計量經(jīng)濟(jì)學(xué)-第五章 單位根檢驗與協(xié)整分析ppt課件

1、第五章 單位根檢驗和協(xié)整分析 從本章起介紹計量經(jīng)濟(jì)學(xué)近20年來最新研究成果。如果把第2、3章內(nèi)容稱為經(jīng)典計量經(jīng)濟(jì)學(xué)，那么將要介紹的內(nèi)容則應(yīng)該稱為非經(jīng)典計量經(jīng)濟(jì)學(xué)。 從1974年開始計量經(jīng)濟(jì)學(xué)工作者漸漸意識到當(dāng)用含有單位根的時間序列建立經(jīng)典計量經(jīng)濟(jì)模型時會出現(xiàn)一些問題，這就是虛假回歸。 應(yīng)該知道通過經(jīng)濟(jì)數(shù)據(jù)了解經(jīng)濟(jì)變量的變化規(guī)律有時是存在相當(dāng)大的局限性的，所以在建立模型時，必須依靠經(jīng)濟(jì)理論，同時對參數(shù)進(jìn)行假設(shè)檢驗。實際上，有時只依靠經(jīng)濟(jì)理論仍然不行。比如處于調(diào)整中的經(jīng)濟(jì)變量，哪些是它的外生變量，哪些是它的無關(guān)變量，單憑經(jīng)濟(jì)理論就很難判別清楚。所以當(dāng)研究經(jīng)濟(jì)變量參數(shù)變化規(guī)律時，常常采用另外一種方法

2、，即統(tǒng)計理論方法，通過設(shè)計具有某種特征的能生成數(shù)據(jù)的隨機(jī)過程或數(shù)據(jù)生成系統(tǒng)研究經(jīng)濟(jì)問題。下面常常用到數(shù)據(jù)生成系統(tǒng)這個概念。 主要講授內(nèi)容第一節(jié)第一節(jié) 單整性單整性 第二節(jié)第二節(jié) 單整過程的統(tǒng)計特征單整過程的統(tǒng)計特征 第三節(jié)第三節(jié) 虛假回歸虛假回歸 第四節(jié)第四節(jié) DF DF分布分布第五節(jié)第五節(jié) DF DF臨界值臨界值第六節(jié)第六節(jié) 進(jìn)一步討論進(jìn)一步討論第七節(jié)第七節(jié) 單位根檢驗單位根檢驗 第八節(jié)第八節(jié) 協(xié)整理論與誤差修正模型協(xié)整理論與誤差修正模型附錄：現(xiàn)代計量經(jīng)濟(jì)模型協(xié)整理論淺說附錄：現(xiàn)代計量經(jīng)濟(jì)模型協(xié)整理論淺說本章建議課后閱讀論文第一節(jié)第一節(jié) 單整性單整性 單整性：若一個隨機(jī)過程 xt 必須經(jīng)過

3、d 次差分之后才能變換成一個平穩(wěn)的可逆的 ARMA 過程，則稱 xt 具有 d 階單整性。用 xt I(d) 表示。 對于平穩(wěn)過程表示為 I(0)。注意：單整過程是指單整階數(shù)大于零的過程。 對于 I(d) 過程 xt (L) (1- L) d xt = (L) ut 因含有 d 個單位根，所以常把時間序列單整階數(shù)的檢驗稱為單位根檢驗（unit root test） 。 若 xt I(d)，yt I(c)，則 zt = (a xt + b yt) I (maxd, c). zt = (a xt + b yt) = (a xt + b yt) - (a xt -1 + b yt - 1) = (a

4、 xt + b yt) 當(dāng) c d 時，zt只有差分 c 次才能平穩(wěn)。一般來說，若 xt I (c)，yt I (c)，則 zt = (a xt + b yt) I (c). 但也有 zt的單整階數(shù)小于 c 的情形。當(dāng) zt的單整階數(shù)小于 c 時，則稱 xt與 yt存在協(xié)整關(guān)系。 第二節(jié)第二節(jié) 單整過程的統(tǒng)計特征單整過程的統(tǒng)計特征 以隨機(jī)游走過程和平穩(wěn)的 AR(1)過程作比較, 對于隨機(jī)游走過程 xt = xt-1 + ut , x0 = 0, ut IN (0, u2) 有 xt = xt-2 + ut-1 + ut = = tiiu1, （具有永久記憶性） E(xt) = E(tiiu1)

