數(shù)字電路講義-第二章

1、數(shù)字電路要解決的問題1.邏輯分析2.邏輯設計第二章邏輯函數(shù)及邏輯門 第二章邏輯函數(shù)及邏輯門1849年英國數(shù)學家喬治·布爾(George Boole首先提出了描述客觀事物邏輯的數(shù)學方法布爾代數(shù)。1938年克勞德·香農(nóng)(Claude E. Shannon將布爾代數(shù)應用到繼電開關(guān)電路的設計,因此又稱為開關(guān)代數(shù)。隨著數(shù)字技術(shù)的發(fā)展,布爾代數(shù)成為數(shù)字電路分析和設計的基礎,又稱為邏輯代數(shù)。第一節(jié)基本概念一、邏輯變量與邏輯函數(shù)二、邏輯運算三、邏輯函數(shù)的描述第二節(jié)邏輯代數(shù)的運算法則一、邏輯代數(shù)公理及基本定律 摩根定律DeMorgans theorem 第二節(jié)邏輯代數(shù)的運算法則二、幾個基本規(guī)

2、則(一代入規(guī)則:指在一個邏輯等式中,如將其中某個變量X,都代之以另一個邏輯函數(shù),則該等式依然成立。例對于一個邏輯函數(shù)Y,如將其中的“與”換成“或”,“或”換成“與”,“0”換成“1”,“1”換成“0”,而原變量及反變量本身保持不變,經(jīng)這樣置換后的新函數(shù)Y*,便是原函數(shù)Y的對偶函數(shù)。其實Y和Y*是互為對偶函數(shù)的。例:當某個邏輯恒成立時,則它的對偶式也成立,這個規(guī)則稱為對偶規(guī)則。f=g f*=g*應用:正邏輯:正邏輯用低電平表示邏輯0 、高電平表示邏輯1 ;負邏輯:負邏輯用低電平表示邏輯1 、高電平表示邏輯0 。正邏輯中的與門是負邏輯中的或門。 (三反演規(guī)則:將某邏輯函數(shù)Y中的“與”和“或”對換,

3、“0”和“1”對換,原變量和反變量也同時對換,這樣對換后的新函數(shù),便是原函數(shù)的反函數(shù)。(四展開規(guī)則:對于一個多變量函數(shù)Y=f(X1,X2,X k,可以將其中任意一個變量,例如X1分離出來,并展開成。Y= f(X1,X2,X k= /X1f(0,X2,X k+ X1f(1,X2,X k= X1+ f(0,X2,X k/X1+ f(1,X2,X k三、邏輯代數(shù)常用公式(一常用公式:(二“異或”運算公式:定義:表達式:真值表:符號:物理意義:公式:(三“同或”運算公式:第三節(jié)邏輯函數(shù)的標準形式一、最小項和標準與或表達式(一最小項定義:對于一個n個變量的集合,全體輸入變量相乘的乘積項,來表示。這是因為

4、在乘積項中,任一稱為最小項,常用mi就為0,故稱為最小項。變量為0,mi(二最小項性質(zhì):(三標準與或表達式:每個與項都是最小項的與或表達式稱為:標準與或表達式;最小項之和;積之和;SOP 返回標準表達式的特點:變換成標準形式后,通常會增加復雜度。其權(quán)衡措施就是采用更多的結(jié)構(gòu)化的方法來設計巨大而復雜的邏輯網(wǎng)絡1.從真值表求標準與或表達式例:三人表決邏輯例:某客廳有三扇門,每扇門口均裝有客廳公共照明燈的控制開關(guān),即從任一扇門出入,均可獨立接通或斷開公共照明燈的供電,試列出,該廳公共照明燈控制邏輯的真值表。從真值表可以得出物理意義:標準表達式的特點:變換成標準形式后,通常會增加復雜度。其權(quán)衡措施就是

