淺談初中數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)形結(jié)合思想的滲透

1、淺談初中數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)形結(jié)合思想的滲透摘要:數(shù)形結(jié)合思想即借助數(shù)的精確性闡明圖形的某種屬性。 利用圖形的直 觀性闡明數(shù)與數(shù)之間的關(guān)系 , 這是溝通數(shù)形之間的聯(lián)系、 并通過(guò)這種聯(lián)系產(chǎn)生感知 或認(rèn)知、形成數(shù)學(xué)概念或?qū)ふ医鉀Q數(shù)學(xué)問(wèn)題途徑的思維方式。關(guān)鍵詞 : 數(shù)形結(jié)合 概念 幾何意義 應(yīng)用 觀察 滲透數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)解題中常用的思想方法,數(shù)形結(jié)合的思想可以使某些抽象的 數(shù)學(xué)問(wèn)題直觀化、生動(dòng)化,能夠變抽象思維為形象思維,有助于把握數(shù)學(xué)問(wèn)題的 本質(zhì); 我們?cè)诮虒W(xué)時(shí),應(yīng)充分挖掘由數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)所反映出來(lái)的數(shù)學(xué)思想和方法, 設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)目標(biāo),結(jié)合教學(xué)內(nèi)容適時(shí)滲透、反復(fù)強(qiáng)化、及時(shí)總結(jié), 用數(shù)學(xué)思想方法武裝

2、學(xué)生,使學(xué)生真正成為數(shù)學(xué)的主人。對(duì)于究竟應(yīng)如何滲透, 我認(rèn)為沒(méi)有固定的方法可言,但是我們可以做到積極的挖掘與引導(dǎo),適當(dāng)?shù)挠?xùn)練 與概括,合理的設(shè)計(jì)與運(yùn)用,只要這樣長(zhǎng)期堅(jiān)持下去,一定能夠使學(xué)生較好的掌 握數(shù)學(xué)思想方法,提高解題能力。另外, 由于使用了數(shù)形結(jié)合的方法, 很多問(wèn)題便迎刃而解, 且解法簡(jiǎn)捷。 所 謂數(shù)形結(jié)合,就是根據(jù)數(shù)與形之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系,通過(guò)數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來(lái)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的思想,實(shí)現(xiàn)數(shù)形結(jié)合,常與以下內(nèi)容有關(guān):(1 、 實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)的 對(duì)應(yīng)關(guān)系; (2 、 函數(shù)與圖象的對(duì)應(yīng)關(guān)系; (3 、 幾何圖形的求解; (4 、 以幾 何元素和幾何條件為背景建立起來(lái)的實(shí)際問(wèn)題; (5 、 所給的

3、等式或代數(shù)式的結(jié) 構(gòu)含有明顯的幾何意義等等。巧妙運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法解決一些抽象的數(shù)學(xué) 問(wèn)題, 可起到事半功倍的效果, 數(shù)形結(jié)合的重點(diǎn)是研究 “ 以形助數(shù) ” 。 數(shù)形結(jié)合的 思想方法應(yīng)用廣泛,運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想,不僅直觀易發(fā)現(xiàn)解題途徑,而且能避免 復(fù)雜的計(jì)算與推理,大大簡(jiǎn)化了解題過(guò)程。這在解選擇題、填空題中更顯其優(yōu)越, 要注意培養(yǎng)這種思想意識(shí),要爭(zhēng)取胸中有圖見(jiàn)數(shù)想圖,以開(kāi)拓自己的思維視野。 數(shù)形結(jié)合能培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的空間觀念和數(shù)感 , 進(jìn)行形象思維與抽象思維的 交叉運(yùn)用 , 使多種思維互相促進(jìn) , 和諧發(fā)展的主要形式,數(shù)形結(jié)合教學(xué)又有助 于培養(yǎng)學(xué)生靈活運(yùn)用知識(shí)的能力。新的課程改革中的數(shù)學(xué)課程

