2019級上第16次課CH3第一節(jié)微分中值定理ppt課件

1、上一頁下一頁返回第一節(jié)第一節(jié) 微分中值定理微分中值定理一、羅爾定理一、羅爾定理二、拉格朗日中值定理二、拉格朗日中值定理三、柯西中值定理三、柯西中值定理四、小結(jié)四、小結(jié)第三章 微分中值定理與導數(shù)應(yīng)用上一頁下一頁返回一、羅爾一、羅爾(Rolle)定理定理羅爾（羅爾（R Rolleolle）定理）定理 如果函數(shù)如果函數(shù))(xf在閉區(qū)間在閉區(qū)間 ,ba 上連續(xù)上連續(xù), ,在開區(qū)間在開區(qū)間),(ba內(nèi)可導內(nèi)可導, ,且在區(qū)間端點的函數(shù)且在區(qū)間端點的函數(shù)值相等，即值相等，即)()(bfaf , ,那末在那末在),(ba內(nèi)至少有一點內(nèi)至少有一點)(ba , ,使得函數(shù)使得函數(shù))(xf在該點的導數(shù)等于零，在該

2、點的導數(shù)等于零， 即即0)( f )1()2()3(例如例如,32)(2 xxxf).1)(3( xx,3 , 1上連續(xù)上連續(xù)在在 ,)3 , 1(上可導上可導在在 , 0)3()1( ff且且)3 , 1(1( , 1 取取. 0)( f),1(2)( xxf上一頁下一頁返回幾何解釋幾何解釋: :ab1 2 xyo)(xfy .,水平的水平的在該點處的切線是在該點處的切線是點點上至少有一上至少有一在曲線弧在曲線弧CABC上一頁下一頁返回證證.)1(mM 若若,)(連連續(xù)續(xù)在在baxf.mM 和和最最小小值值必必有有最最大大值值.)(Mxf 則則. 0)( xf由此得由此得),(ba . 0)

3、( f都有都有.)2(mM 若若),()(bfaf .取得取得最值不可能同時在端點最值不可能同時在端點),(afM 設(shè)設(shè).)(),(Mfba 使使內(nèi)至少存在一點內(nèi)至少存在一點則在則在),()( fxf, 0)()( fxf上一頁下一頁返回, 0 x若若; 0)()( xfxf則則有有, 0 x若若; 0)()( xfxf則則有有; 0)()(lim)(0 xfxffx; 0)()(lim)(0 xfxffx,)(存在存在 f).()( ff. 0)( f只只有有上一頁下一頁返回注意注意:若羅爾定理的三個條件中有一個不滿足若羅爾定理的三個條件中有一個不滿足,其其結(jié)論可能不成立結(jié)論可能不成立.例如

4、例如,;2 , 2, xxy,)0(2,2一一切切條條件件滿滿足足羅羅爾爾定定理理的的不不存存在在外外上上除除在在f .0)( xf但但在在內(nèi)內(nèi)找找不不到到一一點點能能使使; 0)0(,1 , 0(,1 fxxy.1 , 0, xxy又例如又例如,上一頁下一頁返回例例1 1.10155的的正正實實根根有有且且僅僅有有一一個個小小于于證證明明方方程程 xx證證, 15)(5 xxxf設(shè)設(shè),1 , 0)(連連續(xù)續(xù)在在則則xf. 3)1(, 1)0( ff且且由介值定理由介值定理. 0)(),1 , 0(00 xfx使使即為方程的小于即為方程的小于1的正實根的正實根.,),1 , 0(011xxx

5、設(shè)另有設(shè)另有. 0)(1 xf使使,)(10件件之之間間滿滿足足羅羅爾爾定定理理的的條條在在xxxf使使得得之之間間在在至至少少存存在在一一個個),(10 xx . 0)( f)1(5)(4 xxf但但)1 , 0( , 0 x矛盾矛盾,.為為唯唯一一實實根根上一頁下一頁返回二、拉格朗日二、拉格朗日(Lagrange)中值定理中值定理拉格朗日拉格朗日(Lagrange)(Lagrange)中值定理中值定理: : 如果函數(shù)如果函數(shù) f(x)在在 閉區(qū)間閉區(qū)間,ba上連續(xù)上連續(xù), ,在開區(qū)間在開區(qū)間),(ba內(nèi)可導內(nèi)可導, ,那末在那末在 ),(ba內(nèi)至少有一點內(nèi)至少有一點)(ba ，使等式，使等

6、式 )()()(abfafbf 成立成立. . )1()2().()(:bfaf 去去掉掉了了與與羅羅爾爾定定理理相相比比條條件件中中注注意意).()()( fabafbf結(jié)結(jié)論論亦亦可可寫寫成成上一頁下一頁返回ab1 2 xxoy)(xfy ABCDNM幾何解釋幾何解釋:.,ABCAB線平行于弦線平行于弦在該點處的切在該點處的切一點一點上至少有上至少有在曲線弧在曲線弧證證分析分析:).()(bfaf 條件中與羅爾定理相差條件中與羅爾定理相差弦弦AB方程為方程為).()()()(axabafbfafy ,)(ABxf減減去去弦弦曲曲線線., 兩兩端端點點的的函函數(shù)數(shù)值值相相等等所所得得曲曲線線

