高等數(shù)學(xué)A教學(xué)大綱

1、 高等數(shù)學(xué)A教學(xué)大綱 課程編號(hào)：12001 課程名稱：高等數(shù)學(xué)A Higher Mathematics A適用專業(yè)：本科（除城規(guī)、建筑學(xué)、廣告、社工、景建、園建、信管、造價(jià)）所有專業(yè). 先修課程：無(wú)總學(xué)時(shí)：180學(xué)時(shí) 實(shí)驗(yàn)學(xué)時(shí)：0 授課學(xué)時(shí)：180學(xué)時(shí) 上機(jī)學(xué)時(shí)：0一、 課程的性質(zhì)和任務(wù)：高等數(shù)學(xué)是工科院校中一門重要的基礎(chǔ)理論課。對(duì)培養(yǎng)高級(jí)工程技術(shù)人才起著奠基的作用。高等數(shù)學(xué)課所涉及的內(nèi)容，對(duì)學(xué)生順利地完成其它理論課和專業(yè)課的學(xué)習(xí)都是必須的，對(duì)學(xué)生畢業(yè)之后的技術(shù)技能和科學(xué)研究提供了有力的工具和正確的思想方法。本課程的任務(wù)是：1.通過(guò)本課程的學(xué)習(xí)使學(xué)生獲得函數(shù)、極限、連續(xù)、一元函數(shù)微積分；多元函

2、數(shù)微分學(xué)、積分學(xué)；向量代數(shù)與空間解析幾何；級(jí)數(shù)；常微分方程等方面的基本概念、基本理論和基本技能。為進(jìn)一步學(xué)習(xí)后繼課程奠定必要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。2.培養(yǎng)學(xué)生抽象概括問(wèn)題的能力、邏輯推理能力、空間想象能力。3.培養(yǎng)學(xué)生比較熟練的運(yùn)算能力，辨證的思維能力，運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析和解決實(shí)際問(wèn)題的能力。二.課程教學(xué)內(nèi)容的基本要求、重點(diǎn)和難點(diǎn)及學(xué)時(shí)分配1. 函數(shù)、極限與連續(xù)（16學(xué)時(shí)）基本要求：理解函數(shù)概念，了解函數(shù)性質(zhì)（奇偶性、單調(diào)性、有界性和周期性），理解復(fù)合函數(shù)概念，了解反函數(shù)及隱函數(shù)概念，掌握基本初等函數(shù)的性質(zhì)及其圖形，會(huì)建立簡(jiǎn)單應(yīng)用問(wèn)題中的函數(shù)關(guān)系式；理解數(shù)列極限、函數(shù)極限及函數(shù)左右極限的概念，及極限存在與

3、左右極限之間的關(guān)系，掌握極限的性質(zhì)、四則運(yùn)算法則及極限存在的兩個(gè)準(zhǔn)則，掌握利用兩個(gè)重要極限求極限的方法；理解無(wú)窮小、無(wú)窮大及無(wú)窮小的階的概念，會(huì)用等價(jià)無(wú)窮小求極限；理解函數(shù)連續(xù)性的概念，會(huì)判別函數(shù)間斷點(diǎn)的類型，了解初等函數(shù)的連續(xù)性及閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（有界性、最大值、最小值和介值定理）， 并會(huì)應(yīng)用這些性質(zhì)。重點(diǎn)與難點(diǎn)：函數(shù)概念、極限概念，無(wú)窮小，極限四則運(yùn)算法則，兩個(gè)重要極限，函數(shù)的連續(xù)性。2. 一元函數(shù)微分學(xué)（30學(xué)時(shí)）基本要求：理解導(dǎo)數(shù)和微分的概念及其幾何意義，會(huì)求平面曲線的切線方程和法線方程；了解導(dǎo)數(shù)的物理意義，會(huì)用導(dǎo)數(shù)描述一些物理量；理解函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性之間的關(guān)系；掌握導(dǎo)數(shù)的四

