《靜電場邊值問題》ppt課件

1、靜電場的邊值問題靜電場的邊值問題 普通情況下電位或場強(qiáng)滿足兩個方程 無源Laplaces Equation 有源Poissions Equation 邊值問題：在給定邊境條件下求解偏微分方程 Poissions Equation+邊境條件 Laplaces Equation +邊境條件202電場邊值問題的分類電場邊值問題的分類第1類: 知整個邊境上的電位Dirichlet Problems第2類: 知整個邊境上電位的法導(dǎo)游數(shù)Neumann Problems 第3類: 知邊境上電位+邊境電位 法導(dǎo)游數(shù)的值Hybrid Problems0smn0s0()sn5.3 一維場一維場直接積分直接積分例1

2、. 求同軸線中的電場分布，知內(nèi)半徑a外半徑b，內(nèi)導(dǎo)體電位U，外導(dǎo)體為0。 在柱坐標(biāo)系下，柱對稱下拉普拉斯方程0)(12drdrdrdr0)(drdrdrd1Cdrdr1Crdrd21lnCrC得：得：那么：12/lnln/lnaacUcUbbb lnlnrUrEeabrb 柱坐標(biāo)下柱坐標(biāo)下例 2知：導(dǎo)體球，半徑a，球體電位U 。求：球外的電位？ 分析： 球?qū)ΨQ球坐標(biāo)系下，電位只與半徑有關(guān))(r022221()0ddrr drdr21CrC /UarUarraUar21CrC例3. 同軸電纜，填充兩種介質(zhì)，內(nèi)導(dǎo)體電位為U ,外導(dǎo)體接地。求電位。由于對稱性，電位與j、z座標(biāo)無關(guān)，僅與r相關(guān)柱座標(biāo)系

3、下拉氏方程0)(12r2212( )01()01()0rrrrrrrrr解得：解得：221( )lnrCrDBrArln)(11利用邊境條件：利用邊境條件：1211121212lnln0lnlnnnraAaBUrbCaDrcAcBCcDrcrr由得： 由得： 由于處有 處有D=D ,即根據(jù)以上條件求出系數(shù)就得到介質(zhì)中電位。根據(jù)以上條件求出系數(shù)就得到介質(zhì)中電位。內(nèi)容主要包括內(nèi)容主要包括:二維拉氏方程直角坐標(biāo)系下柱坐標(biāo)系下未包括：二維球坐標(biāo)系下拉氏方程三維Laplace方程求解泊松方程非齊次方程求解5.4 分別變量法求解拉氏方程分別變量法求解拉氏方程分別變量法的主要思想分別變量法的主要思想 將方程

4、中含有各個變量的項(xiàng)別分開來，從而原方程拆分成多個更簡單的只含1個自變量和參數(shù)的常微分方程； 運(yùn)用線性疊加原理，將非齊次方程拆分成多個齊次的或易于求解的方程； 利用高數(shù)知識、級數(shù)求解知識、以及其他巧妙方法，求出各個方程的通解； 最后將這些通解“組裝起來。笛卡兒坐標(biāo)系中分別變量法求解笛卡兒坐標(biāo)系中分別變量法求解22222220 xyzZYXzZyYxXzyx)()()(),(.22222222dxXdZYzyx0111222222dzZdZdyYdYdxXdXZYX0111222222dzZdZdyYdYdxXdX2221xkdxXdX2221ykdyYdY2221zkdzZdZ0222XkdxX

5、dx0222YkdyYdy0222ZkdzZdz2220 xyzkkk其中的求解的求解02XkXx02xkkkxkxBkxAXcossinjkxjkxXAeBe或02xk0 xkBxAX02xkjkkxkxBkxAXcoshsinhkxkxXAeBe或 確定Y和Z通解的步驟類似 最后再將X、Y、Z的通解“組裝在一同 最后代入邊境條件確定待定常數(shù))()()(),(zZyYxXxyxP108頁22222220 xyz2220(0)()0 xdXkXdxXXa0000 ,00 ,xayx bxzzcU已知求腔內(nèi)電場。電勢滿足方程：電勢滿足方程：分別變量得：分別變量得：2220( 0 )()0ydYk

6、Yd yYYb解得：解得：(1, 2,3)( )sinxmkammxXxAa(1,2,3)( )sinynkbnnyX xBb22222222()()()()()()( )( )0( )zzmnmnzzababmnkZzk Z zabZ zBeCe 腔內(nèi)電勢解腔內(nèi)電勢解由二維傅里葉變換得由二維傅里葉變換得22222222()()()()110()()()()11()sinsin0()sinsinmnmnzzababmnmnmnmnmnzz cmnmnccababmnmnmnm xn yB eC eabBCm xn yB eC eUab由得由得2222()()()()004sinsinmnmnc

