基于動(dòng)態(tài)生成機(jī)制的混沌平衡優(yōu)化算法及應(yīng)用

1、基于動(dòng)態(tài)生成機(jī)制的混沌平衡優(yōu)化算法及應(yīng)用摘 要：針對(duì)平衡優(yōu)化(EO)算法收斂速度慢、求解精度低、易陷入局部極值等不足，提出一種基于動(dòng)態(tài)生成機(jī)制的混沌平衡優(yōu)化算法(DGEO)。該算法采用混沌平衡池引領(lǐng)策略增強(qiáng)個(gè)體之間的信息交互，引入非線性動(dòng)態(tài)生成機(jī)制平衡全局搜索和局部開(kāi)發(fā)能力；同時(shí)利用黃金差分策略對(duì)位置更新后的個(gè)體進(jìn)行變異，改善算法過(guò)于依賴平衡池的問(wèn)題，提高算法局部開(kāi)發(fā)能力。選取16個(gè)基準(zhǔn)函數(shù)和30個(gè)CEC2014測(cè)試函數(shù)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)仿真，結(jié)果表明DGEO算法較標(biāo)準(zhǔn)EO算法、改進(jìn)的EO算法以及其他元啟發(fā)式算法具有更好的尋優(yōu)性能，并通過(guò)優(yōu)化3個(gè)帶約束的工程實(shí)例,佐證了DGEO的有效性和可行性。關(guān)鍵詞：

2、平衡優(yōu)化算法； 混沌平衡池； 非線性生成機(jī)制；黃金差分變異；工程優(yōu)化中圖分類號(hào)：TP301文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：網(wǎng)絡(luò)出版地址：Chaos equilibrium optimization algorithm based on dynamic generation mechanism and its applicationAbstractIn order to overcome the disadvantages of equilibrium optimization (EO) algorithm, such as slow convergence, low solution accuracy

3、 and easy to fall into local extremums, a chaos equilibrium optimization algorithm based on dynamic generation mechanism (DGEO) was proposed. In this algorithm, a chaotic equilibrium pool leading strategy is adopted to enhance the information interaction between individuals, and a nonlinear dynamic

4、generation mechanism is introduced to balance the global search and local development capabilities. At the same time, the golden difference strategy is used to mutate the individuals after the position update, so as to improve the problem that the algorithm relies too much on the balanced pool and i

5、mprove the local development ability of the algorithm.Sixteen reference functions and 30 CEC2014 test functions are selected for experimental simulation. The results show that DGEO algorithm has better performance than standard EO algorithm, improved EO algorithm and other meta-heuristic algorithms.

6、 The effectiveness and feasibility of DGEO algorithm are verified by optimizing three constrained engineering examples.Key wordsEquilibrium optimization algorithm; Chaos equilibrium pool; Nonlinear generation mechanism; Gold differential mutation; Engineering optimization1 引言元啟發(fā)式算法因其結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、易于實(shí)現(xiàn)和魯棒性高等優(yōu)

7、點(diǎn)，在解決高度復(fù)雜優(yōu)化問(wèn)題中受到越來(lái)越多的關(guān)注。近十年來(lái)，研究人員受各種生物行為和物理現(xiàn)象的啟發(fā)相繼提出了許多元啟發(fā)式算法，如粒子群優(yōu)化(Particle Swarm Optimization, PSO)算法1，鯨魚優(yōu)化算法(Whale Optimization Algorithm，WOA)2，樽海鞘群算法(Salp Swarm Algorithm，SSA)3，蜉蝣算法(Mayfly Algorithm，MA)4等。平衡優(yōu)化(Equilibrium Optimizer, EO)5算法是2019年由Faramarzia等人提出的一種新型元啟發(fā)算法，具有控制參數(shù)少、靈活性好、易于實(shí)現(xiàn)等優(yōu)點(diǎn)，同時(shí)對(duì)

8、于許多復(fù)雜優(yōu)化問(wèn)題也具有明顯的優(yōu)越性，自開(kāi)發(fā)以來(lái)已成功應(yīng)用于多個(gè)領(lǐng)域，例如：文獻(xiàn)6將EO算法應(yīng)用于多模態(tài)醫(yī)學(xué)圖像融合中，有效的提高了融合圖像的質(zhì)量和保留了輸入圖像的邊緣信息；文獻(xiàn)7利用EO算法求解交直流混合電網(wǎng)的最優(yōu)潮流問(wèn)題，其目標(biāo)是最小化總發(fā)電成本、發(fā)電環(huán)境排放、總功率損失和母線電壓偏差；文獻(xiàn)8利用EO算法來(lái)改進(jìn)隨機(jī)向量函數(shù)連接網(wǎng)絡(luò)，增強(qiáng)了對(duì)聚甲基丙烯酸甲酯板材激光切割的預(yù)測(cè)能力。然而，EO算法同其他元啟發(fā)式算法一樣，存在易陷入局部最優(yōu)、收斂速度慢、求解精度低等缺點(diǎn)。為提高EO算法的性能，國(guó)內(nèi)外學(xué)者相繼對(duì)EO算法進(jìn)行改進(jìn)。文獻(xiàn)9利用高斯變異和基于種群劃分與重構(gòu)概念的探索機(jī)制改進(jìn)EO算法，避免

