MUSIC方法_清華大學(xué)《現(xiàn)代信號(hào)處理》講義_-張賢達(dá)

1、 清華大學(xué)自動(dòng)化系清華大學(xué)自動(dòng)化系 張賢達(dá)張賢達(dá)3.5 MUSIC方法方法 1. 陣列信號(hào)處理問(wèn)題陣列信號(hào)處理問(wèn)題 2. 最優(yōu)波束形成器最優(yōu)波束形成器 3. 子空間方法子空間方法 5. 改進(jìn)的改進(jìn)的MUSIC方法方法 4. MUSIC方法方法 MUSIC: Multiple Signal Classification1. 陣列信號(hào)處理問(wèn)題陣列信號(hào)處理問(wèn)題 (array signal processing)陣列：多個(gè)天線的組合陣列：多個(gè)天線的組合每個(gè)天線每個(gè)天線陣元：天線、傳感器陣元：天線、傳感器假設(shè)：假設(shè)：窄帶信號(hào)窄帶信號(hào) ：點(diǎn)信源：點(diǎn)信源( )is n 遠(yuǎn)場(chǎng)遠(yuǎn)場(chǎng)(far field)：波前：

2、波前平面波平面波波達(dá)方向波達(dá)方向 (DOA: direction of arrival)：入射線與法線：入射線與法線 之間的夾角，可以有正有負(fù)之間的夾角，可以有正有負(fù)i 波長(zhǎng)波長(zhǎng)2siniid2d (半波長(zhǎng)條件半波長(zhǎng)條件)：若不滿足該條件，會(huì)出現(xiàn)：若不滿足該條件，會(huì)出現(xiàn)DOA估估 計(jì)的模糊計(jì)的模糊信號(hào)信號(hào) 的方向向量，的方向向量，(陣列響應(yīng)陣列響應(yīng))向量：向量：(1)()1,iiTjj mieea( )is n12121(1)(1)(1)( )(), ()111 pppjjjj mj mj meeeeeeAaa方向矩陣方向矩陣Vandermonde矩矩陣陣滿列秩滿列秩12p( )is n( )

3、ijis n e(1)( )ij mis n ep個(gè)信號(hào)個(gè)信號(hào)信號(hào)模型信號(hào)模型1( )() ( )( ), 1,pkkiikixnas nenkm1( )( ),( )Tmnx nxnx陣元陣元k上的觀測(cè)數(shù)據(jù)上的觀測(cè)數(shù)據(jù)1( )( ),( )Tmne nene1( )( ),( )Tpns nsns1()( )(), ()pm pAaa陣列信號(hào)處理的數(shù)學(xué)模型：陣列信號(hào)處理的數(shù)學(xué)模型：( )( ) ( )( )nnnxAse陣列信號(hào)處理的問(wèn)題：陣列信號(hào)處理的問(wèn)題：已知數(shù)據(jù)向量已知數(shù)據(jù)向量 ，求空，求空 間參數(shù)間參數(shù)(1), ()Nxx1,p波達(dá)方向波達(dá)方向N個(gè)快拍個(gè)快拍2. 最優(yōu)波束形成器最優(yōu)波

4、束形成器*1( )( )miiiz nw x nDOA估計(jì)：波束形成器估計(jì)：波束形成器1,mww設(shè)計(jì)一個(gè)濾波器設(shè)計(jì)一個(gè)濾波器 抽頭抽頭(權(quán)系數(shù)權(quán)系數(shù))，加權(quán)求和加權(quán)求和輸出信號(hào)輸出信號(hào) 只包含只包含 期望信號(hào)期望信號(hào) 拒絕其他信號(hào)拒絕其他信號(hào) 干擾信號(hào)干擾信號(hào)( )z n( )dxn211( )Nnz nN最小輸出能量最小輸出能量(MOE: minimum output energy)準(zhǔn)則：準(zhǔn)則：*1( )( ), ( )( )mHiiiz nnnw x nw xw xmin22111111( )( )( )( )NNNHHHnnnz nnnnNNNw xwxxw則則211min( )minN

5、Hxxnz nNw R w其中其中11( )( )NHxxnnnNRxx期望信號(hào)期望信號(hào)211lim min( )minNHxxNnz nNw R w(波束形成條件波束形成條件)()1()0, HkHiikw aw a1,( )( ) ( )( )()( )() ( )( )Pkkiiii knnnsns nnxAseaae干擾信號(hào)干擾信號(hào)加性噪聲加性噪聲2212222221,1( )lim( )( )( )( )()( )()NHHNnpHHkkiiii kEz nz nEnnNEsnEs nwxxww aw aw(干擾拒絕條件，零點(diǎn)形成條件干擾拒絕條件，零點(diǎn)形成條件)則則2222( )(

6、)kEz nEsnw在在 約束條件下，使約束條件下，使 min()1Hkw a2( )Ez nLargange乘子法：乘子法：2()( )1()HkJEz nww a其中其中2( )HxxEz n w R w*()Jw0w1()optxxkwR a又又 ，代入上式，代入上式()1()HHoptkkoptwaaw11()()HkxxkaR a由由Capon提出，稱為最小方差無(wú)畸變提出，稱為最小方差無(wú)畸變(MVDR)波束形成器波束形成器最佳濾波器最佳濾波器11()()()xxkoptHkxxkR awaR aMVDR: minimum variance distortionless respons

