自編高等數(shù)學(xué)文檔

1、第一節(jié) 極限的求解一、 極限的本質(zhì)在學(xué)習(xí)為什么要去學(xué)習(xí)“求解函數(shù)的極限”和“如何去求解函數(shù)的極限”兩個重要問題之前，我們首先有必要弄清楚什么是極限，極限的本質(zhì)又是什么？前面，我們學(xué)習(xí)過“函數(shù)極限”的定義，即：設(shè)函數(shù)f(x)在點x0的某一去心領(lǐng)域內(nèi)有定義，如果存在存在常數(shù)A，對于任意給定的正數(shù)（不論它多么?。?，總存在正數(shù)，使得當(dāng)自變量x滿足不等式0<|x- x0|<時,對應(yīng)的函數(shù)值f(x)都滿足不等式0<|f(x)-A|<，那么就說常數(shù)A就叫做函數(shù)f(x)當(dāng)xx0時的極限，記作：或f(x) A(當(dāng)xx0)。由“常數(shù)A就叫做函數(shù)f(x)當(dāng)xx0時的極限”一句可知，極限的本質(zhì)

2、是一個常數(shù)。所以要求出函數(shù)的極限，其實質(zhì)也就是求出一個實數(shù)。二、 極限的思想極限的思想是高等數(shù)學(xué)中基本思想。產(chǎn)生、歸納出這種思想的目的也是為了能夠解決、分析實際問題。其實，世間上思想（想法）的產(chǎn)生也都只有一個目的，就是能夠更準確，更迅速地分析和解決實際問題。極限的思想也不例外。三、初等函數(shù)極限的求解方法1、極限的求解方法之一一“-”定義法在高等數(shù)學(xué)中，求解函數(shù)極限的方法可以歸納為兩種。顯然，極限的定義肯定就是求極限的一種方法?！?”定義法是完全借助于極限的“-”定義來解決問題。“-”定義：設(shè)函數(shù)f(x)在點x0的某一去心領(lǐng)域內(nèi)有定義，如果存在存在常數(shù)A，對于任意給定的正數(shù)（不論它多么小），總存

3、在正數(shù)，使得當(dāng)自變量x滿足不等式0<|x- x0|<時,對應(yīng)的函數(shù)值f(x)都滿足不等式0<|f(x)-f(x0)|<，那么就是常數(shù)A是函數(shù)f(x)當(dāng)xx0時的極限。極限的“-”定義雖然沒有告訴我們?nèi)绾稳デ蠼夂瘮?shù)極限的步驟與方法，但是卻指明了函數(shù)極限所要滿足的條件，我們可以用來驗證某個常數(shù)是否是函數(shù)的極限。極限的“-”在求解極限中的意義。所以根據(jù)極限的“-”，我們可以先猜測出該函數(shù)的極限，然后再用定義去驗證。如果符合定義，就表明這個常數(shù)就是該函數(shù)的極限。2、“-”定義法適用的范圍定義法求解極限很容易想到，畢竟在任何時候，使用定義都是分析、處理問題的一種最基本方法。但是由

4、于是先要猜測極限，然后再加以證明。那么在猜測的過程中就難免曾在一定的盲目性。由此，定義法不適合所有的復(fù)合函數(shù)以及其他的復(fù)雜函數(shù)。相反，如果題目中沒有數(shù)字，那么運用定義法是一個不錯的選擇。3、極限的求解方法之二用已知的極限通過四則運算法則求解出目標極限前面已經(jīng)學(xué)習(xí)過極限的“-”定義法，由于定義較難，計算時主要運用絕對值，所以不適合普通人來解決求解極限問題。所以需要尋找到一條，避開復(fù)雜的“-”定義的一種求解極限的方法。用已知的極限通過四則運算法則求解出目標極限，就是一種建立在定義之上的一種求解極限方法，由于避開了復(fù)雜的定義，所以普通數(shù)學(xué)知識的人也能夠運用自如。由此，我們聯(lián)想到電腦的Windows操

