第五章：有限字長(zhǎng)運(yùn)算對(duì)數(shù)字濾波器的影響第三節(jié)ppt課件

1、5.3 5.3 有限字長(zhǎng)運(yùn)算對(duì)數(shù)字濾波器的影響有限字長(zhǎng)運(yùn)算對(duì)數(shù)字濾波器的影響 DF的實(shí)現(xiàn)，涉及到兩種運(yùn)算：相乘、求和。 定點(diǎn)制運(yùn)算中，每一次乘法運(yùn)算之后都要作一次舍入截尾處置，因此引入了非線性，采用統(tǒng)計(jì)分析的方法，將舍入誤差作為獨(dú)立噪聲e(n)迭加在信號(hào)上，因而仍可用線性流圖表示定點(diǎn)相乘。 定點(diǎn)相乘運(yùn)算統(tǒng)計(jì)分析的流圖表示 對(duì)舍入噪聲e(n)作如下的假設(shè)：1.e(n) 為平穩(wěn)隨機(jī)噪聲序列； 2. e(n) 與輸入序列 x(n) 不相關(guān)，各噪聲之間也互不相關(guān)。3. e(n) 為白色噪聲；4.在量化間隔上均勻分布即每個(gè)噪聲都是均勻等概率分布）。 有了這些條件，整個(gè)系統(tǒng)就可作為線性系統(tǒng)處理。每一個(gè)噪聲

2、可用第一章所講的線性離散系統(tǒng)的理論求出其輸出噪聲，所有輸出噪聲經(jīng)線性迭加得到總的噪聲輸出。 下面分析三種情況下的有限字長(zhǎng)效應(yīng)： IIR濾波器 FIR濾波器 FFT計(jì)算計(jì)算輸出的量化噪聲方差 5.3.1 IIR 的有限字長(zhǎng)效應(yīng)的有限字長(zhǎng)效應(yīng) 以一階以一階IIR濾波器為例，其輸入與輸出關(guān)系可用差分方程濾波器為例，其輸入與輸出關(guān)系可用差分方程表示為：表示為： 乘積項(xiàng)將引入一個(gè)舍入噪聲，如圖乘積項(xiàng)將引入一個(gè)舍入噪聲，如圖 上述一階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)為上述一階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)為 系統(tǒng)函數(shù)為系統(tǒng)函數(shù)為 由于由于 是迭加在輸入端的，故由是迭加在輸入端的，故由 造成的輸出誤差為：造成的輸出誤差為： )()

3、1()(nxnayny1, 0an)()(nuanhnazzzH)()(ne)(ne)(*)()(*)(nuanenhneenf1 輸出噪聲方差 或 由上兩式均可求得 可見(jiàn)字長(zhǎng) 越大，輸出噪聲越小，同樣的方法可分析其它高階DF的輸出噪聲。 0022222)(mmmeefamhcefzdzzHzHj)()(2122)1 (122)1 (1212222222aaqabefb例4：一個(gè)二階IIR低通數(shù)字濾波器，系統(tǒng)函數(shù)為 采用定點(diǎn)制算法，尾數(shù)作舍入處理，分別計(jì)算其直接型、級(jí)聯(lián)型、并聯(lián)型三種結(jié)構(gòu)的舍入誤差。 解：直接型 )8 .01)(9 .01 (04.0)(11zzzH)(04.072.07 .1

4、104.0)(21zBzzzH直接型結(jié)構(gòu)流圖如圖)(0ne)(nx)()(nenyf)(2ne)(1ne1z1z04. 07 . 172. 01211111( )1 1.70.72(10.9)(10.8)B zzzzz 圖中 、 、 分別為系數(shù)0.04、1.7 、-0.72相乘后引入的舍入噪聲。采用線性迭加的方法，從圖上可看出輸出噪聲 這三個(gè)舍入噪聲通過(guò)網(wǎng)絡(luò) 形成的，如圖5.28b，因此 是H0(z)的單位脈沖響應(yīng),輸出噪聲的方差為：)(0ne)(1ne)(2ne)(1)(0zBzH)(*)()()()(0210nhnenenenef)(0nh)(nefcefzdzzBzBj)()(12131