4、,其基本出發(fā)點(diǎn)是促進(jìn)學(xué)生全面、和諧、持 續(xù)的發(fā)展,它要求學(xué)生通過(guò)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)、技 能和方法,逐漸形成自己的數(shù) 學(xué)思想和方法,讓學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光看待生活中的人和事物,學(xué)會(huì)用數(shù) 學(xué)的方法解決生活中的實(shí)際問(wèn)題。那么,作為最基本的數(shù)學(xué)思想之一的數(shù)形 結(jié)合思想,在教學(xué)過(guò)程中是怎樣把數(shù)形結(jié)合的思想滲透到教學(xué)中呢?一、激發(fā)學(xué)生用數(shù)形結(jié)合的思想去解題的興趣教師要善于激發(fā)學(xué)生的 “ 數(shù)形結(jié)合 ” 興趣,熏陶學(xué)生的 “ 數(shù)形結(jié)合 ” 意識(shí)。 “ 興趣是 最好的老師 ” , 學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)尤其如此。怎樣使一個(gè)初中一年級(jí)的學(xué)生帶著濃厚的興趣 步入 “ 數(shù)形結(jié)合 ” 的圈子呢?首先, 展現(xiàn)數(shù)學(xué)美本身所蘊(yùn)涵的數(shù)形美感。 比

5、如, 不妨 考慮用新學(xué)期的第一節(jié)課,重點(diǎn)地去向?qū)W生介紹一下數(shù)學(xué)史方面的知識(shí)。如勾股 定理、黃金分割等,相信這樣的啟蒙課對(duì)于渴望求知的初中生而言是很必要的, 其實(shí)在今后的課堂中,我們也可以適當(dāng)?shù)卮┎逡恍╊?lèi)似的內(nèi)容,讓學(xué)生經(jīng)常領(lǐng)悟 到數(shù)與形結(jié)合的客觀美感, 激發(fā)其學(xué)習(xí)興趣。 其次, 重視 “ 數(shù)形結(jié)合 ” 基礎(chǔ)階段的引 導(dǎo)。 其實(shí)有關(guān)數(shù)形結(jié)合思想的內(nèi)容幾乎貫徹于初中數(shù)學(xué)的始終, 但我個(gè)人認(rèn)為, “ 數(shù) 軸 ” 的學(xué)習(xí)對(duì)于處于 “ 數(shù)形結(jié)合 ” 萌芽時(shí)期的初中生而言是決定性的。因?yàn)樗诔踔?生的數(shù)形結(jié)合能力培養(yǎng)過(guò)程中起到一個(gè)根基性的作用。 一方面,它可以與有理數(shù)、 無(wú)理數(shù)的學(xué)習(xí)聯(lián)系起來(lái),讓初中生開(kāi)始

6、感受什么是數(shù)形結(jié)合;另一方面,它通過(guò) 方程、不等式的應(yīng)用讓學(xué)生真正體驗(yàn)到數(shù)形結(jié)合的思想氣息,而恰恰是這種體驗(yàn) 令學(xué)生見(jiàn)證了數(shù)與形的和諧統(tǒng)一,并在潛移默化中最終形成運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想 意識(shí)。二、重視數(shù)學(xué)概念的幾何意義的教學(xué)數(shù)學(xué)中的很多概念都有一定的幾何意義 , 要培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想 , 就 要善于挖掘數(shù)學(xué)概念的幾何意義。剛進(jìn)入初中的學(xué)生在學(xué)習(xí)絕對(duì)值的概念時(shí) ,教材對(duì)絕對(duì)值的幾何意義作了如下描述 :“一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值是指在數(shù)軸上表 示這個(gè)數(shù)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離”。如果教師此時(shí)能有意識(shí)地重視講清 :“ x 在數(shù)軸 上表示數(shù) x 所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離 , 而 x a -表示數(shù) x 與 a 對(duì)應(yīng)的兩點(diǎn)間

7、距離” 。例 1:對(duì)于絕對(duì)值不等式:1346x +,便可以用圖(1解如下:。 不等式 1346x +與不等式 14233x +為同解不等式, 43x +的幾何意義便知式子 14233x +中的 x 在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到點(diǎn) 43-的 距離應(yīng)大于 1而不大于 2。 (如圖中畫(huà)有陰影線(xiàn)的部分 3- -3 -2 3- 3- -1 0 3 1 圖通過(guò)認(rèn)真講述數(shù)學(xué)概念的幾何意義 , 溝通數(shù)與形的本質(zhì)聯(lián)系 , 不僅可以深化對(duì) 數(shù)學(xué)概念的理解 , 而且還為提高學(xué)生解決問(wèn)題的能力開(kāi)辟了新途徑。 所以從低年級(jí) 起就要重視數(shù)學(xué)概念的幾何意義的教學(xué),知難而進(jìn),培養(yǎng)興趣,持之以恒,將會(huì) 有極大的收益。三、重視數(shù)學(xué)的的基本

