計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué) 第五章 異方差

1、第第5章章 異方差異方差以下討論都是在模型某一個(gè)假定條件違反，而其他以下討論都是在模型某一個(gè)假定條件違反，而其他假定條件都成立的情況下進(jìn)行。分假定條件都成立的情況下進(jìn)行。分5個(gè)步驟。個(gè)步驟?；仡櫦俣l件?；仡櫦俣l件。假定條件不成立對(duì)模型參數(shù)估計(jì)帶來的影響。假定條件不成立對(duì)模型參數(shù)估計(jì)帶來的影響。定性分析假定條件是否成立。定性分析假定條件是否成立。假定條件是否成立的檢驗(yàn)（定量判斷）。假定條件是否成立的檢驗(yàn)（定量判斷）。假定條件不成立時(shí)的補(bǔ)救措施。假定條件不成立時(shí)的補(bǔ)救措施。第第5 5章章 異方差異方差異方差概念異方差概念異方差來源與后果異方差來源與后果異方差檢驗(yàn)（異方差檢驗(yàn)（Goldfeld-

2、Quandt 檢驗(yàn)、檢驗(yàn)、 white檢驗(yàn)、檢驗(yàn)、Glejser檢驗(yàn)）檢驗(yàn)）異方差的修正方法（異方差的修正方法（GLS、WLS）異方差案例分析異方差案例分析5.1異方差概念異方差概念同方差假定：模型的假定條件同方差假定：模型的假定條件 給出給出Var(u) 是一個(gè)對(duì)角是一個(gè)對(duì)角矩陣，且主對(duì)角線上的元素都是常數(shù)且相等。矩陣，且主對(duì)角線上的元素都是常數(shù)且相等。Var(u) = E(u u ) = 2I = -2024681012050100150200XY1010125.1異方差概念異方差概念當(dāng)這個(gè)假定不成立時(shí)，當(dāng)這個(gè)假定不成立時(shí)，Var(u) 不再是一個(gè)純量對(duì)角矩陣。不再是一個(gè)純量對(duì)角矩陣。Va

3、r(u) = 2 = 2 I 當(dāng)誤差向量當(dāng)誤差向量u的方差協(xié)方差矩陣主對(duì)角線上的元素不相等時(shí)，稱該隨機(jī)誤差的方差協(xié)方差矩陣主對(duì)角線上的元素不相等時(shí)，稱該隨機(jī)誤差系列存在異方差。非主對(duì)角線上的元素表示誤差項(xiàng)之間的協(xié)方差值。若系列存在異方差。非主對(duì)角線上的元素表示誤差項(xiàng)之間的協(xié)方差值。若 非非主對(duì)角線上的部分或全部元素都不為零，誤差項(xiàng)就是自相關(guān)的。主對(duì)角線上的部分或全部元素都不為零，誤差項(xiàng)就是自相關(guān)的。異方差通常有三種表現(xiàn)形式，（異方差通常有三種表現(xiàn)形式，（1）遞增型，（）遞增型，（2）遞減型，（）遞減型，（3）條件自回）條件自回歸型。歸型。0123456720406080100 120 140

4、160 180 200Y-8-6-4-202464005006007008009001000 1100 1200DJPYTT00221125.2 異方差來源與后果異方差來源與后果異方差來源：異方差來源：(1) 時(shí)間序列數(shù)據(jù)和截面數(shù)據(jù)中都有可能存在異方差。時(shí)間序列數(shù)據(jù)和截面數(shù)據(jù)中都有可能存在異方差。(2) 經(jīng)濟(jì)時(shí)間序列中的異方差常為遞增型異方差。金經(jīng)濟(jì)時(shí)間序列中的異方差常為遞增型異方差。金融時(shí)間序列中的異方差常表現(xiàn)為自回歸條件異方差。融時(shí)間序列中的異方差常表現(xiàn)為自回歸條件異方差。0.0E+002.0E+114.0E+116.0E+118.0E+111.0E+121.2E+128486889092

5、9496980002GDP of Philippin-8.0E+10-4.0E+100.0E+004.0E+108.0E+101.2E+1184868890929496980002RESID 5.2 異方差來源與后果異方差來源與后果 5.4 異方差檢驗(yàn)異方差檢驗(yàn)5.4.1 定性分析異方差定性分析異方差(1) 宏觀經(jīng)濟(jì)變量容易出現(xiàn)異方差宏觀經(jīng)濟(jì)變量容易出現(xiàn)異方差(自回歸條件異方差自回歸條件異方差)。 (2) 利用散點(diǎn)圖做初步判斷。利用散點(diǎn)圖做初步判斷。(3) 利用殘差圖做初步判斷利用殘差圖做初步判斷(以解釋變量為橫坐標(biāo)，殘差平方以解釋變量為橫坐標(biāo)，殘差平方為縱坐標(biāo)為縱坐標(biāo))。0123456720