5、 = 0 Var(xt) = tiiuVar1)( = tu2. （隨 T 的增加， 方差變?yōu)闊o窮大） 下面求 xT 和 xT - k的相關(guān)系數(shù)，k 。 Cov(xT, xT-k) = E(xT xT-k) = E(Tiiu1kTiiu1) = E(kTiiu12) = (T - k) u2 k = )()(),(kTTkTTxVarxVarxxCov= 222)()(uuukTTkT= TkT = Tk /1 對于 AR(1) 過程 yt = 1 yt-1 + ut , 1 2) I(0) 與 I(0) 0.045 I(1) 與 I(1) 0.77 I(2) 與 I(2) 0.95 樣本容量

6、與虛假回歸的關(guān)系（回歸變量均為 I(1)變量） 隨樣本容量變化， 拒絕 1 = 0 的概率， 即 P(t(1) 2 ) 見圖 5.3。 0501001502000.9樣本容量 圖 5.3 虛假回歸的直觀解釋 因為上述數(shù)據(jù)生成系統(tǒng)是真實的，所以對于回歸模型 yt = 0 + 1xt + wt , 應(yīng)有1 = 0，即 yt與 xt不相關(guān)，則模型變?yōu)?yt = 0 + wt 已知 yt I(1), wt I(0)，所以 yt = 0 + wt 兩側(cè)的單整階數(shù)出現(xiàn)矛盾。導(dǎo)致1無法表現(xiàn)為零。 第第四四節(jié)節(jié) DF分分布布 由于虛假回歸問題的存在，在回歸模型中應(yīng)避免直接使

7、用非平穩(wěn)變量。因此檢驗變量的平穩(wěn)性是一個必須解決的問題。在前面介紹用相關(guān)圖判斷時間序列的平穩(wěn)性。這一章則給出嚴(yán)格的統(tǒng)計檢驗方法，即單位根檢驗。 在介紹檢驗方法之前，先討論所用統(tǒng)計量的分布。給出三個數(shù)據(jù)生成過程（d.g.p.） ， yt = yt-1 + ut , y0 = 0, ut IID(0, 2) (5.1) yt = + yt-1 + ut , y0 = 0, ut IID(0, 2) (5.2) yt = + t + yt-1 + ut , y0 = 0, ut IID(0, 2) (5.3) 其中 稱作位移項（漂移項） ， t 稱為趨勢項。 顯然，對于以上三個模型，當(dāng) 1時，yt

8、是平穩(wěn)的，當(dāng) = 1時，yt 是非平穩(wěn)的。 以模型 (5.1) 為例，若 = 0，統(tǒng)計量， )(t= )(s t (T-1) (5.4) 該極限分布為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。 若 1，統(tǒng)計量， )(t= )()(s (5.5) 漸近服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。根據(jù)中心極限定理，當(dāng)T 時， T(T- ) N (0, 2 (1- 2 ) ) (5.6) 那么在 = 1 條件下，統(tǒng)計量 )(t服從什么分布呢？當(dāng) = 1 時，變量非平穩(wěn)，上述極限分布退化為零。 首先觀察 = 1條件下， 數(shù)據(jù)生成系統(tǒng)(5.1)， (5.2) 和 (5.3)的變化情況。 = 1條件下的(5.1) 式是隨機(jī)游走過程。 -10-50510204

9、06080100120140160180200y=y(-1)+u12001400160018002000220050100150200250300 圖 5.4 由 yt = yt-1+ ut生成的序列 深圳股票綜合指數(shù) = 1 條件下的 (5.2) 式是含有隨機(jī)趨勢項的過程。 將(5.2) 式作如下變換則展示的更清楚。 yt = + yt-1 + ut = + ( + yt-2 + ut-1) + ut = = y0 + t + tiiu1= t +tiiu1 (5.7) -20020406080100120100200300400500600700800900 1000y=0.1+y(-1)