8、圖象在代數(shù)、三角上的應(yīng)用例 2:ax 2+bx+c=0(a 0 是一元二次方程。它的解可以理解為函數(shù) y= ax 2+bx+c的圖象與常值函數(shù) y=0,即 x 軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。那么當(dāng)公共點(diǎn)有兩個(gè)時(shí) , 對(duì)應(yīng)的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解; 當(dāng)公共點(diǎn)只有一個(gè)時(shí) , 對(duì)應(yīng)的一元二次方程 有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)解;當(dāng)沒(méi)有公共點(diǎn)時(shí) , 對(duì)應(yīng)的一元二次方程沒(méi)有實(shí)數(shù)解。 例 1: x 2-x-6=0, x 1=-2, x 2=3, y=x2-x-6與 x 軸的公共點(diǎn) A(-2,0,B(3,0。 x 2-2x+1=0, x 1=x2=1, y= x2-2x+1與 x 軸的公共點(diǎn) A(1,0。 x 2+1=0

9、,沒(méi)有實(shí)數(shù)解, y= x2+1與 x 軸沒(méi)有公共點(diǎn)。 圖 圖 圖例 3:如圖 ,A 、 B 兩地之間有一座山 , 汽車(chē)原來(lái)從 A 地到 B 地須經(jīng) C 地沿折線(xiàn) A C B 行駛 , 現(xiàn)開(kāi)通隧道后 , 汽車(chē)直接沿直線(xiàn) AB 行駛 . 已知 AC=10km, A=30, B=45, 則隧道開(kāi)通后 , 汽車(chē)從A 地到 B 地比原來(lái)少走多少千米 ?(結(jié)果精 確 到 0.1km(參 考 數(shù) 據(jù) :41. 12, 73. 13解析 過(guò)點(diǎn) C 作 CD AB, 垂足為 D.B C 45例 3圖在 Rt CAD 中 , 可求 CD=5,AD=5.在 Rt CBD 中 , 可求 BC=25. AB=355+.

10、 AC+BC-AB=5255-+4. 3.所以 , 隧道開(kāi)通后 , 汽車(chē)從 A 地到 B 地比原來(lái)少走約 3.4千米 .在初中階段, 數(shù)形結(jié)合是一種重要的數(shù)學(xué)思想, 它要求學(xué)生把抽象的數(shù)或式與 直觀的 “ 形 ” (幾何圖形結(jié)合起來(lái),達(dá)到使問(wèn)題容易理解,思路易于把握的效果, 華羅庚所說(shuō)的 “ 數(shù)缺形時(shí)少直觀, 形缺數(shù)時(shí)難入微 ” , 正說(shuō)明了數(shù)形結(jié)合思想的重要 性。 我認(rèn)為,由于數(shù)學(xué)知識(shí)越學(xué)越多,若沒(méi)良好的學(xué)習(xí)方法,學(xué)得時(shí)候是囫圇吞 棗,前一個(gè)知識(shí)還沒(méi)弄懂、消化,后一個(gè)知識(shí)又開(kāi)始學(xué)了 , 久而久之 , 周而復(fù)始, 不懂的知識(shí)越積越多 , 學(xué)生顯然感到越學(xué)越差 , 越學(xué)越?jīng)]勁,就會(huì)喪失學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的

11、 信念,這樣興趣從何而來(lái)?更多的學(xué)生是不會(huì)總結(jié)積累數(shù)學(xué)的思想、方法,學(xué)了 后面忘了前面,學(xué)到最后,腦子里是一盆漿糊,一團(tuán)亂麻。因此作為老師就要教 他們梳理所學(xué)數(shù)學(xué)的知識(shí)和數(shù)學(xué)的思想、方法。特別要將教材中隱藏的思想方法 挖掘出來(lái),并且要把分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的方式、方法教給學(xué)生,同時(shí)要讓他們 得到一定的訓(xùn)練,達(dá)到久久難以忘懷的程度,從而使學(xué)生感受到其中的樂(lè)趣。那 么我現(xiàn)在所探討的數(shù)形結(jié)合的思想方法就是教材中隱藏的數(shù)學(xué)的思想方法之一,它的特點(diǎn):是直觀形象、簡(jiǎn)捷明快、不易錯(cuò)。它也是中、高考重點(diǎn)考核的思想方 法之一。很多數(shù)學(xué)問(wèn)題用此方法來(lái)解,可以達(dá)到化難為易、化險(xiǎn)為夷的目的。同 時(shí),也是實(shí)實(shí)在在對(duì)學(xué)生進(jìn)

