多元復合函數(shù)的求導ppt課件

1、證證),()(tttu 則則);()(tttv 一、鏈式法則一、鏈式法則定理如果函數(shù)定理如果函數(shù))(tu 及及)(tv 都在點都在點t可可導，函數(shù)導，函數(shù)),(vufz 在對應點在對應點),(vu具有連續(xù)偏具有連續(xù)偏導數(shù)，則復合函數(shù)導數(shù)，則復合函數(shù))(),(ttfz 在對應點在對應點t可可導，且其導數(shù)可用下列公式計算：導，且其導數(shù)可用下列公式計算： dtdvvzdtduuzdtdz ，獲獲得得增增量量設設tt 由由于于函函數(shù)數(shù)),(vufz 在在點點),(vu有有連連續(xù)續(xù)偏偏導導數(shù)數(shù),21vuvvzuuzz 當當0 u，0 v時時，01 ，02 tvtutvvztuuztz 21 當當0 t時

2、時， 0 u，0 v,dtdutu ,dtdvtv .lim0dtdvvzdtduuztzdtdzt 上定理的結論可推廣到中間變量多于兩個的情況上定理的結論可推廣到中間變量多于兩個的情況.如如dtdwwzdtdvvzdtduuzdtdz uvwtz以上公式中的導數(shù)以上公式中的導數(shù) 稱為全導數(shù)稱為全導數(shù).dtdz 上定理還可推廣到中間變量不是一元函數(shù)上定理還可推廣到中間變量不是一元函數(shù)而是多元函數(shù)的情況：而是多元函數(shù)的情況：).,(),(yxyxfz 如果如果),(yxu 及及),(yxv 都在點都在點),(yx具有對具有對x和和y的偏導數(shù)，且函數(shù)的偏導數(shù)，且函數(shù)),(vufz 在對應在對應點點

3、),(vu具有連續(xù)偏導數(shù)，則復合函數(shù)具有連續(xù)偏導數(shù)，則復合函數(shù)),(),(yxyxfz 在對應點在對應點),(yx的兩個偏的兩個偏導數(shù)存在，且可用下列公式計算導數(shù)存在，且可用下列公式計算 xvvzxuuzxz ， yvvzyuuzyz .uvxzy鏈式法則如圖示鏈式法則如圖示 xz uzxu vz,xv yz uzyu vz.yv 類似地再推廣，設類似地再推廣，設),(yxu 、),(yxv 、),(yxww 都在點都在點),(yx具有對具有對x和和y的偏導數(shù)，復合的偏導數(shù)，復合函數(shù)函數(shù)),(),(),(yxwyxyxfz 在對應點在對應點),(yx兩個偏導數(shù)存在，且可用下列公式計算兩個偏導數(shù)

4、存在，且可用下列公式計算 xwwzxvvzxuuzxz , ywwzyvvzyuuzyz .zwvuyx特殊地特殊地),(yxufz ),(yxu 即即,),(yxyxfz ,xfxuufxz .yfyuufyz 令令,xv , yw 其中其中, 1 xv, 0 xw, 0 yv. 1 yw把把復復合合函函數(shù)數(shù),),(yxyxfz 中中的的y看看作作不不變變而而對對x的的偏偏導導數(shù)數(shù)把把),(yxufz 中中的的u及及y看看作作不不變變而而對對x的的偏偏導導數(shù)數(shù)兩者的區(qū)別兩者的區(qū)別區(qū)別類似區(qū)別類似例例 1 1 設設vezusin ，而而xyu ，yxv ， 求求 xz 和和yz .解解 xz

5、uzxu vzxv 1cossin veyveuu),cossin(vvyeu yz uzyu vzyv 1cossin vexveuu).cossin(vvxeu 例例 2 2 設設tuvzsin ，而而teu ，tvcos ， 求求全全導導數(shù)數(shù)dtdz.解解tzdtdvvzdtduuzdtdz ttuvetcossin ttetettcossincos .cos)sin(costttet 例例 3 3 設設),(xyzzyxfw ，f具具有有二二階階 連連續(xù)續(xù)偏偏導導數(shù)數(shù)，求求xw 和和zxw 2. .解解令令, zyxu ;xyzv 記記,),(1uvuff ,),(212vuvuff

