L L2 2(x),(x),使其滿足條件使其滿足條件L2(x0)=y0 , L2(x1)=y1 , L2(x2)=y2 l0 (x)含有含有 x-x1 , x-x2 兩個因子，令兩個因子，令 l0 (x)=(x-x1)(x-x2) ,利用利用 l0 (x0)=1 確定其中的系數(shù)確定其中的系數(shù)，得到：，得到：1200102()()()()()xxxxxxxxl x類似的可以得到類似的可以得到 l1(x), l2(x)0211012()()()()()xxxxxxxxl x0122021()()(

15、)()()xxxxxxxxl xl0(x) , l1(x) , l2(x) 稱為以稱為以 x0 , x1 , x2為節(jié)點的為節(jié)點的插值基函數(shù)插值基函數(shù)。0212201001011220122021() ()( )() ()() ()() ()xxxxxxxxLxyyxxxxxxxxxxxxyxxxx0,( )1,jiijxlij0110,011()()()()( )()()()()njjnijiijjijjjjjjnx xx xx xx xx xlxxxxxxxxxxx令令 Ln(x)=l0(x)y0 + l1(x)y1 + +ln(x)yn 求求n 次多項式次多項式 lj(x) ,(j=0,

16、1,n)使其滿足條件使其滿足條件n 次插值多項式次插值多項式 求次數(shù)求次數(shù)n的多項式的多項式Ln(x), 使其滿足使其滿足Ln(x0)=y0 , Ln(x1)=y1 , . , Ln(xn)=yn .(7)容易求得容易求得lj(x)(j=0,1,n)稱為以稱為以x0 , x1,. , xn為節(jié)點的為節(jié)點的Lagrange插值基函插值基函數(shù)。數(shù)。001110011100( )( )( )()().()().()( )()().()().()()njjjnjnjjnnjjjjjjjjnnnijijjiijxxxLyllxxxxxxxxxxxyLxxxxxxxxxxjxxyxx 將代入得 .(9)公

17、式（公式（9）就是）就是n次次Lagrange插值多項式插值多項式.特點：構造容易，特點：構造容易，L-型插值基函數(shù)理論上有意義，型插值基函數(shù)理論上有意義， 但增加節(jié)點要重新計算，不適合編程計算。但增加節(jié)點要重新計算，不適合編程計算。實際應用：只用低次插值。實際應用：只用低次插值。定理定理2:設設Ln(x)是過點是過點x0 ，x1 ，x2 ，xn的的f(x)的的n 次插次插值多項式，值多項式，f(x) Cn+1a,b ，其中，其中a，b是包含點是包含點x0 ，x1 ，x2 ，,xn的區(qū)間，則對任意給定的的區(qū)間，則對任意給定的x a，b，總，總存在一點存在一點（a，b）（依賴于）（依賴于x）使）

18、使(1)1( )( )( )( )( )(1)!nnnnR xf xL xxnf).()()(101nnxxxxxxx Lagrange插值的截斷誤差插值的截斷誤差(10)其中其中羅爾定理羅爾定理 設設f(x)在在a,b內連續(xù)，在內連續(xù)，在(a,b)內可導，且有內可導，且有f(a)=f(b)；則在；則在(a,b)內一定存在一點內一定存在一點，使得，使得f()=0。證明證明: 顯然顯然 Rn(xi ) =f(xi)-Ln(xi)=0 ,i=0,1,n,現(xiàn)在任意固定一點現(xiàn)在任意固定一點x a,b,xxi (i=0,1,n),設設Rn(x)=K(x) n+1(x), 引進輔助函數(shù)引進輔助函數(shù) g(t