4、則運(yùn)算法則和復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法；了解高階導(dǎo)數(shù)概念，會(huì)求簡(jiǎn)單函數(shù)的n 階導(dǎo)數(shù)；會(huì)求分段函數(shù)的一階、二階導(dǎo)數(shù)；會(huì)求隱函數(shù)和由參數(shù)方程確定的函數(shù)的一階、二階導(dǎo)數(shù)，會(huì)求反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；掌握導(dǎo)數(shù)與微分之間的關(guān)系，了解微分的四則運(yùn)算法則和一階微分形式的不變性，了解微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用；理解并會(huì)用羅爾定理、拉格朗日定理及泰勒定理，了解并會(huì)用柯西中值定理；掌握用洛必達(dá)法則求未定式極限的方法；理解函數(shù)極值概念，掌握用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性和求極值的方法，掌握函數(shù)最大值、最小值的求法及簡(jiǎn)單應(yīng)用；會(huì)用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)圖形的凹凸性，會(huì)求函數(shù)圖形的拐點(diǎn)，會(huì)求水平、鉛直漸近線，會(huì)描繪函數(shù)的圖形；了解弧微分、曲率和曲率半徑的概念，

5、會(huì)計(jì)算曲率和曲率半徑；了解方程近似解的二分法和切線法。重點(diǎn)與難點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)和微分的概念及幾何應(yīng)用，初等函數(shù)的求導(dǎo)法，洛必達(dá)法則，中值定理的應(yīng)用。3 一元函數(shù)積分學(xué)（32學(xué)時(shí)）基本要求：理解原函數(shù)、不定積分和定積分的概念，掌握不定積分的基本公式，掌握不定積分和定積分的性質(zhì)及換元積分法與分部積分法；會(huì)求有理函數(shù)、三角函數(shù)有理式及簡(jiǎn)單無(wú)理函數(shù)的積分；理解變上限定積分定義的函數(shù)及其求導(dǎo)法則，掌握牛頓萊布尼茨公式；了解廣義積分的概念并會(huì)計(jì)算廣義積分，了解定積分的近似計(jì)算法；掌握元素法并會(huì)用定積分表達(dá)和計(jì)算一些幾何量與物理量（平面圖形的面積、平面曲線的弧長(zhǎng)、平行截面面積為已知的立體的體積、旋轉(zhuǎn)體的體積、變力作

6、功、引力及壓力）及函數(shù)的平均值等。重點(diǎn)與難點(diǎn)：原函數(shù)與不定積分及定積分的概念和性質(zhì)，基本積分公式，換元積分法及分部積分法，變上限定積分定義的函數(shù)及其求導(dǎo)法則，牛頓萊布尼茨公式，元素法，定積分在幾何及物理上的應(yīng)用。4 向量代數(shù)與空間解析幾何（14學(xué)時(shí)）基本要求：理解空間直角坐標(biāo)系，理解向量的概念及其表示法，掌握向量的坐標(biāo)表示式及向量的運(yùn)算（線性運(yùn)算、數(shù)量積向量積及混合積），會(huì)求單位向量、方向數(shù)及方向余弦，會(huì)求兩向量的夾角及向量在另一向量上的投影；掌握平面方程和直線方程及其求法，會(huì)利用平面、直線的相互關(guān)系（平行、垂直、相交）解決有關(guān)問(wèn)題。會(huì)求點(diǎn)到平面和點(diǎn)到直線的距離。理解曲面方程的概念，了解常用二

