142正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)2下

1、1.4.2正弦函數(shù)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)余弦函數(shù)的性質(zhì)第第2學(xué)時學(xué)時五、探究：正弦函數(shù)的單調(diào)性五、探究：正弦函數(shù)的單調(diào)性25232223,25，、，、 當當 在區(qū)間在區(qū)間上時，上時，x753357, ,22222222、，、 ，、當當 在區(qū)間在區(qū)間xx22322523yO23225311曲線逐漸上升，曲線逐漸上升，sin 的值由的值由 增大到增大到 。11x上時，曲線逐漸下降，上時，曲線逐漸下降， sin 的值由的值由 減小到減小到 。11x探究：余弦函數(shù)的單調(diào)性探究：余弦函數(shù)的單調(diào)性 3 , 2 0 2 3 ,4 、 ，、 ，當當 在區(qū)間在區(qū)間x上時，上時， 2 , 0 23 、，、 ，當

2、當 在區(qū)間在區(qū)間x上時，上時，x22322523yO23225311曲線逐漸上升，曲線逐漸上升，cos 的值由的值由 增大到增大到 。11x曲線逐漸下降，曲線逐漸下降， cos 的值由的值由 減小到減小到 。11xx6yo-12345-2-3-41y=sinx (x R) x6o-12345-2-3-41y y=cosx (x R) 一、正弦、余弦函數(shù)的周期性一、正弦、余弦函數(shù)的周期性正弦函數(shù)、余弦函數(shù)都是周期函數(shù)，最小正周期是2sin()yAx函數(shù)函數(shù) 的周期是的周期是cos()yAx函數(shù)函數(shù) 的周期是的周期是2T2T二二.奇偶性奇偶性(1) ( )sin ,f xx xR為為奇奇函數(shù)函數(shù)(

3、2) ( )cos ,f xx xR為為偶偶函數(shù)函數(shù)三三.定義域和值域定義域和值域x22322523yO23225311x22322523yO23225311正弦函數(shù)正弦函數(shù)sinyx 定義域：定義域：R值域：值域：-1，1余弦函數(shù)余弦函數(shù)cosyx 定義域：定義域：R值域：值域：-1，1|sin|1|cos|1xx練習(xí)練習(xí) 下列等式能否成立？(1)2cos3x 2(2)sin0.5x 3cos2x 1 sin0.5x 1,1 例例1.求下列函數(shù)的定義域和值域。求下列函數(shù)的定義域和值域。(1)3sinyx(2)cosyx定義域定義域值域值域R3 |22,22xkxkkZ0,12,4(3)2si

4、n(2),36 6yxx 0,21cosyx （）(2)3sinyx解解(1)(1)：定義域：定義域：R. R. 值域：值域：-1,1. -1,1. (3)lgsinyx值域為值域為解（解（2 2）：-3sinx 0-3sinx 0sinx 0sinx 0定義域為定義域為 x|+2kx2+2k,kZx|+2kx2+2k,kZ又又-1sinx 0-1sinx 00-3sinx 30-3sinx 30, 3探究：正弦函數(shù)的最大值和最小值探究：正弦函數(shù)的最大值和最小值最大值：最大值：2x當當 時，時， 有最大值有最大值1yk2最小值：最小值：2x當當 時，時，有最小值有最小值1yk2x2232252

5、3yO23225311四四.最值最值探究：余弦函數(shù)的最大值和最小值探究：余弦函數(shù)的最大值和最小值最大值：最大值：0 x當當 時，時， 有最大值有最大值1yk2最小值：最小值：x當當 時，時，有最小值有最小值1yk2x22322523yO23225311x6o-12345-2-3-41y當且僅當當且僅當）時，（Zkkx22；1)(sinmaxx當且僅當當且僅當）時，（Zkkx22. 1)(sinminx當且僅當）時，（Zkkx2；1)(cosmaxx當且僅當）時，（Zkkx2. 1)(cosminx四、正弦、余弦函數(shù)的最值四、正弦、余弦函數(shù)的最值x6yo-12345-2-3-41)(sinRxx