7、ba上一頁下一頁返回作輔助函數(shù)作輔助函數(shù)).()()()()()(axabafbfafxfxF ,)(滿足羅爾定理的條件滿足羅爾定理的條件xF. 0)(,),( Fba使使得得內(nèi)內(nèi)至至少少存存在在一一點點則則在在0)()()( abafbff即即).)()()(abfafbf 或或拉格朗日中值公式拉格朗日中值公式注意注意: :拉氏公式精確地表達了函數(shù)在一個區(qū)間上的拉氏公式精確地表達了函數(shù)在一個區(qū)間上的增量與函數(shù)在這區(qū)間內(nèi)某點處的導數(shù)之間的關(guān)系增量與函數(shù)在這區(qū)間內(nèi)某點處的導數(shù)之間的關(guān)系. .上一頁下一頁返回,),()(內(nèi)內(nèi)可可導導在在在在設(shè)設(shè)baxf).10()()()(000 xxxfxfxx

8、f則有則有),(,00baxxx ).10()(0 xxxfy也也可可寫寫成成.的的精精確確表表達達式式增增量量 y 拉格朗日中值定理又稱有限增量定理拉格朗日中值定理又稱有限增量定理.拉格朗日中值公式又稱有限增量公式拉格朗日中值公式又稱有限增量公式.微分中值定理微分中值定理推論推論.)(,)(上是一個常數(shù)上是一個常數(shù)在區(qū)間在區(qū)間那末那末上的導數(shù)恒為零上的導數(shù)恒為零在區(qū)間在區(qū)間如果函數(shù)如果函數(shù)IxfIxf上一頁下一頁返回例例2 2).11(2arccosarcsin xxx證證明明證證1 , 1,arccosarcsin)( xxxxf設(shè)設(shè))11(11)(22xxxf . 0 1 , 1,)(

9、xCxf0arccos0arcsin)0( f又又20 ,2 .2 C即即.2arccosarcsin xx上一頁下一頁返回例例3 3.)1ln(1,0 xxxxx 時時證明當證明當證證),1ln()(xxf 設(shè)設(shè), 0)(上上滿滿足足拉拉氏氏定定理理的的條條件件在在xxf)0(),0)()0()(xxffxf ,11)(, 0)0(xxff 由上式得由上式得,1)1ln( xxx 0又又x 111, 11111 x,11xxxx .)1ln(1xxxx 即即上一頁下一頁返回三、柯西三、柯西(Cauchy)中值定理中值定理柯西柯西(CauchyCauchy) )中值定理中值定理 如果函數(shù)如果函

10、數(shù))(xf及及)(xF在閉在閉區(qū)間區(qū)間,ba上連續(xù)上連續(xù), ,在開區(qū)間在開區(qū)間),(ba內(nèi)可導內(nèi)可導, ,且且)(xF 在在),(ba內(nèi)每一點處均不為零，那末在內(nèi)每一點處均不為零，那末在),(ba內(nèi)至少內(nèi)至少 有一點有一點)(ba , ,使等式使等式 )()()()()()( FfbFaFbfaf成立成立. . 上一頁下一頁返回幾何解釋幾何解釋:)(1 F)(2 Fxoy )()(xfYxFX)(aFA)(bFBCD)(xFNM.),(),(ABfFCAB弦弦該點處的切線平行于該點處的切線平行于在在一點一點上至少有上至少有在曲線弧在曲線弧 證證作輔助函數(shù)作輔助函數(shù)).()()()()()()(

11、)()(aFxFaFbFafbfafxfx ,)(滿滿足足羅羅爾爾定定理理的的條條件件x . 0)(,),( 使得使得內(nèi)至少存在一點內(nèi)至少存在一點則在則在ba上一頁下一頁返回, 0)()()()()()( FaFbFafbff即即.)()()()()()( FfaFbFafbf. 0)(,),( 使得使得內(nèi)至少存在一點內(nèi)至少存在一點則在則在ba,)(xxF 當當, 1)(,)()( xFabaFbF)()()()()()( FfaFbFafbf).()()( fabafbf上一頁下一頁返回例例4 4).0()1(2)(),1 , 0(:,)1 , 0(,1 , 0)(fffxf 使使至至少少存存在在一一點點證證明明內(nèi)內(nèi)可可導導在在上上連連續(xù)續(xù)在在設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)證證分析分析: 結(jié)論可變形為結(jié)論可變形為 2)(01)0()1(fff.)()(2 xxxf,)(2xxg 設(shè)設(shè), 1 , 0)(),(條條件件上上滿滿足足柯柯西西中中值值定定理理的的在在則則xgxf有有內(nèi)至少存在一點內(nèi)至少存在一點在在,)1 , 0( 2)(01)0()1(fff).0()1(2)(fff 即即上一頁下一頁返回Rolle定理定理Lagrange中值定理中值定理Cauchy中值定理中值