5、22輸出噪聲的方差為： 將 代入，利用留數(shù)定理得：1222qe2111132(10.9)(10.8)(10.9 )(10.8 )ecdzjzzzzz220.90.82223(0.8)(1 0.9 )(1 0.8 )(0.9)(1 0.9 )(1 0.8 )42.27619.8422.4fezzzzzzzzzzqqq 級(jí)聯(lián)型 將H(z)分解 結(jié)構(gòu)流圖為 圖5.29 IIR級(jí)聯(lián)型的舍入噪聲分析 )(1)(04. 08 . 0119 . 0104. 0)(2111zBzBzzzH)(0ne)(nx)()(nenyf)(2ne)(1ne1z1z9 . 08 . 004. 0由圖中可見(jiàn)，噪聲 、 經(jīng)過(guò)

6、網(wǎng)絡(luò)， 噪聲 只通過(guò)網(wǎng)絡(luò) ， 即 )(0ne)(1ne)(1zH101211( )( )( )( )( )HzHzBz BzB z)(2ne)(2zH)(1)(22zBzH)(*)()(*)()()(22110nhnenhnenenef)(1nh)(2nh和 分別是H1(z)和H2(z)的單位脈沖響應(yīng),因此： 將 代入，得：（思索：如果將H1(z)和H2(z)次序顛倒，結(jié)果會(huì)怎樣） cecefzdzzBzBjzdzzBzBzBzBj)()(12)()()()(12212221211212212,8 . 01)(,9 . 01)(221211qzzBzzBe2222222.40.2315.23f

7、qqq因此： 將 代入，得：221112122111212( )( )()()12( )()efcecdzjB z B z B zB zzdzjB z B zz12,8 . 01)(,9 . 01)(221211qzzBzzBe22215.3715.2fqq2222222.40.4415.373fqqq220.810.4412 (10.9 )zqqz1z1z0.80.904. 0 并聯(lián)型 將H(z)分解為部分分式 其結(jié)構(gòu)如圖： 0.36 0.9 -0.32 0.8圖 IIR并聯(lián)型的舍入噪聲分析 )(32.0)(36.08 .0132.09 .0136.0)(2111zBzBzzzH)(0ne)

8、(nx)()(nenyf)(2ne)(1ne1z1z)(3ne 并聯(lián)型結(jié)構(gòu)有4個(gè)系數(shù)，有4個(gè)舍入噪聲，其中 只通過(guò) 網(wǎng)絡(luò)， 經(jīng)過(guò) 網(wǎng)絡(luò)。 輸出噪聲方差為： 代入B1(z)和B2(z)及 的值，得： cecefzdzzBzBjzdzzBzBj)()(122)()(1221222111222e2222 (0.440.23)1.34fqq)()(10nene)(11zB)()(32nene)(12ZB比較三種結(jié)構(gòu)的誤差大小，可知 直接型 級(jí)聯(lián)型 并聯(lián)型緣由： l直接型結(jié)構(gòu)的所有舍入誤差都經(jīng)過(guò)全部網(wǎng)絡(luò)的反饋環(huán)節(jié)，反饋過(guò)程中誤差積累，輸出誤差很大。 l級(jí)聯(lián)型結(jié)構(gòu)，每個(gè)舍入誤差只通過(guò)其后面的反饋環(huán)節(jié)，而不

