高等數(shù)學(xué) 第十二章 級(jí)數(shù)

1、第十二章 級(jí)數(shù)一、本章提要1基本概念正項(xiàng)級(jí)數(shù)，交錯(cuò)級(jí)數(shù)，冪級(jí)數(shù)，泰勒級(jí)數(shù)，麥克勞林級(jí)數(shù)，傅里葉級(jí)數(shù)，收斂，發(fā)散，絕對(duì)收斂，條件收斂，部分和，級(jí)數(shù)和，和函數(shù)，收斂半徑，收斂區(qū)間，收斂域2基本公式在處的泰勒級(jí)數(shù)系數(shù)：，；(2)傅里葉系數(shù)： 3基本方法比較判別法，比值判別法，交錯(cuò)級(jí)數(shù)判別定理，直接展開(kāi)法，間接展開(kāi)法4定理比較判別定理，比值判別定理，交錯(cuò)級(jí)數(shù)判別定理，求收斂半徑定理，冪級(jí)數(shù)展開(kāi)定理，傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)定理二、要點(diǎn)解析問(wèn)題1 有限個(gè)數(shù)相加與無(wú)窮個(gè)數(shù)相加有什么區(qū)別和聯(lián)系？何謂無(wú)窮級(jí)數(shù)的和？解析 有限個(gè)數(shù)相加與無(wú)窮個(gè)數(shù)相加是有本質(zhì)區(qū)別的為了敘述方便，稱前者為有限加法，后者為無(wú)限累加我們知道有限個(gè)

2、數(shù)相加之和是一個(gè)確定的數(shù)值，而無(wú)窮個(gè)數(shù)相加只是一種寫(xiě)法，即沿用了有限加法的符號(hào)來(lái)表示無(wú)限累加我們不可能用有限加法的方法來(lái)完成無(wú)限累加，尤其是無(wú)限累加未必是一個(gè)確定的數(shù)值另外，有限加法中的結(jié)合律和交換律在無(wú)限累加中也不一定成立但是，無(wú)限累加與有限加法又是緊密聯(lián)系的我們?cè)谘芯繜o(wú)限累加時(shí)，是以有限加法(部分和)為基礎(chǔ)的，即從部分和出發(fā)，討論其極限是否存在若極限存在，則無(wú)限累加有和，也就是無(wú)窮級(jí)數(shù)有和(收斂)，其和等于這個(gè)極限值；否則，無(wú)限累加無(wú)和，當(dāng)然，無(wú)窮級(jí)數(shù)也無(wú)和(發(fā)散)由此看出，級(jí)數(shù)的收斂與發(fā)散，反映了無(wú)窮多個(gè)數(shù)累加的趨勢(shì)級(jí)數(shù)收斂就是無(wú)窮多個(gè)數(shù)累加可以得到一個(gè)確定的數(shù)值一般情況下，這個(gè)和的數(shù)值

3、不易求得，教科書(shū)上只就和是否存在，即級(jí)數(shù)是否收斂給出一些判別法則例1 我們考察著名的波爾查諾（Bolzano，B）級(jí)數(shù)的求和問(wèn)題設(shè)，則有：解一 ；解二 ；解三 ，于是這些矛盾的結(jié)果，在歷史上曾使人懷疑過(guò)數(shù)學(xué)的精確性不可靠柯西指出：以上解法犯了墨守成規(guī)的錯(cuò)誤，即把有限的結(jié)合律、交換律以及有限項(xiàng)總存在代數(shù)和的觀念照搬到無(wú)限項(xiàng)的運(yùn)算之中柯西的研究，澄清了那個(gè)時(shí)代對(duì)無(wú)限運(yùn)算的糊涂觀念，引起了思想解放，其實(shí)級(jí)數(shù)是發(fā)散的問(wèn)題2 如何判別正項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂性?解析 判別一個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)是否收斂沒(méi)有固定的方法步驟，一般的作法有：(1)利用級(jí)數(shù)收斂的必要條件，若，則發(fā)散；否則改用其他方法判別；(2)若它是或可能轉(zhuǎn)化為等

