流體力學第三章(7)動量方程及其應用及動量矩方程1

1、本次課主要內(nèi)容本次課主要內(nèi)容 動量方程式及其應用動量方程式及其應用一、動量方程能解決運動流體中的什么問題N-S方程根據(jù)牛頓第二定律導出FmaN-S方程是微分形式，積分可以得到流場中的壓強、速度分布，進而得到流體受力F。很難得到把牛頓第二定律改寫dtdvzvyvxvzpfdtdvzvyvxvypfdtdvzvyvxvxpfzzzzzyyyyyxxxxx111222222222222222222)( vmdvmddtF并用之于具有一定質(zhì)量的流體質(zhì)點系，由于各個質(zhì)點速度不盡相同，故質(zhì)點系的動量定理為dtvmdF)(作用在質(zhì)點系上的總外力就不必通過分布壓強的積分，而是通過求質(zhì)點系動量變化率的辦法計算出

2、來，開辟了求解流體動力學問題的新途徑。dtvmdF)(由于各個質(zhì)點速度不盡相同，似乎要計算質(zhì)點系的動量變化由于各個質(zhì)點速度不盡相同，似乎要計算質(zhì)點系的動量變化率采用拉格朗日法比較適宜，由于運動的復雜性，很困難。率采用拉格朗日法比較適宜，由于運動的復雜性，很困難。質(zhì)點系占據(jù)一定的空間，取這個空間為控制體，把拉質(zhì)點系占據(jù)一定的空間，取這個空間為控制體，把拉格朗日法表示的動量變化率改換成用歐拉法表示，這格朗日法表示的動量變化率改換成用歐拉法表示，這樣就容易求的作用在控制體內(nèi)流體質(zhì)點系上的外力。樣就容易求的作用在控制體內(nèi)流體質(zhì)點系上的外力。取控制體的時候注意：取控制體的時候注意：控制表面一部分與固體壁

3、面重合，按照作用力與反作用力大小相等控制表面一部分與固體壁面重合，按照作用力與反作用力大小相等方向相反的原則，也就求出了流體質(zhì)點系對固體壁面的作用力。方向相反的原則，也就求出了流體質(zhì)點系對固體壁面的作用力。二、用歐拉方法表示的動量方程式在流場中，選擇控制體（固定）如圖中虛線所示,一部分與固體邊界重合固體邊界重合,（為什么這么選？） 在某一瞬時t,控制體內(nèi)包含的流體是我們要討論的質(zhì)點系，設控制體內(nèi)任一質(zhì)點的速度為v, 密度為。在t瞬時的初動量為： tVvdV經(jīng)過t，質(zhì)點系運動到實線位置，這個質(zhì)點系在t+t 瞬時的末動量為： AVttAAVttdAvvtvdVdAvvtdAvvtvdV)()()(

4、21原來質(zhì)點系尚留在控制體中的部分及新流入控制體的總動量。（I）部分通過A1面非原質(zhì)點系的流入動量（II）部分通過A2面流出的動量對于控制體的全部控制面A： AVVtAVtttdAvvvdVtvdVdAvvtvdVtdtmvdF)()(1lim)(0這就是用歐拉方法表示的動量方程式，這個方程式既適用于控制體固定的情況，也適用于控制體運動的情況。在運動時需將速度v換成相對速度，并在控制體上加上虛構(gòu)的慣性力。動量方程式中，需注意動量方程式中，需注意 是作用在控制體內(nèi)質(zhì)點系上的所有外力的矢量和，既包括是作用在控制體內(nèi)質(zhì)點系上的所有外力的矢量和，既包括控制體外部流控制體外部流體及固體對控制體內(nèi)流體的作