9、通過(guò)它前面的反饋環(huán)節(jié)，誤差小于直接型。 l并聯(lián)型 ：每個(gè)并聯(lián)網(wǎng)絡(luò)的舍入誤差只通過(guò)本身的反饋環(huán)節(jié)，與其它并聯(lián)網(wǎng)絡(luò)無(wú)關(guān)，積累作用最小，誤差最小。該結(jié)論對(duì)IIR DF有普遍意義。因此，從有限字長(zhǎng)效應(yīng)看，直接型（、型結(jié)構(gòu)最差，運(yùn)算誤差最大，高階時(shí)避免采用。級(jí)聯(lián)型結(jié)構(gòu)較好。并聯(lián)型結(jié)構(gòu)最好，運(yùn)算誤差最小。結(jié)論：IIR濾波器的有限字長(zhǎng)效應(yīng)與它的結(jié)構(gòu)有關(guān)。5.3.2 FIR的有限字長(zhǎng)效應(yīng)的有限字長(zhǎng)效應(yīng) IIR的分析方法同樣適用于的分析方法同樣適用于FIR濾波器，濾波器，F(xiàn)IR濾波器濾波器無(wú)反饋環(huán)節(jié)頻率采樣型結(jié)構(gòu)除外），不會(huì)造成舍入無(wú)反饋環(huán)節(jié)頻率采樣型結(jié)構(gòu)除外），不會(huì)造成舍入誤差的積累，舍入誤差的影響比同階誤差

10、的積累，舍入誤差的影響比同階IIR濾波器小，不濾波器小，不會(huì)產(chǎn)生非線性振蕩。會(huì)產(chǎn)生非線性振蕩。 以橫截型結(jié)構(gòu)為例分析以橫截型結(jié)構(gòu)為例分析FIR的有限字長(zhǎng)效應(yīng)。的有限字長(zhǎng)效應(yīng)。 舍入噪聲舍入噪聲 N 階階FIR的系統(tǒng)函數(shù)為：的系統(tǒng)函數(shù)為： 無(wú)限精度下，直接型結(jié)構(gòu)的差分方程為：無(wú)限精度下，直接型結(jié)構(gòu)的差分方程為： 有限精度運(yùn)算時(shí)，有限精度運(yùn)算時(shí)， 10)()(NmmzmhzH10)()()(Nmmnxmhny10)()()()()( NmRfmnxmhnenyny每一次相乘后產(chǎn)生一個(gè)舍入噪聲 故 輸出噪聲為： 如圖。 )()()()()(nemnxmhmnxmhmR1010)()()()()(Nm

11、Nmmfnemnxmhneny10)()(Nmmfnene圖中可見(jiàn)，所有舍入噪聲都直接加在輸出端，因此輸出噪聲是這些噪聲的簡(jiǎn)單和。 于是， 輸出噪聲方差與字長(zhǎng)有關(guān)，與階數(shù)有關(guān)，N越高，運(yùn)算誤差越大，或者，在運(yùn)算精度相同的情況下，階數(shù)越高的濾波器需要的字長(zhǎng)越長(zhǎng)。12222NqNef例：FIR濾波器，N=10，b=17時(shí)N=1024時(shí)， 因此，濾波器輸出中，小數(shù)點(diǎn)后只有4位數(shù)字是有效的。 )103(1085. 41234210121122dbNqf)83(1097. 412342102412922dbNqf-410*0.705f 動(dòng)態(tài)范圍：動(dòng)態(tài)范圍： 定點(diǎn)運(yùn)算時(shí)，動(dòng)態(tài)范圍的限制，常導(dǎo)致定點(diǎn)運(yùn)算時(shí)，

12、動(dòng)態(tài)范圍的限制，常導(dǎo)致FIR的輸出的輸出結(jié)果發(fā)生溢出。利用比例因子，壓縮信號(hào)的動(dòng)態(tài)范圍結(jié)果發(fā)生溢出。利用比例因子，壓縮信號(hào)的動(dòng)態(tài)范圍，可避免溢出。，可避免溢出。FIR輸出：輸出：10max10)()()()()(NmNmmhxnymnxmhny定點(diǎn)數(shù)不產(chǎn)生溢出的條件：為使結(jié)果不溢出，對(duì) 采用標(biāo)度因子A，使由此確定A。1)(ny)(nx10max10max)(11)(NmNmmhxAmhAx對(duì)于窄帶信號(hào)略顯保守5.3.3 FFT計(jì)算中的有限字長(zhǎng)效應(yīng)計(jì)算中的有限字長(zhǎng)效應(yīng) 按時(shí)間抽取的按時(shí)間抽取的8點(diǎn)點(diǎn)FFTM級(jí)、N/2個(gè)蝶形結(jié)1、輸出噪聲的方差：)()()()()()(1111nxWmxnxnxW

