周期信號的傅立葉級數(shù)展開

1、信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng) 信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)周期信號周期信號: 定義在區(qū)間定義在區(qū)間 ，每隔一定時間，每隔一定時間 T ，按相同規(guī)律重，按相同規(guī)律重復(fù)變化的信號，如圖所示復(fù)變化的信號，如圖所示 。它可表示為。它可表示為 f (t)=f ( t+mT )(,) 其中其中 m 為正整數(shù)，為正整數(shù)， T 稱為信號的稱為信號的周期周期，周期的倒數(shù)稱為，周期的倒數(shù)稱為頻率頻率。信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)周期信號的周期信號的特點：特點：（1）它是一個無窮無盡變化的信號，從理論上也是無始無終的，時間）它是一個無窮無盡變化的信號，從理論上也是無始無終的，時間范圍為范圍為 (,) 0( )()nf tf tnT0( )

2、( )( )a Tb TTabf t dtf t dtf t dt0( )f t( )f t（2）如果將周期信號第一個周期內(nèi)的函數(shù)寫成）如果將周期信號第一個周期內(nèi)的函數(shù)寫成 ，則周期信號，則周期信號 可以寫成可以寫成（3）周期信號在任意一個周期內(nèi)的積分保持不變，即有）周期信號在任意一個周期內(nèi)的積分保持不變，即有信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)正交性正交性:（m 和和 n 都是整數(shù)）都是整數(shù)） 三角函數(shù)集三角函數(shù)集在區(qū)間在區(qū)間 內(nèi)是一內(nèi)是一完備正交函數(shù)集完備正交函數(shù)集。 ,sin , ,2sin ,sin , ,cos , ,2cos ,cos , 1000000tntttntt( ,)ttT00 T 20

3、0 0 2 0dcoscos0000nmTnmTnmttntmTttsinsinmtnt tmnTmnttT0000020d sincosmtnt tttT00000d信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)正交性正交性:（m 和和 n 都是整數(shù)）都是整數(shù)） 指數(shù)函數(shù)集指數(shù)函數(shù)集在區(qū)間在區(qū)間 內(nèi)也是一完備正交函數(shù)集。內(nèi)也是一完備正交函數(shù)集。( ,)ttT00 T 20 , 2 , 1 , 0(e0jntnnmTnmttTtttmnTtttmtn= 0dedee0000000)( jjj 信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)式中各正、余弦函數(shù)的系數(shù)式中各正、余弦函數(shù)的系數(shù) 稱為稱為傅立葉系數(shù)傅立葉系數(shù)。周期信號周期信號 ，周期為，

4、周期為 ，角頻率，角頻率f t ( )T0022fT1000020102010sincos 2sinsin2coscos)(nnntnbtnaatbtbtataatfnnba ,1. 1. 該信號可以展開為下式該信號可以展開為下式三角形式的傅立葉級數(shù)三角形式的傅立葉級數(shù)。 信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)根據(jù)正交函數(shù)展開理論，容易得到根據(jù)正交函數(shù)展開理論，容易得到 傅立葉系數(shù)公式如下傅立葉系數(shù)公式如下式中積分可以取任意一個周期，一般情況下，取式中積分可以取任意一個周期，一般情況下，取, 2 , 1dsin)(2, 2 , 1dcos)(2d)(1000000000nttntfTbnttntfTattfTa

5、TttnTttnTtt( ,)0 T(,)TT22 或或 信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)三角形式的傅立葉級數(shù)三角形式的傅立葉級數(shù)還可以寫成下面形式還可以寫成下面形式兩種形式之間系數(shù)有如下兩種形式之間系數(shù)有如下關(guān)系關(guān)系:或或100cos)(nnntnAAtf0022n 1, 2, arctgnnnnnAaAabnba aAaAnbAnnn001 2 cos,sinnnn 0001( )cossinnnnf taantbnt 信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)其中其中直流分量：直流分量： 0A基波：基波：101cos()At二次諧波：二次諧波：202cos(2)At 依次類推，還有三次諧波、四次諧波、高次諧波等概念。依次

