概率論與數(shù)理統(tǒng)計7-習題課

1、第七章第七章 參數(shù)估計參數(shù)估計習習 題題 課課一、重點與難點一、重點與難點 三、典型例題三、典型例題二、主要內(nèi)容二、主要內(nèi)容一、重點與難點一、重點與難點1.重點重點最大似然估計最大似然估計.一個正態(tài)總體參數(shù)的區(qū)間估計一個正態(tài)總體參數(shù)的區(qū)間估計.2.難點難點顯著性水平顯著性水平 與置信區(qū)間與置信區(qū)間. 矩矩 估估 計計 量量估計量的評選估計量的評選截尾樣本的最截尾樣本的最大似然估計大似然估計截尾壽截尾壽命試驗命試驗二、主要內(nèi)容二、主要內(nèi)容最大似然估最大似然估計量計量最大似然估計的性質(zhì)最大似然估計的性質(zhì)似似 然然 函函 數(shù)數(shù)無無 偏偏 性性正態(tài)總正態(tài)總體均值體均值方差的方差的置信區(qū)置信區(qū)間與上間與

2、上下限下限有有 效效 性性置信區(qū)間和上下限置信區(qū)間和上下限求置信區(qū)間的求置信區(qū)間的步驟步驟相相 合合 性性矩估計量矩估計量 用樣本矩來估計總體矩用樣本矩來估計總體矩, 用樣本矩的連續(xù)函數(shù)用樣本矩的連續(xù)函數(shù)來估計總體矩的連續(xù)函數(shù)來估計總體矩的連續(xù)函數(shù), 這種估計法稱為這種估計法稱為矩估矩估計法計法.矩估計法的具體做法矩估計法的具體做法: 考慮總體矩考慮總體矩,1, 2,llk ,21的方程組的方程組個未知參數(shù)個未知參數(shù)這是一個包含這是一個包含kk .,21k 解出其中解出其中.,2121量量這個估計量稱為矩估計這個估計量稱為矩估計估計量估計量的的分別作為分別作為用方程組的解用方程組的解kk ,1

3、, 2,llAlk 令令最大似然估計量最大似然估計量)(,21 Lxxxn選取使似然函數(shù)選取使似然函數(shù)時時得到樣本值得到樣本值,的估計值的估計值作為未知參數(shù)作為未知參數(shù)取得最大值的取得最大值的 ).;,(max);,(2121 nnxxxLxxxL 即即)(可能的取值范圍可能的取值范圍是是其中其中 ),(,2121nnxxxxxx 記為記為有關(guān)有關(guān)與樣本值與樣本值這樣得到的這樣得到的),(21nXXX , 的最大似然估計值的最大似然估計值參數(shù)參數(shù) . 的最大似然估計量的最大似然估計量參數(shù)參數(shù) 最大似然估計的性質(zhì)最大似然估計的性質(zhì).)()(,)();(, )(, )(的最大似然估計的最大似然估計

4、是是則則計計的最大似然估的最大似然估中的參數(shù)中的參數(shù)形式已知形式已知的概率密度函數(shù)的概率密度函數(shù)是是又設(shè)又設(shè)數(shù)數(shù)具有單值反函具有單值反函的函數(shù)的函數(shù)設(shè)設(shè) uuufxfXUuuuu 似然函數(shù)似然函數(shù)屬離散型屬離散型設(shè)總體設(shè)總體 X. 1 ),;();,()(121niinxpxxxLL.)(稱為樣本似然函數(shù)稱為樣本似然函數(shù) L屬連續(xù)型屬連續(xù)型設(shè)總體設(shè)總體 X. 2),;();,()(121 niinxfxxxLL.)(稱為樣本的似然函數(shù)稱為樣本的似然函數(shù) L正態(tài)總體均值方差的置信區(qū)間與上下限正態(tài)總體均值方差的置信區(qū)間與上下限 . 1的置信區(qū)間的置信區(qū)間均值均值 單個正態(tài)總體單個正態(tài)總體 ,)1(