6、406080100 120 140 160 180 200Y-3-2-10123050100150200TY 散點(diǎn)圖散點(diǎn)圖 殘差圖殘差圖5.4 異方差檢驗(yàn)異方差檢驗(yàn)(1) Goldfeld-Quandt 檢驗(yàn)檢驗(yàn)H0: ut 具有同方差，具有同方差， H1: ut 具有遞增型異方差。具有遞增型異方差。把原樣本分成兩個(gè)子樣本。具體方法是把成對(duì)（組）的觀把原樣本分成兩個(gè)子樣本。具體方法是把成對(duì)（組）的觀測(cè)值按解釋變量順序排列，略去測(cè)值按解釋變量順序排列，略去m個(gè)處于中心位置的觀測(cè)值個(gè)處于中心位置的觀測(cè)值（通常（通常T 30時(shí)，取時(shí)，取m T / 4，余下的，余下的T- m個(gè)觀測(cè)值自然分成個(gè)觀測(cè)值自

7、然分成容量相等，容量相等，(T- m) / 2，的兩個(gè)子樣本。），的兩個(gè)子樣本。）01234567050100150200XYY 5.4 異方差檢驗(yàn)異方差檢驗(yàn)(1) Goldfeld-Quandt 檢驗(yàn)檢驗(yàn)用兩個(gè)子樣本分別估計(jì)回歸直線，并計(jì)算殘差平方和。用兩個(gè)子樣本分別估計(jì)回歸直線，并計(jì)算殘差平方和。 相對(duì)于相對(duì)于n2 和和n1 分別用分別用SSE2 和和SSE1表式。表式。 構(gòu)造構(gòu)造F統(tǒng)計(jì)量。統(tǒng)計(jì)量。F = ，（，（k為模型中被估參數(shù)個(gè)數(shù)）為模型中被估參數(shù)個(gè)數(shù)） 在在H0成立條件下，成立條件下，F(xiàn) F(n2 - k, n1 - k) 判別規(guī)則如下，判別規(guī)則如下， 若若 F F (n2 - k

8、, n1 - k), 接受接受H0（ut 具有同方差）具有同方差） 若若 F F (n2 - k, n1 - k), 拒絕拒絕H0（遞增型異方差）（遞增型異方差）注意注意： 當(dāng)摸型含有多個(gè)解釋變量時(shí)，應(yīng)以每一個(gè)解釋變量為基準(zhǔn)檢驗(yàn)異方差。當(dāng)摸型含有多個(gè)解釋變量時(shí)，應(yīng)以每一個(gè)解釋變量為基準(zhǔn)檢驗(yàn)異方差。 此法只適用于遞增型異方差。此法只適用于遞增型異方差。 對(duì)于截面樣本，計(jì)算對(duì)于截面樣本，計(jì)算F統(tǒng)計(jì)量之前，必須先把數(shù)據(jù)按解釋變量的值排序。統(tǒng)計(jì)量之前，必須先把數(shù)據(jù)按解釋變量的值排序。121122)/()/(SSESSEknSSEknSSE2tu(2) White檢驗(yàn)檢驗(yàn)White檢驗(yàn)由檢驗(yàn)由H. Wh

9、ite 1980年提出。年提出。White檢驗(yàn)不需要對(duì)觀測(cè)值排序，也不檢驗(yàn)不需要對(duì)觀測(cè)值排序，也不依賴于隨機(jī)誤差項(xiàng)服從正態(tài)分布，它是通過一個(gè)輔助回歸式構(gòu)造依賴于隨機(jī)誤差項(xiàng)服從正態(tài)分布，它是通過一個(gè)輔助回歸式構(gòu)造 2 統(tǒng)計(jì)量統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行進(jìn)行異方差檢驗(yàn)異方差檢驗(yàn)。以二元回歸模型為例，。以二元回歸模型為例，White檢驗(yàn)的具體步驟如下。檢驗(yàn)的具體步驟如下。 yt = 0 + 1 xt1 + 2 xt2 + ut 首先對(duì)上式進(jìn)行首先對(duì)上式進(jìn)行OLS回歸，求殘差回歸，求殘差ut 。做如下輔助回歸式，做如下輔助回歸式， = 0 + 1 xt1 + 2 xt2 + 3 xt12 + 4 xt22 + 5 xt