5、作系統(tǒng)的誕生。Windows是英文窗戶，窗口的意思，Windows操作系統(tǒng)就是將計算機操作、控制過程中所需要的復(fù)雜電腦語言用普通用戶能夠明白的對話框，窗口表現(xiàn)出來，使得原本需要高學(xué)歷，高專業(yè)知識才懂得的計算機語言，普通用戶也能夠掌握。現(xiàn)如今有，在全世界有數(shù)量眾多的用戶的電腦安裝的是Windows操作系統(tǒng)。這不僅是微軟公司技術(shù)的先進，更重要的是微軟想人之所想?？梢哉f是微軟在計算機普及的道理上有不可磨滅的作用。 “用已知的極限通過四則運算法則求解出目標極限”的聯(lián)想。總之，“用已知的極限通過四則運算法則求解出目標極限”的方法意義就如同是我們熟悉電腦的操作系統(tǒng)，它讓我們在沒有學(xué)習(xí)極限定義或計算機編程的

6、情況下就能熟練掌握極限或計算機操作。第二節(jié) 對極限乘法運算的認識一、 極限乘法運算的內(nèi)容極限乘法運算的內(nèi)容是：如果limf(x)=A，limg(x)=B，那么limf(x)·g(x)=limf(x)·limg(x)=A·B。二、 直觀感性認識直觀感性認識也很重要，它是人們看待事物的第一感受，是事物讓人最新聯(lián)想到的。有了直觀感性認識就可以能夠迅速記住并且能夠喚起對其他知識的記憶。看到上面的式子，不免讓人心生疑惑。f(x)、g(x)是我們所熟悉的函數(shù)，如果說lim是一種運算的話，那么上式用文字來描述就可以是：f(x)與(x)的乘積通過lim運算所得到的結(jié)果等于f(x)

7、與(x)分開lim運算的結(jié)果的乘積。先不說上式可以這樣等于的理由。其次，式子中全都是英文表示，這更讓讀者感到數(shù)學(xué)深奧與不解。三、 理性認識1. 正如上面感性認識所描述的一樣，等式全是由英文組成，就連數(shù)學(xué)中常見的數(shù)字都沒有出現(xiàn)。更不用說函數(shù)f(x)，(x)的解析式了。在中學(xué)數(shù)學(xué)中，我們常將沒有解析式表示的函數(shù)稱為“抽象函數(shù)”，所以對于上式?jīng)]有解析式只有字母表示的極限，我們稱為“抽象極限”。在中學(xué)數(shù)學(xué)中，對于抽象函數(shù)的解決辦法就是賦值，所以，對于抽象極限的解決辦法也采用賦值的方法。就如：limf(x)=A，limg(x)=B。2. 在等式的證明過程中，對于“抽象極限”問題就是采用“賦值法”求解。令

8、limf(x)=A，limg(x)=B。那么依據(jù)“函數(shù)f(x)具有極限A的充分必要條件” 即函數(shù)與極限的（等式）關(guān)系。同濟大學(xué)數(shù)學(xué)教研室主編.高等數(shù)學(xué)第五版第38頁.北京：高等教育出版社，2002，有：f(x)=A+，g(x)=B+所以，我們得到等式f(x)·g(x)=AB+A+B+對于等式f(x)·g(x)=AB+A+B+又用到無窮小的運算三個法則 無窮小是函數(shù)，只是用于初等函數(shù)中。即有限個無窮小之和仍是無窮小；有限個無窮小與無窮小之積仍是無窮?。挥薪绾瘮?shù)與無窮小之積仍是無窮小。同濟大學(xué)數(shù)學(xué)教研室主編.高等數(shù)學(xué)第五版第43頁.北京：高等教育出版社，2002。再次根據(jù)“函數(shù)

9、f(x)具有極限A的充分必要條件”，就得到limf(x)·g(x)=limf(x)·limg(x)=A·B。與之類似的還有極限的加法運算法則同樣也是由limf(x)、limg(x)的存在，推導(dǎo)出的limf(x)±g(x)一定存在。3. 對于極限乘法運算limf(x)·g(x)=limf(x)·limg(x)=A·B在現(xiàn)實生活中的聯(lián)想。在現(xiàn)實生活中我們會遇到很多事情，有點事情簡單，有的事情復(fù)雜。簡單的事情容易處理，這里也就不討論了。然而我們常常遇到的問題都很棘手，如果將上式中的函數(shù)f(x)·g(x) ，f(x)，g(

