正方體的種折疊法及背會(huì)小竅門小口訣

1、有一無(wú)蓋立方體紙箱，若將其沿棱剪成展幵圖，問有多少種不同形式的展幵圖?解因總面數(shù)是5,不會(huì)出現(xiàn)5個(gè)面全部排成一行（列）的情形(1)當(dāng)一行（列）面數(shù)最多是4時(shí)，有兩種情形（注意對(duì)稱性），如圖）(2)當(dāng)一行（列）面數(shù)最多是3時(shí)，剩下的兩個(gè)面位于這一行（列）的同一側(cè)有兩種不同情形，如圖15-2(3)剩下的兩個(gè)面位于這一行（列）的異側(cè)有三種不同情形，如圖（4）當(dāng)一行（列）的面數(shù)最多是 2時(shí)，僅一種情形，如圖所示 總數(shù)為2+2+3+1=8種，即有8種不同的展幵形式探究正方體的展開圖將一個(gè)正方體的表面沿某些棱剪幵，展成一個(gè)平面，共有哪些不同的圖形呢？ 要搞清這個(gè)問題，最好是動(dòng)手實(shí)踐，比如找一些正方體紙盒，

2、沿著棱按不同方式將其剪開（但不要剪斷，六個(gè)面要通過邊連在一起），展成平面，再觀察、對(duì)比 一下不同形狀的圖形有哪些如果不容易找到足夠的正方體紙盒，還可以找一些不太厚、易折疊的正方體紙 板，利用逆向思維，先猜測(cè)正方體展開圖會(huì)有哪些不同形狀，并將它們畫在紙板上,再將周圍多余部分剪去，然后沿所畫直線直行折疊，看看哪些圖形紙板可以折疊成正方體。這種探究方法雖然有點(diǎn)麻煩，但操作簡(jiǎn)便易行，快速有效。事先可多畫一 些紙板（ 六個(gè)正方形邊與邊對(duì)齊，任意連接成不同的平面圖形 ），經(jīng)過逐個(gè)驗(yàn)證， 記錄下所有可以折疊成正方體的圖形，再將這些圖形分類，總結(jié)并尋找出其中的規(guī) 律。那么，沿棱剪開展開一個(gè)正方體，究竟有哪些不

3、同的形狀呢？如果不考慮由于 旋轉(zhuǎn)或翻折等造成相對(duì)位置的不同，只從本質(zhì)上講，有以下三類共11 種。一、“141 型”（共 6 種）特點(diǎn)：這類展幵圖中，最長(zhǎng)的一行（或一列）有4個(gè)正方形（圖1圖6）。理解：有 4 個(gè)面直線相連，其余 2 個(gè)面分別在“直線”兩旁，位置任意。二、“ 231 型”與“ 33 型”（共 4 種）特點(diǎn) ：這類展開圖中，最長(zhǎng)的一行（或一列）有 3個(gè)正方形（如圖 7圖 10）。理解：在“231 型”中，“3”所在的行 （列） 必須在中間， “ 2”、“ 1 ”所在行（列） 分屬兩邊（前后不分） ，且“ 2”與“ 3”同向， “1”可以放在“ 3”的任意一個(gè)正方 形格旁邊，這種情況

4、共有 3種，而“ 33 型”只有 1 種。三、“222 型”（只有 1 種）特點(diǎn) ：展開圖中，最多只有 2 個(gè)面直線相連（圖 11）。評(píng)注： 將上面 11 個(gè)圖中的任意一個(gè)，旋轉(zhuǎn)一定角度或翻過來(lái)，看上去都與 原圖似有不同，但這只是圖形放置的位置或方式不同。實(shí)際上，它與原圖能夠完全 重合， 不能算作一個(gè)獨(dú)立的新圖， 而從上面 11 個(gè)圖中任取兩個(gè)， 不論怎樣操作 （旋 轉(zhuǎn)、翻折、平移等 ），它們都不可能完全重合，即彼此是獨(dú)立的、不同的圖形。對(duì)于由大小一樣的六個(gè)正方形通過邊對(duì)齊相連組成的平面圖，如果圖中含有“一”字型、“ 7”字型、“田”字型、“凹”字型，就一定不能折成正方體。概括地 說，只要不符