10、1 xt2 + vt 即用即用 對(duì)原回歸式中的各解釋變量、解釋變量的平方項(xiàng)、交叉積項(xiàng)進(jìn)行對(duì)原回歸式中的各解釋變量、解釋變量的平方項(xiàng)、交叉積項(xiàng)進(jìn)行OLS回歸。回歸。注意，上式中要保留常數(shù)項(xiàng)。注意，上式中要保留常數(shù)項(xiàng)。求求輔助回歸式的可決系數(shù)輔助回歸式的可決系數(shù)R2。2tu5.4 異方差檢驗(yàn)異方差檢驗(yàn)White檢驗(yàn)的零假設(shè)和備擇假設(shè)是檢驗(yàn)的零假設(shè)和備擇假設(shè)是 H0：ut不存在異方差，不存在異方差， H1：ut存在異方差。存在異方差。 在同方差假設(shè)條件下，統(tǒng)計(jì)量在同方差假設(shè)條件下，統(tǒng)計(jì)量 TR 2 2(5) 其中其中T表示樣本容量，表示樣本容量，R2是輔助回歸式的是輔助回歸式的OLS估計(jì)的可決系數(shù)。

11、估計(jì)的可決系數(shù)。自由度自由度5表示輔助回歸式表示輔助回歸式中中解釋變量項(xiàng)數(shù)（注意，不計(jì)算常數(shù)解釋變量項(xiàng)數(shù)（注意，不計(jì)算常數(shù)項(xiàng)）。項(xiàng)）。T R 2屬于屬于LM統(tǒng)計(jì)量。統(tǒng)計(jì)量。判別規(guī)則是判別規(guī)則是 若若 T R 2 2 (5), 接受接受H0（ut 具有同方差）具有同方差） 若若 T R 2 2 (5), 拒絕拒絕H0（ut 具有異方差）具有異方差）5.4 異方差檢驗(yàn)異方差檢驗(yàn)(2) White檢驗(yàn)檢驗(yàn) 5.4 異方差檢驗(yàn)異方差檢驗(yàn)（3）Glejser檢驗(yàn)（直接擬合法）檢驗(yàn)（直接擬合法）5.5 異方差的修正方法異方差的修正方法（GLS）（第（第2版教材第版教材第115頁）頁）（第（第3版教材第版教

12、材第94頁）頁） 5.5 異方差的修正方法異方差的修正方法（GLS）5.5 異方差的修正方法異方差的修正方法（GLS）5.5 異方差的修正方法異方差的修正方法（GLS）（2）利用）利用Glejser檢驗(yàn)結(jié)果消除異方差檢驗(yàn)結(jié)果消除異方差 （3）通過對(duì)數(shù)據(jù)取對(duì)數(shù)消除異方差）通過對(duì)數(shù)據(jù)取對(duì)數(shù)消除異方差0.0E+002.0E+114.0E+116.0E+118.0E+111.0E+121.2E+12808284868890929496980002GDP OF PHILIPPIN25.025.526.026.527.027.528.0808284868890929496980002LNGDP OF PH

13、ILIPPIN-400-2000200400600800556065707580859095EXT-IMP-2-1012556065707580859095LNEXT-LNIMP中國進(jìn)出口貿(mào)易額差（中國進(jìn)出口貿(mào)易額差（1953-1998） 對(duì)數(shù)的中國進(jìn)出口貿(mào)易額之差對(duì)數(shù)的中國進(jìn)出口貿(mào)易額之差5.5 異方差的修正方法異方差的修正方法（GLS）例例5.1 個(gè)人儲(chǔ)蓄個(gè)人儲(chǔ)蓄（Y）與可支配與可支配（X）收入模型收入模型 （課本第（課本第125125頁）頁） 例例5.1 個(gè)人儲(chǔ)蓄個(gè)人儲(chǔ)蓄（Y）與可支配與可支配（X）收入模型收入模型 （課本第（課本第125125頁）頁）Goldfeld-Quandt 檢驗(yàn)

14、檢驗(yàn)去掉中間去掉中間9個(gè)觀測(cè)值。個(gè)觀測(cè)值。用第用第1個(gè)子樣本回歸：個(gè)子樣本回歸： ，SSE1=150867.9用第用第2個(gè)子樣本回歸：個(gè)子樣本回歸： ，SSE2=958109.4H0: ut 具有同方差，具有同方差， H1: ut 具有遞增型異方差。具有遞增型異方差。 構(gòu)造構(gòu)造F統(tǒng)計(jì)量。統(tǒng)計(jì)量。因?yàn)橐驗(yàn)镕 =6.35 F0.05 (9, 9) = 3.18，存在異方差。，存在異方差。35. 69 .1508674 .958109)/()/(121122SSESSEknSSEknSSEFXY09. 064.744XY05. 098.414 例例5.1 個(gè)人儲(chǔ)蓄個(gè)人儲(chǔ)蓄（Y）與可支配與可支配（X）