19、)=f(t)- Ln(t)-K(x) n+1(t), (*)則則g(t)在在a,b上具有上具有n+1階連續(xù)導數(shù)，在階連續(xù)導數(shù)，在 t= x0, x1, xn, x 諸點處函諸點處函數(shù)值皆等于零。數(shù)值皆等于零。即即g(t)在在a,b中有中有n+2個零點。個零點。由由Rolle定理知定理知g(t)在在a,b中有中有n+1個零點。個零點。如此反復，最后可推知如此反復，最后可推知g(n+1)(t)在在a,b中有中有1個零點個零點 ，即，即有有 g(n+1)( )=0, a b.因為因為 n+1(t)是是n+1次多項式，次多項式， n+1(n+1)(t)=(n+1)!,又因為又因為Ln(t)是次數(shù)為是次

20、數(shù)為n的多項式的多項式,因此因此Ln (n+1)(t) = 0 。這樣，由。這樣，由(*)式便有式便有 )!1)()()()()()() 1() 1() 1() 1(nxKtftxKtftgnnnn代入代入Rn(x)=K(x) n+1(x),即得結論。即得結論。 證畢證畢0)!1)()()(,) 1() 1(nxKfgtnn令)!1()()() 1(nfxKn由此得由此得上式稱為帶余項的上式稱為帶余項的Lagrange插值公式插值公式,只要只要f(x)具有具有n+1階導階導數(shù)數(shù),就有上式成立就有上式成立,其余項為其余項為 1(1)( )(1)!( )( )( )nnfnnf xL xx ab

21、)()(1)!1()()1(xxRnnfnn)(!2)()(21xfxR 22)1 ()(httx|)(|max8|)(| 2110 xfhxRxxx 令令x1-x0=b-a=h, x= x0+t h , 0 t 1 則則特別，當特別，當n=1時，取時，取x0=a, x1=b，則有，則有易證，當易證，當0 t 1時時,|t(1-t)|的最大值為的最大值為1/4，應當指出，余項表達式只有在應當指出，余項表達式只有在 f(x) 的高階導數(shù)的高階導數(shù)存在時才能應用。存在時才能應用。 在在 （a，b）內的具體位置通常不）內的具體位置通常不可能給出，如果我們可以求出可能給出，如果我們可以求出 ，那么插值

22、多項式那么插值多項式Ln(x)逼近逼近f(x)的截斷誤差是的截斷誤差是(11) Mfnnbxax1)1)(max)()!1(11)(xnnMxRnn事后誤差估計事后誤差估計01(1)011(1)11(1)(1)( ),( )( )( )( )()(1)!( ),( )( )( )( )()(1)!( )( ),nnnnnniinnnnnnniinnxxxPxfRxf xPxxxnxxxPxfRxf xPxxxnff 由由， ， ，構構造造插插值值函函數(shù)數(shù)則則插插值值誤誤差差是是再再由由 ， ，構構造造插插值值函函數(shù)數(shù)插插值值誤誤差差是是近近似似地地認認為為得得到到01( )( )( )( )n

23、nnf xP xxxxxf xPx 01100101001( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )nnnnnnnnnnnnnf xP xxxxxf xPxxxxxf xP xPxxxxxRxf xP xxxP xPxxx 解解出出得得到到事事后后誤誤差差估估計計式式（Lagrange插值算法 function y=lagrange(x0,y0,x) ii=1:length(x0); y=zeros(size(x); for i=ii ij=find(ii=i);y1=1; for j=1:length(ij), y1=y1.*(x-x0(ij(j);end y=

24、y+y1*y0(i)/prod(x0(i)-x0(ij); endNewtonNewton插值插值 本節(jié)介紹本節(jié)介紹Newton插值多項式，該公式是另一插值多項式，該公式是另一種具有承襲性的插值多項式，且在后續(xù)章節(jié)有重種具有承襲性的插值多項式，且在后續(xù)章節(jié)有重要應用。為了使要應用。為了使Newton插值多項式具有承襲性，插值多項式具有承襲性，令令0100011011( )1( )()( )( )()( )()()()0,1,2,.,iiiixxxxxxxxxxxxxxxxxinNewton插值基函數(shù)取為0100111011( )( )()()()()( )()()()nniiionnnnnN