5、用力體及固體對控制體內(nèi)流體的作用力（壓力、摩擦力），也包括（壓力、摩擦力），也包括控制體內(nèi)流控制體內(nèi)流體的重力體的重力。2. 控制體內(nèi)流體動量對時間的變化率，當流動為定常時，此項為零?？刂企w內(nèi)流體動量對時間的變化率，當流動為定常時，此項為零。是由于控制體內(nèi)流體動量隨時間變化而產(chǎn)生的一種力。是由于控制體內(nèi)流體動量隨時間變化而產(chǎn)生的一種力。1. 3. 是單位時間內(nèi)控制體流出、流入的凈動量，即流出、流入動量之是單位時間內(nèi)控制體流出、流入的凈動量，即流出、流入動量之差，是流出動量與流入動量不等而產(chǎn)生的力。差，是流出動量與流入動量不等而產(chǎn)生的力。末動量初動量FVvdVtAdAvv)(特例：常見的特例：常

6、見的定常、不可壓縮、一元流動定常、不可壓縮、一元流動時，方程式可以簡化的很簡單。時，方程式可以簡化的很簡單。如圖所示，把流線方向取為自然坐標如圖所示，把流線方向取為自然坐標s s，取如圖控制體，則總控制面上只有，取如圖控制體，則總控制面上只有A A1 1，A A2 2上有動量流入流出，假設斷面上平均速度為上有動量流入流出，假設斷面上平均速度為v v1 1,v,v2 2, ,則在定常不可壓縮情況下，則在定常不可壓縮情況下， )()()(1212112212vvqvvqdAvvdAvvdAvvFvvAAAs)()()(121212zzvzyyvyxxvxvvqFvvqFvvqF為0在三個坐標軸上的

7、投影式為1取本書應用的公式式中 為用平均速度計算動量而引起的動量修正系數(shù)，AVdAvvvdVtF)(1 1、受力對象：、受力對象：動量方程式的受力對象是流體質(zhì)點系。對于遇到的問題：方程左邊的外力一般只包括(1)(1)管壁對流體的作用力管壁對流體的作用力F;F;(2)(2)截面上流體的表面力截面上流體的表面力p p1 1A A1 1,p,p2 2A A2 2。（3）控制體內(nèi)流體的重力（重力經(jīng)?？梢院雎裕┛刂企w內(nèi)流體的重力（重力經(jīng)?？梢院雎裕Γ?）（2）（3）在坐標方向求合力即可對于方程右側(cè)的動量變化率：只要知道兩截面上的平均速度和流量就可以計算出來。)()()(121212zzvzyyvyxx

8、vxvvqFvvqFvvqFF是外界作用在流體上的力。如果實際問題要求流體對固體的作用力，則相應的應加以負號。使用時要注意以下幾點：2 2、外力和速度的方向問題。、外力和速度的方向問題。與坐標相同時為正，與坐標相反時為負。公式右邊的減號是固定的。 三 、動量方程式的應用（重點）1、流體對管道的作用力問題2、自由射流的沖擊力問題1、流體對管道的作用力問題動量方程式的應用之RyRxvFFq，的流體對彎管的作用力，流量為要求密度為2211,APAPFFRyRx控制體內(nèi)流體的作用力過流斷面上外界流體對和作用力彎管對控制體內(nèi)流體的取取1-1、2-2斷面及彎管內(nèi)表面為流管控制體，作用在流體質(zhì)點系的總外力包

9、括斷面及彎管內(nèi)表面為流管控制體，作用在流體質(zhì)點系的總外力包括假定管道在水平平面內(nèi)或者重力可以不加考慮，動量修正系數(shù)為假定管道在水平平面內(nèi)或者重力可以不加考慮，動量修正系數(shù)為1X X方向：方向：111222cossinp Ap A 管壁對流體的作用力管壁對流體的作用力RxF則，則，X X方向上流體所受合力為方向上流體所受合力為111222cossinRxp Ap AF1112222211sinsincoscossinRyVp Ap AFqvv2211sincosvv對于y方向同樣得到X X方向上流體速度合分量為方向上流體速度合分量為1112222211cossinsincosRxVp Ap AF

