2010年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題

1、2010年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題說(shuō)明：評(píng)閱試卷時(shí)，請(qǐng)依據(jù)本評(píng)分標(biāo)準(zhǔn).第一試，選擇題和填空題只設(shè)7分和0分兩檔；第二試各題，請(qǐng)按照本評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定的評(píng)分檔次給分.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步驟正確，在評(píng)卷時(shí)請(qǐng)參照本評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)劃分的檔次，給予相應(yīng)的分?jǐn)?shù).第一試一、選擇題：（本題滿分42分，每小題7分）1. 若均為整數(shù)且滿足，則 （ ）A1. B2. C3. D4.【答】B.因?yàn)榫鶠檎麛?shù)，所以和均為整數(shù)，從而由可得或若則，從而.若則，從而.因此，2.2若實(shí)數(shù)滿足等式，則可能取的最大值為 （ ）A0. B1. C2. D3.【答】C.由兩個(gè)已知等式可得，而，所以.當(dāng)時(shí)，可得，滿足已知等式

2、.所以可能取的最大值為2.3若是兩個(gè)正數(shù)，且 則 （ ）A. B. C. D.【答】C.由可得，則 2010年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽試題參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn) 第1頁(yè)（共7頁(yè)）由于是兩個(gè)正數(shù)，所以 ，所以，從而另一方面，由可得，結(jié)合式可得，所以因此，.4若方程的兩根也是方程的根，則的值為 （ ）A13. B9. C6. D 0.【答】A.設(shè)是方程的一個(gè)根，則，所以.由題意，也是方程的根，所以，把代入此式，得，整理得.從而可知：方程的兩根也是方程的根，這兩個(gè)方程實(shí)質(zhì)上應(yīng)該是同一個(gè)一元二次方程，從而有（其中為常數(shù)），故，所以.因此，.5在中，已知，D，E分別是邊AB，AC上的點(diǎn)，且，,則 ( )A15&

3、#176;. B20°. C25°. D30°.【答】 B.如圖，延長(zhǎng)AB到F，使BF=ED，連CF，EF ，于是，又， ,在CDA和CBF中，CA=CF，AD=BF， CDACBF， 于是，6對(duì)于自然數(shù)，將其各位數(shù)字之和記為，如，則 （ ）A28062. B28065. C28067. D28068.2010年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽試題參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn) 第2頁(yè)（共7頁(yè)）【答】D.把1到2010之間的所有自然數(shù)均看作四位數(shù)（如果不足四位，則在前面加0，補(bǔ)足四位，這樣做不會(huì)改變的值）.1在千位上出現(xiàn)的次數(shù)為，1在百位上出現(xiàn)的次數(shù)為，1在十位和個(gè)位上出現(xiàn)的次數(shù)均為，因

4、此，1出現(xiàn)的總次數(shù)為.2在千位上出現(xiàn)的次數(shù)為11，2在百位和十位上出現(xiàn)的次數(shù)均為，2在個(gè)位上出現(xiàn)的次數(shù)為，因此，2出現(xiàn)的總次數(shù)為.類似的，可求得出現(xiàn)的總次數(shù)均為.因此28068.二、填空題：（本題滿分28分，每小題7分）1已知實(shí)數(shù)滿足方程組則 .【答】 13.由得，把代入，可得.因此，是一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，易求得這兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為3和，所以.2二次函數(shù)的圖象與軸正方向交于A，B兩點(diǎn)，與軸正方向交于點(diǎn)C已知，則 【答】 由題意知，點(diǎn)C的坐標(biāo)為，設(shè)兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，則是方程的兩根由根與系數(shù)的關(guān)系得又，則于是，由，得2010年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽試題參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn) 第3頁(yè)（共7頁(yè)）3在等腰

5、直角ABC中，ABBC5，P是ABC內(nèi)一點(diǎn)，且PA，PC5，則PB_【答】 .作PEAB，交AB于點(diǎn)E，作PFBC，交BC于點(diǎn)F，設(shè)，分別在PAE、PCF中利用勾股定理，得 ，得，所以，代入中，得，解得，.當(dāng)時(shí)，在RtPAE中，由勾股定理可得.當(dāng)時(shí)，此時(shí)，所以點(diǎn)P在ABC的外面，不符合題意，舍去.因此.4將若干個(gè)紅、黑兩種顏色的球擺成一行，要求兩種顏色的球都要出現(xiàn)，且任意中間夾有5個(gè)或10個(gè)球的兩個(gè)球必為同一種顏色的球.按這種要求擺放，最多可以擺放_(tái)個(gè)球.【答】 15. 將這些球的位置按順序標(biāo)號(hào)為1，2，3，4，.由于1號(hào)球與7號(hào)球中間夾有5個(gè)球，1號(hào)球與12號(hào)球中間夾有10個(gè)球，12號(hào)球與6

6、號(hào)球中間夾有5個(gè)球，7號(hào)球與13號(hào)球中間夾有5個(gè)球，13號(hào)球與2號(hào)球中間夾有10個(gè)球，2號(hào)球與8號(hào)球中間夾有5個(gè)球，8號(hào)球與14號(hào)球中間夾有5個(gè)球，14號(hào)球與3號(hào)球中間夾有10個(gè)球，3號(hào)球與9號(hào)球中間夾有5個(gè)球，9號(hào)球與15號(hào)球中間夾有5個(gè)球，15號(hào)球與4號(hào)球中間夾有10個(gè)球，4號(hào)球與10號(hào)球中間夾有5個(gè)球，因此，編號(hào)為1，7，12，6, 13，2，8，14，3，9，15，4，10的球顏色相同，編號(hào)為5，11的球可以為另外的一種顏色.因此，可以按照要求擺放15個(gè)球.如果球的個(gè)數(shù)多于15個(gè)，則一方面，16號(hào)球與10號(hào)球應(yīng)同色，另一方面，5號(hào)球與16號(hào)球中間夾有10個(gè)球，所以5號(hào)球與16