25、xcxcc xxc xxxxxxNxc xNewtonxxxxx插值多項式為式中式中c0,c1,cn 為插值多項式系數(shù)。為插值多項式系數(shù)。為便于表示為便于表示Nn(x), 引出差商概念引出差商概念. 利用利用Newton差分插值，計算函數(shù)差分插值，計算函數(shù)f(x)在在x* 處的處的近似值分為以下步驟：近似值分為以下步驟：1）根據(jù)等距節(jié)點表，構造差分表，）根據(jù)等距節(jié)點表，構造差分表，2）根據(jù)）根據(jù) x*的位置，建立的位置，建立Newton差分插值多項式。差分插值多項式。 差分表差分表xi fi 2 3 n x0 f0 x1 f1x2 f2x3 f3xn-3 fn-3xn-2 fn-2xn-1 f

26、n-1xn fnf0f1f2fn-3fn-2fn-12f02f12fn-32fn-23f03fn-3nf0ifn=ifn-i例例 給出如下函數(shù)表：給出如下函數(shù)表：xi 0 1 2 3 f(xi) 1 2 17 64 解解 造差分表造差分表xi f(xi)0 11 22 173 64115 471432 180.5靠近表頭，構造前插公式：靠近表頭，構造前插公式：P3(x)=1+s+7s(s-1)+3s(s-1)(s-2) ,這里這里x=s ，f(0.5)P3(0.5)=2.8752.5靠近表尾，構造后插公式：靠近表尾，構造后插公式：P3(x)=64+47s+16s(s+1)+3s(s+1)(s+

27、2)，這里，這里x=3+s,當當x=2.5時時, s=-0.5 f(2.5) P3(2.5)=35.375構造三階構造三階Newton差分插值多項式，計算差分插值多項式，計算f(0.5)、f(1.5) 與與f(2.5)。 2 二維網格數(shù)據(jù)的插值問題函數(shù)為interp2()，調用格式如下： z1=interp2(x0,y0,z0,x1,y1,方法)其中 x0,y0,z0為已知的數(shù)據(jù)，而x1,y1為插值點構成的新的網格參數(shù)，返回的z1矩陣為在所選插值網格點處的寒暑近似值問題：三維網格數(shù)據(jù)插值呢？問題：三維網格數(shù)據(jù)插值呢？樣條插值與數(shù)值微積分一 樣條插值 三次樣條函數(shù)及其Matlab表示： S=cs

28、api(x,y) 其中 x=x1,x2,xn,y=y1,y2,yn為樣本點，得出的S為一個三次樣條函數(shù)對象，其成員變量包括子區(qū)間點、各個三次多項式系數(shù)等。 樣條函數(shù)對象的結果可以由fnplt()繪制出來： fnplt(S)B樣條函數(shù)及其Matlab表示 S=spapi（k，x，y） 其中k為用戶選定的B樣條階次。一般選擇k=4，5能得出較好的插值結果背景知識：分段三次樣條插值背景知識：分段三次樣條插值一、問題的提出 我們已經知道插值有多種方法：我們已經知道插值有多種方法：Lagrange 插值、插值、 Newton插值、插值、Hermite 插值等多種方式。插值的目的插值等多種方式。插值的目的

29、就是數(shù)值逼近的一種手段，而數(shù)值逼近，是為得到一就是數(shù)值逼近的一種手段，而數(shù)值逼近，是為得到一個數(shù)學問題的精確解或足夠精確的解。那么，是否插個數(shù)學問題的精確解或足夠精確的解。那么，是否插值多項式的次數(shù)越高，越能夠達到這個目的呢？現(xiàn)在，值多項式的次數(shù)越高，越能夠達到這個目的呢？現(xiàn)在，我們來討論一下這個問題。我們來討論一下這個問題。 我們已經知道：我們已經知道：f(x)在在n+1個節(jié)點個節(jié)點xi(i=0，1，2，n) 上的上的n次插值多項式次插值多項式Pn (x) 的余項的余項 設想當節(jié)點數(shù)增多時會出現(xiàn)什么情況。由插值余項可設想當節(jié)點數(shù)增多時會出現(xiàn)什么情況。由插值余項可知，當知，當f(x)充分光滑時