10、x)看成我們遇到的事情，那么復(fù)雜的事情就是函數(shù)f(x)·g(x)，簡單的事物就是函數(shù)f(x)，g(x)，而將lim認為是處理問題。那么上等式就表示：解決一個復(fù)雜的問題，如果直接求解有困難，那么分析該問題能否轉(zhuǎn)化為若干個簡單問題，如果能就轉(zhuǎn)化為簡單問題解決。實例：由于n，超出初等函數(shù)極限運算法則的應(yīng)用范圍，故極限的運算法則不適合上式。第三節(jié) 復(fù)合函數(shù)運算法則一、函數(shù)的分類名稱在函數(shù)的定義和函數(shù)的分類基礎(chǔ)知識中。函數(shù)常見的有復(fù)合函數(shù)，基本初等函數(shù) 基本初等函數(shù)不包括常數(shù)函數(shù)。同濟大學(xué)數(shù)學(xué)教研室主編.高等數(shù)學(xué)第五版第17頁.北京：高等教育出版社，2002，初等函數(shù)和分段函數(shù)等幾類。其中初等

11、函數(shù)是指：由常數(shù)和基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運算或有限次復(fù)合后并且可以用一個式子表示的函數(shù)。同濟大學(xué)數(shù)學(xué)教研室主編.高等數(shù)學(xué)第五版第17頁.北京：高等教育出版社，2002所以上面描述的極限運算法則和復(fù)合函數(shù)運算法則都只是針對于有限項，適用于初等函數(shù)。當(dāng)然依據(jù)復(fù)合函數(shù)的定義，復(fù)合函數(shù)也屬于初等函數(shù)。二、 復(fù)合函數(shù)運算法則產(chǎn)生的背景前面已經(jīng)學(xué)過極限的四則運算法則，能夠解決一些“由常數(shù)和基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運算”構(gòu)成的函數(shù)極限問題。在初等函數(shù)的定義中還有一些函數(shù)，它們不能運算，是通過相互間的復(fù)合構(gòu)成的函數(shù)習(xí)題一、 有界函數(shù)有界函數(shù)的證明方法：對于任意給定的xX，證明存在正數(shù)M，滿足不等式|f(

12、x)| M.求出M的值就可以。1. 證明函數(shù)f(x)=10-xsinx在0,+內(nèi)是有界函數(shù)。2. 證明(a>0,a1)在（-，+）內(nèi)有界3. 證明函數(shù)在（-，+）內(nèi)是有界函數(shù)4. 證明下面函數(shù)f(x)= 在（-，+）內(nèi)不是有界函數(shù)不是有界函數(shù)就是無界函數(shù)。有界與無界是互斥的！。答案：1.f(x)= 10-xsinx10-x=1=M證明有界函數(shù)，只需要證明出對于任意給定的xX,存在正數(shù)M，使得不等式|f(x)| M恒成立，求出M的值就可以。2.提示：對于任意給定的正數(shù)xX，|1=M3.（UNKONW）4.通常對于否定命題采用反證法。但此題不用反證法。用無界來證明。證明無界：思路，使得|f(

13、x)| >M.當(dāng)即：時，|f(x)| >M二、無界函數(shù)無界函數(shù)的證明方法：對于任意給定的正數(shù)M，總是存在（一個）xX只有證明出這樣的x是存在的就可以。，使得|f(x)| >M.5. 函數(shù)f(x)=x·sinx在（-，+）內(nèi)無界。6. 證明函數(shù)y=x·cosx在（-，+）內(nèi)無界。證明函數(shù)y=在區(qū)間（0，1上無界。第四節(jié) 極限存在準則一、數(shù)學(xué)的產(chǎn)生數(shù)學(xué)最初是為人們解決生活面臨的實際問題而產(chǎn)生的。例如高等數(shù)學(xué)中的極限，就是為求某些實際問題的精確解答而產(chǎn)生的 高等數(shù)學(xué)23頁。起初的數(shù)學(xué)還能看到所處理問題時問題產(chǎn)生的背景，例如劉徽的“割圓術(shù)”但由于數(shù)學(xué)經(jīng)過千年的發(fā)展

14、，早已經(jīng)抽象稱為一門科學(xué)學(xué)科，也就看不到處理問題的背景了。高等數(shù)學(xué)極限章節(jié)為了讓極限概念回源到數(shù)學(xué)的產(chǎn)生，更能反映極限是為求某些實際問題的精確解答而產(chǎn)生，故將數(shù)列的極限和函數(shù)的極限分開來的介紹。數(shù)列的極限更能體現(xiàn)抽象的數(shù)學(xué)與實際問題的聯(lián)系，如割圓術(shù)。而函數(shù)的極限只不過是將數(shù)列極限的n只能取正整數(shù)和n等特殊性撇開抽象成為函數(shù)的極限。與極限的講解方法一樣，極限存在準則也是先介紹數(shù)列的極限存在準則，然后再抽象出函數(shù)的極限存在準則。二、極限存在準則產(chǎn)生的原因極限存在準則是判斷極限存在的一種方法。但在極限的“-”定義中“如果存在存在常數(shù)A，對于任意給定的正數(shù)（不論它多么?。?，總存在正數(shù)，使得當(dāng)自變量x滿