7、號(hào)球同色，從而1到16號(hào)球的顏色都相同，進(jìn)一步可以知道：所有的球的顏色都相同，與要求不符.因此，按這種要求擺放，最多可以擺放15個(gè)球.第二試 （A）一（本題滿分20分）設(shè)整數(shù)（）為三角形的三邊長(zhǎng)，滿足，求符合條件且周長(zhǎng)不超過(guò)30的三角形的個(gè)數(shù).解 由已知等式可得 令，則，其中均為自然數(shù).于是，等式變?yōu)?，?010年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽試題參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn) 第4頁(yè)（共7頁(yè)） 由于均為自然數(shù)，判斷易知，使得等式成立的只有兩組：和 10分（1）當(dāng)時(shí)，.又為三角形的三邊長(zhǎng)，所以，即，解得.又因?yàn)槿切蔚闹荛L(zhǎng)不超過(guò)30，即，解得.因此，所以可以取值4，5，6，7，8，對(duì)應(yīng)可得到5個(gè)符合條件的三角形.

8、15分（2）當(dāng)時(shí)，.又為三角形的三邊長(zhǎng)，所以，即，解得.又因?yàn)槿切蔚闹荛L(zhǎng)不超過(guò)30，即，解得.因此，所以可以取值2，3，4，5，6，7，對(duì)應(yīng)可得到6個(gè)符合條件的三角形.綜合可知：符合條件且周長(zhǎng)不超過(guò)30的三角形的個(gè)數(shù)為5611. 20分二（本題滿分25分）已知等腰三角形ABC中，ABAC，C的平分線與AB邊交于點(diǎn)P，M為ABC的內(nèi)切圓I與BC邊的切點(diǎn)，作MD/AC，交I于點(diǎn)D.證明：PD是I的切線. 證明 過(guò)點(diǎn)P作I的切線PQ（切點(diǎn)為Q）并延長(zhǎng)，交BC于點(diǎn)N.因?yàn)镃P為ACB的平分線，所以ACPBCP.又因?yàn)镻A、PQ均為I的切線，所以APCNPC.又CP公共，所以ACPNCP， 10分所以

9、PACPNC.由NMQN，BABC，所以QNMBAC，故NMQACB，所以MQ/AC.20分又因?yàn)镸D/AC，所以MD和MQ為同一條直線.又點(diǎn)Q、D均在I上，所以點(diǎn)Q和點(diǎn)D重合，故PD是I的切線. 25分三（本題滿分25分）已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)P，Q.（1）如果都是整數(shù)，且，求的值.（2）設(shè)二次函數(shù)的圖象與軸的交點(diǎn)為A、B，與軸的交點(diǎn)為C.如果關(guān)于的方程的兩個(gè)根都是整數(shù)，求ABC的面積.解 點(diǎn)P、Q在二次函數(shù)的圖象上，故，解得，. 5分（1）由知解得.2010年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽試題參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn) 第5頁(yè)（共7頁(yè)）又為整數(shù)，所以，. 10分(2) 設(shè)是方程的兩個(gè)整數(shù)根，且.由根與系

10、數(shù)的關(guān)系可得，消去，得，兩邊同時(shí)乘以9，得，分解因式，得.15分所以或或或解得或或或又是整數(shù)，所以后面三組解舍去，故.因此，二次函數(shù)的解析式為.20分易求得點(diǎn)A、B的坐標(biāo)為（1,0）和（2,0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0,2），所以ABC的面積為.25分第二試 （B）一（本題滿分20分）設(shè)整數(shù)為三角形的三邊長(zhǎng)，滿足，求符合條件且周長(zhǎng)不超過(guò)30的三角形的個(gè)數(shù)（全等的三角形只計(jì)算1次）.解 不妨設(shè)，由已知等式可得 令，則，其中均為自然數(shù).于是，等式變?yōu)?，?由于均為自然數(shù)，判斷易知，使得等式成立的只有兩組：和 10分（1）當(dāng)時(shí)，.又為三角形的三邊長(zhǎng)，所以，即，解得.又因?yàn)槿切蔚闹荛L(zhǎng)不超過(guò)30，即，解得.

11、因此，所以可以取值4，5，6，7，8，對(duì)應(yīng)可得到5個(gè)符合條件的三角形. 15分2010年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽試題參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn) 第6頁(yè)（共7頁(yè)）（2）當(dāng)時(shí)，.又為三角形的三邊長(zhǎng)，所以，即，解得.又因?yàn)槿切蔚闹荛L(zhǎng)不超過(guò)30，即，解得.因此，所以可以取值2，3，4，5，6，7，對(duì)應(yīng)可得到6個(gè)符合條件的三角形.綜合可知：符合條件且周長(zhǎng)不超過(guò)30的三角形的個(gè)數(shù)為5611. 20分二（本題滿分25分）題目和解答與（A）卷第二題相同. 三（本題滿分25分）題目和解答與（A）卷第三題相同. 第二試 （C）一（本題滿分20分）題目和解答與（B）卷第一題相同. 二（本題滿分25分）題目和解答與（A）卷第二題相同. 三（本題滿分25分）設(shè)是大于2的質(zhì)數(shù)，k為正整數(shù)若函數(shù)的圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)至少有一個(gè)為整數(shù)，求k的值解 由題意知，方程的兩根中至少有一個(gè)為整數(shù)由根與系數(shù)的關(guān)系可得，從而有 5分（1）若，則方程為，它有兩個(gè)整數(shù)根和1