5、合上述“ 141”、“231”和“ 33”、“222”的特點(diǎn)，就不能折成正方體。如圖12,如果將其看作“ 231 ”型，那么，無(wú)論怎么看，“2”和“3”都不是同向,故不能折成正方體。其實(shí)，它屬于“123”（或“ 321”）型。巧記口訣確定正方體表面展開圖6個(gè)相連的正方形組成的平面圖形，經(jīng)折疊能否圍城正方體問題，是近年來(lái)中 考?？碱}型。同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)這一知識(shí)時(shí)常感到無(wú)從下手，現(xiàn)將確定正方體展開圖的方法以口訣的方式總結(jié)出來(lái)，供大家參考:正方體盒巧展開，六個(gè)面兒七刀裁。十四條邊布周圍，十一類圖記分明: 四方成線兩相衛(wèi)，六種圖形巧組合;躍馬失蹄四分開；兩兩錯(cuò)開一階梯。對(duì)面相隔不相連,識(shí)圖巧排“ 7”、“

6、凹”、“田”?，F(xiàn)將口訣的內(nèi)涵解釋如下：將一個(gè)正方體盒的表面沿某些棱剪開，展開成平面 圖形，需剪7刀，故平面展開圖中周圍有 14條邊長(zhǎng)共有十一種展開圖:、四方成線兩相衛(wèi)，六種圖形巧組合(1)(2)(3)(4)(5)(6)，另外兩個(gè)小方塊在四個(gè)方塊的上下兩側(cè)，共六種情況。二、躍馬失蹄四分開(1)(2)(3)(4)以上四種情況可歸結(jié)為五個(gè)小方塊組成“三二相連”的基本圖四個(gè)小方形（如圖），另外一個(gè)小方塊的位置有四種情況，即圖中塊中的任意一個(gè)，這一圖形有點(diǎn)像失蹄的馬，故稱為“躍馬失蹄”。三、兩兩錯(cuò)幵一階梯這一種圖形是兩個(gè)小方塊一組，兩兩錯(cuò)幵，像階梯一樣，故稱“兩兩錯(cuò)幵一階梯”四、對(duì)面相隔不相連這是確定展

7、幵圖的又一種方法，也是確定展幵圖中的對(duì)面的一種方法。如果出現(xiàn)三個(gè)相連，則1號(hào)面與3號(hào)面是對(duì)面，中間隔了一個(gè) 2號(hào)面，并且是對(duì)面的一定不相連。五、識(shí)圖巧排“ 7” “凹”、“田12312345這里介紹的構(gòu)的圖形不可3號(hào)面又與5號(hào)（1）（2）（3）是一種排除法。如果圖中出現(xiàn)象圖（1）中的“ 7”形結(jié) 能是正方體展幵圖的，因?yàn)閳D中1號(hào)面與3號(hào)面是對(duì)面， 面是對(duì)面，出現(xiàn)矛盾。如果圖中出現(xiàn)象圖（2）中的“田”形結(jié)構(gòu)的圖形不可能是正方體展幵圖的,因?yàn)橥豁旤c(diǎn)處不可能出現(xiàn)四個(gè)面的如果圖中出現(xiàn)象圖（3）中的“凹”形結(jié)構(gòu)的圖形不可能是正方體展幵圖的，因 為如果把該圖形折疊起來(lái)將有兩個(gè)面重合。現(xiàn)舉例說明：例1.

8、（2004?？谑袑?shí)驗(yàn)區(qū)）下面的平面圖形中，是正方體的平面展幵圖的是曲解析：本題可用“識(shí)圖巧排 7田凹”來(lái)解決。A D都有“凹”形結(jié)構(gòu)，B有“田”形結(jié)構(gòu)，故應(yīng)選 C例2. （2004揚(yáng)州）馬小虎準(zhǔn)備制作一個(gè)封閉的正方體盒子，他先用5個(gè)大小一樣的正方形制成如示的拼接圖形（實(shí)線部分），經(jīng)折疊后發(fā)現(xiàn)還少一右圖所個(gè)面，請(qǐng)你在右圖中的拼接圖形上再接一個(gè)正方形，使新拼接成的圖形經(jīng)過折疊后能成為一個(gè)封閉的正方體盒子（注：只需添加一個(gè)符合要求的正方形；添加的正方形用陰影表示.)解析：本題可用“躍馬失蹄四分幵” 來(lái)解決。圖中具 相連的結(jié)構(gòu)，故本題有四種答案，即小方塊的位置有圖中示的四種情況之一。試一試:1.（2004浙江金華）下列圖形中，不是立方體表面展幵圖的是（2. （ 2004鎮(zhèn)江）如圖，有一個(gè)正方體紙盒，在它的三個(gè)側(cè)面分別畫有三角形、正方形和圓，現(xiàn)用一把剪刀沿著它的棱剪幵成一個(gè)平面圖形，則展幵圖可以是（ 示的粗線，圖（ 2）是其展開圖的示意圖，但只在 A 面上畫有粗線，那么將圖（ 1）