10、+u -100-80-60-40-20020100200300400500600700800900 1000y=-0.1+y(-1)+u 圖 5.5a 由 yt = 0.1+ yt-1+ ut生成的序列 圖 5.5b 由 yt = - 0.1+ yt-1+ ut生成的序列 這是一個趨勢項和一個隨機(jī)游走過程之和。所以稱作隨機(jī)趨勢過程，見圖5.5，雖然總趨勢向上（下） ，但隨機(jī)過程圍繞總趨勢上下漂動。因為對 yt作一次差分后，序列就平穩(wěn)了， yt = yt - yt-1 = + ut （平穩(wěn)） 所以也稱 yt為差分平穩(wěn)過程。 下面的隨機(jī)過程 yt = + t + ut (5.8) 稱作確定性趨勢過

11、程或趨勢平穩(wěn)過程、 退勢平穩(wěn)過程， 即減去趨勢后，為平穩(wěn)過程。yt - t = + ut。退勢平穩(wěn)過程見圖 5.6。 -5051015202520406080100120140160180200y=0.1t+u -50050100150200250100200300400500600700800900 1000y=0.1+0.1t+y(-1)+u 圖 5.6 yt = 0.1 t + ut 生成的序列 圖 5.7 yt = 0.1+ 0.1t + yt-1+ ut生成的序列 圖 5.7 給出的是含有隨機(jī)趨勢和確定性趨勢的混合隨機(jī)過程。 yt = + t + yt-1 + ut = + t +

12、( + (t-1) + yt-2 + ut-1) + ut = = y0 + t + ( t) t - (1+2 + t ) +tiiu1 = y0 + t + t 2 -2( 1+ t ) t +tiiu1 = ( -2) t +2t 2 +tiiu1 (已設(shè)定 y0=0) 含有隨機(jī)趨勢和確定性趨勢的混合隨機(jī)過程實際上是隨機(jī)游走加上一個時間 t 的 2 次方過程。這種過程在經(jīng)濟(jì)問題中非常少見。 實際經(jīng)濟(jì)序列的增長趨勢常常是指數(shù)形式的。 如中國的國民收入和消費見圖 5.8。然而無論隨機(jī)趨勢過程還是確定性趨勢過程，所設(shè)定的趨勢都是線性的。這是為什么？原因是原序列取對數(shù)后，趨勢項常是線性的。例如

13、yt = e t 則 Ln yt = t，所以用經(jīng)濟(jì)序列建立模型之前應(yīng)先取對數(shù)。對數(shù)的中國的國民收入和消費見圖 5.9。這樣做的另一個好處是有助于消除異方差。對 yt求導(dǎo)數(shù)， dy / dt = e t = yt 這是等比例增長關(guān)系（與當(dāng)年 yt等比例） 。經(jīng)濟(jì)序列的變化恰恰如此。 05000100001500020000250005560657075808590IPCP7.07.58.08.59.09.510.05560657075808590LNIPLNCP 圖 5.8 中國的國民收入和消費 圖 5.9 對數(shù)的中國國民收入和消費 以數(shù)據(jù)生成過程 (5.1) 為例。給定 = 1，則 = Tt

14、tTtttyyy12111 (5.9) 因已知 y0 = 0， = TttTttyy121121 + TttTtttyyu12111 = 1 + TttTtttyyu12111 - 1 = TttTtttyyu12111 (5.10) 檢驗單位根的 DF 統(tǒng)計量的表達(dá)式與通常意義的 t 統(tǒng)計量完全相同。 DF = )(t= )(1s = Tttuys12/121)(1 = TttTtttyyu12111uTttsy12/121)( = TttuTtttysyu12/12111)( (5.11) 當(dāng) T 時， DF = )(1s 2/11022)() 1) 1 ()(2/1 (diiWW (5.