9、了算法向最優(yōu)解停滯的趨勢(shì)。文獻(xiàn)10提出了一種基于當(dāng)前適應(yīng)度值的自適應(yīng)位置更新策略，通過(guò)改善EO算法過(guò)于依賴平衡池的問(wèn)題，提高了算法跳出局部最優(yōu)能力。文獻(xiàn)11采用拉普拉斯分布和反向?qū)W習(xí)策略來(lái)增大搜索區(qū)域，提高了種群的多樣性。文獻(xiàn)12將EO算法與熱交換優(yōu)化算法融合，提升了算法的全局搜索能力。文獻(xiàn)13將距離因素和精英進(jìn)化策略引入EO算法中，提高了算法的勘探能力。以上文獻(xiàn)均從不同方面對(duì)EO算法進(jìn)行改進(jìn)研究，使EO算法的性能得到了一定程度的改善，但如何更好地提高求解精度和收斂速度，平衡全局搜索能力和局部開(kāi)發(fā)能力仍需進(jìn)一步研究。鑒此，本文提出一種非線性動(dòng)態(tài)生成機(jī)制和黃金差分的混沌平衡優(yōu)化算法(Chaos

10、equilibrium optimization algorithm based on dynamic generation mechanism, DGEO)。首先，利用混沌序列的隨機(jī)性、遍歷性以及規(guī)律性特點(diǎn)，引入一種混沌平衡池引領(lǐng)策略，增強(qiáng)個(gè)體之間的信息交互，從而避免無(wú)效地搜索；其次，利用非線性動(dòng)態(tài)生成機(jī)制對(duì)生成速率進(jìn)行自適應(yīng)調(diào)整，平衡全局搜索和局部開(kāi)發(fā)能力；最后，采用黃金差分策略對(duì)位置更新后的個(gè)體進(jìn)行變異，改善了候選解位置更新過(guò)于依賴平衡池的問(wèn)題，提高算法的局部開(kāi)發(fā)能力。通過(guò)對(duì)16個(gè)基準(zhǔn)函數(shù)和30個(gè)CEC2014函數(shù)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)仿真，并與PSO、WOA、SSA、MA、灰狼優(yōu)化算法(Grey W

11、olf Optimization，GWO)14、算術(shù)優(yōu)化算法15(Arithmetic Optimization Algorithm，AOA）、正余弦算法(Sine Cosine Algorithm，SCA)16、黑猩猩優(yōu)化算法(Chimp Optimization Algorithm，ChOA)17、以及文獻(xiàn)9的m-EO、文獻(xiàn)10的AEO、文獻(xiàn)11的OB-L-EO、文獻(xiàn)12的HEO、文獻(xiàn)13的E-SFDBEO進(jìn)行比較，以驗(yàn)證本文改進(jìn)算法的有效性。2 平衡優(yōu)化算法EO算法來(lái)源于控制體積質(zhì)量動(dòng)態(tài)平衡的物理模型，模型描述了控制容積內(nèi)質(zhì)量進(jìn)入、離開(kāi)和生成的物理過(guò)程，通常采用一階常微方程來(lái)描述，其數(shù)學(xué)

12、模型如式(1)所示：式中，V表示控制容積，C為濃度，Q為控制容積的容量流率，Ceq為平衡狀態(tài)下的濃度，G表示控制容積的質(zhì)量生成速率。求解式(1)所示的微分方程可得：式中，C0為初始濃度，t0為初始時(shí)間，F(xiàn)為指數(shù)項(xiàng)系數(shù)，為流動(dòng)率。EO算法與其他元啟發(fā)算法一樣，通過(guò)隨機(jī)初始化候選解集合，其數(shù)學(xué)模型如式(4)所示：式中，Ci表示第i個(gè)個(gè)體的位置，randi為0,1之間的隨機(jī)數(shù)，Cmax、Cmin為種搜索空間的上下邊界。式中，Ceq(1)、Ceq(2)、Ceq(3)、Ceq(4)為當(dāng)前迭代四個(gè)最優(yōu)個(gè)體，Ceq(ave)為四個(gè)最優(yōu)個(gè)體的平均值，并且5個(gè)候選解被選中的概率均為0.2。指數(shù)項(xiàng)系數(shù)F為更好的平