6、類推，還有三次諧波、四次諧波、高次諧波等概念。 周期信號的傅立葉級數(shù)展開說明周期信號可以分解為周期信號的傅立葉級數(shù)展開說明周期信號可以分解為直流分量直流分量、基基 波分量波分量以及以及各次諧波分量各次諧波分量之和。之和。根據(jù)前面的根據(jù)前面的傅立葉系數(shù)公式傅立葉系數(shù)公式知道：知道： 是是 n 的的偶偶函數(shù)，函數(shù)， 是是 n 的的奇奇函數(shù)。函數(shù)。 是是 n 的的偶偶函數(shù)，函數(shù)， 是是 n 的的奇奇函數(shù)。函數(shù)。nanbnAn 信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)例：例：將圖示的對稱方波信號展成三角形式傅立葉級數(shù)將圖示的對稱方波信號展成三角形式傅立葉級數(shù)解：解：直接代入公式有直接代入公式有0d)(100TttfTa

7、信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)直接代入公式有直接代入公式有0)(sin12)sin(12 dcos) 1 (2dcos) 1(2dcos)(220000200200020220TTTTTTntnnTtnnTttnTttnTttntfTa, 5 , 3 , 1= 4 , 6 , 4 , 2= 0)cos1 (2 )cos(12cos12dsin)(220000200220nnnnntnnTtnnTttntfTbTTTTn 信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)所以有所以有f ttttnnt( )sinsinsinsin413315510000, 5 , 3 , 1= 4 , 6 , 4 , 2= 0nnnbn0na 信號與

8、系統(tǒng)信號與系統(tǒng)式中式中 稱為稱為傅立葉系數(shù)傅立葉系數(shù)，是復(fù)數(shù)。，是復(fù)數(shù)。周期信號周期信號 ，周期為，周期為 ，角頻率，角頻率f t ( )T0022fTnFf tFnntn( ) ej0該信號可以展開為下式該信號可以展開為下式復(fù)指數(shù)形式的傅立葉級數(shù)復(fù)指數(shù)形式的傅立葉級數(shù)。 2,1, 0,= ,e )(122j -0ndttfTFTTtnn其中其中 信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng) 分量的頻率是分量的頻率是 ，而分量，而分量 的頻率是的頻率是 。除了直流分量除了直流分量 ，單獨一個，單獨一個 不能構(gòu)成物理上一個諧波分量，不能構(gòu)成物理上一個諧波分量，必須是對稱的兩個分量必須是對稱的兩個分量 和和 才構(gòu)成物理上

9、的一個諧波分才構(gòu)成物理上的一個諧波分量。量。在三角形式的傅立葉級數(shù)中，系數(shù)在三角形式的傅立葉級數(shù)中，系數(shù) 中的中的下標變量取值下標變量取值范圍范圍為為 ，在復(fù)指數(shù)形式的傅立葉級數(shù)中，系數(shù)在復(fù)指數(shù)形式的傅立葉級數(shù)中，系數(shù) 中的中的下標變量取值下標變量取值范圍是范圍是nFnnba ,0n(,) tnnF0je0ntnnF0-je0n0FtnnF0jetnnF0jetnnF0-je 信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)兩種形式傅立葉級數(shù)中兩種形式傅立葉級數(shù)中系數(shù)的關(guān)系系數(shù)的關(guān)系:001(j)1,2,3,21(j)1,2,3,2nnnnnnFaFabnFabn 信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)例：例： 將圖示周期矩形脈沖信號展成

10、指數(shù)形式傅立葉級數(shù)將圖示周期矩形脈沖信號展成指數(shù)形式傅立葉級數(shù)解：解： 直接代入公式有直接代入公式有 2Sa=22sinde1de )(100022j -22j -00nTAnnTAtATttfTFtnTTtnn e )2Sa(e)(00j-=0jtnnntnnnTAFtf所以所以 信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)1.1.周期信號的頻譜周期信號的頻譜為了能既方便又明白地表示一個信號中包含有哪些頻率分量，各為了能既方便又明白地表示一個信號中包含有哪些頻率分量，各分量所占的比重怎樣，就采用了稱為分量所占的比重怎樣，就采用了稱為頻譜圖頻譜圖的表示方法。的表示方法。在傅立葉分析中，把各個分量的幅度在傅立葉分析中，

