綜合變量法在多目標(biāo)分層抽樣中的應(yīng)用

1、綜合變量法在多指標(biāo)分層抽樣中的應(yīng)用摘 要本文采用綜合變量法對(duì)多目標(biāo)總體進(jìn)行分層抽樣，并設(shè)計(jì)了T變量作為估計(jì)量，比較了綜合變量法和簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的優(yōu)劣性。而后通過案例證明了上述結(jié)論。關(guān)鍵詞：多指標(biāo)抽樣 分層抽樣 主成分分析 綜合變量法引言抽樣調(diào)查作為認(rèn)識(shí)社會(huì)現(xiàn)象的工具已經(jīng)得到了廣泛應(yīng)用，其在政治、經(jīng)濟(jì)、文化、軍事、人口等領(lǐng)域已經(jīng)成為了廣泛使用的有效方法。并且絕大部分的抽樣調(diào)查都是希望能在一次調(diào)查中得到多個(gè)結(jié)論，因此多目標(biāo)抽樣是普遍使用的方法，關(guān)于這方面的研究已經(jīng)有了很多成果，但依然不能滿足現(xiàn)實(shí)的需要，所以對(duì)多目標(biāo)抽樣進(jìn)行研究是很有現(xiàn)實(shí)意義的。本文將在已有理論的基礎(chǔ)上，試圖對(duì)多目標(biāo)的分層抽樣問題進(jìn)行

2、研究，采用主成分方法處理輔助信息，而后用綜合變量法分層，研究該方法的性質(zhì)。一、模型介紹將進(jìn)行主成分變換后，計(jì)算求得綜合變量，即其中為主成分的貢獻(xiàn)率。以作為分層標(biāo)志，進(jìn)行綜合變量法分層抽樣。這種變換將原來的多指標(biāo)轉(zhuǎn)換為了單指標(biāo)，而后就可以用單指標(biāo)的方法進(jìn)行分層抽樣。層數(shù)的確定可以按照如下準(zhǔn)則：至于分層的界限，只要滿足下面關(guān)系：就可以使達(dá)到最小。現(xiàn)實(shí)中仍然采用戴倫紐斯和霍奇斯（Dalenius and Hodges）提出的快速近似法計(jì)算。抽樣方法若總的樣本量固定，如何把這個(gè)樣本進(jìn)行分配到各層，在各層的分配取決于層的規(guī)模、層內(nèi)的方差和抽樣的費(fèi)用。這里只討論最優(yōu)分配，至于比例分配和內(nèi)曼分配是最優(yōu)分配的

3、特例。最優(yōu)分配為確定了在各層的樣本量后，在各層的抽樣方式這里采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣。分層抽樣中，樣本量的確定不僅取決于精度要求和費(fèi)用的限制，而且取決于如何分層和樣本在各層的分配方式。這里精度要求的上限設(shè)定為，第層的每單元抽樣費(fèi)用為，采用最優(yōu)分配方式下，樣本量計(jì)算公式如下：二、多目標(biāo)分層抽樣估計(jì)量設(shè)計(jì)目標(biāo)變量的均值估計(jì)量為，其簡(jiǎn)單估計(jì)量為是的無偏估計(jì)量，即該估計(jì)量的方差為由于多個(gè)研究變量的量綱并不完全相同，并且的均值估計(jì)量的方差不止一個(gè)，所以不同方法求得的均值估計(jì)量的方差協(xié)方差矩陣無法進(jìn)行比較，也就無法對(duì)各種抽樣設(shè)計(jì)方法進(jìn)行評(píng)價(jià)和進(jìn)一步研究。因此這里提出了一種解決上述問題的方法，為消除量綱影響，將均值

4、估計(jì)量的方差比上均值估計(jì)量的平方，至于多目標(biāo)變量無法比較的問題，可以將消除了量綱的方差加總求和，由此定義一個(gè)新的變量。定義：在多目標(biāo)抽樣中，目標(biāo)變量之間量綱不同，其樣本均值的方差無法直接比較，為的變異系數(shù)，將其平方求和得到值是消除了量綱影響的方差之和，它將作為多目標(biāo)抽樣的精度指標(biāo)。顯然，值的大小就可以說明抽樣設(shè)計(jì)效果的好壞，值越小，表明抽樣精度越高，反之，抽樣精度越低。在分層抽樣中，的表達(dá)式為：根據(jù)前面的假設(shè)條件和有關(guān)主成分分析的性質(zhì)，基于主成分綜合的方法，求得的有如下性質(zhì)：證明：也可以用矩陣的跡的形式來表示，即為當(dāng)和極小，可以忽略時(shí)已知有 所以 證畢為了方便，下面對(duì)進(jìn)行討論 綜合變量法根據(jù)上