6、同理有同理有,2f ,11f .22f xwxvvfxuuf ;21fyzf zxw2)(21fyzfz ;221zfyzf yzf zf1zvvfzuuf 11;1211fxyf zf2zvvfzuuf 22;2221fxyf 于是于是 zxw21211fxyf 2f y )(2221fxyfyz .)(22221211f yf zxyfzxyf 設設函函數(shù)數(shù)),(vufz 具具有有連連續(xù)續(xù)偏偏導導數(shù)數(shù)，則則有有全全微微分分dvvzduuzdz ;當當),(yxu 、),(yxv 時時，有有dyyzdxxzdz .全微分形式不變形的實質：全微分形式不變形的實質： 無論無論 是自變量是自變量

7、的函數(shù)或中間的函數(shù)或中間變量變量 的函數(shù)，它的全微分形式是的函數(shù)，它的全微分形式是一樣的一樣的.zvu、vu、二、全微分形式不變性二、全微分形式不變性dxxvvzxuuz dyyzdxxzdz dyyvvzyuuz dyyudxxuuz dyyvdxxvvzduuz .dvvz 例例 4 4 已已知知02 zxyeze，求求xz 和和yz .解解, 0)2( zxyezed, 02)( dzedzxydezxy)()2(ydxxdyedzexyz dyexedxeyedzzxyzxy)2()2( xz ,2 zxyeyeyz .2 zxyexe1、鏈式法則分三種情況）、鏈式法則分三種情況）2、

8、全微分形式不變性、全微分形式不變性（特別要注意課中所講的特殊情況）（特別要注意課中所講的特殊情況）（理解其實質）（理解其實質）三、小結三、小結設設),(xvufz ，而而)(xu ，)(xv ，則則xfdxdvvfdxduufdxdz ，試試問問dxdz與與xf 是是否否相相同同？為為什什么么？思考題思考題思考題解答思考題解答不不相相同同.等等式式左左端端的的z是是作作為為一一個個自自變變量量x的的函函數(shù)數(shù)，而而等等式式右右端端最最后后一一項項f是是作作為為xvu,的的三三元元函函數(shù)數(shù)， 寫寫出出來來為為 xxvuxdxduufdxdz),(.),(),(xvuxxvuxfdxdvvf 一、填

9、空題一、填空題: : 1 1、設、設xyyxzcoscos , ,則則 xz_； yz_. .2 2、 設設22)23ln(yyxxz , ,則則 xz_； yz_._. 3 3、設、設32sinttez , ,則則 dtdz_._.二二、設設uvuez , ,而而xyvyxu ,22，求求yzxz , . .練練 習習 題題三、設三、設)arctan(xyz , ,而而xey , ,求求dxdz. .四、設四、設),(22xyeyxfz ( (其其具具中中f有一階連續(xù)偏導有一階連續(xù)偏導 數(shù)數(shù)) ), ,求求yzxz ,. .五、設五、設)(xyzxyxfu ,(,(其其具具中中f有一階連續(xù)偏

10、導有一階連續(xù)偏導 數(shù)數(shù)),),求求.,zuyuxu 六、設六、設),(yxxfz ,(,(其其具具中中f有二階連續(xù)偏導數(shù)有二階連續(xù)偏導數(shù)),),求求 22222,yzyxzxz . .七、設七、設,)(22yxfyz 其中為可導函數(shù)其中為可導函數(shù), , 驗證驗證: :211yzyzyxzx . .八、設八、設 ,),(其中其中yyxxz 具有二階導數(shù)具有二階導數(shù), ,求求 .,2222yzxz 一、一、1 1、xyyyyxxxyxxxy222cos)cossin(cos,cos)sin(coscos ； 2 2、,)23(3)23ln(2222yyxxyxyx 2232)23(2)23ln(2yyxxyxyx ； 3 3、.)43(1)41(3232ttt 二、二、,)(22222222yxxyeyyxyxyxxz )(22222)(22yxxyeyxxyxyyz . .練習題答案練習題答案三三、xxexxedxdz221)1( .