5、采用更多的結(jié)構(gòu)化的方法來設計巨大而復雜的邏輯網(wǎng)絡1.從真值表求標準與或表達式2.從一般與或表達式求標準與或表達式第三節(jié)邏輯函數(shù)的標準形式二、最大項的標準或與表達式(一最大項定義:全體輸入變量相加的和項,稱為最大項,常用M i 來表示。這是因為在和項中,任一變量為1,M i 就為1,故稱為最大項。(二最大項性質(zhì):*最小項與最大項之間關(guān)系:(三標準或與表達式:每個或項都是最大項的或與表達式稱為:標準或與表達式;最大項之積;和之積;POS1.從真值表求標準或與表達式2.從一般或與表達式求標準或與表達式問題:為什么從真值表求函數(shù)可以用最大項之積表示? 返回第三節(jié)邏輯函數(shù)的標準形式三、未完全描述函數(shù)的真

6、值表及表達式在真值表中,有些輸出未加規(guī)定的函數(shù),稱為未完全描述函數(shù)1.任意項:這些項的輸入組合,可能永遠不會出現(xiàn),或是即使出現(xiàn)了,使函數(shù)輸出為0或1是無所謂的,并不影響命題的實質(zhì)。七段碼譯碼器十進制七段碼B 3B 0ag第三節(jié)邏輯函數(shù)的標準形式三、未完全描述函數(shù)的真值表及表達式在真值表中,有些輸出未加規(guī)定的函數(shù),稱為未完全描述函數(shù)1.任意項:這些項的輸入組合,可能永遠不會出現(xiàn),或是即使出現(xiàn)了,使函數(shù)輸出為0或1是無所謂的,并不影響命題的實質(zhì)。2.約束項:邏輯變量之間的制約關(guān)系稱為約束。把不允許出現(xiàn)的組合對應的的最小項叫約束項例:RS 觸發(fā)器通過約束項和任意項的實例可以看出:約束項對應的輸入組合

7、是不允許出現(xiàn)的。如果由于其他原因(如干擾而出現(xiàn)了,則不僅邏輯功能混亂,而重要的是電路系統(tǒng)將產(chǎn)生故障,使有的系統(tǒng)不能恢復正常工作。任意項對應的輸入組合,由于客觀條件的限制不可能出現(xiàn)。如果由于某種原因而出現(xiàn)了,僅使邏輯功能發(fā)生混亂所以約束項和任意項的相同點是:在正常工作時兩者恒為0,因此,可以隨意地將他們加入或不加入函數(shù)式中表示方法最小項形式:約束形式:真值表最簡:指用最少數(shù)目的邏輯門來實現(xiàn)其功能。乘積項最少;每個乘積項中變量最少1.并項法:2.吸收法:3.消去法:4.配項法:一、卡諾圖卡諾圖是邏輯函數(shù)的另一種表格化表示形式,它不但具有真值表的優(yōu)點,還可以明確函數(shù)的最小項、最大項或任意項,并可一次

8、性獲得函數(shù)的最簡表示式,所以卡諾圖在邏輯函數(shù)的分析和設計中,得到了廣泛的應用?？ㄖZ圖是用直角坐標來劃分一個邏輯平面,形成棋坪式方格,每個小方格就相當于輸入變量的每一種組合。小格中所填的邏輯值,即為對應輸出函數(shù)值。2個變量、3個變量、4個變量的卡諾圖例:第五節(jié)邏輯函數(shù)的圖形化簡法二、用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)(一圈1法和圈0法(二任意項的利用(三多輸出函數(shù)的化簡(三多輸出函數(shù)的化簡 二、用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)(一圈1法和圈0法(二任意項的利用(三多輸出函數(shù)的化簡(四禁止邏輯對任何邏輯函數(shù)當用不屬于它的最小項之非乘之,其邏輯功能不變。f=f(mi+mj, mi和mj不屬于f利用禁止項化簡函數(shù)的方法,稱為禁止法或阻塞法二、用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)(一圈1法和圈0法(二任意項的利用(三多輸出函數(shù)的化簡(四禁止邏輯(五降維卡諾圖化簡f(A,B.C,D=m(0,1,3,4,5,11,19,20,21,27,30,31 降維卡諾圖畫圈的原則:圈1時不能將含有變量的小格圈進,但可將任意項圈進;圈變量或函數(shù)時,只能將相同變量或函數(shù)的相鄰格圈在一起,并乘上該變量或函數(shù)。圈變量或函數(shù)時,若有相鄰的1,則可像相鄰的任意項一樣圈進。最后,將上述各類圈之函數(shù)相加。第六節(jié)邏輯門及其圖形符號一、二進制邏輯單元符號 一、二進制