4、比級(jí)數(shù)或級(jí)數(shù)，則由它們的收斂條件來(lái)判別；(3) 用比值判別法或用比較判別法來(lái)判別；(4) 除以上方法外，還可用正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的充要條件來(lái)進(jìn)行判別，但使用此法需要一定的技巧，比如拆項(xiàng)求和，借助一些不等式等對(duì)此讀者可參考有關(guān)書(shū)籍還有一些方法，因本書(shū)中沒(méi)有介紹，這里就不列舉了，有興趣的讀者可參看其他教材例2 判別的收斂性解一 因，且收斂，故由比較判別法可知，收斂解二 因，故由比值判別法可知， 收斂問(wèn)題3 判別任意項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂性的一般步驟是什么?解析 (1)若，則級(jí)數(shù)發(fā)散，若，則需要進(jìn)一步判別；(2)判別是否收斂，若收斂，則為絕對(duì)收斂，若發(fā)散，再看它是否條件發(fā)散(如果是采用比值法判別發(fā)散的，那么也發(fā)散，

5、因)；(3)若為交錯(cuò)級(jí)數(shù)，可用萊布尼茨判別法；(4)直接用收斂定義或性質(zhì)判別例3 判別的收斂性若收斂，是絕對(duì)收斂還是條件收斂解 這是交錯(cuò)級(jí)數(shù)，因 ，而發(fā)散，故發(fā)散又因， 且，即該級(jí)數(shù)滿足萊布尼茨判別條件，故它收斂，而且為條件收斂例4 判別級(jí)數(shù)的收斂性解 級(jí)數(shù)由于調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散，所以級(jí)數(shù)發(fā)散問(wèn)題4 求冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間或收斂域時(shí)應(yīng)注意寫(xiě)些什么?解析 如果是不缺項(xiàng)的冪級(jí)數(shù)，又存在，可以先按公式求出收斂半徑，并寫(xiě)出收斂區(qū)間；再判定處的收斂性，以確定其收斂域如果不存在，或不是標(biāo)準(zhǔn)的冪級(jí)數(shù)(比如缺奇次冪或缺偶次冪，或含的冪等)，則要因題而異采取變量替換等方法化為標(biāo)準(zhǔn)的形式，求出新級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間后，再回代求出

6、原級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間或收斂域，也可以直接用比值法求前后項(xiàng)之比的極限(此時(shí)它不為常數(shù)而帶有參數(shù))，再進(jìn)一步求出收斂區(qū)間或收斂域讀者可以通過(guò)下面的例題來(lái)體會(huì)并加以總結(jié)例5 求冪級(jí)數(shù)的收斂半徑和收斂域解 這是標(biāo)準(zhǔn)的冪級(jí)數(shù)因?yàn)?，所以，?，得到所給級(jí)數(shù)的收斂半徑為，收斂區(qū)間為當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)為，發(fā)散；當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)為，收斂因此所給級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?例6 求冪級(jí)數(shù)的收斂域 解 因?yàn)椋允諗堪霃?，收斂域?yàn)?例7 求冪級(jí)數(shù)的收斂域解 令，原級(jí)數(shù)變?yōu)?，因?yàn)?，所以其收斂半徑為，收斂區(qū)間為 當(dāng)時(shí)，發(fā)散；當(dāng)時(shí)，收斂，故的收斂域?yàn)?，顯然原級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?問(wèn)題5 把函數(shù)展開(kāi)為冪級(jí)數(shù)有哪些方法?求冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)有哪些方法? 解析 一般

7、說(shuō)來(lái)，將展開(kāi)為冪級(jí)數(shù)有兩種方法一種是直接展開(kāi)：就是先寫(xiě)出泰勒級(jí)數(shù)，然后證明其余項(xiàng)的極限為，即參見(jiàn)教材上的幾個(gè)例子另一種為間接展開(kāi)：作適當(dāng)恒等變形，使之化為可利用的已知的幾個(gè)展開(kāi)式；或利用級(jí)數(shù)的加、減、乘等運(yùn)算；或發(fā)現(xiàn)其導(dǎo)函數(shù)(或積分)可用常見(jiàn)的幾個(gè)展開(kāi)式表示，再通過(guò)逐項(xiàng)積分(或微分)得到原函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式等等用此類方法既可避免求的各階導(dǎo)數(shù)，也無(wú)需研究其余項(xiàng)，并且討論收斂區(qū)間也比較方便 求和函數(shù)的方法基本上有五個(gè)：利用冪級(jí)數(shù)的和、差、積的運(yùn)算性質(zhì)；利用冪級(jí)數(shù)的逐項(xiàng)微分或逐項(xiàng)積分的性質(zhì)；利用某些常見(jiàn)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式；利用初等數(shù)學(xué)公式及變量代換；化為微分方程求解參見(jiàn)下面例題 例8 將展開(kāi)為的冪級(jí)數(shù)