5、面的介紹，綜合變量法是將綜合變量排序后，進(jìn)行分層抽樣，分層的結(jié)果是保證了最小。即 （3.3）是最小的。在滿足什么條件時(shí)，可以采用綜合變量法抽樣，而使值達(dá)到最小?？梢钥闯霎?dāng)與成反比例關(guān)系時(shí)，采用綜合變量法抽樣會(huì)更優(yōu)。證明：對(duì)3.2式進(jìn)行整理，有 (3.4)對(duì)比3.3式與3.4式，3.4式是在3.3式的基礎(chǔ)上加了權(quán)重。當(dāng)與成反比例關(guān)系，即時(shí)，值就是綜合變量的方差的倍數(shù)，可以表示為，顯見，與成反比例關(guān)系時(shí)，采用綜合變量法抽樣最優(yōu)。當(dāng)與不成反比例關(guān)系時(shí)，即不全相等，此時(shí)，若采用綜合變量法進(jìn)行分層，使得達(dá)到最小，不能保證值是最小的。綜上，采用綜合變量法抽樣的條件是與成反比例關(guān)系 證畢其中 ，所以，從而證

6、明了多指標(biāo)情況下無論是超空間區(qū)域法還是綜合變量法分層抽樣的方差都是小于等于簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方差。三、與簡(jiǎn)單分層抽樣比較這里定義簡(jiǎn)單分層抽樣為：在多指標(biāo)抽樣中，只用一個(gè)指標(biāo)作為抽樣標(biāo)志的分層抽樣方法。這里我們假定使用作為分層標(biāo)志，將樣本分為個(gè)層，其他指標(biāo)的證明同理。下面將分別將此方法與超空間區(qū)域法和綜合變量法分層抽樣進(jìn)行比較，比較他們?cè)诤畏N條件下，他們的值更小。上一節(jié)已經(jīng)說明，用進(jìn)行分層得到的均值估計(jì)量的分層抽樣方差為。其設(shè)計(jì)效應(yīng)為簡(jiǎn)稱為。用綜合變量法進(jìn)行分層，即用作為分層標(biāo)志，將樣本分為層。這種方法的設(shè)計(jì)效應(yīng)為簡(jiǎn)稱為。現(xiàn)在分別采用簡(jiǎn)單分層抽樣和綜合變量法抽樣，之后得到的值分別用和表示，即已知采用

7、這兩種抽樣方法計(jì)算的估計(jì)量都是的無偏估計(jì)量，即，因此，假設(shè)上式的相等，而后就可以比較和的大小。和作差有可以看出差值的大小主要取決于與的大小，而，所以上式分解為：其中，而，所以的大小并不是固定的，這要取決于每一主成分變量的設(shè)計(jì)效應(yīng)，以及設(shè)計(jì)效應(yīng)對(duì)應(yīng)的權(quán)重（方差與均值之比）。根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，在綜合變量法中，欲使的分層抽樣方差最小，被賦予較大權(quán)重的應(yīng)該得到較小的設(shè)計(jì)效應(yīng)。所以，與的大小應(yīng)該差不多，這樣就會(huì)有由此判斷，會(huì)是更為常見的狀態(tài)。通常情況下，綜合變量法還是優(yōu)于簡(jiǎn)單分層抽樣的，但是這個(gè)結(jié)論并不是確定的，也會(huì)有特殊情況出現(xiàn)。綜上，綜合變量法和簡(jiǎn)單分層比較來看，在費(fèi)用方面，兩種方法沒有什么區(qū)別，它們都是將

8、總體劃分成了層，而后在層中進(jìn)行簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣。在精度方面，綜合變量法可能會(huì)有更大的優(yōu)勢(shì)，通常情況下，綜合變量法會(huì)比簡(jiǎn)單分層抽樣更優(yōu)。四、案例分析本文研究的兩種方法都是基于主成分綜合的，因此，首先將原數(shù)據(jù)進(jìn)行主成分變換，原變量主成分變換為，表達(dá)式如下： （5-1）使用SPSS19.0對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行相關(guān)性分析，從表5.1可以看出指標(biāo)之間存在著一定的相關(guān)性，需要通過主成分分析法將相關(guān)的指標(biāo)轉(zhuǎn)換為相互獨(dú)立的指標(biāo)，主成分分析得到的表5.2解釋的總方差表，這里保留了所有主成分，四個(gè)主成分的方差貢獻(xiàn)率分別為38.849%、24.984%、22.802%和13.366%，由表5.3成分矩陣表可以得到結(jié)果如下： （5