6、y)(cosRxxy例例2.下列函數(shù)有最大、最小值嗎？如果有，請寫出取最大、最下列函數(shù)有最大、最小值嗎？如果有，請寫出取最大、最小值時的自變量小值時的自變量x的集合，并說出最大、最小值分別是什么的集合，并說出最大、最小值分別是什么.cos1,3sin2 ,.yxxRyx xR (1);(2)解：解：這兩個函數(shù)都有最大值、最小值這兩個函數(shù)都有最大值、最小值.（1）使函數(shù)）使函數(shù) 取得最大值的取得最大值的x的集合，就是的集合，就是使函數(shù)使函數(shù) 取得最大值的取得最大值的x的集合的集合cos1,yxxRcos ,yx xR |2,x xkkZ 使函數(shù)使函數(shù) 取得最小值的取得最小值的x的集合，就是的集合

7、，就是使函數(shù)使函數(shù) 取得最小值的取得最小值的x的集合的集合cos1,yxxRcos ,yx xR |(21) ,x xkkZ 函數(shù)函數(shù) 的最大值是的最大值是1+1=2；最小值是；最小值是-1+1=0.cos1,yxxRcos1,3sin2 ,.yxxRyx xR (1);(2)解：解：（2）令）令t=2x,因為使函數(shù)因為使函數(shù) 取最大值的取最大值的t的集合是的集合是3sin ,yt tR |2,2t tkkZ 222xtk 由由4xk 得得所以使函數(shù)所以使函數(shù) 取最大值的取最大值的x的集合是的集合是3sin2 ,yx xR |,4x xkkZ 同理，使函數(shù)同理，使函數(shù) 取最小值的取最小值的x的

8、集合是的集合是3sin2 ,yx xR |,4x xkkZ函數(shù)函數(shù) 取最大值是取最大值是3，最小值是，最小值是-3。3sin2 ,yx xR 例例2.下列函數(shù)有最大、最小值嗎？如果有，請寫出取最大、最下列函數(shù)有最大、最小值嗎？如果有，請寫出取最大、最小值時的自變量小值時的自變量x的集合，并說出最大、最小值分別是什么的集合，并說出最大、最小值分別是什么.)sin3)(sin2() 1 (xxy6sinsin) 1 (2xxy62tty則xtsin令425)21(2t 11，t42521sin21maxyxt時，即當41sin1minyxt時，即當 11，求下列函數(shù)的最值例、3的最值、求函數(shù)xxy

9、excos6sin2142xxycos6)cos1 (212解：1cos6cos22xx 11cos，令xt211)23(216222ttty則 11，t7)(21cos1maxyZkkxxt時，即當5)(21cos1minyZkkxxt時，即當1.4.2正弦函數(shù)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)余弦函數(shù)的性質(zhì)第第2學(xué)時（下）學(xué)時（下）函數(shù)函數(shù)y=sinxy=cosx圖形圖形定義域定義域值域值域最值最值單調(diào)性單調(diào)性奇偶性奇偶性周期周期對稱性對稱性2522320 xy21- -1xRxR 1,1y 1,1y 22xk時，時，1maxy22xk 時，時，1miny 2xk時，時，1maxy2xk時，時，1m

10、iny -2,222xkk增函數(shù)增函數(shù)32,222xkk減函數(shù)減函數(shù)2,2xkk 增函數(shù)增函數(shù)2,2xkk 減函數(shù)減函數(shù)2522320 xy1- -122奇函數(shù)奇函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)學(xué)習(xí)目標學(xué)習(xí)目標1.1.記住記住y=sinxy=sinx和和y=cosxy=cosx的單調(diào)區(qū)間的單調(diào)區(qū)間2.2.會求會求y=Asin(x+)+by=Asin(x+)+b的單調(diào)區(qū)間的單調(diào)區(qū)間3.3.會求會求y=Asin(x+)+by=Asin(x+)+b在給定區(qū)間在給定區(qū)間 上的值域上的值域1.閱讀課本第3738頁“單調(diào)性”部分內(nèi)容，將第38頁的表格和空填寫完整；2.仿照課本例4完成自測試題第1題五、正弦函數(shù)的單調(diào)性五、