13、衡開(kāi)發(fā)與探索能力，數(shù)學(xué)模型如式(6)所示：式中，a1為常數(shù)，r、為0,1之間的隨機(jī)數(shù)，sign為符號(hào)函數(shù)，t是隨迭代次數(shù)增加從1非線性遞減到0，其數(shù)學(xué)模型如式(7)所示：式中，t為當(dāng)前迭代次數(shù)，Tmax為最大迭代次數(shù)，a2為常數(shù)。質(zhì)量生成速率G是EO算法中最重要環(huán)節(jié)之一，為增強(qiáng)算法的全局與局部開(kāi)發(fā)能力，數(shù)學(xué)模型如式(8)所示：式中，G0數(shù)學(xué)模型如下所示：式中，r1，r2為0,1之間的隨機(jī)數(shù)，GCP為生成速率的控制參數(shù)，GP為生成概率，Ceq為平衡池中的隨機(jī)候選解，C為當(dāng)前個(gè)體位置。綜上所述，EO算法的位置更新數(shù)學(xué)模型如式(11)所示：式中，V為單位體積，其他變量同上。3 基于動(dòng)態(tài)生成機(jī)制的混沌

14、平衡優(yōu)化算法3.1 混沌平衡池引領(lǐng)策略在EO算法中，種群的位置更新由自身位置和平衡池中精英個(gè)體之間的濃度信息決定，尋優(yōu)過(guò)程中，個(gè)體之間缺乏信息交互，導(dǎo)致個(gè)體盲目跟隨精英個(gè)體。為了避免算法無(wú)效地搜索，提高算法的收斂速度，本文考慮到混沌序列的隨機(jī)性、遍歷性和規(guī)律性的特點(diǎn)18，對(duì)平衡池的候選解進(jìn)行混沌變異，利用當(dāng)前個(gè)體與混沌變異個(gè)體之間的粒子濃度強(qiáng)弱引領(lǐng)種群的尋優(yōu)方向，其具體操作過(guò)程如下：1)將平衡池中的候選解由解空間映射到0,1區(qū)間，得到混沌序列(t)，其數(shù)學(xué)模型如式(12)所示：式中，LB=min(Ceq,pool)、UB=max(Ceq,pool)；2)利用式(13)對(duì)(t)進(jìn)行切比雪夫混沌迭

15、代，有3)將進(jìn)行切比雪夫映射后的混沌序列映射至解空間內(nèi)，得到對(duì)應(yīng)的混沌個(gè)體D，其數(shù)學(xué)模型如式(14)所示：4)計(jì)算當(dāng)前個(gè)體位置和混沌個(gè)體位置的適應(yīng)度并比較適應(yīng)度值大小，然后確定當(dāng)前個(gè)體位置更新模式，即當(dāng)前個(gè)體適應(yīng)度值小于混沌個(gè)體適應(yīng)度值時(shí)，則種群受當(dāng)前個(gè)體位置吸引較大；反之，受混沌個(gè)體位置影響較大。其數(shù)學(xué)模型如式(15)所示：式中，Ct i為當(dāng)前個(gè)體位置，f(Ct i)、f(D)分別為當(dāng)前個(gè)體、混沌個(gè)體的適應(yīng)度值，為收縮因子。3.2 非線性動(dòng)態(tài)生成機(jī)制由式(11)可知，EO算法的全局搜索和局部開(kāi)發(fā)能力由指數(shù)項(xiàng)系數(shù)F和生成速率G進(jìn)行控制，而生成速率G的取值決定于控制參數(shù)GCP。由式(10)可知，

16、在整個(gè)迭代過(guò)程中，固定值的生成概率GP難以擬合算法的非線性收斂過(guò)程，從而難以平衡算法的全局搜索和局部開(kāi)發(fā)能力。為解決這一問(wèn)題，本文基于控制參數(shù)GCP提出一種非線性動(dòng)態(tài)生成機(jī)制，其數(shù)學(xué)模型如式下：式中，為收斂調(diào)整因子，取值為0.4，為控制參數(shù)，取值為0.2，t為當(dāng)前迭代次數(shù)，Tmax為最大迭代次數(shù)。由式(17)、(18)可知，改進(jìn)的生成概率GP為非線性遞增函數(shù)，改進(jìn)參數(shù)r1為非線性遞減函數(shù)。在迭代初期時(shí)，r1下降速度緩慢且長(zhǎng)時(shí)間處于較大值，同時(shí)GP緩慢上升，提高控制參數(shù)GCP的生成概率，以便增強(qiáng)算法的全局搜索能力；在迭代后期，r1下降緩慢并處于較小值，同時(shí)GP上升緩慢并處于較大值，以便降低控制參