10、qvv表面力表面力:根據(jù)動量定理，得到x方向的動量方程)()()(121212zzvzyyvyxxvxvvqFvvqFvvqF1112222211sinsincoscossinRyVp Ap AFqvv1112222211cossinsincosRxVp Ap AFqvv解方程組得到這是流體對任意變徑彎管的作用力的計算公式，流體對任意變徑彎管的作用力的計算公式，對其求合力得到22RRxRyFFF要注意力的方向。要注意力的方向。11122211222221112211cossin(cos)(sin)cossin(cos)(sin)RxVRyVFp Ap AqvvFp Ap AqvvRxRyFFa

11、rctan彎管多種多樣，下面介紹幾個特例【特例1】直角變徑彎管1211220,Vqv Av A11122211222221112211cossin(cos)(sin)cossin(cos)(sin)RxVRyVFp Ap AqvvFp Ap Aqvv代入公式得：121111111111)(AvPvAvAPvqAPFvRx222222222222)(AvPvAvAPvqAPFvRy【特例2】直角等徑彎管AvpFAvpFRyRx)()(222112120,VAAA qvA【特例3】:反向等徑彎管0)2(221RyRxFAvppF1212120,90 ,VAAA vvv qvA 1112221122

12、2221112211cossin(cos)(sin)cossin(cos)(sin)RxVRyVFp Ap AqvvFp Ap Aqvv【特例4】逐漸收縮管1211220,90 ,Vqv Av A22111222()()0RxRyFpvApvAF11122211222221112211cossin(cos)(sin)cossin(cos)(sin)RxVRyVFp Ap AqvvFp Ap Aqvv【特例5】等徑直管1212120,90 ,AAA vvv12()0RxRyFppAF等徑直管中流體對管道的作用力FRx實質(zhì)上就是作用在管壁上的摩擦力，用力FRx處以管壁面積 ,可得管壁上的平均切應力

13、2 Rl21212()()22224RxFppRpp RpRpdRlRllll說明：只有測出相距為L的兩斷面上的壓強差，切應力和摩擦力都可以計算出來 管壁上的摩擦力導致管中的壓強沿流動方向逐漸下降。對1，2兩斷面列伯努利方程：121212,4fzz vvpplhggd由于可得說明：管路中由于摩擦引起的沿程阻力損失hf與管長成正比，與管直徑成反比。221211221122fppzvzvhgggg11122211222221112211cossin(cos)(sin)cossin(cos)(sin)RxVRyVFp Ap AqvvFp Ap Aqvv【特例6】突然擴大管120,9022111222

14、()()0RxRyFpvApvAF11122211222221112211cossin(cos)(sin)cossin(cos)(sin)RxVRyVFp Ap AqvvFp Ap Aqvv突然擴大處流線不能折轉(zhuǎn)，在突然擴大處流線不能折轉(zhuǎn)，在“死角死角”處產(chǎn)生渦旋，渦旋區(qū)中的流體沒有主流處產(chǎn)生渦旋，渦旋區(qū)中的流體沒有主流方向的運動，因而流體對突然擴大管的作用力不是作用在大管管壁上的摩擦力，方向的運動，因而流體對突然擴大管的作用力不是作用在大管管壁上的摩擦力，而是作用在突然擴大臺肩圓環(huán)斷面而是作用在突然擴大臺肩圓環(huán)斷面A2A1上的靜壓力，方向向左。上的靜壓力，方向向左。)(121AApFRx（1

15、）（2）連續(xù)方程連續(xù)方程2112AAvv （3）式（式（1） 、（、（2）、）、 （3）聯(lián)立，解得聯(lián)立，解得)(1212221vvvggpp2221111222222221122122ffAvvhAggAvvhAgg或2112222111AAAA2122fvvhg此公式雖然由突然擴大管推出，但適用于一切局部阻力損失的普遍公式稱為局部阻力系數(shù)式中此式稱為（Borda）包達定理包達定理，即突然擴大的水頭損失等于差速（v1-v2)的速度水頭。利用連續(xù)性方程v1A1=v2A2代入包達定理得到：可得，突然擴大管的局部水頭損失可得，突然擴大管的局部水頭損失hf221211221122fppzvzvhggg