11、正弦函數(shù)的單調(diào)性 y=sinx (x R)增區(qū)間為增區(qū)間為 ， 其值從其值從-1增至增至12 2 xyo-1234-2-312 23 25 27 2 23 25 x sinx2 2 23 0 -1 0 1 0 -1減區(qū)間為減區(qū)間為 ， 其值從其值從 1減至減至-12 23 +2k , +2k ,k Z2 2 +2k , +2k ,k Z2 23 余弦函數(shù)的單調(diào)性余弦函數(shù)的單調(diào)性 y=cosx (x R)x cosx2 2 - 0 -1 0 1 0 -1yxo-1234-2-312 23 25 27 2 23 25 11,2 ,2增至其值從增區(qū)間為Zkkk11,2,2減至其值從減區(qū)間為Zkkk函

12、數(shù)函數(shù)y=sinxy=cosx圖形圖形定義域定義域值域值域最值最值單調(diào)性單調(diào)性奇偶性奇偶性周期周期對稱性對稱性2522320 xy21- -1xRxR 1,1y 1,1y 22xk時，時，1maxy22xk 時，時，1miny 2xk時，時，1maxy2xk時，時，1miny -2,222xkk增函數(shù)增函數(shù)32,222xkk減函數(shù)減函數(shù)2,2xkk 增函數(shù)增函數(shù)2,2xkk 減函數(shù)減函數(shù)2522320 xy1- -122奇函數(shù)奇函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù).32, 0)(3)(21)0(21)62sin()(4的值值時的上的最值，并指出取最在區(qū)間）求函數(shù)（的單調(diào)增區(qū)間；）求出函數(shù)（的值；）求（的最小正周期

13、為已知函數(shù)例xxfxfyxxf.1221TT得，）由解：（Zkkkxy,3,621)62sin(的單調(diào)增區(qū)間是即函數(shù)Zkkkxy,3,6)62sin(的單調(diào)增區(qū)間是所以函數(shù)Zkkxk，36得由kxk22622222,22kk的單調(diào)增區(qū)間是函數(shù)tysin21)62sin()(12xxf，）（,62 xt令kxk232223學(xué)以致用學(xué)以致用請完成自測試題第3題125,12)32sin(12512,22322222,22sin22)32sin(kkxykxkkxkkkxyTxy的單調(diào)遞增區(qū)間為所以函數(shù)得由的單調(diào)遞增區(qū)間為因為函數(shù)解：周期為的周期、單調(diào)遞增區(qū)間求函數(shù)1211,125)32sin(121

14、1,125)32sin(1211125,2233222223,22sin)32sin()32sin()32sin()32sin(22)32sin(kkxykkxykxkkxkkkxyxyxyxxyTxy的單調(diào)遞增區(qū)間為即函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為所以函數(shù)得由的單調(diào)遞減區(qū)間為因為函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間的單調(diào)遞增區(qū)間是解：周期為的周期、單調(diào)遞增區(qū)間求函數(shù)32, 021)62sin()(3xxxf，）（67,6,62txt則令67626,320 xx6672112162sin211sin21）（，由圖像知，xt320,67662, 02121min或或此時xxy3,262,23211maxxxy此時學(xué)以致用學(xué)

15、以致用請完成自測試題第4題14sin() 2 ,2 23yxx 例 ：求函數(shù)，的單調(diào)遞增區(qū)間。1:,sin23xyz解令z=函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是2,2.22kk12x2,2232kk由54x4,k.33kkZ得A 2 ,2 , 設(shè)5A,.33B 易知15sin() 2 ,2 2333yxx 則函數(shù)，的單調(diào)遞增區(qū)間是-, 。5 |4x4,k.33BxkkZ1sin() 2 ,2 32yxx 你能求函數(shù)，的單調(diào)遞增區(qū)間嗎？1,sin23xyz令z=函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是32,2.22kk132x2,2232kk由5114x4,k.33kkZ得A 2 ,2 , 設(shè)5A 2 ,2 33B 易知1sin(