7、cabababmnmnm xm yB eC eUdxdyabab 一、求解矩形區(qū)域的Laplace方程 微波導(dǎo)和光波導(dǎo)器件的 橫截面常是矩形, 其中的電磁場方式多是橫電波或橫磁波, 即電場或磁場不沿著波導(dǎo)的長度方向改動，而只隨橫截面的坐標(biāo)變化; 此時求解矩形區(qū)域的Laplace方程是研討波導(dǎo)中場量和方式的重要手段。舉例. 如圖的波導(dǎo)中求解電位00),( ,)0 ,( 0),(), 0( 0Ubxvuxvyavyvvvyyxx00),( ,)0 ,( 0),(), 0( 0Ubxvuxvyavyvvvyyxx)()(),(yYxXyxv0 XX0 YY0)()0( , 0 aXXXX 本征函數(shù)為

8、：0)()0( , 0 aXXXX本征值為：), 2 , 1( )/(2nann)/sin()(axnxXn0 YYaynnaynneBeAyY/)(于是由疊加原理得到v的通解為：1/)/sin()(),(naynnaynnaxneBeAyxv00),( ,)0 ,(Ubxvuxv10)/sin()()0 ,(nnnaxnBAuxv1/0)/sin()(),(nabnnabnnaxneBeAUbxvnannnudxaxnuaBA) 1(12sin2000naabnnabnnnUdxaxnUaeBeA) 1(12sin2000/1)/sin()()0 ,(nnnaxnBAxv求解步驟求解步驟 正

9、確寫出方程和邊境條件； 在齊次化邊境條件下利用分別變量法求解； 利用齊次邊境條件求特征值、特征函數(shù)； 寫出通解方式 代入邊境，求待定系數(shù)。二、求解柱坐標(biāo)系下的Laplace方程 此時求解圓形區(qū)域的Laplace方程是研討場量和方式的重要手段。 在最常見的微波傳輸線(銅軸線)和最常見的光傳輸線(光纖)中，橫截面都是圓形，其中的電磁場方式也大多是橫電波或橫磁波，即電場或磁場不沿著波導(dǎo)的長度方向改動，而只隨橫截面的坐標(biāo)變化；求解柱坐標(biāo)系下的Laplace方程電位只與 r 有關(guān)電位只與 r、z 有關(guān)電位只與 r、j 有關(guān)01122222zuurrurrrDrCruln)(只與只與 r、z 有關(guān)的有關(guān)的

10、Laplace方程方程0 ZZ0)(122 RrnRrR)()()(rFNrEJrRnn是實(shí)數(shù)其中T)()(00TrFNTrEJ)sin()cos()(zDzCzZ)()()(rBKrAIrRnn)()(00rBKrAI 普通解為：普通解為： 1)假設(shè)思索圓內(nèi)問題那么其解為假設(shè)思索圓內(nèi)問題那么其解為 2)假設(shè)思索圓外問題那么其解為假設(shè)思索圓外問題那么其解為 3)假設(shè)思索是圓環(huán)問題，那么其解為普通解，其假設(shè)思索是圓環(huán)問題，那么其解為普通解，其中的系數(shù)由邊境條件確定。中的系數(shù)由邊境條件確定。001( , )lncossinmmmmmmmrCDrC rD rAmBmmmmmrmBmAru0 sinc

11、os),(mmmmrmBmAru sincos),(03. 電位只與電位只與 r、j 有關(guān)有關(guān)3. 球坐標(biāo)系下與球坐標(biāo)系下與j無關(guān)時軸對稱情況無關(guān)時軸對稱情況(1)120(cos )()nnnnnnA rB rPrrr0(cos)(0)nnnAPrR(1)0(cos)()nnnnBrPRr 例1. 解題時首先看能否化簡BrArln)(0|Var0|br 0lnln)(Vrabrbbar,01drdrdrdr例2. 書p例5.6三. 球坐標(biāo)系下的二維Laplace方程什么是什么是“鏡像法？鏡像法？h hq qx xy yz zh hq*q*第一類鏡像法：平面鏡像第一類鏡像法：平面鏡像0|0z0|

12、x0|z0|y),(),(zyxzyx),(),(zyxzyx002z“像點(diǎn)像點(diǎn)q*：滿足：滿足“導(dǎo)體板存在時的導(dǎo)體板存在時的條件條件*0*114),(qqqqRRqzyxh hq qx xy yz zh hq*q*qR*qR( (x,y,zx,y,z) )zqahPRzqahPR*第二類鏡像法：柱面鏡像第二類鏡像法：柱面鏡像ll*ll00*0022rMPlrPMlrdrrdrPMMPlrMPrPMl*0*02200.*所在直線稱為電軸l常數(shù)MPPM*OMPMOP*PMMPlrMPrPMl*0*0.2.200常數(shù)MPPMl*0ln2*OPOMOMOPMPPM*OPaadMPPMdaOP2*思索：復(fù)雜的第思索：復(fù)雜的