15、12) What is this?對于模型 (5.2)，DF 統(tǒng)計量的極限分布是 DF = )(1s 2/1210102102)()()() 1 () 1) 1 ()(2/1 (diiWdiiWdiiWWW (5.13) 同理，對于模型 (5.3) 的 DF 統(tǒng)計量的極限分布也是 Wiener 過程的函數(shù)。由于這些極限分布無法用解析的方法求解，一般都是用模擬和數(shù)值計算的方法進(jìn)行研究。 = -1 時的 DF 的分布是 = 1 時的 DF 分布的鏡像， 所以只研究 = 1 條件下 DF 的分布即可。對于經(jīng)濟(jì)問題，很少出現(xiàn) = -1 的情形。 蒙特卡羅模擬方法得到的DF統(tǒng)計量的分布見圖5.10。 -

16、6-4-200.40.5 第第五五節(jié)節(jié) DF 臨臨界界值值 統(tǒng)計量 DF 服從的是非標(biāo)準(zhǔn)分布， 也不是通常意義下的 t 分布，Diky-Fuller (1976) 對上述三種假設(shè)情形模擬計算了 DF 的數(shù)值， 下表就是一些模擬的臨界值。 無常數(shù)項 無趨勢項有常數(shù)項 無趨勢項 有常數(shù)項 有趨勢項樣本容量T=25T=50T=100T=250T=500T= 1% 5% -2.66 -1.95 -2.62 -1.95 -2.60 -1.95 -2.58 -1.95 -2.58 -1.95 -2.58 -1.95 1% 5% -3.75 -3.00 -3.58 -2.93 -3.5

17、1 -2.89 -3.46 -2.88 -3.44 -2.87 -3.43 -2.86 1% 5% -4.38 -3.6 -4.15 -3.5 -4.04 -3.45 -3.99 -3.43 -3.98 -3.42 -3.96 -3.41DF臨界值表臨界值表第六節(jié)第六節(jié) 進(jìn)一步討論進(jìn)一步討論 以上三個自回歸模型對于研究實際經(jīng)濟(jì)變量太嚴(yán)格，還應(yīng)該進(jìn)一步討論在AR(p) 模型條件下，隨機(jī)誤差項非白噪聲條件下，檢驗用統(tǒng)計量的分布特征。 （1）對于 AR(p)過程 yt = 1 yt-1 + 2 yt-2 + + p yt-p + u t , (5.14) 當(dāng) yt中含有單位根時，可以通過如下模型研究

18、 = 1 條件下，檢驗用統(tǒng)計量DF 的分布特征。 yt = yt-1 +jtpjjy11+ ut , (5.15) 其中 = pii1， j* = -pjii1, j = 1, 2, , p 1. i 為 (5.14) 式中的自回歸系數(shù)。為什么可以通過 (5.15) 式進(jìn)行研究呢？ 解釋如下。(5.14) 式可以用回歸算子表示為 (L) yt = ut (5.16) 若 yt 中含有一個單位根，上式可以表達(dá)為 (L)* (1 L ) yt = (L)* yt = u t (5.17) 其中 (L)* 表示從 p 階自回歸算子 (L) 中分離出因子 (1 L ) 后所得的 p 1 階自回歸算子。

19、繼續(xù)變換上式 jtpjjy10= yt +jtpjjy11= ut 可見對于 yt， （5.17） 式是一個 p 1 階的自回歸模型。 繼續(xù)變換上式， yt = yt-1 +jtpjjy11+ ut , 當(dāng) =1 時，(5.15)式與上式相同。 下面以AR (3) 過程為例，驗證關(guān)系式 (5.10)。有 yt = 1 yt-1 + 2 yt-2 + 3 yt-3 + ut 上式右側(cè)同時加減 2 yt-1，3 yt-1，3 yt-2 然后合并同類項， yt = 1 yt-1 + 2 yt-1 + 3 yt-1 - 2 yt-1 + 2 yt-2 - 3 yt-1 - 3 yt-2 + 3 yt-

20、2 + 3 yt-3 + ut , = (1 + 2 + 3) yt-1 - 2 yt-1 - 3 yt-1 - 3 yt-2 + ut = (1 + 2 + 3) yt-1 - (2 + 3) yt-1 - 3 yt-2 + ut = yt-1 - 1* yt-1 - 2* yt-2 + ut = yt-1 - 21jjtjy+ ut 其中， = 31ii j* = -31jii, j = 1, 2 . (5.15) 式中相對于 的 DF 統(tǒng)計量的分布與 (5.1) 式中 DF 統(tǒng)計量的分布近似相同。 (5.15) 式中的差分項 yt-j , j = 1,2, , p 1 之所以不會對 DF