7、次曲面的方程及其圖形，會(huì)求以坐標(biāo)軸為旋轉(zhuǎn)軸的旋轉(zhuǎn)曲面及母線平行于坐標(biāo)軸的柱面方程；了解空間曲線的參數(shù)方程和一般方程，了解空間曲線在坐標(biāo)面上的投影并會(huì)求其方程。重點(diǎn)與難點(diǎn)：向量的坐標(biāo)表示式及向量的運(yùn)算，平面、直線方程及其位置關(guān)系，旋轉(zhuǎn)曲面、柱面，空間曲線在坐標(biāo)面上的投影。5多元函數(shù)微分學(xué)（16學(xué)時(shí)）基本要求：理解多元函數(shù)的概念，了解二元函數(shù)的極限與連續(xù)性概念，及有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)；理解偏導(dǎo)數(shù)和全微分的概念，了解全微分存在的必要條件和充分條件及全微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用；了解方向?qū)?shù)與梯度的概念及其計(jì)算方法；掌握多元復(fù)合函數(shù)一階、二階偏導(dǎo)數(shù)的求法，會(huì)求隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)；了解空間曲線的切線和法平

8、面及空間曲面的切平面和法線的概念并會(huì)求其方程；了解二元函數(shù)的二階泰勒公式；理解多元函數(shù)的極值和條件極值的概念，掌握多元函數(shù)極值存在的必要條件，了解二元函數(shù)極值存在的充分條件，會(huì)求二元函數(shù)的極值，會(huì)用拉格朗日乘數(shù)法求條件極值，會(huì)求簡(jiǎn)單多元函數(shù)的最大值和最小值并會(huì)解決一些簡(jiǎn)單的應(yīng)用問(wèn)題。重點(diǎn)與難點(diǎn)：多元函數(shù)的概念，偏導(dǎo)數(shù)與全微分的概念，多元復(fù)合函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的求法，多元函數(shù)最大值、最小值的求法，條件極值的求法。6 元函數(shù)積分學(xué)（34學(xué)時(shí)）基本要求：理解二重積分、三重積分的概念，了解重積分的性質(zhì)，掌握二重積分（直角坐標(biāo)、極坐標(biāo)）的計(jì)算方法，會(huì)計(jì)算三重積分（直角坐標(biāo)、柱面坐標(biāo)、球面坐標(biāo)）；理解兩類曲線積分

9、的概念，了解兩類曲線積分的性質(zhì)及兩類曲線積分的關(guān)系，掌握兩類曲線積分的計(jì)算方法，掌握格林公式并會(huì)運(yùn)用平面曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的條件，會(huì)求全微分的原函數(shù)；了解兩類曲面積分的概念、性質(zhì)及兩類曲面積分的關(guān)系，掌握兩類曲面積分的計(jì)算方法，掌握高斯公式，了解斯托克斯公式；了解散度、旋度的概念并會(huì)計(jì)算；會(huì)用重積分、線積分、面積分求一些幾何量與物理量（平面圖形的面積、體積、曲面面積、弧長(zhǎng)、質(zhì)量、重心、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、引力、功及流量等）。重點(diǎn)與難點(diǎn)：重積分、線積分、面積分的計(jì)算，格林公式，高斯公式。7 無(wú)窮級(jí)數(shù)（20學(xué)時(shí)）基本要求：理解常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂、發(fā)散及收斂級(jí)數(shù)的和的概念，掌握級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)及收斂的必要條件；掌握

10、幾何級(jí)數(shù)及p級(jí)數(shù)的收斂性，掌握正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較審斂法和比值審斂法，會(huì)用根值判別法，掌握交錯(cuò)級(jí)數(shù)的萊布尼茨定理，了解無(wú)窮級(jí)數(shù)的絕對(duì)收斂與條件收斂概念；了解函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂域及和函數(shù)的概念，掌握冪級(jí)數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間的求法，了解冪級(jí)數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)的一些基本性質(zhì)，會(huì)求一些冪級(jí)數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)的和函數(shù)，并會(huì)由此求出某些數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和，了解函數(shù)展開(kāi)成泰勒級(jí)數(shù)的充分必要條件，掌握等的麥克勞林展開(kāi)式，會(huì)用間接展開(kāi)法將一些簡(jiǎn)單函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)，了解冪級(jí)數(shù)在近似計(jì)算中的簡(jiǎn)單應(yīng)用；了解傅立葉級(jí)數(shù)的概念，掌握狄利克雷收斂定理，會(huì)將定義在上的函數(shù)展開(kāi)為傅立葉級(jí)數(shù)，會(huì)將定義在上的函數(shù)展開(kāi)為正弦級(jí)數(shù)或余弦級(jí)數(shù)。重點(diǎn)與難點(diǎn)