11、把各個分量的幅度 或或 隨頻率或角頻率隨頻率或角頻率 的變化稱為信號的的變化稱為信號的幅度譜幅度譜。FnAn0n而把各個分量的相位而把各個分量的相位 或或 隨頻率或角頻率隨頻率或角頻率 的變化的變化稱為信號的稱為信號的相位譜相位譜。0nnn幅度譜和相位譜通稱為信號的幅度譜和相位譜通稱為信號的頻譜頻譜。三角形式的傅立葉級數(shù)頻率為非負的，對應(yīng)的頻譜一般稱為三角形式的傅立葉級數(shù)頻率為非負的，對應(yīng)的頻譜一般稱為單邊譜單邊譜，指數(shù)形式的傅立葉級數(shù)頻率為整個實軸，所以稱為指數(shù)形式的傅立葉級數(shù)頻率為整個實軸，所以稱為雙邊譜雙邊譜。信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)例例ttttFFFFFtAtAAtf0000j22j2-2

12、j1j -102021010eeee= )2cos()cos()(00AF FA1121ejFA1121e-jFA2222ej2j -22e2AF 信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)周期矩形脈沖信號的傅立葉系數(shù)為周期矩形脈沖信號的傅立葉系數(shù)為 頻譜圖：頻譜圖：2Sa0nTAFn若把相位為零的分量的幅度看作正值，若把相位為零的分量的幅度看作正值，把相位為把相位為的分量的幅度看作負值，那的分量的幅度看作負值，那么幅度譜和相位譜可合二為一。么幅度譜和相位譜可合二為一。幅度譜幅度譜相位譜相位譜 信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)各條譜線頂點的聯(lián)線稱為各條譜線頂點的聯(lián)線稱為譜線包絡(luò)線譜線包絡(luò)線。如。如果把按抽樣函數(shù)規(guī)律變化的頻譜包

13、絡(luò)線看果把按抽樣函數(shù)規(guī)律變化的頻譜包絡(luò)線看成一個個起伏的山峰和山谷，其中最高峰成一個個起伏的山峰和山谷，其中最高峰稱為主峰。稱為主峰。 包含信號主要頻譜分量的包含信號主要頻譜分量的 這段頻率范圍稱為矩形脈沖這段頻率范圍稱為矩形脈沖信號的有效信號的有效頻帶寬度頻帶寬度或或帶寬帶寬，即矩形脈沖的頻帶寬度為，即矩形脈沖的頻帶寬度為主峰高度主峰高度 包絡(luò)主峰兩側(cè)第一個零點為包絡(luò)主峰兩側(cè)第一個零點為FAT02202B或或1fB 信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)(3) 收斂性收斂性譜線幅度隨譜線幅度隨 而衰減到零。各頻譜的高度而衰減到零。各頻譜的高度隨著諧波次數(shù)增高而逐漸減小，當諧波次數(shù)無限增高時，譜隨著諧波次數(shù)增高

14、而逐漸減小，當諧波次數(shù)無限增高時，譜線的高度也無限減小線的高度也無限減小n 周期信號頻譜的周期信號頻譜的特點特點：(1)離散性離散性譜線是離散的而不是連續(xù)的，因此稱為譜線是離散的而不是連續(xù)的，因此稱為離散頻譜離散頻譜；(2) 諧波性諧波性譜線所在頻率軸上的位置是基本頻率的整數(shù)倍；譜線所在頻率軸上的位置是基本頻率的整數(shù)倍； 信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)典型周期信號的頻譜典型周期信號的頻譜T：脈沖周期：脈沖寬度A：脈沖幅度12T：三角函數(shù)公共周期第一步：首先展開為三角形式的傅立葉級數(shù)第一步：首先展開為三角形式的傅立葉級數(shù)f(t)是偶函數(shù)是偶函數(shù)bn=0222222)(20TAAdtTdttfTTTa 信號

15、與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)212sin2222( )cossin()TTnnAnAAnTf tn tdtSanTnTTTTTa第二步：展成指數(shù)形式傅立葉級數(shù)第二步：展成指數(shù)形式傅立葉級數(shù)112( )() cos()nAAnftSantTTT)cos()2(2111tnnSaTATAn11221()2jntnnAAdtSaTTeF 11( )()2jntnnAf tSaTe 12:T公公共共周周期期sin()()tf tS tt信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)當當 時時第三步：頻譜分析第三步：頻譜分析22122()()2nAAnSaSannnnTTTAaba nA與與之比值有關(guān)，取之比值有關(guān)，取 T1()()2nnA