17、數(shù)GCP的生成概率，充分發(fā)揮平衡池的引領(lǐng)作用，提高算法的局部開(kāi)發(fā)能力。3.3 黃金差分變異策略在EO算法中，候選解的位置更新過(guò)于依賴平衡池的四個(gè)最優(yōu)個(gè)體位置及其平均值，當(dāng)平衡池中的個(gè)體陷入局部極值時(shí)，其他候選解也可能陷入局部極值，縮小了種群的全局搜索空間，這也是標(biāo)準(zhǔn)EO算法求解精度不高的主要原因之一。為解決這一問(wèn)題，受文獻(xiàn)19和文獻(xiàn)20共同啟發(fā)，本文提出一種黃金差分變異策略，將式(11)位置更新后的候選解進(jìn)行黃金差分變異，其數(shù)學(xué)模型如式(19)所示：式中，C1為當(dāng)前最優(yōu)個(gè)體位置，C2為當(dāng)前次優(yōu)個(gè)體位置，1、2分別是取值0,和0,2之間的隨機(jī)數(shù)，1、2是根據(jù)黃金分割比率得到的黃分割系數(shù)，其數(shù)學(xué)模

18、型如下：在標(biāo)準(zhǔn)的差分變異策略21中,縮放因子的大小決定差分變異操作中差分?jǐn)_動(dòng)的程度，如果縮放因子取值過(guò)小，則會(huì)加快算法收斂，導(dǎo)致算法陷入局部極值；如果縮放因子取值過(guò)大，則會(huì)使算法收斂變慢。鑒此本文引入黃金正弦因子對(duì)差分變異策略進(jìn)行改進(jìn)，提出了一種黃金差分變異策略，利用正弦函數(shù)的曲線值域分布特點(diǎn)，增加種群的多樣性；同時(shí)利用黃金分割數(shù)得到的系數(shù)可以逐步縮小算法搜索空間，使其個(gè)體穩(wěn)步趨近最優(yōu)值，提高了算法的跳出局部極值能力和求解精度。3.4 DGEO實(shí)現(xiàn)步驟算法1 DGEO算法，步驟如下Step1設(shè)置算法初始參數(shù)，包括種群規(guī)模N，最大迭代次數(shù)Tmax，搜索空間維度d，系數(shù)a1、a2；Step2根據(jù)公

19、式(4)初始化種群；Step3計(jì)算個(gè)體適應(yīng)度值，記錄前四個(gè)最優(yōu)個(gè)體，構(gòu)建平衡池Ceq,pool；Step4 根據(jù)公式(12)(16)執(zhí)行混沌平衡池引領(lǐng)策略；Step5 根據(jù)公式(17)、(18)更新生成概率GP和參數(shù)r1；Step6根據(jù)公式(11)更新候選解位置，重新計(jì)算個(gè)體適應(yīng)度值，選出最優(yōu)個(gè)體和次優(yōu)個(gè)體位置；Step7根據(jù)公式(19)對(duì)候選解進(jìn)行黃金差分變異，并計(jì)算變異后和變異前的適應(yīng)度值，保留適應(yīng)度值較好的個(gè)體；Step8判斷算法是否滿足結(jié)束條件，若滿足，輸出最優(yōu)值，否則返回Step3。3.5 時(shí)間復(fù)雜度分析時(shí)間復(fù)雜度是檢驗(yàn)算法運(yùn)行效率的關(guān)鍵指標(biāo)。在EO算法中，假設(shè)種群規(guī)模為N，搜索空間

20、維度為d，參數(shù)初始化時(shí)間為t1，產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)的時(shí)間為t2，求解適應(yīng)度的時(shí)間為f(d)，對(duì)適應(yīng)度值排序并構(gòu)建平衡池的時(shí)間為t3，更新參數(shù)t的時(shí)間為t4，種群位置更新時(shí)間為t5，則標(biāo)準(zhǔn)EO算法總的時(shí)間復(fù)雜度為：在改進(jìn)的DGEO算法中，參數(shù)的初始化和計(jì)算適應(yīng)度的時(shí)間和標(biāo)準(zhǔn)的EO算法一樣，迭代的過(guò)程中，設(shè)引入混沌均衡池引領(lǐng)階段的時(shí)間為t6，更新改進(jìn)的控制參數(shù)GCP的時(shí)間為t7，黃金差分變異階段的時(shí)間為t8，則DGEO總的時(shí)間復(fù)雜度為：基于上述分析，本文所提DGEO算法和標(biāo)準(zhǔn)EO算法的時(shí)間復(fù)雜度屬于同一數(shù)量級(jí)，說(shuō)明DGEO算法最終的時(shí)間復(fù)雜度并沒(méi)有的提高。4 實(shí)驗(yàn)仿真與結(jié)果分析實(shí)驗(yàn)運(yùn)行環(huán)境為64位Wind

21、ows 7操作系統(tǒng)，CPU為Iter Core i5-7200U，主頻為2.6GHz，內(nèi)存為4GB，算法基于MATLAB R2016a編寫。為充分驗(yàn)證本文DGEO算法的有效性，采用16個(gè)具有不同特征的測(cè)試函數(shù)，如表1所示，其中f1f6為連續(xù)單峰測(cè)試函數(shù)，f7f12為復(fù)雜多峰測(cè)試函數(shù)，f13f16為固定低維測(cè)試函數(shù)。為確保算法對(duì)比的公平性，其算法的基本參數(shù)設(shè)置相同：種群規(guī)模N=30，最大迭代次數(shù)Tmax=500，測(cè)試函數(shù)維度d為30/100/500。各基本算法內(nèi)部參數(shù)設(shè)置如表2所示。表1 基準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)f函數(shù)名維度范圍最優(yōu)值f1Sphere30/100/500-100,1000f2shwefel.