11、：常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的判定，冪級(jí)數(shù)和函數(shù)的求法，將函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)，將函數(shù)展開(kāi)成傅立葉級(jí)數(shù)。8 常微分方程（18學(xué)時(shí)）基本要求：了解微分方程及其解、通解、初始條件和特解等概念，掌握變量可分離方程及一階線性方程的解法，會(huì)解齊次方程、伯努利方程和全微分方程，會(huì)用簡(jiǎn)單的變量代換解某些微分方程；會(huì)用降階法解方程：；理解線性微分方程解的性質(zhì)及解的結(jié)構(gòu)定理；掌握二階常系數(shù)齊次線性微分方程的解法，并會(huì)解高階常系數(shù)齊次線性微分方程；會(huì)求自由項(xiàng)為多項(xiàng)式、指數(shù)函數(shù)、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)及它們的和與積的二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的特解和通解；了解微分方程的冪級(jí)數(shù)解法，會(huì)解歐拉方程，會(huì)用微分方程解決一些簡(jiǎn)單的應(yīng)用題。重

12、點(diǎn)與難點(diǎn)：微分方程的概念，變量可分離微分方程及一階線性微分方程的解法，可降階的高階微分方程的解法，二階常系數(shù)線性微分方程的解法。三.能力培養(yǎng)要求1分析能力：對(duì)實(shí)際問(wèn)題能用數(shù)學(xué)思想去觀察、分析，并建立簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)模型。2邏輯推理能力：思考問(wèn)題嚴(yán)謹(jǐn)、全面。3運(yùn)算能力：對(duì)極限、微積分、微分方程及級(jí)數(shù)等數(shù)學(xué)問(wèn)題能夠快速準(zhǔn)確地計(jì)算出來(lái)。4自學(xué)能力：具有自學(xué)或閱讀課外參考書的能力。5表達(dá)能力：作業(yè)要清晰、整潔、嚴(yán)謹(jǐn)。四.教材：高等數(shù)學(xué)（第四版），同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)教研室主編，高等教育出版社。五.考核形式：閉卷考試。六.有關(guān)說(shuō)明1.本課程要精講多練，建議增加習(xí)題課課時(shí)數(shù)。2.本課程中的“梯度、散度、旋度、環(huán)流量”等概念，可視學(xué)生所學(xué)專業(yè)，決定是否講解。在講解過(guò)程中，根據(jù)所講內(nèi)容，適當(dāng)引進(jìn)實(shí)際應(yīng)用題，引導(dǎo)學(xué)生建立數(shù)學(xué)模型，并用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題，加強(qiáng)學(xué)生的實(shí)際應(yīng)用能力七、課程建議與改革摘要改革舊的教學(xué)方法。在教學(xué)過(guò)程中，由以教授理論知識(shí)為主，逐步轉(zhuǎn)向在教授理論知識(shí)的同時(shí)，加強(qiáng)數(shù)學(xué)研究方法的教學(xué)，提高學(xué)生用數(shù)學(xué)的方法研究相關(guān)專業(yè)和實(shí)際問(wèn)題的能力。在教學(xué)手段上，借助多媒體教學(xué)工具進(jìn)行自引導(dǎo)式教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生的自學(xué)能力及發(fā)現(xiàn)問(wèn)題解決問(wèn)題的能力，利用數(shù)學(xué)軟件Mathematica、Matlab 和Mathcad來(lái)解決數(shù)值計(jì)算問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)手能力及解決實(shí)際問(wèn)題的能力。修訂人： 隋梅真 審 核 人：