8、解 因，而 ， ，故注：一個(gè)函數(shù)展開(kāi)為個(gè)冪級(jí)數(shù)之和，其收斂區(qū)間為個(gè)冪級(jí)數(shù)收斂區(qū)間的交集 例9 將展開(kāi)成含的冪級(jí)數(shù) 解 令，則 1， 故 于是得 例10 求的和函數(shù) 解 因且時(shí)級(jí)數(shù)收斂，故收斂區(qū)間為設(shè)，則 ，又，故積分得，因，故再積分得 ，又因，故得 此例通過(guò)微分方程亦可求得 例11 求的收斂區(qū)間及和函數(shù) 解 因，故收斂區(qū)間為設(shè)，而 ，故 ，即 ，注：對(duì)于給定的冪級(jí)數(shù)，如果一般項(xiàng)如例那樣：， 常用“先微后積”的辦法求和(系數(shù)分母中含有冪指數(shù)的因子)； 對(duì)于給定的冪級(jí)數(shù)，如果一般項(xiàng)如例那樣：，常用“先積后微”的辦法求和（系數(shù)分子中含有冪指數(shù)加的因子）； 冪級(jí)數(shù)在收斂區(qū)間逐項(xiàng)微分或逐項(xiàng)積分后，收斂半

9、徑不變，但端點(diǎn)處的斂散性可能改變，如例 問(wèn)題6 傅里葉級(jí)數(shù)與冪級(jí)數(shù)有何不同?求函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)與將函數(shù)展成傅里葉級(jí)數(shù)是否為一回事 ? 解析 傅里葉級(jí)數(shù)的結(jié)構(gòu)與冪級(jí)數(shù)不同，它的各項(xiàng)均為正弦函數(shù)或余弦函數(shù)，它們都是周期函數(shù)，因此，傅里葉級(jí)數(shù)能呈現(xiàn)出函數(shù)的周期性，而冪級(jí)數(shù)則不能正因?yàn)檫@樣，傅里葉級(jí)數(shù)對(duì)振動(dòng)電子信號(hào)等周期性現(xiàn)象的研究具有非常重要的意義同時(shí)，一個(gè)函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)(簡(jiǎn)稱傅里葉展開(kāi))的條件要比冪級(jí)數(shù)展開(kāi)的條件低得多，它不僅不需要函數(shù)具有任意階導(dǎo)數(shù)，就連函數(shù)的連續(xù)性也不要求，只須滿足收斂定理?xiàng)l件即可這樣就可以使得一般的函數(shù)均能展成傅里葉級(jí)數(shù)，當(dāng)然它的收斂域比較復(fù)雜，系數(shù)計(jì)算也比較復(fù)雜，逐項(xiàng)

10、求導(dǎo)和逐項(xiàng)積分則需附加很強(qiáng)的條件而冪級(jí)數(shù)的收斂域是區(qū)間，系數(shù)的計(jì)算也相對(duì)簡(jiǎn)單，最重要的是冪級(jí)數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)可以自由的運(yùn)算，不僅可以把有限的四則運(yùn)算帶到無(wú)窮級(jí)數(shù)中來(lái)，還可以把有限個(gè)函數(shù)的（逐項(xiàng)）微分和（逐項(xiàng)）積分等解析運(yùn)算也帶進(jìn)無(wú)窮級(jí)數(shù)中來(lái) 求的傅里葉級(jí)數(shù)與將展成傅里葉級(jí)數(shù)不是一回事，就像一個(gè)函數(shù)的泰勒級(jí)數(shù)與其泰勒展開(kāi)式不是一回事一樣所謂求的傅里葉級(jí)數(shù)是指：若它在上可積，則由公式計(jì)算出以，為系數(shù)的三角級(jí)數(shù)，就是的傅里葉級(jí)數(shù)顯然，只要在上可積，總可以用公式計(jì)算出，從而可寫(xiě)出它的傅里葉級(jí)數(shù) 問(wèn)題是滿足什么條件這個(gè)傅里葉級(jí)數(shù)收斂于?只要滿足收斂定理?xiàng)l件，這個(gè)傅里葉級(jí)數(shù)一定收斂，在連續(xù)點(diǎn)處收斂于，在間斷

