高等數(shù)學(xué)(一)復(fù)習(xí)大綱及復(fù)習(xí)題

1、高等數(shù)學(xué)一復(fù)習(xí)題及解答(答案)一、選擇題 例1 函數(shù)的定義域是（ c ）A、（-1，+） B、-1，+ C、（1，+） D、 1，+例2 設(shè)（a為大于零的常數(shù)），則 (B)A、 x（x-a） B、x（x+a） C、（x-a）（x+a） D、例3 函數(shù)是定義域內(nèi)的（C ）A、周期函數(shù) B、單調(diào)函數(shù) C、有界函數(shù) D、無界函數(shù)例 4（A ）A、e2 B、e C、 D、例5（ D ）A、0 B、1 C、 D、2例 6 (C)A、0 B、 C、 D、例 7 ( D )A、 B、2 C、0 D、-2例 8函數(shù)的間斷點的個數(shù)為（C）A、0 B、1 C、2 D、3例 9設(shè) 在x=0處連續(xù)，則a等于（ D ）

2、A、-1 B、1 C、2 D、3例10 設(shè)函數(shù)f（x）在x=x0處可導(dǎo)，并且則 等于( D )A、 B、2 C、 D、-2例11設(shè)=1，則在x=x0處，當(dāng)時與相比較為( D )A、 低階無窮小量 B、高階無窮小量 C、 同階但不等價 D、等價無窮小量例12設(shè)存在，則=( B ) A、 B、 C、 D、例13設(shè)函數(shù)f（x）在x=a處可導(dǎo)，則( C )A、0 B、 C、2 D、例14設(shè)( C )A、 B、C、-2cosx D、-例15 下列函數(shù)在1，e上滿足拉格朗日中值定理條件的是（B ）A、 B、 C、 D、例16 設(shè) （ A ）A、在（0，）內(nèi)單調(diào)減少 B、在（）內(nèi)單調(diào)減少C、在（0，+）內(nèi)單

3、調(diào)減少 D、（0，+）在內(nèi)單調(diào)增加例17 函數(shù)的單調(diào)增加區(qū)間為（ C ）A、（-5，5） B、（，0） C、（0，） D、（-）例18 以下結(jié)論正確的是（C ）A、函數(shù)的導(dǎo)數(shù)不存在的點，一定不是的極值點B、若x0為的駐點，則x0必為的極值點C、若在x0處有極值，且存在，則必有=0D、若在x0處連續(xù)，則一定存在例19 是（ B ）的一個原函數(shù)A、 B、 C、 D、例20 （ A ）是函數(shù)的一個原函數(shù)A、 B、 C、 D、例21下列等式中（ D ）是正確的A、 B、 C、 D、例22若(A)A、 B、 C、 D、例23 設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，則=( B ) A、小于零 B、等于零 C、大于零 D 、不確

4、定例24設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，則曲線與直線所圍成的平面圖形的面積等于（ C ）A、 B、 C、 D 、例25 設(shè)(D)A、 B、 C、 D、例26設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，則定積分DA、0 B、 C、- D、例27 設(shè)A、 B、 C、 D、例28 極限A、-1 B、0 C、1 D、2例29下列微分方程中，屬于變量可分離的微分方程是（ C ）A、 B、C、 D、例30方程是（C ）A、變量可分離的方程 B、齊次方程 C、一階線性方程 D、都不對例31微分方程（ C ）A、 B、 C、 D、例32微分方程的通解為（ C ）A、 B、 C、 D、二、填空題例1設(shè)，則 分析：設(shè)例2 函數(shù)的反函數(shù) 分析：設(shè)例3函數(shù)的定

5、義域是 分析：要使函數(shù)有意義必須滿足：x，即所以函數(shù)的定義域為：例4若=3 ， 則a= 分析：當(dāng)x時，分母的極限為0，分式的極限存在，可知分子的極限一定為0，即，解得：a=-2例5設(shè) 分析：根據(jù)函數(shù)在定點連續(xù)的定義，f（x）必須滿足條件f（-0）=f（+0）=f（0）而f（-0）=，f（+0）=所以A=0例6 設(shè)函數(shù)則 分析：例7設(shè) 分析：由復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則得= 所以例8 曲線方程在點（1，1）處的切線方程為 法線方程為 分析：切線方程為：法線方程為：例9 函數(shù)由方程確定，則 分析：將方程的兩端對求導(dǎo)可得；解得：例10設(shè)函數(shù) 分析： =所以 例11函數(shù)的單調(diào)增加區(qū)間為 分析：函數(shù)的定義域為（