5、2為已知為已知 1 的置信區(qū)間的置信區(qū)間的一個置信水平為的一個置信水平為 .2/ znX ,)2(2為未知為未知 1 的置信區(qū)間的置信區(qū)間的置信水平為的置信水平為 .)1(2/ ntnSX 12的置信區(qū)間的置信區(qū)間的置信水平為的置信水平為方差方差 .)1()1(,)1()1(22/1222/2 nSnnSn . 22的置信區(qū)間的置信區(qū)間方差方差 , 未知未知 1的置信區(qū)間的置信區(qū)間的一個置信水平為的一個置信水平為標準差標準差 .)1(1,)1(122/122/ nSnnSn . 121的置信區(qū)間的置信區(qū)間兩個總體均值差兩個總體均值差 ,)1(2221均為已知均為已知和和 1 21的置信區(qū)間的置

6、信區(qū)間的一個置信水平為的一個置信水平為 .2221212/ nnzYX 兩個正態(tài)總體兩個正態(tài)總體 ,)2(2221均為未知均為未知和和 1 21的近似置信區(qū)間的近似置信區(qū)間的一個置信水平為的一個置信水平為 .2221212/ nSnSzYX ,)3(222221為未知為未知但但 1 21的置信區(qū)間的置信區(qū)間的一個置信水平為的一個置信水平為 .11)2(21212/ nnSnntYXw .,2)1()1( 2212222112wwwSSnnSnSnS 其中其中 . 22221的置信區(qū)間的置信區(qū)間兩個總體方差比兩個總體方差比 . , 21為未知的情況為未知的情況僅討論總體均值僅討論總體均值 122

7、21的置信區(qū)間的置信區(qū)間的一個置信水平為的一個置信水平為 .)1, 1(1,)1, 1(1212/12221212/2221 nnFSSnnFSS正態(tài)總體均值與方差的單側(cè)置信區(qū)間正態(tài)總體均值與方差的單側(cè)置信區(qū)間,),1( ntnSX 1的置信下限的置信下限的置信水平為的置信水平為 ).1( ntnSX 1的單側(cè)置信區(qū)間的單側(cè)置信區(qū)間的一個置信水平為的一個置信水平為 , )( , 2均為未知均為未知方差是方差是的均值是的均值是設(shè)正態(tài)總體設(shè)正態(tài)總體 X 12的單側(cè)置信區(qū)間的單側(cè)置信區(qū)間的一個置信水平為的一個置信水平為 ,)1()1(, 0212 nSn 12的單側(cè)置信上限的單側(cè)置信上限的置信水平為

8、的置信水平為 .)1()1(2122 nSn 的置信區(qū)間是的置信區(qū)間是的置信水平為的置信水平為則則為未知參數(shù)為未知參數(shù)其中其中的分布律為的分布律為布的總體布的總體分分它來自它來自的大樣本的大樣本設(shè)有一容量設(shè)有一容量 1 , 1, 0,)1();( ,)10(,501ppxpppxfXXnxx,24,2422 aacbbaacbb, 22/ zna 其中其中),2(22/ zXnb .2Xnc 分布的置信區(qū)間分布的置信區(qū)間)10( 無偏性無偏性的一個樣本，的一個樣本，為總體為總體若若XXXXn,21 ,的分布中的待估參數(shù)的分布中的待估參數(shù)是包含在總體是包含在總體 X )(的取值范圍的取值范圍是是

9、 . ,)( ,)(),(21的無偏估計量的無偏估計量是是則稱則稱有有且對于任意且對于任意存在存在的數(shù)學期望的數(shù)學期望若估計量若估計量 EEXXXn有效性有效性 . , ,212121有效有效較較則認為則認為更密集更密集的附近較的附近較的觀察值在真值的觀察值在真值相同的情況下相同的情況下在樣本容量在樣本容量如果如果和和的兩個無偏估計量的兩個無偏估計量比較參數(shù)比較參數(shù) n 由于方差是隨機變量取值與其數(shù)學期望的偏由于方差是隨機變量取值與其數(shù)學期望的偏離程度離程度, 所以無偏估計以方差小者為好所以無偏估計以方差小者為好.),()( ,),(),(212121222111有效有效較較則稱則稱若有若有的