11、點(diǎn)處收斂于該點(diǎn)左、右極限的平均值我們說(shuō)將展成傅里葉級(jí)數(shù)就是指：若滿足收斂定理?xiàng)l件，則在使的點(diǎn)處有 ， 一般說(shuō)來(lái)，使上式成立的范圍就是的連續(xù)范圍 三、例題精解 例12 中的“”意味著什么？ 解 這三個(gè)點(diǎn)表明級(jí)數(shù)的項(xiàng)無(wú)窮多，沒(méi)有盡頭，去掉三個(gè)點(diǎn)就稱為多項(xiàng)式，不稱為級(jí)數(shù) 例13 驗(yàn)證歐拉公式 ，因?yàn)?，所以我們重新?xiě)級(jí)數(shù)為 即 例14 (付款現(xiàn)值模型) 某企業(yè)家支持一個(gè)球隊(duì)，簽如下合同：今后年，每年向球隊(duì)支付萬(wàn)元人民幣問(wèn)企業(yè)家存入銀行多少錢(qián)才能保證付清所有的應(yīng)付款呢?假設(shè)存儲(chǔ)是有利息的，企業(yè)家只需存入比萬(wàn)元人民幣少得多的錢(qián)，這個(gè)少得多的存款額稱為萬(wàn)元的現(xiàn)值解 現(xiàn)值的定義：將來(lái)應(yīng)付款元的現(xiàn)值元，是一個(gè)必

12、須今天存在銀行賬戶上的值，它使得在將來(lái)的某個(gè)相關(guān)時(shí)間，賬戶上的值恰好等于元 若年利率為，對(duì)年，每年次以復(fù)利計(jì)算利息，則 或， 若利息以年利率為的連續(xù)復(fù)利計(jì)算，可得 或 求球隊(duì)合同的現(xiàn)值：設(shè)付款分次，球隊(duì)每次獲得萬(wàn)元，第一次付款是在簽約當(dāng)天，設(shè)整個(gè)合同執(zhí)行期間以的年復(fù)利計(jì)算利息 第1筆付款發(fā)生在簽約的當(dāng)天： 第筆付款現(xiàn)值(百萬(wàn)元)， 第2筆付款發(fā)生在一年后實(shí)現(xiàn)： 第筆付款現(xiàn)值(百萬(wàn)元)，第3筆付款發(fā)生在兩年后實(shí)現(xiàn)： 第筆付款現(xiàn)值(百萬(wàn)元)，同樣 第筆付款現(xiàn)值(百萬(wàn)元)，總的現(xiàn)值（百萬(wàn)元），即企業(yè)家只需存入萬(wàn)元現(xiàn)值即可若合同永不停止地每年支付萬(wàn)元，則該合同的現(xiàn)值是多少?即假設(shè)從簽約之日起，每年付一

13、次，且永不停止設(shè)利率為每年，以連續(xù)復(fù)利計(jì)算 第筆付款現(xiàn)值(百萬(wàn)元)， 第筆付款現(xiàn)值(百萬(wàn)元)， 第筆付款現(xiàn)值(百萬(wàn)元)， 總的現(xiàn)值，這是一個(gè)的幾何級(jí)數(shù)，求和得總的現(xiàn)值(百萬(wàn)元)四、練習(xí)題判斷正誤（）函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式一定是此函數(shù)的泰勒級(jí)數(shù)； （ ）解析 由函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式的唯一性可知，如果能展開(kāi)成的冪級(jí)數(shù)，那么冪級(jí)數(shù)就是的泰勒級(jí)數(shù)（）函數(shù)的麥克勞林級(jí)數(shù)一定是此函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式； （ ）解析 當(dāng)?shù)柠溈藙诹旨?jí)數(shù)不收斂或不收斂于時(shí)，不可展開(kāi)成為冪級(jí)數(shù)，所以函數(shù)的麥克勞林級(jí)數(shù)不一定是此函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式（）因?yàn)樗哉?xiàng)級(jí)數(shù)收斂； （ ）解析 是級(jí)數(shù)收斂的必要條件，而非充分條件此題的結(jié)論應(yīng)為：正項(xiàng)級(jí)