7、e空間譜：空間譜：11()()()kHkxxkPaR a最大幅值對(duì)應(yīng)的最大幅值對(duì)應(yīng)的 即為所求。即為所求。k關(guān)鍵：求關(guān)鍵：求 () kka假設(shè)假設(shè)1：對(duì)于不同的：對(duì)于不同的 值，向量值，向量 線性獨(dú)立線性獨(dú)立( )( )HEnnPss3. 子空間方法子空間方法i()ia假設(shè)假設(shè)2：各陣元上復(fù)加性噪聲具有零均值、相同方差，：各陣元上復(fù)加性噪聲具有零均值、相同方差， 且不相關(guān)且不相關(guān)( )0Ene2( )( )HEnneeI假設(shè)假設(shè)3： 滿秩矩陣（非奇異）滿秩矩陣（非奇異）222 ( )( )( )( )( ) ( )( )0, ( )( )( )2 ( )( )0 ( TiiiijiiiiiEn

8、ne nx njy nE e n e nijE e nE xnE ynj E x n y neeO 令復(fù)白噪聲分量，則 實(shí)部和虛部不相關(guān),具有相同方差）HxxU R U2( )( ) ( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( )( )( )( )( ) HxxHHHHHEnnEnnnnEnnEnnRxxAseAseAssAeeAPAI特征值分解：特征值分解：mppppm2HHU APA UI2112200ppI222, 1, 1,iiiipipm 的特征值：的特征值：111span,close,pppjjjjCaaaaaxxR若若 ，區(qū)分大和小的特征值，區(qū)分大和小的特征值22ii11

9、,|,ppm SGUS Guuuu 信號(hào)噪聲子空間子空間：向量組：向量組 的線性組合的集合，稱為的線性組合的集合，稱為 張成的空間。張成的空間。1,paa1,paa信號(hào)子空間：信號(hào)子空間：11span,span,ppssuu噪聲子空間：噪聲子空間：11span,span,ppmgguu觀測(cè)空間：觀測(cè)空間：1span(1), ()span,mNxxuu觀測(cè)空間觀測(cè)空間 = 信號(hào)子空間信號(hào)子空間 + 噪聲子空間噪聲子空間特征值分解后，與大特征值對(duì)特征值分解后，與大特征值對(duì)應(yīng)應(yīng)與小特征值對(duì)與小特征值對(duì)應(yīng)應(yīng)子空間的幾何意義子空間的幾何意義：,US G,HpS SI,HHHHHHHSS SS GU US

10、 GIG SG GG,HmpG GIHG S0HS G0投影矩陣11, ( , ( HHHHHHSGPS S SSSSSSPG G GGGGGG稱為信號(hào)子空間)稱為噪聲子空間)幾何意義：信號(hào)子空間和噪聲子空間正交幾何意義：信號(hào)子空間和噪聲子空間正交,HHHHHSU US GSSGGIG1,HHHSGGISSIS S SSP噪聲子空間是信號(hào)子空間的正交補(bǔ)，正交投影矩陣SSPIP即4. MUSIC方法方法HxxRUUUS G12122, ,HHxxH SR GUU GS GGIG0S GGII2xxR GG2HxxRAPAI22HxxR GAPA GGG HAPA G0HHG APA G0 (0

11、iff )HHA GOt Rtt0 () (HTiaG0行向量) ()()0 ()HHiiaGG a標(biāo)量11()()()HxxdoptHdxxdR awaR a波束形成器：波束形成器：MUSIC空間譜：空間譜：11( )( )( )( )( )HHHHPaGG aaISSa 取峰值的取峰值的 個(gè)個(gè) 就給出就給出( )Pp1,p( (需一維搜索需一維搜索) )噪聲子空間方法噪聲子空間方法信號(hào)子空間方法信號(hào)子空間方法改進(jìn)方法改進(jìn)方法1：2221pHikkiiUs s( )( )( )( )( )HHHPaUaaGG a5. 改進(jìn)的改進(jìn)的MUSIC方法方法改進(jìn)方法改進(jìn)方法1: (求根求根MUSIC方

12、法方法)( )HaG0基本思想：基本思想：Pisarenko諧波分解諧波分解 (不需一維搜索不需一維搜索)或或( )HG a0(1)( )1,Tjj meea1( )1, ,Tmzzzpjze( )HG a0( ) (Hz G p0列向量形式) 標(biāo)量形式：1( )1, ,Tmzzzp( )( )0 HHzz pGG p*(1)( )1,Hmzzzpjze*1jzez1(1)1( )1,()HmTzzzzpp1 ( )( )0 HHzzzzpGG p故是 和的多項(xiàng)式，不方便求根1mz兩邊同乘 后，( )( )HHzz pGG p011()( )mTHzzzpGG p0其根其根 DOA ijiize給出估計(jì)求根MUSIC方法11111. 1(1), (2), ()1 ( )( )2. EVD,3. ()( )0 arg()1,iNTxxixxpmjmTHimmmNiiNzzzzepzmpkdxxxRxxRGuupGG p由觀測(cè)數(shù)據(jù)向量估計(jì)樣本 相關(guān)函數(shù)矩陣由的，得到 求多項(xiàng)式 的根， 具有最大幅值的 個(gè)根給出DOA估計(jì)，即1 =arccos, 結(jié)論結(jié)論： 基本基本MUSIC方法和求根方法和求根MUSIC具有相同的具有相同的統(tǒng)計(jì)特性統(tǒng)計(jì)特性(大樣本大樣本) 在小樣本情況下，求根在小樣本情況下，求根MUSIC的估計(jì)精度