15、收入模型收入模型 （課本第（課本第125125頁）頁）更正：課本第更正：課本第130130頁丟頁丟此輸出結(jié)果（圖此輸出結(jié)果（圖5.105.10）。）。書中書中圖圖5.10應(yīng)為圖應(yīng)為圖5.11。White檢驗(yàn)的檢驗(yàn)的EViwes操作：操作：在回歸式窗口中點(diǎn)擊在回歸式窗口中點(diǎn)擊View鍵鍵選選Residual Tests/ White Heteroskedasticity 功能。功能。(含有無交叉項(xiàng)兩種選擇。含有無交叉項(xiàng)兩種選擇。)White檢驗(yàn)檢驗(yàn)White檢驗(yàn)式檢驗(yàn)式加權(quán)估計(jì)（加權(quán)估計(jì)（WLS）方法（）方法（1）例例5.1 個(gè)人儲(chǔ)蓄個(gè)人儲(chǔ)蓄（Y）與可支配與可支配（X）收入模型收入模型 （課本第

16、（課本第125125頁）頁）點(diǎn)擊此處點(diǎn)擊此處 填入權(quán)數(shù)填入權(quán)數(shù) 例例5.1 個(gè)人儲(chǔ)蓄個(gè)人儲(chǔ)蓄（Y）與可支配與可支配（X）收入模型收入模型加權(quán)估計(jì)（加權(quán)估計(jì)（WLS）方法（）方法（1）例例5.1 個(gè)人儲(chǔ)蓄個(gè)人儲(chǔ)蓄（Y）與可支配與可支配（X）收入模型收入模型 加權(quán)估計(jì)（加權(quán)估計(jì)（WLS）方法（）方法（2）: 用加權(quán)變量回歸用加權(quán)變量回歸自己把回歸式還原為自己把回歸式還原為Y對(duì)對(duì)X回歸情形?；貧w情形?；貧w系數(shù)回歸系數(shù)OLS估計(jì)結(jié)估計(jì)結(jié)果是果是0.088，WLS估估計(jì)結(jié)果是計(jì)結(jié)果是0.090。0.09的統(tǒng)計(jì)特性更好。的統(tǒng)計(jì)特性更好。（不講（不講Spearman等級(jí)等級(jí)相關(guān)系數(shù)法）相關(guān)系數(shù)法）對(duì)于截面數(shù)

17、據(jù)一定要先按解釋變量排序才有可能觀察到異方差對(duì)于截面數(shù)據(jù)一定要先按解釋變量排序才有可能觀察到異方差案例案例1 ：?。喝?986年中國年中國29個(gè)省市自治區(qū)農(nóng)作物種植業(yè)產(chǎn)值個(gè)省市自治區(qū)農(nóng)作物種植業(yè)產(chǎn)值yt（億元）和農(nóng)作物播種面積（億元）和農(nóng)作物播種面積xt（萬畝）數(shù)據(jù)（萬畝）數(shù)據(jù)（file:hete01，hete02）研究二者之間的關(guān)系。得估計(jì)的線性模型如下，）研究二者之間的關(guān)系。得估計(jì)的線性模型如下， yt = -5.6610 + 0.0123 xt (-0.6) (12.4) R2 = 0.85, T = 29 殘差圖中看不到異方差（左圖）。原因是沒有把數(shù)殘差圖中看不到異方差（左圖）。原因是

18、沒有把數(shù)據(jù)按解釋變量排序。數(shù)據(jù)排序并估計(jì)后得到的殘差圖據(jù)按解釋變量排序。數(shù)據(jù)排序并估計(jì)后得到的殘差圖明顯存在異方差（右圖）。明顯存在異方差（右圖）。 附錄：用附錄：用EViews 4.0給序列中的數(shù)據(jù)排序給序列中的數(shù)據(jù)排序在在Workfile窗口點(diǎn)擊窗口點(diǎn)擊Procs鍵并選擇鍵并選擇Sort Series功能，將出功能，將出現(xiàn)一個(gè)要求填寫以哪一個(gè)序列為標(biāo)準(zhǔn)（基準(zhǔn)序列）排序的對(duì)現(xiàn)一個(gè)要求填寫以哪一個(gè)序列為標(biāo)準(zhǔn)（基準(zhǔn)序列）排序的對(duì)話框。填寫基準(zhǔn)序列名，并在下側(cè)的另一個(gè)選擇框中說明是話框。填寫基準(zhǔn)序列名，并在下側(cè)的另一個(gè)選擇框中說明是按從小到大排列（按從小到大排列（Ascending），還是從大到小排列），還是從大到小排列（Descending）。缺省的選擇是從小到大排列。）。缺省的選擇