14、數(shù)收斂，則例如級(jí)數(shù)，有，但級(jí)數(shù)發(fā)散（）交錯(cuò)級(jí)數(shù)若則收斂（）解析 此結(jié)論應(yīng)用的是判定交錯(cuò)級(jí)數(shù)斂散性的“萊布尼茨判別法”，但缺少了一個(gè)條件“”判斷題（） 正項(xiàng)級(jí)數(shù)若滿足條件（ D ）必收斂；（）； （）；（）； （）解析 此題考察的是正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比值判別法，定理中要求時(shí)收斂，故選D（） 若在處收斂，則它在處（ D ）； （A）發(fā)散； （B）條件收斂； （C）絕對(duì)收斂； （D）不能判斷解析 設(shè)，則原級(jí)數(shù)轉(zhuǎn)化為當(dāng)時(shí)，由冪級(jí)數(shù)收斂域關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱性，知在（，2）必收斂，而在不能確定其斂散性當(dāng)時(shí)，所以不能確定級(jí)數(shù)的斂散性（） 關(guān)于冪函數(shù)，下列結(jié)論正確的是（C ）；（）當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)收斂；（）當(dāng)時(shí)收斂；（）當(dāng)時(shí)收

15、斂；（）當(dāng)時(shí)收斂解析 因?yàn)?，所以收斂半徑為1，從而收斂區(qū)間為當(dāng)時(shí)，發(fā)散，當(dāng)時(shí)，收斂，所以收斂域?yàn)椋ǎ┰O(shè)級(jí)數(shù)，且，則（ C ）正確（）若收斂，則必收斂；（）若發(fā)散，則必發(fā)散；（）若，都收斂，則必收斂；（）若，都發(fā)散，則必發(fā)散解析 由級(jí)數(shù)性質(zhì)的兩邊夾定理可知，若級(jí)數(shù)，都收斂，則級(jí)數(shù)必收斂填空題（） 函數(shù)的泰勒級(jí)數(shù)收斂于的必要條件是 ；解 因?yàn)樘├占?jí)數(shù)收斂于，因此必定滿足級(jí)數(shù)收斂的必要條件，所以（）寫(xiě)出麥克勞林展開(kāi)式，并注明收斂域； ； ； ； ； ；（）設(shè)的收斂半徑為R，則的收斂半徑為 ；解 由于的收斂半徑為，則的收斂區(qū)間為于是，對(duì)于級(jí)數(shù)，所以，的收斂半徑為 （） 設(shè)以為周期，在的表達(dá)式為則的傅

16、里葉級(jí)數(shù)在處收斂于 解 因?yàn)?，從而 ，即在處連續(xù)，所以，的傅里葉級(jí)數(shù)在處收斂于 = 解答題（） 求的收斂域與和函數(shù)；解 因?yàn)?=，設(shè)=，容易求得，此級(jí)數(shù)的收斂半徑為1，收斂區(qū)間為（-1，1）設(shè) =，積分得 =，求導(dǎo)得 =，再求導(dǎo)得 =，所以 = (2) 分別求級(jí)數(shù)與的和函數(shù)；解 （a）設(shè) =，積分得 =，求導(dǎo)得 =，所以 = （b ） = 設(shè) =，求導(dǎo)得 =，積分得 =-=，所以 =(3) 將展開(kāi)成的冪級(jí)數(shù)；解 因?yàn)?=，又因?yàn)?=，所以 = ， 即 (4) 將展開(kāi)為的冪級(jí)數(shù)；解 因=，而=，=，所以 =(5) 設(shè)將在上展成傅里葉級(jí)數(shù)，傅葉級(jí)數(shù)在處收斂于什么？解 計(jì)算傅里葉系數(shù)=，=+=-=，所以，的傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式為=+因?yàn)?，=0，所以，傅里葉級(jí)數(shù)在處收斂于(6) 判斷的斂散性；解 因?yàn)?<=，而級(jí)數(shù)=是的級(jí)數(shù)，收斂，根據(jù)正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的比較判別法知，級(jí)