16、AnSaSaTTTF51TnF與與包絡(luò)線均為包絡(luò)線均為)2(1 nSa1 n為離散頻率為離散頻率n,.2,20)2(Sa即即n2,.4,20)2(SanA信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)計算第一個振幅為零的諧波次數(shù)計算第一個振幅為零的諧波次數(shù)n1 TA22412 13 14 15 An幅度頻譜圖幅度頻譜圖2431tttSasin)(抽樣函數(shù)抽樣函數(shù)234112222155nnTTTnT 令令 將將 代入得代入得即即 （取（取 ） 信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)n1()02nSa1()02nSa0Fn0Fn0即即即即000tan1nnnnnaaab）（信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)第四步：討論頻譜結(jié)構(gòu)與第四步：討論頻譜結(jié)構(gòu)與

17、、T 的關(guān)系的關(guān)系1.當當 不變不變，T增大增大，譜線間隔，譜線間隔 減小，譜線逐漸密集，幅度減小，譜線逐漸密集，幅度 減減 小小 T01 0TAT 21 TA當當非周期信號非周期信號連續(xù)頻率連續(xù)頻率1 n非周期信號連續(xù)頻譜非周期信號連續(xù)頻譜2.當當T不變不變， 減小減小時時TAT不變不變間隔不變間隔不變振幅為振幅為0的諧波頻率的諧波頻率,.,42T 21 信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)隨著隨著T的增大，各條譜線的增大，各條譜線高度減小、譜線變密。高度減小、譜線變密。當當T時，則各條譜線時，則各條譜線高度高度0 ，各譜線間隔也，各譜線間隔也0 ，這時周期信號已轉(zhuǎn)，這時周期信號已轉(zhuǎn)化為非周期信號，離散化為

18、非周期信號，離散譜線變?yōu)檫B續(xù)譜線期信譜線變?yōu)檫B續(xù)譜線期信號的頻譜號的頻譜信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)FAnnSa()當當增大到增大到=T時，則時，則信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)周期信號的平均功率為周期信號的平均功率為2221( ) dTTPf ttT根據(jù)傅立葉級數(shù)展開有根據(jù)傅立葉級數(shù)展開有0022j2222-j2211( )d( )e1( )eTTntnnTTTntnnnnnnnTfttf tFdtTTFPFf tdtF FT即即22221( ) dTnnTPf ttFT稱為周期信號的稱為周期信號的帕塞瓦爾帕塞瓦爾(Parseval)定理定理。表明周期信號的平。表明周期信號的平均功率等于各個復(fù)指數(shù)信號分量的平

19、均功率之和，即均功率等于各個復(fù)指數(shù)信號分量的平均功率之和，即總平均功總平均功率是各個分量平均功率之和率是各個分量平均功率之和 2. 周期信號的平均功率和功率譜周期信號的平均功率和功率譜 信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)帕塞瓦爾公式帕塞瓦爾公式還可以寫成還可以寫成1220221nnnnAAFP各平均功率分量各平均功率分量 與頻率的關(guān)系，稱為周期信號的與頻率的關(guān)系，稱為周期信號的功率頻譜功率頻譜，簡稱簡稱功率譜功率譜。Fn2周期信號的功率譜也是離散譜。周期信號的功率譜也是離散譜。周期信號在時域中的平均功率等于頻域中的直流分量和各次諧波周期信號在時域中的平均功率等于頻域中的直流分量和各次諧波分量的平均功率之和。

20、分量的平均功率之和。 信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)例：例：試求圖示周期矩形脈沖在有效頻帶寬度試求圖示周期矩形脈沖在有效頻帶寬度 內(nèi)諧波分量所具內(nèi)諧波分量所具有的平均功率占整個信號平均功率的百分比，其中已知有的平均功率占整個信號平均功率的百分比，其中已知 A=1, T=0.25s, =0.05s。20 信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)解：解：根據(jù)前面傅立葉級數(shù)展開，圖示周期矩形脈沖的傅立葉系數(shù)為根據(jù)前面傅立葉級數(shù)展開，圖示周期矩形脈沖的傅立葉系數(shù)為2Sa0nTAFn40Sa510nFn信號總平均功率為信號總平均功率為40140122222222000. 0d14d)(1d)(1tttfTttfTPTT將將A1，T0