21、統(tǒng)計量的分布產(chǎn)生影響是因為當(dāng) yt I(1)，則全部 yt-j I(0)。yt與 yt-j的交叉積漸進(jìn)被忽略。 從而使 (5.15) 式中 的 DF統(tǒng)計量的分布與 (5.1) 式中 的 DF統(tǒng)計量漸近相同。 當(dāng)模型 (5.14) 中含有位移項 和趨勢項 t時， 對應(yīng) 的DF 統(tǒng)計量的分布分別與模型 (5.2) 和模型 (5.3) 中 DF 統(tǒng)計量的分布相同。 （2）現(xiàn)在進(jìn)一步放寬對 yt的限制?？紤]如下 AR(1) 過程 yt = yt-1 + ut , (5.18) 其中允許隨機(jī)項 ut是一個 ARMA(p, q) 過程，甚至參數(shù) p, q 的值也可未知。則可以用下式研究 和 DF 統(tǒng)計量的

22、分布。 yt = yt-1 + ki 1 yt-i + tv , (5.19) 若 = 1，上式是一個差分的 AR(k) 過程。加入 yt 滯后項的目的是捕捉 (5.18) 式誤差項 ut中的自相關(guān)。 （ut的自相關(guān)項對于模型 (5.18) 來說是移動平均項，所以 yt 滯后項的加入可以捕捉之。 ）因為可逆的移動平均過程可以轉(zhuǎn)化為一個無限階的自回歸過程，所以對 ut而言的移動平均項 vt, t = 1, , q 完全可以通過增加 ut 的滯后項而吸收。 進(jìn)而被足夠的 yt-i項所吸收。從而使tv 近似為一個白噪聲過程。 Said-Dickey (1984) 證明 (5.19) 式中 的 DF

23、統(tǒng)計量的分布與 (5.1) 式中 的 DF 統(tǒng)計量的分布類似。 當(dāng) (5.19) 式中加入位移項 和趨勢項 t時， 的 DF 分布分別與 (5.2) 式和 (5.3) 式中 的 DF 分布類似。 第七節(jié)第七節(jié) 單位根檢驗單位根檢驗 對于時間序列 yt可用如下自回歸模型檢驗單位根。 yt = yt-1 + ut , (5.20) 零假設(shè)和備擇假設(shè)分別是， H0： = 1， （ yt非平穩(wěn)） H1： 臨界值，則接受 H0，yt 非平穩(wěn)； DF 1 意味著強(qiáng)非平穩(wěn)， 1 意味著平穩(wěn)。當(dāng)接受 1。所以 DF 檢驗只考慮兩種情形。 4. 用模型 (5.20) 檢驗單位根，從 DF 臨界值表查找。 上述

24、DF 檢驗還可用另一種形式表達(dá)。(5.20) 式兩側(cè)同減 yt-1，得 yt = ( -1) yt-1 + ut , (5.23) 令 = - 1，代入上式， yt = yt-1 + ut , (5.24) 與上述零假設(shè)和備擇假設(shè)相對應(yīng)，用于模型 (5.23) 的零假設(shè)和備擇假設(shè)是 H0： = 0， （ yt非平穩(wěn)） H1： 臨界值，則 yt是非平穩(wěn)的； 若 DF 臨界值，則 yt是平穩(wěn)的。 這種檢驗方法是 DF 檢驗的常用方法。 （便于在計算機(jī)上實現(xiàn)） 舉例說明以上兩種單位根檢驗方法的 DF 值相同。 用同一組數(shù)據(jù) yt 得到的兩個回歸結(jié)果如下（括號內(nèi)給出的是標(biāo)準(zhǔn)差） ， ty = 0.14

25、74 yt-1 , (5.25) (0.1427) s.e. = 0.87, DW = 1.93 ty = - 0.8526 yt-1 + ut , (5.26) (0.1427) s.e. = 0.87, DW = 1.93 對應(yīng) (5.25) 式，因零假設(shè)是 = 1，所以統(tǒng)計量的計算方法是 DF = 1427. 011474. 0= -5.97 , 對應(yīng) (5.26) 式，因零假設(shè)是 = 0，所以統(tǒng)計量的計算方法是 DF = 1427. 008526. 0= -5.97 , 兩種計算方法的結(jié)果相同。因為 -5.97 -1.95 （臨界值） ，所以拒絕 H0，認(rèn)為 yt 是平穩(wěn)的。 注意：