15、足不等式0<|x- x0|<時,對應(yīng)的函數(shù)值f(x)都滿足不等式0<|f(x)-A|<，那么就說常數(shù)A就叫做函數(shù)f(x)當(dāng)xx0時的極限”。從文字的角度，如果常數(shù)A存在，那么極限就存在；如果常數(shù)A不存在，那么極限就不存在。所以極限的“-”定義也能作為判斷極限是否存在的一種方法。需要說明的是，極限的四則運算法則是初等函數(shù)的極限四則運算法則，不適合無限項的數(shù)列問題。例如：和著名極限的求解。但是對于一般的數(shù)列極限問題，極限四則運算法則仍然是適用的。三、 數(shù)列的極限存在準則之夾逼準則夾逼準則 如果數(shù)列滿足下列條件：（1） 如果將n=1,2,3改為，n>N，其中N代表某一正

16、數(shù)時應(yīng)該更能反映極限定義中|f(x)|< 的意思。，（2），那么數(shù)列的極限存在，并且。定理證明：四、 夾逼準則在運用過程中的思想在實際運用夾逼準則時，需要自己去尋找到合適的數(shù)列yn、zn。但是數(shù)列不定積分一、 不定積分的產(chǎn)生不定積分是高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中“點-線-面”部分中第三階段，“面”的階段。積分是高等數(shù)學(xué)重要概念，有關(guān)于積分概念的產(chǎn)生，同濟大學(xué)高等數(shù)學(xué)并沒有如同極限是為人們生活的精確解答和導(dǎo)數(shù)是為解決瞬時速度和切線斜率而產(chǎn)生的一樣，給出明確的產(chǎn)生原因。積分的產(chǎn)生可能與其幾何意義有關(guān)，即是曲線與坐標軸圍成的圖形面積。如同減法是加法的逆運算，除法是乘法的逆運算一樣，積分也是導(dǎo)數(shù)的逆運算。二、

17、 積分學(xué)研究的問題積分學(xué)研究的基本問題是：尋找一個可導(dǎo)函數(shù)F(x),使得該可導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于已知函數(shù)f(x)。三、 原函數(shù)的定義原函數(shù)是積分學(xué)中的基礎(chǔ)概念。原函數(shù)是指：在區(qū)間I中，如果可導(dǎo)函數(shù)F（x）的導(dǎo)數(shù)是f(x)。即：對于任意的xI,如果F(x)=f(x),那么函數(shù)F(x)就稱為f(x)(或f(x)dx)的原函數(shù)。例如（sinx）=cosx，那么函數(shù)sinx就是cosx（或cosxdx）的原函數(shù)。四、 原函數(shù)存在定理前面已經(jīng)提到，積分學(xué)研究的基礎(chǔ)問題是尋找到一個可導(dǎo)函數(shù)F(x)使得該可導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于已知函數(shù)?，F(xiàn)在將該可導(dǎo)函數(shù)稱為原函數(shù)，那么在實際求解原函數(shù)中我們首先需要判斷原函數(shù)是否存在

18、。原函數(shù)存在定理就告訴我們原函數(shù)存在時需要滿足的條件。原函數(shù)存在定理：如果函數(shù)f(x)在區(qū)間I內(nèi)連續(xù)，那么在區(qū)間I內(nèi)存在可導(dǎo)函數(shù)F(x)，對于任意的xI，滿足F(x)=f(x)。簡單的說就是連續(xù)函數(shù)必有原函數(shù)。關(guān)于原函數(shù)存在定理的證明將在一下章節(jié)給出。五、 原函數(shù)的性質(zhì)1.原函數(shù)具有不唯一性。依據(jù)原函數(shù)的定義，如果有一個原函數(shù)F(x)使得F(x)=f(x),那么就有無數(shù)個函數(shù)F(x)+C滿足F(x)+C=f(x)。2.原函數(shù)與原函數(shù)間的關(guān)系。前面已經(jīng)知道原函數(shù)具有無數(shù)個，那么它們彼此間的關(guān)系又是怎么呢？已知F(x)、是f(x)的原函數(shù)，即：F(x)=f(x),，那么F(x)-=0。依據(jù)拉格朗日