21、.25s， =0.05s，0 =2 /T=8 代入得代入得 信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)在有限帶寬在有限帶寬 內(nèi)有直流分量、基本分量和四個諧波分量。內(nèi)有直流分量、基本分量和四個諧波分量。有限帶寬內(nèi)信號各個分量的平均功率之和為有限帶寬內(nèi)信號各個分量的平均功率之和為2042201222222212234( )Sa ()Sa ()Sa ()Sa ()0.1806555555nnPFF0.18060.90490.4%0.2000PP 信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)當周期信號具有某種對稱性時，在傅立葉級數(shù)展開過程中，傅立葉系數(shù)當周期信號具有某種對稱性時，在傅立葉級數(shù)展開過程中，傅立葉系數(shù)的計算大為簡化。的計算大為簡化。（

22、1）偶對稱偶對稱20020002( )4( )cos(),1,2,3,nTTnbaf t dtTaf ttndt nT三、周期信號的對稱性與傅立葉系數(shù)三、周期信號的對稱性與傅立葉系數(shù) ( )()f tft信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)（2）奇對稱奇對稱)()(tftf2000,0,1,2,4( )sin(),1,2,3,nTnanbf tnt dtnT三、周期信號的對稱性與傅立葉系數(shù)三、周期信號的對稱性與傅立葉系數(shù) 信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)（3）偶半波對稱偶半波對稱f tf tT( )()220020020002( )4( )cos()4( )sin()nnTTnTnabaf t dtTaf tnt dtT

23、bf tnt dtT偶半對稱信號的第二個半周波形與偶半對稱信號的第二個半周波形與第一個半周波形相同，其基波頻率第一個半周波形相同，其基波頻率為為20，進行傅立葉級數(shù)展開時只含，進行傅立葉級數(shù)展開時只含有偶次諧波項，所以偶半波對稱信有偶次諧波項，所以偶半波對稱信號有時稱為號有時稱為偶諧信號偶諧信號。 三、周期信號的對稱性與傅立葉系數(shù)三、周期信號的對稱性與傅立葉系數(shù) n為偶數(shù)時為偶數(shù)時n為奇數(shù)時為奇數(shù)時n為偶數(shù)時為偶數(shù)時信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)（4）奇半波對稱奇半波對稱f tf tT( )() 2020020004( )cos()4( )sin()nnTnTnaabaf tnt dtTbf tnt d

24、tT三、周期信號的對稱性與傅立葉系數(shù)三、周期信號的對稱性與傅立葉系數(shù) n為偶數(shù)時為偶數(shù)時n為奇數(shù)時為奇數(shù)時n為奇數(shù)時為奇數(shù)時奇半對稱信號的第二個半奇半對稱信號的第二個半周波形為第一個半周波的周波形為第一個半周波的負值。進行傅立葉級數(shù)展負值。進行傅立葉級數(shù)展開時只含有奇次諧波項，開時只含有奇次諧波項，所以奇半波對稱信號有時所以奇半波對稱信號有時稱為稱為奇諧信號奇諧信號。 信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)2100sin)(40TttnntdtntfTba，( )f t( )()f tft( )()2Tf tf t( )()2Tf tf t( )()f tft 2100cos)(40TttnntdtntfTab

25、，三、周期信號的對稱性與傅立葉系數(shù)三、周期信號的對稱性與傅立葉系數(shù) 的對稱條件的對稱條件展開式中的的系數(shù)特點展開式中的的系數(shù)特點縱軸對稱（偶函數(shù)）縱軸對稱（偶函數(shù)）原點對稱（奇函數(shù)）原點對稱（奇函數(shù)）半周重疊（偶諧函數(shù)）半周重疊（偶諧函數(shù)）半周鏡像（奇諧函數(shù)）半周鏡像（奇諧函數(shù)）無偶次諧波，只有奇次諧波無偶次諧波，只有奇次諧波無奇次諧波，只有直流偶次諧波無奇次諧波，只有直流偶次諧波信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)( )f t 202202ETttTETttT 0nb 02200222222( )TTTTEEaf t dttdttdtETTTT)(tftTT2T2TE解解:例：例：有一偶函數(shù)，其波形如圖所示

26、，求其傅有一偶函數(shù)，其波形如圖所示，求其傅立葉展開式并畫出其頻譜圖。立葉展開式并畫出其頻譜圖。f(t) 在一個周期內(nèi)可寫為如下形式在一個周期內(nèi)可寫為如下形式f(t) 是偶函數(shù)，故是偶函數(shù)，故三、周期信號的對稱性與傅立葉系數(shù)三、周期信號的對稱性與傅立葉系數(shù) 信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng))()(1122nnE)()()(為偶數(shù)為奇數(shù)nnnE042221,3,5412( )cos2nEEnf ttnTE24E294E2254E0111315nAsin1sin8)2(cos241201201121120tdtntnntTETtdtntTETaTTTn三、周期信號的對稱性與傅立葉系數(shù)三、周期信號的對稱性與傅立葉