22、2.2230/100/500-10,100f3Schwefel.1.230/100/500-100,1000f4Schwefel.2.2130/100/500-100,1000f5Step30/100/500-100,1000f6Quartic30/100/500-1.28,1.280f7Schwefel2.2630/100/500-500,500-418.9829*df8Rastrigin30/100/500-5.12,5.120f9Ackley30/100/500-32,320f10Criewank30/100/500-600,6000f11Penalized 130/100/500-50

23、,500f12Apline30/100/500-10,100f13Kowalik4-5,50.0003f14Sheke_140,10-10.1532f15Sheke_240,10-10.4028f16Shekel_340,10-10.5363表2 算法參數(shù)設(shè)置算法主要參數(shù)SCAm=2ChOAfmax=2.5, fmin=0SSA/MAg=0.8,gdamp=1,a1=1,a2=1.5,a3=1.5,dance=5PSOvmax=6,vmin=-6,wmax=0.9,wmin=0.6,c1=c2=2GWOamax=2,amin=0WOAamax=2,amin=0,b=1EOa1=2,a2=1,G

24、P=0.5DGEOa1=2,a2=14.1 算法性能對(duì)比分析為了驗(yàn)證DGEO算法的整體性能，使用了八種算法進(jìn)行比較：EO算法、SCA算法、MA算法、PSO算法、GWO算法、WOA算法、ChOA算法和SSA算法。為了避免算法偶然性帶給性能的比較誤差，對(duì)每個(gè)測(cè)試函數(shù)分別獨(dú)立運(yùn)行30次，通過(guò)對(duì)比平均值(Mean)和標(biāo)準(zhǔn)差(Std)來(lái)判斷優(yōu)化算法的性能，其中平均值反映算法的收斂速度，標(biāo)準(zhǔn)差反映算法的穩(wěn)定性，結(jié)果如表3所示。由表3的數(shù)據(jù)可知，對(duì)于連續(xù)單峰測(cè)試函數(shù)f1f4，DGEO均能找到其理論最優(yōu)值，同時(shí)標(biāo)準(zhǔn)差均為0，證明了算法具有很好的穩(wěn)定性，對(duì)于函數(shù)f5、f6，雖未尋到理論最優(yōu)值，但平均值遠(yuǎn)高于其余

25、8種算法，且穩(wěn)定性較好。在復(fù)雜多峰測(cè)試函數(shù)中，DGEO也能得到高精度的解，尤其對(duì)于函數(shù)f8、f10、f12，DGEO均能找到理論最優(yōu)值，而其他8種算法均不能。對(duì)于函數(shù)f7、f9、f11，DGEO雖未能找到理論最優(yōu)值，但求解精度遠(yuǎn)遠(yuǎn)優(yōu)于其他8種算法，證明了DGEO具有較好的跳出局部極值能力，同時(shí)在標(biāo)準(zhǔn)差的對(duì)比中，DGEO的標(biāo)準(zhǔn)差均最小，因此在穩(wěn)定性方面，DGEO算法的魯棒性較好。在固定低維測(cè)試函數(shù)中，除函數(shù)f13外，DGEO亦都能找到理論最優(yōu)值，且魯棒性較好，進(jìn)一步驗(yàn)證了DGEO算法是行之有效的。表3 9不同算法對(duì)基準(zhǔn)函數(shù)的優(yōu)化性能比較函數(shù)指標(biāo)SCAChOASSAMAPSOGWOWOAEODGE

26、OF1Mean2.46E+014.71E-062.23E-071.67E-052.66E+002.65E-273.36E-724.09E-410.00E+00Std6.76E+017.25E-064.00E-074.73E-051.21E+004.47E-271.81E-717.73E-410.00E+00F2Mean1.83E-023.28E-052.06E+006.85E-044.44E+001.23E-164.82E-526.04E-240.00E+00Std2.25E-024.14E-051.54E+001.73E-031.25E+009.51E-171.24E-517.21E-240

27、.00E+00F3Mean1.02E+041.96E+021.45E+035.53E+032.00E+021.05E-054.33E+048.54E-090.00E+00Std6.28E+034.00E+028.12E+021.30E+026.03E+012.32E-051.73E+043.64E-080.00E+00F4Mean3.54E+013.06E-019.72E+004.51E+012.02E+007.53E-074.36E+011.23E-100.00E+00Std1.24E+012.45E-012.18E+002.21E-012.50E-017.96E-072.83E+011.3