19、（Lagrange）中值定理，導(dǎo)數(shù)為0的函數(shù)是常函數(shù)。所以原函數(shù)與原函數(shù)之間相差是一個常數(shù)。六、 不定積分的定義在區(qū)間I上，連續(xù)函數(shù)f(x)帶有任意常數(shù)項的原函數(shù)稱為f(x)(或f(x)dx)的不定積分，記作：f(x)dx，其中稱為積分號，f(x)稱為積分函數(shù)，f(x)dx稱為被積表達式，x稱為積分變量。所以不定積分的本質(zhì)還是原函數(shù)，帶有任意項的原函數(shù)是不定積分。根據(jù)不定積分的定義則有等式f(x)dx=F(x)+C。七、 習(xí)題第四章 不定積分第一節(jié) 不定積分的概念和性質(zhì) 積分內(nèi)容是高等數(shù)學(xué)中重要內(nèi)容，很能夠體現(xiàn)出一個人的高等數(shù)學(xué)水平和修養(yǎng)，所以對積分的學(xué)習(xí)也是要嚴格和刻苦的。關(guān)于高等數(shù)學(xué)積分還

20、有很多問題目前不能解釋，例如：在積分表達式中為什么要加入自變量的微分dx，不定積分與定積分之間的關(guān)系等。這些問題或許將永遠困擾在學(xué)習(xí)積分的整個過程中積分中遺留的永久問題。一、 不定積分產(chǎn)生的原因在提到積分定義之前，需要明白積分概念產(chǎn)生的原因。不定積分概念的產(chǎn)生可以說是數(shù)學(xué)思想的一次提高。積分的意義不止是微分的逆運算而產(chǎn)生的，其產(chǎn)生的背后有更深層次的原因，有更深層次看待問題的角度。先前我們學(xué)習(xí)過導(dǎo)數(shù)（微分），知道了導(dǎo)數(shù)（微分）的求解方法，也就是數(shù)學(xué)算法。而積分則是利用這種算法來求解原函數(shù)。原函數(shù)積分求導(dǎo)求積分 函數(shù)求導(dǎo)的目的在于研究函數(shù)的變化快慢，而積分則是研究這種變化快慢下符合的（所有）函數(shù)。

21、這也是積分所研究的基本問題。二、 原函數(shù)的定義如同上面所說的一樣，函數(shù)求導(dǎo)是在于研究函數(shù)的變化快慢，積分則是研究符合這種變化快慢下的（所有）函數(shù)。符合這種變化快慢的（所有）函數(shù)中的一個就稱為原函數(shù)。用數(shù)學(xué)專業(yè)術(shù)語來表示就是：如果在區(qū)間I上，可導(dǎo)函數(shù)F(x)的導(dǎo)函數(shù)為f(x)，即對于任意的 xI, 都有F(x)=f(x)或dF(x)=f(x)dx,那么函數(shù)F(x)就稱為f(x)(或f(x)dx)的原函數(shù)。對于原函數(shù)沒有數(shù)學(xué)符合來表示，只有定義。三、原函數(shù)存在定理原函數(shù)存在定理 連續(xù)函數(shù)必有原函數(shù)。關(guān)于原函數(shù)存在定理的證明同濟大學(xué)高等數(shù)學(xué)將在下一章節(jié)給出。四、原函數(shù)的性質(zhì)a不唯一性根據(jù)導(dǎo)數(shù)的算法和

22、原函數(shù)的定義，原函數(shù)必定不止一個。舉例說明，（sinx）=cosx,所以y=sinx是y=cosx的一個原函數(shù)，而y=sinx+C（C不為0）也是y=cosx的一個原函數(shù)，所以原函數(shù)有無數(shù)個，具有不唯一性。b原函數(shù)之間相差一個常數(shù)上面已經(jīng)提到原函數(shù)有無數(shù)個，那么彼此原函數(shù)之間又是怎樣的關(guān)系呢？原函數(shù)的共同點是具有相同的導(dǎo)函數(shù)。F(a)-F(b)=0拉格朗日（Lagrange）中值定理中有,導(dǎo)函數(shù)恒為0的函數(shù)是常函數(shù)。所以，原函數(shù)之間相差一個常數(shù)。五、函數(shù)族函數(shù)族是一個全新的數(shù)學(xué)概念。函數(shù)族是具有某種特定性質(zhì)的函數(shù)構(gòu)成的集合，其本質(zhì)是集合。例如所有的原函數(shù)可以構(gòu)成一個函數(shù)族，記作：F(x)+c|