16、) 2 ,2 33253yxx 則函數(shù)，的增-2 ,- ,單調(diào)遞區(qū)間2是。511 |4x4,k.33BxkkZ11: y=sin()sin(),3223xx 另解 x22322523yO23225311PP正弦函數(shù)的圖象正弦函數(shù)的圖象53113,22222x對稱軸：對稱軸：,2xkkZ (,0),(0,0),( ,0),(2 ,0) 對稱中心：對稱中心：(,0)kkZ 六、正弦、余弦函數(shù)的對稱性六、正弦、余弦函數(shù)的對稱性余弦函數(shù)的圖象余弦函數(shù)的圖象,0, 2x 對稱軸：對稱軸：,xkkZ 35(,0),(,0),(,0),(,0)2222 對稱中心：對稱中心：(,0)2kkZ PPx22322

17、523yO23225311六、正弦、余弦函數(shù)的對稱性六、正弦、余弦函數(shù)的對稱性x6yo-12345-2-3-41x6o-12345-2-3-41y)(sinRxxy)(cosRxxyy=sinx的圖象對稱軸為：的圖象對稱軸為：y=sinx的圖象對稱中心為：的圖象對稱中心為：y=cosx的圖象對稱軸為：的圖象對稱軸為：y=cosx的圖象對稱中心為：的圖象對稱中心為：；，Zkkx2.)0 (Zkk，；，Zkkx.)0 2(Zkk， 任意兩相鄰對稱軸任意兩相鄰對稱軸( (或?qū)ΨQ中心或?qū)ΨQ中心) )的間距為半個周期；的間距為半個周期；對稱軸與其相鄰的對稱中心的間距為四分之一個周期對稱軸與其相鄰的對稱中

18、心的間距為四分之一個周期. .45842)452sin(5xDxCxBxAxy、的一條對稱軸是、例C該函數(shù)的對稱中心為 .Zkk， )0 82(（ ） 為函數(shù) 的一條對稱軸的是（ ）sin(2)3yx x22322523yO232253114.3A x 12x .2B x .0D x 解：經(jīng)驗證，當解：經(jīng)驗證，當.12C x 時時232x12x 為對稱軸為對稱軸練習(xí)練習(xí)函數(shù)函數(shù)y=sinxy=cosx圖形圖形定義域定義域值域值域最值最值單調(diào)性單調(diào)性奇偶性奇偶性周期周期對稱性對稱性2522320 xy21- -1xRxR 1,1y 1,1y 22xk時，時，1maxy22xk 時，時，1miny

19、 2xk時，時，1maxy2xk時，時，1miny -2,222xkk增函數(shù)增函數(shù)32,222xkk減函數(shù)減函數(shù)2,2xkk 增函數(shù)增函數(shù)2,2xkk 減函數(shù)減函數(shù)2522320 xy1- -122對稱軸對稱軸：,2xkkZ對稱中心對稱中心：(,0) kkZ對稱軸對稱軸：,xkkZ對稱中心對稱中心：(,0)2 kkZ奇函數(shù)奇函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù) 求 函數(shù)的對稱軸和對稱中心sin(2)3yx 23zx 解解（1）令）令則則sin(2)sin3yxz sinyz 的對稱軸為的對稱軸為,2zkkZ 232xk 解得：對稱軸為解得：對稱軸為,122xkkZ(2)sinyz 的對稱中心為的對稱中心為(,0)

20、 ,kkZ 23xk 對稱中心為對稱中心為62xk zk (,0) ,Z62kk練習(xí)練習(xí)練習(xí) 求 函數(shù)的對稱軸和對稱中心1cos()24yx 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)習(xí)題課6 3/2一、基礎(chǔ)題型 A奇函數(shù) B偶函數(shù) C非奇非偶函數(shù) D以上都不對 答案B 3函數(shù)ysin(2x)為偶函數(shù)，00， 當cosx1，即x2k(kZ)時，y取最大值為ab； 當cosx1，即x2k(kZ)時，y取最小值為ab. 若a0， 當cosx1，即x2k(kZ)時，yminab； 當cosx1，即x2k(kZ)時，ymaxab.1sin21sin2)2(xxy221sin)2(yyx12211sin1yyx由0222