6、-），由，所以函數(shù)的單調(diào)增加區(qū)間為 （0，）例12 函數(shù) 最小值點為 分析：由于可知函數(shù)80 ，最小值點為 x=-1 例13曲線 的拐點為 分析：的定義域為（-）， 當(dāng)所以拐點的坐標(biāo)為（1，4）例14設(shè) ，則y的極大點為 極小點為 分析：的定義域為（-），令得駐點x1=0，x2=1，而且所以x1=0為y的極大點，x2=1為y的極小點。例15函數(shù)的一個原函數(shù)是 分析：由原函數(shù)的定義可知只需計算由于只求的一個原函數(shù)，因此，填即可例16設(shè)則 分析：由不定積分的性質(zhì)可知，因此1例17 分析：由不定積分與導(dǎo)數(shù)（微分）的互逆性可知例18若則 由原函數(shù)和不定積分的定義可知=例19設(shè) 分析：由變上限積分函數(shù)的

7、求導(dǎo)公式可得，例20定積分 分析：=例21 設(shè)函數(shù) 分析：由牛頓-萊布尼茨公式，=例22微分方程的自變量為 ，未知函數(shù)為 ，方程的階數(shù)為 。分析：所給的方程中將x作為函數(shù)，y作為自變量，方程為二階微分方程。例23微分方程的階數(shù)為 分析：所給的方程的未知函數(shù)y的最高階導(dǎo)數(shù)為2，因此為二階微分方程例24微分方程為 方程分析：由于，因此所給的方程為變量可分離的微分方程。例25微分方程的通解為 分析：所給的方程為變量可分離的微分方程，分離變量得2dx兩邊積分得lny=2x+c1，或?qū)憺槔?6微分方程滿足的 特解為 分析；所給的方程為變量可分離的微分方程，分離變量得兩邊分別積分 例27設(shè)，則 分析：求時

8、，把y當(dāng)作常數(shù)，=，可得2例28設(shè)則+ 分析：只需求出，再相加，=因此+例29設(shè)，則 分析：求時把x當(dāng)作常數(shù)，例30設(shè)，則 分析：=例31設(shè)則 分析：=例32設(shè)則 分析：=三、計算解答題例1 設(shè)函數(shù) 在點x=1處連續(xù)，試確定常數(shù)a、b的值解：要使f（x）在x=1處連續(xù)，必須滿足條件即b=-1-a，因此f（x）=從而有a=2，b=-3例2 確定A的值，使函數(shù) 在點x=0處連續(xù)解：要使f（x）在x=0處連續(xù)，必須滿足條件 f（x）=f（x）=f（0）而f（x）=（f（x）=令得A=，所以當(dāng)A=時，f（x）在x=0處連續(xù)例3 設(shè)函數(shù)，求解：=則 =例4 設(shè)函數(shù) ，求 解：設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)=例5 設(shè)函數(shù)解

9、：先求，令所以 例6 由方程確定隱函數(shù)，求dy解：這是隱函數(shù)求微分的問題，先求隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再求微分，方程兩邊對x求導(dǎo)得：即 解得：例7 設(shè)函數(shù)解：，例8 設(shè)曲線方程為，求在點P（2，）處的切線方程解：這是由方程所確定的隱函數(shù)，利用隱函數(shù)的求導(dǎo)方法解題方程兩邊對x求導(dǎo)得：曲線在點處的切線方程為 化簡得：例9求極限 解：所給的極限是“”型，用羅必塔法則求解=例10求極限 解：所給的極限是 “0型”，可先變形=例11求極限（）解(一)：所給的極限是“”型，可先通分，再用羅必塔法則，（）=解(二)：利用當(dāng)與等價 （）=例12求極限解：所給的極限是“00”型，可通過變量代換，轉(zhuǎn)化為“”型，再計算，設(shè)，

10、先求出，然后求出=0，所以即=1例13 求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值及曲線的凹凸區(qū)間解：函數(shù)的定義域為（-1，），令由，函數(shù)在（0，）內(nèi)單調(diào)增加由，函數(shù)在（-1，0）內(nèi)單調(diào)減少根據(jù)前面的討論，x=0為極小值點，其極小值為由于在時，總有，因此曲線是凹的。例14 若=解：由于所以例15 已知曲線在點處切線的斜率為，且曲線經(jīng)過點（1，0），求該曲線的方程。 解：由由于曲線過點（1，0），故0=1+c c=1故所求的曲線方程為例16 求解：=注意：對于冪函數(shù)在不定積分或求導(dǎo)運算時，先轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)指數(shù)或負(fù)指數(shù)之后再積分或求導(dǎo)能簡化運算例17求解：=3例18求解：由湊微分法=-=-例19求解：由湊微分法=-例20

