高等數(shù)學(xué)--隱函數(shù)的求導(dǎo)法則

1、第五節(jié) 隱函數(shù)的求導(dǎo)法則 一、一個(gè)方程的情形隱函數(shù)存在定理1 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則方程在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一個(gè)連續(xù)且具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù)， 它滿足條件，并有 說(shuō)明：1） 定理證明略，現(xiàn)僅給出求導(dǎo)公式的推導(dǎo)：將代入，得恒等式，等式兩邊對(duì)求導(dǎo)得，由于 于是得2） 若的二階偏導(dǎo)數(shù)也都連續(xù), 則按上述方法還可求隱函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù): 例1 驗(yàn)證方程在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)能唯一確定一個(gè)單值可導(dǎo)的隱函數(shù)，并求 解 設(shè)， 則1） ，連續(xù)；2） ；3） 因此由定理1可知，方程在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)能唯一確定一個(gè)單值可導(dǎo)的隱函數(shù) ， 隱函數(shù)存在定理還可以推廣到多元函數(shù)一般地一個(gè)二元方程可以確定一個(gè)一元

2、隱函數(shù)，而一個(gè)三元方程可以確定一個(gè)二元隱函數(shù) 隱函數(shù)存在定理2 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，且，則方程在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一個(gè)連續(xù)且具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)， 它滿足條件，并有， 說(shuō)明：定理證明略，現(xiàn)僅給出求導(dǎo)公式的推導(dǎo)：將代入， 得， 將上式兩端分別對(duì)和求導(dǎo)，得， 因?yàn)檫B續(xù)且，于是得， 例2 設(shè)，求 解 設(shè)，則， ， 二、方程組的情形在一定條件下， 由方程組可以確定一對(duì)二元函數(shù)，例如方程和可以確定兩個(gè)二元函數(shù)， 事實(shí)上， ÞÞÞ， 下面討論如何由組求，的導(dǎo)數(shù) 隱函數(shù)存在定理3 設(shè)，點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)具有對(duì)各個(gè)變量的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，又，且偏導(dǎo)數(shù)所組成的函數(shù)

3、行列式（或稱雅可比（Jacobi）行列式）在點(diǎn)不等于零，則方程組，在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一組連續(xù)且具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù) 它們滿足條件，且有 ，說(shuō)明：方程組所確定的隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)可分別對(duì)方程組中各方程兩邊求偏導(dǎo)數(shù)，然后解關(guān)于各偏導(dǎo)數(shù)的方程組，其中偏導(dǎo)數(shù)，由方程組確定；偏導(dǎo)數(shù)，由方程組確定 例3 設(shè)，求，和 解 兩個(gè)方程兩邊分別對(duì)求偏導(dǎo)，得關(guān)于和的方程組當(dāng)時(shí)，解之得， 兩個(gè)方程兩邊分別對(duì)求偏導(dǎo)，得關(guān)于和的方程組當(dāng)時(shí)，解之得， 另解 將兩個(gè)方程的兩邊微分得即解之得 ，于是 ， 例4 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某一領(lǐng)域內(nèi)連續(xù)且有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，又 1） 證明方程組在點(diǎn)(的某一領(lǐng)域內(nèi)唯一確定一組單值連續(xù)且有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的反函數(shù) 2）求反函數(shù)對(duì)的偏導(dǎo)數(shù) 解 1）將方程組改寫(xiě)成下面的形式 則按假設(shè) ， 由隱函數(shù)存在定理3，即得所要證的結(jié)論 2）將方程