10、無偏估計量的無偏估計量都是都是與與設(shè)設(shè) DDXXXXXXnn 相合性相合性. ,),(,),(2121的相合估計量的相合估計量為為則稱則稱依概率收斂于依概率收斂于時時當當若對于任意若對于任意的估計量的估計量為參數(shù)為參數(shù)若若 nnXXXnXXX 置信區(qū)間和置信上限、置信下限置信區(qū)間和置信上限、置信下限,1),(),( ),(),(,),10( ,);(2121212121 nnnnnXXXXXXPXXXXXXXXXxFX滿足滿足和和確定的兩個統(tǒng)計量確定的兩個統(tǒng)計量若由樣本若由樣本對于給定值對于給定值數(shù)數(shù)含有一個未知參含有一個未知參的分布函數(shù)的分布函數(shù)設(shè)總體設(shè)總體.1,1 ,1),(為置信水平為置

11、信水平上限上限區(qū)間的置信下限和置信區(qū)間的置信下限和置信的雙側(cè)置信的雙側(cè)置信分別稱為置信水平為分別稱為置信水平為和和區(qū)間區(qū)間的置信的置信的置信水平為的置信水平為是是則稱隨機區(qū)間則稱隨機區(qū)間 單側(cè)置信區(qū)間的定義單側(cè)置信區(qū)間的定義,1, ),(, ,1)(0 2121 PXXXXXXnn滿足滿足對于任意對于任意確定的統(tǒng)計量確定的統(tǒng)計量若由樣本若由樣本對于給定值對于給定值.1 ,1) ,(側(cè)置信下限側(cè)置信下限的單的單的置信水平為的置信水平為稱為稱為單側(cè)置信區(qū)間單側(cè)置信區(qū)間的的的置信水平為的置信水平為是是則稱隨機區(qū)間則稱隨機區(qū)間 ,1 ),( 21 PXXXn滿足滿足意意對于任對于任又如果統(tǒng)計量又如果統(tǒng)

12、計量.1 , 1 ), (信上限信上限的單側(cè)置的單側(cè)置的置信水平為的置信水平為稱為稱為側(cè)置信區(qū)間側(cè)置信區(qū)間的單的單的置信水平為的置信水平為是是則稱隨機區(qū)間則稱隨機區(qū)間 求置信區(qū)間的一般步驟求置信區(qū)間的一般步驟. )(,);,(:, )1(2121 包括包括數(shù)數(shù)且不依賴于任何未知參且不依賴于任何未知參的分布已知的分布已知并且并且其中僅包含待估參數(shù)其中僅包含待估參數(shù)的函數(shù)的函數(shù)尋求一個樣本尋求一個樣本ZXXXZZXXXnn .1);,( ,1 )2(21 bXXXZaPban使使定出兩個常數(shù)定出兩個常數(shù)對于給定的置信水平對于給定的置信水平.1),( ,),(, ),( , );,( )3(2121

13、21的置信區(qū)間的置信區(qū)間的一個置信水平為的一個置信水平為是是就就那么那么都是統(tǒng)計量都是統(tǒng)計量其中其中的不等式的不等式得到等價得到等價若能從若能從 nnnXXXXXXbXXXZa截尾壽命試驗截尾壽命試驗1.定時截尾壽命試驗定時截尾壽命試驗. , , , , ,0 , , , 0 210210稱為定時截尾樣本稱為定時截尾樣本所得的樣本所得的樣本是一個隨機變量是一個隨機變量此時此時它們的失效時間分別為它們的失效時間分別為個產(chǎn)品失效個產(chǎn)品失效如試驗截止時共有如試驗截止時共有停止停止間間截尾時截尾時試驗進行到事先規(guī)定的試驗進行到事先規(guī)定的同時投入試驗同時投入試驗時時個產(chǎn)品在時間個產(chǎn)品在時間假設(shè)將隨機抽取