28、4E-100.00E+00F5Mean1.43E+013.70E+001.74E-061.19E-052.53E+008.01E-014.07E-018.97E-065.48E-07Std1.31E+014.38E-012.18E-062.22E-051.00E+003.76E-012.14E-016.48E-061.12E-06F6Mean7.04E-022.73E-031.72E-012.54E-021.60E+011.91E-033.27E-031.34E-031.02E-05Std7.33E-021.97E-038.20E-028.93E-031.50E+011.02E-034.12E

29、-038.36E-041.26E-05F7Mean-3.72E+03-5.71E+03-7.53E+03-9.87E+03-6.59E-03-6.13E+03-1.06E+04-8.84E+03-1.24E+04Std2.96E+026.18E+016.39E+024.99E+021.26E+03872.33141.92E+037.10E+022.82E+02F8Mean4.65E+011.17E+015.69E+015.13E+011.68E+023.45E+003.79E-151.89E-150.00E+00Std4.79E+011.19E+011.71E+012.06E+013.24E+

30、013.51E+001.44E-141.03E-140.00E+00F9Mean1.69E+012.00E+012.85E+001.73E+002.57E+001.04E-134.44E-158.59E-158.88E-16Std7.33E+003.15E-028.67E-015.35E-015.33E-011.58E-142.29E-152.30E-150.00E+00F10Mean1.08E+002.05E-021.93E-022.49E-021.24E-019.72E-041.32E-023.29E-040.00E+00Std5.57E-013.45E-021.38E-022.98E-0

31、24.65E-023.83E-034.25E-021.80E-030.00E+00F11Mean1.44E+044.69E-017.16E+005.20E-014.04E-024.89E-022.27E-024.60E-072.35E-08Std5.90E+041.82E-013.72E+007.08E-012.44E-022.56E-021.45E-023.58E-072.65E-08F12Mean1.54E+004.06E-034.07E+002.19E-046.01E+007.29E-042.16E-392.73E-240.00E+00Std3.19E+001.24E-022.22E+0

32、04.02E-042.90E+007.62E-041.18E-384.45E-240.00E+00F13Mean9.79E-049.79E-041.33E-033.08E-038.97E-049.73E-036.49E-042.35E-033.56E-04Std3.24E-043.24E-045.16E-046.91E-031.30E-041.31E024.45E-046.11E-038.45E-05F14Mean-2.6931-1.6733-7.8901-5.9683-8.0397-9.3935-8.2692-8.1255-10.1532Std1.91521.67983.1123.54852

33、.7392.00682.72142.775.79E-15F15Mean-4.0105-3.6312-9.1095-6.6698-8.9849-10.2252-8.2252-9.3623-10.4028Std1.69751.95822.68523.80572.91150.970323.17392.41341.04E-15F16Mean-4.7637-4.4468-8.0623-7.8211-9.5646-9.9948-7.1163-9.682-10.5363Std2.29251.69233.37843.66192.24282.05863.53522.25412.06E-15 (a) f1 (b)

34、 f2 (c) f3 (d) f7 (e) f11 (f) f12 (g) f14 (h) f15 (l) f16圖1 部分基準(zhǔn)函數(shù)收斂曲線4.2 收斂性分析為了更直觀地對(duì)比本文算法與其他八種算法的尋優(yōu)性能，突出DGEO算法的優(yōu)勢(shì)，圖1給出了部分基準(zhǔn)函數(shù)的平均收斂曲線圖，圖中橫坐標(biāo)表示迭代次數(shù)，縱坐標(biāo)表示函數(shù)平均最優(yōu)值的對(duì)數(shù)值。從圖1可以看出，對(duì)于大多數(shù)測(cè)試函數(shù)，DGEO算法的收斂精度明顯高于其他算法，表明了加入黃金差分變異策略改善了候選解過(guò)于依賴平衡池的問(wèn)題，提高了算法的跳出局部極值能力。圖1(a)(f)為單峰測(cè)試函數(shù)和多峰測(cè)試函數(shù)的收斂曲線圖，由圖1可以看出，DGEO算法的收斂速度明顯快于

35、其他算法，尤其對(duì)于函數(shù)f1、f2、f3、f12，在相同的迭代次數(shù)下能快速收斂到理論最優(yōu)值，這表明混沌平衡池引領(lǐng)策略糾正了種群盲目的移動(dòng)方向，避免無(wú)效地搜索，從而提高了收斂速度。圖1(g)-(l)為固定多峰測(cè)試函數(shù)，由圖可以看出，DGEO算法的停滯次數(shù)明顯少于其他算法，即使短暫陷入局部極值，但也能很快地跳出局部極值，并且快速的收斂時(shí)到理論最優(yōu)值，表明了改進(jìn)的非線性動(dòng)態(tài)生成機(jī)制能更有效地平衡全局搜索和局部開(kāi)發(fā)。綜上所述，DGEO算法對(duì)比其他算法具有更高的求解精度和收斂速度，佐證了本文算法的有效性和優(yōu)越性。4.3 與其他改進(jìn)EO算法性能對(duì)比為了突出改進(jìn)算法的競(jìng)爭(zhēng)性，將本文所提DGEO算法與目前最新改