16、g)(1212221vvvggpp在列在列1、2斷面上的伯努利方程斷面上的伯努利方程 從有壓噴管或孔口射入大氣的一股流束叫作自由射流自由射流，自由射流的特點是流束上的流體壓強到處是大氣壓流體壓強到處是大氣壓，速度和射程可按伯努利方程計算，射流對擋板或葉片的沖擊力可按動量方程計算。 如圖，假設速度為v, 流量為qv的自由射流沖擊到固定的二向曲面后，左右對稱的分為兩段，兩股流量均為原流量之半原流量之半。假設射流在同一水平面上，動量修正系數(shù)為1，求求射流對曲面的沖擊力射流對曲面的沖擊力FRx： 2cos(cos1)2(1 cos )vxvvRxxvqFvq vq vFFq v 2、自由射流的沖擊力為

17、射流對曲面的沖擊力為射流對曲面的沖擊力)()()(121212zzvzyyvyxxvxvvqFvvqFvvqF則曲面作用在流體上的力則曲面作用在流體上的力Fx為為【特例1】射流對平面擋板的沖擊力vqFvRx 90【特例2 】vqFvRx2180 這種反向曲面受到的沖擊力是平面擋板的兩倍，為了充分發(fā)揮射流的動力平面擋板的兩倍，為了充分發(fā)揮射流的動力性能，性能，在沖擊式水輪上就是采用這種反向曲面作為其葉片形狀的。為了回水方便，其反向的角不是180度，而是160-170度。 平面擋板是實際中最常見的。)cos1 (vqFvRx射流對曲面的沖擊力射流對曲面的沖擊力動量方程求解步驟動量方程求解步驟:建立

18、坐標系, 選定控制體分析控制體所受到的力分析動量的變化 (流出減流進, 速度投影有正負)，列動量方程。對于實際問題，還要借助于伯努利方程和連續(xù)方程。例例1 1 一股水平方向上的射流沖擊一斜置的光滑平板。已知射流來流速度為v，流量為Q，密度為p，平板傾角為 。不計重力及流動損失，求射流對斜置平板的作用力F。解解 取控制體如圖。因射流處于大氣之中，射流中壓強都近似等于大氣壓。又由伯努利方程知 V1 = V2 = V。因忽略流動損失，液流與平板間的摩擦力略去不計，則F必垂直于板面x 方向動量方程： y 方向動量方程： 0cos2211QVVQVQFQVsin11 cos2QQ21 cos2QQ由連續(xù)

19、性條件 Q = Q1 + Q2 和 x 方向的動量方程還可以解出2.2.射流對平板的作用力射流對平板的作用力)()()(121212zzvzyyvyxxvxvvqFvvqFvvqFv如圖所示，流股以45角自一窄縫射出沖擊在一平板上，若出流的流量為，不計阻力及重力，求平面上流體流量與的比值。 例 2 有一沿鉛垂放置的彎管如圖3所示，彎頭轉(zhuǎn)角為90，起始斷面1-1與終止斷面2-2間的軸線長度L為3.14m，兩斷面中心高差z為2m，已知斷面1-1中心處動水壓強 為117.6 ，兩斷面之間水頭損失為0.1m，管徑d為0.2m。試求當管中通過流量Q為0.06 時，水流對彎頭的作用力。 2kN/m/sm31p解題步驟（2 2）求斷面）求斷面2-22-2中心處水的壓強中心處水的壓強解：解： （1 1）求管中流速）求管中流速 m/s911420143060406022.d.AQv以斷面以斷面2-22-2為基準面，對斷面為基準面，對斷面1-11-1與與2-22-2寫能量方程寫能