14、的假設(shè)將隨機抽取的mmtttmttttmttn 2.定數(shù)截尾壽命試驗定數(shù)截尾壽命試驗. , , , , ,0 , ) , ( , 0 2121定數(shù)截尾樣本定數(shù)截尾樣本稱為稱為所得的樣本所得的樣本個產(chǎn)品的失效時間個產(chǎn)品的失效時間是第是第這里這里時間分別為時間分別為個產(chǎn)品的失效個產(chǎn)品的失效產(chǎn)品失效時停止產(chǎn)品失效時停止定的定的是事先規(guī)是事先規(guī)個個試驗進行到有試驗進行到有同時投入試驗同時投入試驗時時個產(chǎn)品在時間個產(chǎn)品在時間假設(shè)將隨機抽取的假設(shè)將隨機抽取的mmmtttmttttmnmmmtn 截尾樣本的最大似然估計截尾樣本的最大似然估計1. 定數(shù)截尾樣本的最大似然估計定數(shù)截尾樣本的最大似然估計設(shè)有設(shè)有n

15、個產(chǎn)品投入定數(shù)截尾試驗個產(chǎn)品投入定數(shù)截尾試驗, 截尾數(shù)為截尾數(shù)為m,得定數(shù)截尾樣本得定數(shù)截尾樣本 ,0 21mttt 取似然函數(shù)為取似然函數(shù)為.e1)()(121mmtmntttmL 的最大似然估計值為的最大似然估計值為得到得到 .)(mtsm 2. 定時截尾樣本的最大似然估計定時截尾樣本的最大似然估計設(shè)定時截尾樣本設(shè)定時截尾樣本 ,0 021ttttm ) (0是截尾時間是截尾時間其中其中t得似然函數(shù)為得似然函數(shù)為.e1)()(1021tmntttmmL 的最大似然估計值為的最大似然估計值為 .)(0mts 三、典型例題三、典型例題解解. , )10(,21的無偏估計量的無偏估計量并驗證它是

16、達到方差界并驗證它是達到方差界的最大似然估計量的最大似然估計量求參數(shù)求參數(shù)分布的一個樣本分布的一個樣本的的是來自參數(shù)為是來自參數(shù)為設(shè)設(shè)pppXXXn 1()(1),0,1,xxP Xxppx 1( )(;)niiL pP xp ,)1(11 niiniixnxpp)(lnpL),1ln(ln11pxnpxniinii 例例1()ppLd)(lnd,111pxnpxniinii , 0d)(lnd ppL由由,)1( 11 niiniixnpxp得得 的最大似然估計值為的最大似然估計值為故參數(shù)故參數(shù) p,11 niixnp 的最大似然估計量為的最大似然估計量為參數(shù)參數(shù) p,11XXnpnii )

17、()(XEpE niiXnE11 niiXEn1)(1. 的無偏估計量的無偏估計量是是所以所以pp, 1, 0,)1();( 1 xpppxfxx又因為又因為),1ln()1(ln);(lnpxpxpxf ppxf );(ln,11pxpx , p 2);(lnppxfE 1 ,012)1(11xxxpppxpxpppp 221)1()1(1,)1(1pp );( 的任何一個無偏估計量的任何一個無偏估計量的參數(shù)的參數(shù)因為因為ppxf,)1();(ln)(2nppppxfEnpD 都滿足不等式都滿足不等式 ),( 21nXXXp 的無偏估計量的無偏估計量對于參數(shù)對于參數(shù) p,11 niiXnXp niiXnDpD11)( niiXDn12)(1)1(12ppnn ),1(1ppn 的無的無的達到方差界的達到方差界是總體分布參數(shù)是總體分布參數(shù)故故pXp .偏估計量偏估計量解解?)05. 0( ,0025. 0 ,7 .12 ,16,0.01