26、1.(5.23) 式中 yt 和 yt-1的下標(biāo)分別為 t 和 t-1，計算時不要用錯！ 2. 在實際檢驗中， 若 H0不能被拒絕， 說明 yt是非平穩(wěn)序列 （起碼為一階非平穩(wěn)序列） 。接下來應(yīng)該繼續(xù)檢驗 yt 的平穩(wěn)性。即 2 yt = yt-1 + ut , (5.27) 直至結(jié)論為平穩(wěn)為止。從而獲知 yt 為幾階單整序列。 3. 當(dāng)模型中含有位移項 和趨勢項 t， yt = + yt-1 + ut (5.28) yt = + t + yt-1 + ut (5.29) 檢驗用臨界值應(yīng)分別從第三、四欄中查找。 4. (5.24) 式的殘差序列 tu 不能存在自相關(guān)。如存在自相關(guān)，說明 yt不

27、是一個 AR(1) 過程，則不能使用 DF 檢驗。 以上方法只適用于AR(1) 過程的單位根檢驗。 當(dāng)時間序列為AR(p) 形式，或者由以上形式檢驗得到的殘差序列存在自相關(guān)時，應(yīng)采用如下形式檢驗單位根。 yt = yt-1 + ki 1 yt-i + tv , (5.30) 因為上式中含有 yt的滯后項，所以對于 = 0（ yt非平穩(wěn)）的檢驗稱為增項 DF 檢驗或 ADF 檢驗。模型 (5.15) 研究的就是這種條件下的DF 分布。 注意： 1. (5.30) 式中 yt 滯后項個數(shù) k 的選擇準(zhǔn)則是 ? k 盡量小，以保持更大的自由度；? 充分大以消除 tv 內(nèi)的自相關(guān)。 2. 前面已經(jīng)證明

28、，上式中檢驗單位根的統(tǒng)計量近似服從標(biāo)準(zhǔn)的DF 分布，所以檢驗可以從 DF 臨界值中查找。 3. 當(dāng) (5.30) 式中含有位移項 和趨勢項 t 時，相應(yīng)ADF 檢驗用臨界值應(yīng)分別從 D F 臨界值表中的第三、四欄查找。 4. 因為實際經(jīng)濟(jì)時間序列一般不會是一個 AR(1) 過程，所以最常用的單位根檢驗方法是 ADF 檢驗（增項 DF 檢驗） 。 實際中并不知道被檢驗序列的 d.g.p. 屬于哪一種形式，(5.1)、(5.2) 還是 (5.3) 式。怎樣選擇單位根檢驗式呢？先采用 (5.3) 式。因為(5.3) 式對應(yīng)的 DF 統(tǒng)計量的檢驗功效最高。(5.2) 式次之。當(dāng)趨勢項無顯著性時，再換用

29、(5.2) 式和(5.1) 式。 怎樣做單位根檢驗？ 從工作文件 （Work File） 中打開序列數(shù)據(jù) （Series） 窗口。 點擊View鍵，選Unit root test 功能。這時會打開一個窗口。其中有四項選擇。 （1）ADF檢驗還是PP 檢驗（缺省狀態(tài)是ADF檢驗） 。 （2）檢驗對象是水平序列（Level） ，還是其一階差分序列（1st difference） ，二階差分序列（2nd difference）？缺省狀態(tài)是水平序列。 （3） 檢驗式中應(yīng)包括的附加項。 有三種選擇， “漂移項” （Intercept） ，“趨勢項和漂移項” （Trend and Intercept） ， “無附加項” （None） 。缺省狀態(tài)是加漂移項。 （4）檢驗式中因變量的滯后差分項的個數(shù)（顯示的數(shù)字隨樣本容量的不同而不同） 。 第八節(jié)第八節(jié) 協(xié)整理論與誤差修正模型協(xié)整理論與誤