36、進(jìn)的EO算法：m-EO9、AEO10、OB-L-EO11、HEO12 進(jìn)行對(duì)比，為實(shí)現(xiàn)對(duì)比的公平性，所有算法的迭代次數(shù)均為500，種群規(guī)模設(shè)為30，除固定低維測(cè)試函數(shù)f13f16外，其他函數(shù)搜索維度為30/100/500，并獨(dú)立運(yùn)行30次，對(duì)比結(jié)果如表4和表5所示，表中“”代表無(wú)數(shù)據(jù)。由表4和表5可知，對(duì)于單峰函數(shù)f1f3，DGEO在30維、100維和500維求解函數(shù)時(shí)，均能尋到理論最優(yōu)值，且魯棒性較好，而其他5種算法都會(huì)隨著維度上升導(dǎo)致求解精度和魯棒性下降。對(duì)于函數(shù)f4，DGEO雖在100維的情況下要略差于OB-L-EO算法，但在30維和500維時(shí)，DGEO要優(yōu)于其他5種算法，且標(biāo)準(zhǔn)差均為0

37、。對(duì)于函數(shù)f5、f6，雖然都未能找到理論最優(yōu)值，但DGEO在各個(gè)維度下都要優(yōu)于其他5種算法。對(duì)于f7函數(shù)，雖DGEO在500維的求解精度略差于m-EO，但標(biāo)準(zhǔn)差要優(yōu)于m-EO和其他4種算法，說(shuō)明DGEO的魯棒性更好。對(duì)于函數(shù)f11，DGEO在100維和500維的情況下要略差于m-EO，說(shuō)明DGEO在求解高維多峰優(yōu)化問(wèn)題時(shí)性能上仍需加強(qiáng)。此外對(duì)于函數(shù)f12f16，在5種算法求解精度低和穩(wěn)定性差的情況下，DGEO仍具有較高的求解精度和穩(wěn)定性，并且除f13外，DGEO亦都能找到理論最優(yōu)值。綜上所述，與改進(jìn)的m-EO、AEO、OB-L-EO、E-SFDBEO、HEO相比，DGEO算法的性能更具有顯著的

38、優(yōu)勢(shì)。表4 與其他改進(jìn)EO算法在不同維度下的對(duì)比結(jié)果fdm-EO9AEO10OB-L-EO11HEO12E-SFDBEO12DGEOMeanStdMeanStdMeanStdMeanStdMeanStdMeanStdf1300.00E+000.00E+001.62E1047.47E1046.76E2120.00E+005.60E-1960.00E+001.77E-2170.00E+000.00E+000.00E+001001.53E-3040.00E+001.47E974.93E970.00E+000.00E+000.00E+000.00E+005000.00E+000.00E+003.56E

39、781.48E771.09E-2060.00E+000.00E+000.00E+00f2303.93E-1670.00E+001.38E563.65E561.93E1088.00E1080.00E+002.75E-941.73E-1146.68E-1140.00E+000.00E+001003.09E-1611.58E-1601.99E523.36E520.00E+000.00E+000.00E+000.00E+005001.36E-1605.90E-1603.70E439.08E432.97E-1081.61E-1070.00E+000.00E+00f3302.71E-3060.00E+00

40、4.24E382.30E376.93E1870.00E+006.44E-1983.09E-1061.42E-2010.00E+000.00E+000.00E+001008.50E-2970.00E+004.01E091.99E080.00E+000.00E+000.00E+000.00E+005004.63E-2930.00E+002.64E+027.78E+024.17E-1840.00E+000.00E+000.00E+00f4302.31E-1591.17E-1581.94E469.14E464.73E1031.6E1021.22E-962.02E-952.03E-1061.07E-10

41、50.00E+000.00E+001002.83E-1579.04E-1574.53E421.42E410.00E+000.00E+001.52E-3140.00E+005001.48E-1547.46E-1545.05E282.35E271.05E-995.73E-997.39E-3070.00E+00f5309.23E-054.18E-056.45E064.98E069.09E055.98E051.11E-031.34E-035.48E-071.12E-061005.28E-034.24E-033.49E+007.01E-011.53E012.05E019.17E-044.50E-0450

42、04.92E-025.50E-028.99E+012.30E-033.46E-031.91E-03f6302.47E-042.23E-041.10E-035.87E044.70E043.05E041.18E-057.32E-053.11E-042.64E-041.02E-051.26E-051003.47E-042.50E-040.00238.46E041.47E041.22E041.25E-041.12E-045005.11E-043.90E-040.00480.00233.98E-044.43E-042.02E-041.66E-04f730-1.22E+041.02E+038.91E+03

43、621.17049.06E+039.28E+02-1.24E+042.82E+02100-4.19E+049.63E+002.58E+041.34E+032.85E+042.09E+03-4.19E+041.63E+00500-2.09E+051.87E+027.62E+045.92E+03-1.96E+051.13E+02f8300.00E+000.00E+000.00E+000.00E+000.00E+000.00E+000.00E+000.00E+000.00E+000.00E+000.00E+000.00E+001000.00E+000.00E+000.00E+000.00E+000.