23、-<C<+。六、不定積分如果函數(shù)在區(qū)間I上有定義，那么連續(xù)函數(shù)f(x)的帶有任意常數(shù)項的原函數(shù)是f(x)（或f(x)dx）在區(qū)間I上的不定積分，記作：F(x)+C=f(x)dx只有f(x)也能表示原函數(shù)的意思？。其中，是積分號 類似與曲線，是萊布尼茨發(fā)明的積分符號。也可以理解為“原函數(shù)”中的“原”的意思。，f(x)是被積函數(shù)，f(x)dx是被積表達式，x是積分變量。不定積分、原函數(shù)、函數(shù)族中的區(qū)別是：函數(shù)族表示的是一個集合，原函數(shù)只是函數(shù)族中的一個元素，不定積分與函數(shù)族意思相近。表達式f(x)dx就代表原函數(shù)，對原函數(shù)求微分則有：df(x)dx=f(x)dx.對原函數(shù)求導(dǎo)數(shù)則有：.

24、七、不定積分的運算法則（一）a不定積分的加法運算如果f(x),g(x)的原函數(shù)都存在，那么f(x)+g(x)dx=f(x)dx+g(x)dx.證明：不定積分其實是沒有計算法則的，其計算法則的本質(zhì)還是導(dǎo)數(shù)的求解方法。f(x)dx+g(x)dx=f(x)+g(x)所以，函數(shù)f(x)+g(x)的原函數(shù)等于f(x)dx+g(x)dx，即f(x)+g(x)dx=f(x)dx+g(x)dx.b不定積分與常數(shù)間的運算kf(x)dx=kf(x)dx.八、習(xí)題1.求函數(shù)y=在（-，+）不連續(xù)，故要分開討論。=ln|x|+C.2.求因為=原式=第二節(jié) 不定積分運算法則（二）與極限、導(dǎo)數(shù)的運算法則不同，積分沒有乘法

25、、除法的運算法則。積分的運算法則其本質(zhì)還是導(dǎo)數(shù)。本章節(jié)將重點學(xué)習(xí)復(fù)合函數(shù)的積分運算法則，即換元積分法。將復(fù)合函數(shù)的微分法反過來用于求不定積分，利用中間變量的代換，得到復(fù)合函數(shù)的積分法 同濟大學(xué)高等數(shù)學(xué)第191頁。一、換元積分發(fā)產(chǎn)生背景先前我們學(xué)習(xí)過積分的定義（積分表）、積分與常數(shù)間的乘法運算和積分的加減運算法則。但只有這些還不夠，還不能處理復(fù)合函數(shù)的積分問題。應(yīng)用復(fù)合函數(shù)的微分求解方法，可以求出復(fù)合函數(shù)的積分。復(fù)合函數(shù)的積分有兩類，即第一類換元法和第二類換元法。二、第一類換元法及其證明第一類換元法又被稱為湊微（換元）法。求解積分f(u)du。設(shè)f(u)的原函數(shù)是F（u），那么f(u)du= F

26、（u）+C。又因為函數(shù)F（u）是復(fù)合函數(shù)，dF(u)=f（）dx，那么f(u)du=f（）dx= F（u）+C。被積表達式中dx可以看成是u=,du=dx的結(jié)果。第一類換元法其實只是對積分變量換元，主要是利用了函數(shù)F（u）是復(fù)合函數(shù)和復(fù)合函數(shù)的微分法則。例如求解2cos2xdx原式=cos2x·(2x)dx=cos2xd(2x)=sin2x+C.第二節(jié) 不定積分運算法則（二）本章節(jié)學(xué)習(xí)不定積分的運算。積分沒有自己固定的類似與極限、導(dǎo)數(shù)通過定義來計算，不定積分運算的本質(zhì)還是導(dǎo)數(shù)或微分的算法。本章節(jié)將重點學(xué)習(xí)積分的三種計算方法，分別是第一類換元法，第二類換元法和分部積分法。一、第一類換元法第一類換元法與第二類換元法應(yīng)用的計算原理是復(fù)合函數(shù)的微分法。求解積分f(u)du，設(shè)函數(shù)f(u)的原函數(shù)是F（u），則f(u)du= F（u）+C。