12、行素質(zhì)教育的一種方式。四.要善于利用數(shù)形結(jié)合培養(yǎng)學(xué)生的觀察力數(shù)形要結(jié)合, 關(guān)鍵在于能根據(jù)函數(shù)式 (或方程 畫(huà)出圖形和根據(jù)代數(shù)式分析其表 示的幾何意義。數(shù)學(xué)上的有很多公式、定理都具有一定的幾何意義 , 教學(xué)中引導(dǎo)學(xué) 生深刻分析這些公式、定理與幾何圖形的內(nèi)在的本質(zhì)地聯(lián)系,從而尋求解決問(wèn)題 的有效方法。例 4、在某一個(gè)圓上,我們考察同一個(gè)弧所對(duì)的圓心角和圓周角的關(guān)系。 教師可以在黑板上畫(huà)圖,引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行觀察:1、當(dāng)圓周角的一邊與圓心角的一邊共線(xiàn)(或圓心在圓周角的一邊上時(shí),我 們可以很快發(fā)現(xiàn)“圓周角是圓心角的一半” (見(jiàn)圖 1-1 ;2、當(dāng)圓心在圓周角內(nèi)時(shí),我們只要做一條輔助線(xiàn)(連接圓形和圓周角的頂點(diǎn)

13、 的直徑 ,再利用前面的結(jié)果又可發(fā)現(xiàn)“圓周角是圓心角的一半” (見(jiàn)圖 1-2 ; 3、當(dāng)圓心在圓周角外時(shí),做同樣的輔助線(xiàn)可以利用前面的結(jié)果得到“圓周角 是圓心角的一半” (見(jiàn)圖 1-3 . 圖 1-1 圖 1-2 圖 1-3我們從以上三個(gè)個(gè)別情形可以推得一般結(jié)論:“在任何情形下,同弧所對(duì)的圓 周角是圓心角的一半” .五、滲透方程思想,培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力。方程思想指借助解方程來(lái)求出未知量的一種解題策略。運(yùn)用方程思想求解的 題目在中考試題中隨處可見(jiàn)。同時(shí),方程思想也是我們求解有關(guān)圖形中的線(xiàn)段、 角的大小的重要方法。如例 5:已知線(xiàn)段 AC :AB :BC=3:5:7,且 AC+AB=16cm,求

14、線(xiàn)段 BC 的 長(zhǎng)。解:設(shè) AC=3x,則 AB=5x, BC=7x,因?yàn)?AC+AB=16cm,所以 3x+5x=16cm,解得 x=2因此 BC=7x=14cm我們知道方程是刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)世界的一個(gè)有效的數(shù)學(xué)模型。所以方程思想實(shí)際上 就是由實(shí)際問(wèn)題抽象為方程過(guò)程的數(shù)學(xué)建模思想。我們?cè)谝郧袄辖滩闹薪?jīng)常會(huì)提到三種模型,即方程模型、不等式模型、函數(shù)模型。實(shí)際上就是今天所說(shuō)的建模 的思想。那么這樣看來(lái),方程就是第一個(gè)出現(xiàn)的數(shù)學(xué)基本模型。所以方程思想的 領(lǐng)會(huì)與否直接關(guān)系到數(shù)學(xué)建模能力的大小。因此說(shuō)我們對(duì)學(xué)生進(jìn)行方程思想的滲 透,就是對(duì)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)建模能力的培養(yǎng),這對(duì)我們學(xué)生以后的學(xué)習(xí)都有著深遠(yuǎn) 的影響。我們?cè)谑谡n中可以引導(dǎo)學(xué)生借助圖表、示意圖、線(xiàn)段圖來(lái)分析題意,尋找已 知量和未知量的關(guān)系。而它們之間的那個(gè)相等關(guān)系實(shí)際上就是方程模型,只要能 把各個(gè)量帶入方程模型,問(wèn)題就能得到解決了;另外我認(rèn)為,方程的思想方法作 為一種建模能力,應(yīng)該體現(xiàn)在學(xué)生能自覺(jué)的去運(yùn)用這種方法、手段(模型 ,這就 要求我們能引導(dǎo)學(xué)生從身邊的實(shí)際問(wèn)題出發(fā)自行創(chuàng)設(shè)、研究、運(yùn)用方程。其實(shí)教 材中也給了我們這方面的材料,比如教材一元一次方程章首的天平稱(chēng)鹽活動(dòng)、 數(shù)學(xué)實(shí)際室月歷上的游戲等,都