9、-2）由此便得到了變換之后的主成分?jǐn)?shù)據(jù)。表5.1 相關(guān)系數(shù)表食品衣著居住交通和通信相關(guān)食品1.000.442.187.113衣著.4421.000.046.142居住.187.0461.000.019交通和通信.113.142.0191.000Sig.（單側(cè)）食品.000.000.000衣著.000.039.000居住.000.039.232交通和通信.000.000.232表5.2 解釋的總方差表成份初始特征值提取平方和載入合計(jì)方差的 %累積 %合計(jì)方差的 %累積 %11.55438.84938.8491.55438.84938.8492.99924.98463.833.99924.9846

10、3.8333.91222.80286.634.91222.80286.6344.53513.366100.000.53513.366100.000提取方法：主成份分析表5.3 成份矩陣表成 份1234食品.821.103-.213-.520衣著.781-.186-.343.487居住.355.789.475.162交通和通信.379-.577.723-.029提取方法：主成份分析表5.4 超空間區(qū)域法均值及比較總體均值樣本均值相對(duì)誤差（%）標(biāo)準(zhǔn)差食品6997.34 6997.770.0062651.37衣著2206.242148.96-2.5961411.33居住1980.951920.08-

11、3.0733513.61交通和通信2329.391852.00-20.4941753.25綜合變量法也是基于主成分分析的抽樣設(shè)計(jì)方法，由式5-2和表5.2中的方差貢獻(xiàn)率可以求出綜合變量的值，而后以作為分層標(biāo)志，為方便與超空間區(qū)域法進(jìn)行對(duì)比，在該方法下，將總體分為16層，臨界值同樣采用快速近似法確定，每一層的個(gè)數(shù)為，按照10%的抽樣比進(jìn)行抽樣后，各層的樣本數(shù)分別為，運(yùn)用SPSS19.0里的復(fù)雜抽樣功能進(jìn)行一次抽樣后有表5.5所示結(jié)論。表5.5 綜合變量法均值及比較總體均值樣本均值相對(duì)誤差（%）標(biāo)準(zhǔn)差食品6997.34 7004.460.1022897.92衣著2206.242107.55-4.4

12、731693.09居住1980.951752.32-11.5411328.44交通和通信2329.391762.20-24.3491262.34五、結(jié)論本文所研究的抽樣方法是基于主成分分析方法而設(shè)計(jì)的超空間區(qū)域法和綜合變量法，介紹了兩種抽樣方法的實(shí)施過程，粗略地說明了兩種的優(yōu)勢(shì)和劣勢(shì)，為多目標(biāo)分層抽樣理論提供了一個(gè)新的思路，其創(chuàng)新之處表現(xiàn)為：一、證明了W.G.Cochran的的結(jié)論在多變量抽樣中同樣有效。二、采用了多元統(tǒng)計(jì)分析中的主成分分析方法研究多目標(biāo)分層抽樣。三、豐富了多目標(biāo)分層抽樣方法。本文試圖將輔助信息充分利用到分層抽樣的抽樣設(shè)計(jì)階段，通過主成分變換實(shí)現(xiàn)了這一目標(biāo)，取得了一定的效果，但

13、仍然存在很多未解決的問題。參考文獻(xiàn)1馮士雍,施錫銓.抽樣調(diào)查理論、方法與實(shí)踐M.上海:上?？茖W(xué)技術(shù)出版社 ,1996,54-99.2何曉群.多元統(tǒng)計(jì)分析M.北京:中國(guó)人民大學(xué)出版社,2009,152-190.3施錫銓.抽樣調(diào)查的理論與方法M. 上海:上海財(cái)經(jīng)大學(xué)出版社，1996, 44-63.4金勇進(jìn),杜子芳,蔣 妍.抽樣技術(shù)M.北京:中國(guó)人民大學(xué)出版社,2008,75-132,239-2615劉建平.輔助信息在抽樣調(diào)查中的應(yīng)用模型與方法M.中國(guó)統(tǒng)計(jì)出版社,2007,89-1086劉建平,陳光慧.通過對(duì)輔助變量的線性轉(zhuǎn)化來改進(jìn)比率估計(jì)M.統(tǒng)計(jì)研究,2006,69-717劉建平,陳光慧.MPPS

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