27、系數(shù) 信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)2( )22TTf tttT 0na )(tft1T解解:例：例：有一奇函數(shù)，其波形如圖所示，求其傅有一奇函數(shù)，其波形如圖所示，求其傅立葉展開式并畫出其頻譜圖。立葉展開式并畫出其頻譜圖。f(t) 在一個周期內(nèi)可寫為如下形式在一個周期內(nèi)可寫為如下形式f(t) 是奇函數(shù)，故是奇函數(shù)，故三、周期信號的對稱性與傅立葉系數(shù)三、周期信號的對稱性與傅立葉系數(shù) 信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)tTnntfnn211211sin)()(20111314nA13221121201211121201120) 1(2)sin)(1cos(8sin24)2(sin)(4nTTTnntnntnntTtdtn

28、tTTTtdtntfTb三、周期信號的對稱性與傅立葉系數(shù)三、周期信號的對稱性與傅立葉系數(shù) 信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)( )f t 42424442442TtTtTTtTtTTtTtTt)(tfT2T4T12T0cos)42(cos4cos)42(2cos)(2124144142221tdtntTtdtntTtdtntTTtdtntfTaTTTTTTTTn解解:例：例：有一奇諧函數(shù)，其波形如圖所示，求其有一奇諧函數(shù)，其波形如圖所示，求其傅立葉展開式并畫出其頻譜圖。傅立葉展開式并畫出其頻譜圖。f(t) 在一個周期內(nèi)可寫為如下形式在一個周期內(nèi)可寫為如下形式三、周期信號的對稱性與傅立葉系數(shù)三、周期信號的對稱

29、性與傅立葉系數(shù) 信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)sin)42(sin44)2(sin)(41241401120tdtntTtdtntTTTtdtntfTbTTTTn為偶數(shù)為奇數(shù)nnnn0) 1(821222sin8cos4)sin)(1cos()sin)(1cos(16222411241211140121112nntnTntnntnnttnntnntTTTTTT三、周期信號的對稱性與傅立葉系數(shù)三、周期信號的對稱性與傅立葉系數(shù) 信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)12221812( )( 1)sin12nnjnf ttjnT, ,28011nA29822581315三、周期信號的對稱性與傅立葉系數(shù)三、周期信號的對稱性與傅立

30、葉系數(shù) 信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)4T2TTtE)(tf00)23sin2(sin)2sin143sin14sin1(2)coscos(21111114321401nnnETnnTnnTnnTEtdtnEtdtnETaTTTn解解:例：例：有一偶諧函數(shù)，其波形如圖所示，求其有一偶諧函數(shù)，其波形如圖所示，求其傅立葉展開式并畫出其頻譜圖。傅立葉展開式并畫出其頻譜圖。三、周期信號的對稱性與傅立葉系數(shù)三、周期信號的對稱性與傅立葉系數(shù) 信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)、 212sin12)(2jtTnnEtfjn)cos1 ()cos23cos12(cos)sinsin(24321401nnEnnnnEtdtnEtdtn

31、ETbTTTn為偶數(shù)為奇數(shù)nnEn20E012nA2E3E1416三、周期信號的對稱性與傅立葉系數(shù)三、周期信號的對稱性與傅立葉系數(shù) 信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)從數(shù)學(xué)上來講，并不是任何周期信號都可以展開成傅立葉級數(shù)的。從數(shù)學(xué)上來講，并不是任何周期信號都可以展開成傅立葉級數(shù)的。以以 T 為周期的周期信號為周期的周期信號 f (t) ，在展成傅立葉級數(shù)時，必須滿足下，在展成傅立葉級數(shù)時，必須滿足下列三個條件：列三個條件：(1) 函數(shù)函數(shù) f (t) 在一個周期內(nèi)必須絕對可積，即在一個周期內(nèi)必須絕對可積，即(2) 在一個周期內(nèi)在一個周期內(nèi) f (t) 只有只有有限有限個個極大值極大值和和極小值極小值。(3) 在一個周期內(nèi)在一個周期內(nèi) f (t) 只有只有有限個不連續(xù)點有限個不連續(xù)點，而且在不連續(xù)點處，而且在不連續(xù)點處， f (