30、，余項隨充分光滑時，余項隨n增大而趨于增大而趨于0的，這說的，這說明可用增加節(jié)點的方法達到這個目的，那么實際是這樣明可用增加節(jié)點的方法達到這個目的，那么實際是這樣嗎？嗎？ niinnxxnfxPxfxR011)()!()()()()()(lim( )( )nnP xf x是否有，即要討論收斂性問題。 上述現(xiàn)象和定理，告訴我們用高次插值多項式是上述現(xiàn)象和定理，告訴我們用高次插值多項式是不妥當?shù)?，從?shù)值計算上可解釋為高次插值多項式的不妥當?shù)?，從?shù)值計算上可解釋為高次插值多項式的計算會帶來舍入誤差的增大，從而引起計算失真。因計算會帶來舍入誤差的增大，從而引起計算失真。因此，實踐上作插值時一般只用一次

31、、二次最多用三次此，實踐上作插值時一般只用一次、二次最多用三次插值多項式。插值多項式。 那么如何提高插值精度呢？采用分段插值是一種那么如何提高插值精度呢？采用分段插值是一種辦法。辦法。定理：函數(shù)定理：函數(shù)f(x)=|x|在在-1，1上取上取n+1個等距節(jié)點個等距節(jié)點 x0=-1, xn=1,構造構造n次插值多項式次插值多項式Pn (x)，當，當n 增大時，除了增大時，除了-1，0，1，三點外，在，三點外，在-1，1 中任何點處中任何點處Pn(x)都不收斂于都不收斂于|x|。因此實際應用中常采用分段低次插值。因此實際應用中常采用分段低次插值。（1）分段線性插值（在有限元方法中采用的插值函數(shù)）分段

32、線性插值（在有限元方法中采用的插值函數(shù)）（2）分段二次插值）分段二次插值（3）分段）分段Hermite插值插值(4) 分段三次樣條插值分段三次樣條插值0011111( )( )( ),( )( )( )( )( )nnhiiiiiiiihiiiiiiiiHxx yx yxxHermitxHxx yx yx yex y 在在上上的的表表達達分分段段三三次次插插值值多多項項式式的的一一般般形形式式就就是是式式分段三次分段三次Hermite插值插值0111()()0 1( )(1)( ) , ;,(3)(),()(0,1, )niiiihhiihiihiinxxxyf xyfxinHermiteHx

33、HxC a bx xHxy Hxyin 設設個個插插值值節(jié)節(jié)點點 ， ，。已已知知在在節(jié)節(jié)點點上上的的函函數(shù)數(shù)值值和和導導數(shù)數(shù)值值， ， ， 。分分段段三三次次插插值值多多項項式式應應滿滿足足條條件件：( (2 2) )在在局局部部的的每每個個小小區(qū)區(qū)間間上上是是三三次次多多項項式式；。20101100100012(),( )0,nixxxxxxxxxxxxxxx 具具體體形形式式如如下下：時時：（）( )( )( )( )(),()0()0,()( ,0,1,2, )iiiiijijijijijijxxxxHermitexxxxi jn 對對應應于于節(jié)節(jié)點點函函數(shù)數(shù)的的基基函函數(shù)數(shù)對對應應于

34、于節(jié)節(jié)點點導導數(shù)數(shù)的的基基函函數(shù)數(shù)和和應應滿滿足足局局部部非非零零性性質質：除除此此外外，還還應應滿滿足足插插值值條條件件。2111121111111,2,(1)(12)()( )(12)()0iiiiiiiiiiiiiiiiiiiinxxxxxxxxxxxxxxxaxxxxxxxxxxx 時時；01211110,( )1 2,nnnnnnnnnninxx xa xxxxxxxxxxxx 時時：（）（）,0,)(011021010nnxxxxxxxxxxxxxi）（時：0)()()() 1( , 2 , 11112111211iiiiiiiiiiiiiiixxxxxxxxxxxxxxxxxxx