44、00E+000.00E+000.00E+000.00E+005000.00E+000.00E+000.00E+000.00E+000.00E+000.00E+000.00E+000.00E+00f9308.88E-160.00E+005.98E151.79E158.88E164.01E318.88E-160.00E+008.88E-160.00E+008.88E-160.00E+001008.88E-160.00E+006.81E151.70E158.88E168.88E168.88E-160.00E+005008.88E-160.00E+007.52E152.03E158.88E-160.0

45、0E+008.88E-160.00E+00f10300.00E+000.00E+000.00E+000.00E+000.00E+000.00E+000.00E+000.00E+000.00E+000.00E+000.00E+000.00E+001000.00E+000.00E+000.00E+000.00E+000.00E+000.00E+000.00E+000.00E+005000.00E+000.00E+000.00E+000.00E+000.00E+000.00E+000.00E+000.00E+00f11306.26E-063.92E-065.22E075.00E076.29E064.

46、35E061.79E-055.06E-052.35E-082.65E-081002.18E-051.78E-053.45E-028.20E-035.83E041.14E038.00E-033.54E-035001.98E-052.25E-056.44E-013.48E-029.75E-021.75E-02f12301.65E-1650.00E+004.88E-1152.56E-1140.00E+000.00E+001001.65E-1640.00E+000.00E+000.00E+005005.61E-1600.00E+003.92E-1091.38E-1080.00E+000.00E+00表

47、5 與其他改進(jìn)EO算法在固定低維下的對(duì)比結(jié)果(d=4)fm-EO9AEO10OB-L-EO11HEO12E-SFDBEO13DGEOMeanStdMeanStdMeanStdMeanStdMeanStdMeanStdf131.55E-014.93E-011.10E-023.70E-034.61E043.47E041.02E+003.87E+004.60E-041.64E-043.56E-048.45E-05f14-9.33E+002.23E+008.45E+002.44E+001.02E+019.12E06-1.02E+015.79E-15f15-1.01E+011.35E+009.47E+0

48、02.13E+001.04E+017.99E06-1.04E+011.04E-15f16-1.03E+019.87E-019.82E+001.87E+001.02E+011.36E+00-1.05E+012.06E-154.4 Wilcoxon秩和檢驗(yàn)上述仿真中，均未對(duì)每次結(jié)果進(jìn)行獨(dú)立的比較。為了更加全面地體現(xiàn)算法性能，本文采用Wilcoxon秩和檢驗(yàn)來(lái)驗(yàn)證DGEO每次運(yùn)行結(jié)果是否在統(tǒng)計(jì)上與其他算法存在顯著性差異。秩和檢驗(yàn)在p=5%的顯著性水平下進(jìn)行，p值小于5%時(shí)，拒絕H0假設(shè),表明兩種對(duì)比算法具顯著性差異；否則接受H0假設(shè)，說(shuō)明兩種算法尋優(yōu)結(jié)果在整體上是相同的22。表6給出了16個(gè)測(cè)試函數(shù)

49、下DGEO與SCA、ChOA、SSA、MA、PSO、GWO、WOA、EO共8種算法的秩和檢驗(yàn)p值，表中“R”表示顯著性判斷結(jié)果，符號(hào)“+”、“=”、“-”分別表示DGEO算法秩和統(tǒng)計(jì)結(jié)果優(yōu)于、等于和差于其他對(duì)比算法。從表6可知，所有p值遠(yuǎn)小于5%，表明了DGEO算法與其他8種算法之間存在顯著性差異，并且DGEO顯著更優(yōu)。表6 Wilcoxon秩和檢驗(yàn)結(jié)果函數(shù)SCAChOASSAMAPSOGWOWOAEOp-value Rp-value Rp-value Rp-value Rp-value Rp-value Rp-value Rp-value Rf13.31E-20 +3.31E-20 +3.31E-20 +3.31E-20 +3.31E-20 +3.31E-20 +3.31E-20 +3.31E-20 +f23.31E-20 +3.31E-20 +3.31E-20 +3.31E-20 +3.31E-20 +3.31E-20 +3.31E-20 +3.31E-20 +f33.31E-20 +3.31E-20 +3.31E-20 +3.31E-20 +3.31E-20 +3.31E-20 +3.31E-20 +3.31E-20 +f