21、21yyy14841222yyyyy1313yyy或313yy或1031032yyy，所求值域為)331(求值域 分析根據(jù)函數(shù)奇偶性定義進行判斷，先檢查定義域是否關(guān)于原點為對稱區(qū)間，如果是，再驗證f(x)是否等于f(x)或f(x)，進而判斷函數(shù)的奇偶性；如果不是，則該函數(shù)必為非奇非偶函數(shù) 辨析解答忽視了以下內(nèi)容：三角形中的最小角的范圍不是090，而是060，又三角形是不等邊三角形，故00與b0討論練習(xí)練習(xí) 求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間： 222242kxk解：由388kxk得3222242kxk由3788kxk得3,k88kk所求單調(diào)增區(qū)間為， Z37,88kkkZ所求單調(diào)遞減區(qū)

22、間為(2)3sin(2)4yx 22 cos11cos3223sin4 cos4,33xyxyxxx 練習(xí)：求下列函數(shù)的值域歸納：歸納：解題中應(yīng)注意三角函數(shù)的有界性解題中應(yīng)注意三角函數(shù)的有界性對函數(shù)值的影響對函數(shù)值的影響變形變形1:1:2sin4 sin2yabxbxya 已知的最大值為3，最小值為1，求函數(shù)的周期和最大和最小值。分類討論法分類討論法變形變形2:2:已知關(guān)于已知關(guān)于x x的方程的方程2sin2sin2 2x-cosx+2m=0 x-cosx+2m=0有解有解, ,求求m m的取值范圍的取值范圍. . 法法1:1:分離參數(shù)法分離參數(shù)法 答案D 答案C 答案B 4sin1、sin1

23、、sin的大小順序是() Asin1sin1sin Bsin1sinsin1 Csinsin1sin1 Dsin1sin1sin 答案B 解析1弧度57.3， ysinx在(0，90)上是增函數(shù)，且11， sin1sinsin1. 5下列函數(shù)中，奇函數(shù)的個數(shù)為 () yx2sinx; ysinx，x0,2； ysinx，x，; yxcosx. A1個B2個C3個D4個 答案C 解析ysinx，x0,2的定義域不關(guān)于原點對稱，不是奇函數(shù)， 、符合奇函數(shù)的概念 6y2sinx2的值域是 () A2,2 B0,2 C2,0 DR 答案A 解析x20，sinx21,1， y2sinx22,2 8函數(shù)y

24、asinxb的最大值為1，最小值為7，則a_，b_. 答案43;)26sin()1 (2的單調(diào)遞減區(qū)間求函數(shù)、xy3、求下列函數(shù)的值域、求下列函數(shù)的值域1cos21cos2)2( ;cos3sin) 1 (2xxyxxy 32,3, 1sin4sin332xxxy的單調(diào)遞減區(qū)間。求函數(shù))23cos()2(xy 2, 0,6cos1xxy 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象都有無窮多條對稱軸，其相鄰兩條對稱軸間距離為半個周期，其對稱軸一定經(jīng)過圖象的最高點或最低點 解答三角函數(shù)的單調(diào)性問題一定要注意復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性法則，更要注意函數(shù)的定義域 求函數(shù)yAsin(x)或yAcos(x)的單調(diào)區(qū)間時，0時，先利用

25、誘導(dǎo)公式把x的系數(shù)化為正數(shù)，然后把x看作一個整體t，考慮函數(shù)yAsint(或yAsint)的單調(diào)區(qū)間利用復(fù)合函數(shù)單調(diào)性判定方法，構(gòu)造不等式解之課堂小結(jié)課堂小結(jié):5、對稱性：、對稱性：y=sinx的圖象對稱軸為：的圖象對稱軸為：對稱中心為：對稱中心為：；，Zkkx2.)0 (Zkk，y=cosx的圖象對稱軸為：的圖象對稱軸為：對稱中心為：對稱中心為：；，Zkkx.)0 2(Zkk， 任意兩相鄰對稱軸任意兩相鄰對稱軸( (或?qū)ΨQ中心或?qū)ΨQ中心) )的間距為半個周期；的間距為半個周期；對稱軸與其相鄰的對稱中心的間距為四分之一個周期對稱軸與其相鄰的對稱中心的間距為四分之一個周期. .11c o s ()234124lo gxy（）1cos()0,34x解：