11、求解：利用換元積分法，通過變量代換，化無理函數(shù)為有理函數(shù)，再計算不定積分設(shè)=2=例21求解：利用分步積分法，令=-例22求解：利用分步積分法，令=例23求解：利用分步積分法，令=例24求解：利用分步積分法，令=-=-=-例25求解：此類題目要連續(xù)兩次使用分步積分法，=由此得到一個含有由此解出=例26 計算解：利用換元積分法令所以=例27計算解：利用換元積分法令所以=2例28計算解：對于含絕對值的定積分，要先劃分積分區(qū)間，去掉絕對值符號，再計算=例29 設(shè)函數(shù)解：對于分段函數(shù)定積分的計算，要把積分區(qū)間分成幾個區(qū)間，然后將被積函數(shù)在對應(yīng)的區(qū)間上積分例30計算解：利用分步積分法=例31求微分方程的通

12、解解：該方程為一階線性微分方程且，由求解公式=故所求的通解為例32求微分方程的通解解：該方程為一階線性微分方程且，由求解公式=故所求的通解為例33解方程解：由特征方程 得故所求方程的通解為：由故所求方程的特解為：例34解方程，解：由特征方程故所求方程的通解為：由得故所求方程的特解為：例35解方程 解：由特征方程得對應(yīng)齊次方程的通解為： 非齊項，為重根設(shè)特解為：，代入已知方程并比較同次冪系數(shù)得，故所以方程的通解為例36已知二元函數(shù)=求解：由=可得=令，則有所以例37設(shè)求，解：=例38設(shè)，求解：令所以=例39設(shè),求，解：設(shè)，則所以=例40設(shè)函數(shù)由方程確定，求，解法一：設(shè)，分別求F對x、y、z的偏導(dǎo)

13、數(shù)， 解法二：將原方程兩邊分別對x、y求偏導(dǎo)數(shù)，把z當(dāng)作是x、y的函數(shù)有，方程兩邊對x求導(dǎo)：，解得：=方程兩邊對y求導(dǎo)：，解得：=例41若函數(shù)，在點（1，-1）處取得極值，試確定常數(shù)a、b，問f（1，-1）是極大值還是極小值？解:根據(jù)二元函數(shù)極值存在的必要條件，必有所以求的二階偏導(dǎo)數(shù)且A=4>0，根據(jù)二元函數(shù)極值存在的充分必要條件可知，f（1，-1）=-2是極小值。四、應(yīng)用題例1 做一體積為V的圓柱形容器，問高與直徑之比為多少時表面積最小?解：設(shè)原柱體的底面半徑為R，高為h，則有s=2R2=2Rh，R2h=vh=S= 2R2 +S=4 R- 由S=0得：R= h=2 例2 某車間靠墻蓋一

14、長方形小屋,現(xiàn)有存磚只夠砌24米長的墻,問該屋長、寬各為多少時小屋面積最大？最大值為多少？解：設(shè)長方形的長為x，寬為y，則 s=xy，2（x+y）=24s（x）=x（12-x） S（x）=12-2x 由S（x）=0得：x=y=6當(dāng)長寬相等且等于6時，面積最大，最大面積為36m2例3在斜邊之長為a的一切直角三角形中求有最大周長的直角三角形。 解：L=x+y+a=x+a L=1- 由L=0得：x=y=當(dāng)兩直角邊相等且等于時周長最大。例4在區(qū)間0，4上，計算曲線所圍城圖形的面積。解：如圖所示：在區(qū)間0，2上，在區(qū)間2，4上，故所求的面積為：A=16例5計算由解：如圖所示：先求出曲線在點（）處的法線方

15、程，由于所以曲線在點（）處的法線方程的斜率k=-因此法線方程為再求曲線與法線的交點，由解得交點A（），B（）S=例6求由曲線一周所生成的旋轉(zhuǎn)體的體積。解：所給的曲線圍成的平面圖形如圖所示：所求的體積為所圍成的平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所生成的旋轉(zhuǎn)體的體積減去所圍成的平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所生成的旋轉(zhuǎn)體的體積當(dāng)故例7求圍成的平面圖形繞 y軸旋轉(zhuǎn)所成旋轉(zhuǎn)體的體積(解略)例8欲圍造一個面積為15000平方米的運動場，其正面材料造價為每平方米600元，其余三面材料造價為每平方米300元，試問正面長為多少時，才能使材料費量少？(解略)例9把一根長為a的鐵絲切成兩段，一段圍成圓形，一段圍成正方形，問這兩段鐵絲各長多少時，圓形面積與正方形面積之和最少？(解略)例10要做一個下部為矩形，上部為半圓形的窗戶，半圓的直徑等于矩形的寬，要求窗戶的周長為定值L，問窗戶的寬和高為多少時，窗戶的面積最大？(解略)五、證明題例1證明方程在區(qū)間（1，2）內(nèi)至少有一個實根分析：證明方程根的存在性，要用連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上的介值定理，因此需要構(gòu)造一個連續(xù)函數(shù)f（x），還要找一個閉區(qū)間，使f（a）與f（b）異號證明：設(shè)f（x）=，由于f（x）在區(qū)間1，2上連續(xù)，而f（1）=-5，f（2）=21，即有f（1）f（2）< 0，根據(jù)連續(xù)函