35、xxxni時；,0)(121110nnnnnnnixxxxxxxxxxxxxni）（時： 實際上，上面介紹的分段低次插值，雖然具實際上，上面介紹的分段低次插值，雖然具有計算簡便，收斂性有保證，數(shù)值穩(wěn)定性又好且有計算簡便，收斂性有保證，數(shù)值穩(wěn)定性又好且易在計算機上實現(xiàn)等優(yōu)點，但它卻不能保證整條易在計算機上實現(xiàn)等優(yōu)點，但它卻不能保證整條曲線的光滑性，從而不能滿足某些工程技術上的曲線的光滑性，從而不能滿足某些工程技術上的要求，從六十年代開始，首先由于航空、造船等要求，從六十年代開始，首先由于航空、造船等工程設計的需要而發(fā)展起來的樣條插值（工程設計的需要而發(fā)展起來的樣條插值（spline)方法，既保留

36、了分段低次插值的各種優(yōu)點，又提方法，既保留了分段低次插值的各種優(yōu)點，又提高了插值函數(shù)的光滑性，在許多領域有越來越廣高了插值函數(shù)的光滑性，在許多領域有越來越廣泛的應用。泛的應用。011( ) , , ()0,1,21,( )nniyf xa ba bnaxxxxbf xinf xx 若若函函數(shù)數(shù)在在上上連連續(xù)續(xù)，將將區(qū)區(qū)間間分分為為 個個小小區(qū)區(qū)間間，節(jié)節(jié)點點由由小小到到大大排排列列為為給給定定節(jié)節(jié)點點上上、函函數(shù)數(shù)值值，。要要求求構構造造一一個個逼逼近近的的函函數(shù)數(shù)S S( ( ) )滿滿定定義義足足以以下下條條件件：21(1) ()0 1(2) ( ) , (3) ( ),0 1( )iii

37、iS xyinS xCa bS xx xinS x ， ，；，即即在在整整體體上上是是二二階階連連續(xù)續(xù)的的；在在每每一一個個小小區(qū)區(qū)間間是是三三次次多多項項式式（， ，）稱稱為為三三次次樣樣條條函函數(shù)數(shù)。三次樣條插值三次樣條插值(1)3(1)42,nnn共有個條件缺兩個條件，由邊界條件給出。2、插值條件分析1,0,1,2,.,iy in由（）已知節(jié)點上函數(shù)值。n+1個條件21112( ) , ,( )( ),( )( ),( )( ),1,2,.,1iiiiiiiiiiiiS xC a bSxSxSxS xSxS xin由（ ）隱含著在內節(jié)點上應有1001112113( ) ,( ),;( )

38、 ,;( ):( ),;iinnnS xx xSxxxxS xxx xS xSxxxx由（ ）在每個上表達式不同，故應分段構造：( )4S xn故構造需要個條件3(1)n個條件000(0)(0)(0)(0)(0)(0)3nnnS xS xSxSxSxSx（ ）周期邊界條件（ ）周期邊界條件，00()(),()(3).1nnSxfxSxfx邊邊常常見見的的邊邊界界條條件件有有界界條條件件（ ）給給定定端端點點一一階階導導以以下下三三種種：稱稱為為固固支支邊邊數(shù)數(shù)值值界界條條件件。000()()()2()()0()0nnnSxfxSxfxSxSx ，特特別別，（ ）給給定定端端點點二二階階導導數(shù)數(shù)