13、mxmxlpNlllpNllxl-1(m)e(l,n)xl(m)xl-1(n)PNW蝶形運(yùn)算的量化誤差-1xl(n),()()(ImReIm)(ReIm)(ImRe)(Re)(1413121111nleWnxenxWeWnxjeWnxeWnxWnxpNllpNpNlpNlpNlRpNl 相乘所引入的舍入誤差源是復(fù)數(shù)，每個(gè)復(fù)乘包括4個(gè)實(shí)乘，每個(gè)定點(diǎn)實(shí)乘產(chǎn)生一個(gè)舍入誤差源，因此產(chǎn)生四個(gè)誤差源e1，e2，e3和e4，即 )()(),(4321eejeenle2223EBqnle），（當(dāng)誤差源e(l,n)通過(guò)后級(jí)蝶形結(jié)時(shí)，加、減運(yùn)算是不會(huì)影響方差的，而通過(guò)乘系數(shù) 后，對(duì)方差的影響為： pNW2222)

14、,(E),(E),(EnlenleWWnlepNpN e(l,n)通過(guò)所有蝶形結(jié)時(shí)，加、減和乘的運(yùn)算對(duì)方差均無(wú)影響。這樣，計(jì)算FFT的最后輸出誤差，只需知道輸出結(jié)點(diǎn)共連接多少個(gè)蝶形結(jié)即可。 N=8時(shí)連接到X(0)的各蝶形結(jié)08W08W08W08W08W08W08W0Xx(0)x(4)x(2)x(6)x(1)x(5)x(3)x(7)-1-1-1-1-1-1-1連接到X(k)末端的誤差源總數(shù)為 112222112NMM222) 1(BkkNeEX(k)上疊加的輸出噪聲 的均方值(即為方差，因均值為零)為:ke3222NqNBk蝶形結(jié)輸出的最大模值小于等于輸入最大模值的兩倍 )(, )(max2)(

15、, )(max)(, )(max1111nxmxnxmxnxmxllllll因此，F(xiàn)FT最后輸出最大值有可能等于輸入值的 倍，即NM2)(max)(max2)(maxnxNnxkXM因而要求 10 ,1)(NnNnx2、輸出的信噪比這意味著為了防止溢出，可以在輸入端一次性乘上比例因子1/N。如果假設(shè)x(n)在區(qū)間內(nèi) 是均勻等概分布的，因而x(n)的方差為 NN1,122231)(NnxExNNWnxEkXExnkNNn31)()(221022而 因此 22222213)(E)SNR(qNNkXBk從而得到在這種防止溢出方法下輸出的信噪比。第二種方法：引入了1/2的比例因子避免輸出信噪比過(guò)小問(wèn)題

16、 加比例因子的蝶形運(yùn)算WNp/21/2e(l,m)xl-1(m)e(l,n)xl(m)xl-1(n)xl(n)-1一個(gè)蝶形結(jié)乘1/2后所形成的總的誤差方差為 22222),(),(BBnleEmleE但每往前一級(jí)，其引入誤差的方差要降低到1/4倍。參照?qǐng)D蝶形結(jié)的聯(lián)接，則可求出總的輸出噪聲方差為 2222122122221112424441142241312MkBBBBMMBBBq)3/(1)(2NkXE22221412)(E)SNR(NqNkXBk考慮到輸出信號(hào)的方差仍為則可得到 蝶形結(jié)個(gè)數(shù)此時(shí)信噪比值不再和N平方成反比，而是和N成反比，信噪比大大提高，這顯然比把1/N的比例因子全放在輸入端的情況要好得多。 還有一種防止溢出的方法是采用成組浮點(diǎn)運(yùn)算。 基本思想是對(duì)FFT蝶形運(yùn)算的每一級(jí)輸出的N個(gè)數(shù)共用一個(gè)階碼。計(jì)算按定點(diǎn)運(yùn)算進(jìn)行，開(kāi)始時(shí)對(duì)于所有的輸