39、當當和和稱稱為為自自然然值值邊邊界界條條件件。4,(0,1,2,., )imin（ ）再由三轉角方程邊界條件（補充兩個方程）封閉的方程組，可求出4.( )S x構造的兩種基本方法1()( ),(,)iiiiiiiiyfxS xmmymy（分以下四步）（）未知，但三轉角插值法可設只是111112 ,( )( )( )( )( )1.iiiiiiiiiiiiiimHermitexx xS xh x yhx yh x mhx mmnnm（ ）如能求出 ，則可由分段三次插值構造對在 個小區(qū)間上有個待求1(3)( )( ),1,2,.,111iiiiimSxSxinnn如何求，利用在節(jié)點上二階導數(shù)連續(xù)條

40、件由導出三轉角方程（個方程要解個未知數(shù)）4,(0,1,2,., )iMin（ ）再由三彎矩方程邊界條件（補充兩個方程）封閉的方程組，可求出1()( ),(,)iiiiiiiiyfxS xMMyMy（分以下四步）（）未知，但可三彎矩插值法設只是2( ).iiiMMyS x（ ）如能求出，則可由和 構造1(3)( )( ),1,2,.,111iiiiiMSxS xinnn如何求，利用在節(jié)點上一階導數(shù)連續(xù)條件由導出三彎矩方程（個方程要解個未知數(shù)）11323211( ),()()()()()1,iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiS xxxhxxyS xa xxb x

41、xc xxddyS xa hb ha b cc hdMd 在在中中代代入入兩兩個個端端點點 和和并并（ ）建建立立記記和和之之的的關關系系得得到到間間132( )()()()(0 11),4(1)(0 1)1iiiiiiiiiiiiiiiiiiixxS xa xxb xxc xxdina b c dnSxMinMynM 在，上，三次樣條函數(shù)可表示為在，上，三次樣條函數(shù)可表示為， ， ， ， ，其中是四個待定系數(shù)。（共有個待求系數(shù)）其中是四個待定系數(shù)。（共有個待求系數(shù)）， ， ，四、三彎矩方程求解法四、三彎矩方程求解法、建、建，立三彎矩方立三彎矩方，共有個，共有個程程待求。待求。11111()/

42、6/226,iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiaMMhbMdyyyh Mh MchMMyyabcd 得得到到以以上上得得到到用用和和表表示示系系數(shù)數(shù) ， ， ，的的關關系系式式。211( ) ( )3()2 () ( )6()2 ( )6()22 ()62iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiS xSxa xxb xxcSxa xxbMSxa xxbbMSxa hb 對對求求導導于于是是（2）構造三彎矩方程 2 ( ),1( ) 3( -)2( -) S xxxiiSxax xbx xciiiiii利用在內節(jié)點上一階導數(shù)連續(xù)的條件，在區(qū)間上111211111111111

43、1 (-0)(0) ()() 32 , iiiiiiiiiiiiiiiiixSxSxSxSxca hb hcabcc在節(jié)點上應有，即，得到將前已得到的和 的表達式代入上式 有12111111,( ) 3( -)2( -)iiiiiiiixxSxax xbx xc在區(qū)間上00110111221222111(1) (1)112()2()2()11nnnnnnnnnnhhhhMghhhhMghhhhMgRRRnn 即即三三彎彎矩矩方方程程組組共共個個方方程程要要解解個個未未知知數(shù)數(shù)，是是不不封封閉閉的的方方程程組組, ,要要求求解解必必須須補補充充邊邊界界條條件件. .11-1-1-1-1-1-1-1-1-12-6-22(-)-6iiiiiiiiiiiiiiiiiiiyyh Mh Mhyyh Mh MMMhMhh11111126(,)(1,2,1)iiiiiiiiiiiih MhhMhMf x xf xxgin（+ ）化簡后得到三彎矩方程00()()nnS xyS xy2.邊界條件補充方程（1）已知兩端點一有三種邊界條值件階導數(shù)和,012( ) 3( -)2( -)000000-(2)10001()-00006026(,-)00010 10 xxSxax xbx xcyyhMMySxchh Mh Mf xxy在上得補充方程 ,12( ) 3( -)2( -)1111112