高等數學大學 9-習題課ppt課件

1、第九章第九章 曲線積分與曲面積分曲線積分與曲面積分 習題課習題課一曲線積分與曲面積分一曲線積分與曲面積分二各種積分之間的聯絡二各種積分之間的聯絡三場論初步三場論初步 一、主要內容曲線積分曲線積分曲面積分曲面積分對面積的對面積的曲面積分曲面積分對坐標的對坐標的曲面積分曲面積分對弧長的對弧長的曲線積分曲線積分對坐標的對坐標的曲線積分曲線積分定義定義計算計算定義定義計算計算聯絡聯絡聯絡聯絡一曲線積分與曲面積分一曲線積分與曲面積分 曲曲 線線 積積 分分對弧長的曲線積分對弧長的曲線積分對坐標的曲線積分對坐標的曲線積分定定義義 niiiiLsfdsyxf10),(lim),( LdyyxQdxyxP),

2、(),(),(),(lim10iiiniiiiyQxP 聯聯絡絡dsQPQdyPdxLL)coscos( 計計算算 dtfdsyxfL22,),()( dtQPQdyPdxL),(),( (與方向有關)與途徑無關的四個等價命題與途徑無關的四個等價命題條條件件在在單單連連通通開開區(qū)區(qū)域域D上上),(),(yxQyxP具具有有連連續(xù)續(xù)的的一一階階偏偏導導數數, ,則則以以下下四四個個命命題題成成立立. . LQdyPdxD與與路路徑徑無無關關內內在在)1( CDCQdyPdx閉閉曲曲線線, 0)2(QdyPdxduyxUD 使使內存在內存在在在),()3(xQyPD ,)4(內內在在等等價價命命題

3、題 曲曲 面面 積積 分分對面積的曲面積分對面積的曲面積分對坐標的曲面積分對坐標的曲面積分定定義義 niiiiisfdszyxf10),(lim),( xyiniiiiSRdxdyzyxR)( ),(lim),(10 聯聯絡絡 RdxdyQdzdxPdydz計計 算算一代,二換,三投(與側無關) 一代,二投,三定向 (與側有關) dSRQP)coscoscos( dszyxf),( xyDyxdxdyzzyxzyxf221),(, dxdyzyxR),( xyDdxdyyxzyxR),(,定積分定積分曲線積分曲線積分重積分重積分曲面積分曲面積分計算計算計算計算計算計算Green公式公式Stok

4、es公式公式Guass公式公式二各種積分之間的聯絡二各種積分之間的聯絡實際上的聯絡1.定積分與不定積分的聯絡定積分與不定積分的聯絡)()()()()(xfxFaFbFdxxfba 牛頓牛頓-萊布尼茨公式萊布尼茨公式2.二重積分與曲線積分的聯絡二重積分與曲線積分的聯絡)()(的的正正向向沿沿LQdyPdxdxdyyPxQLD 格林公式格林公式3.三重積分與曲面積分的聯絡三重積分與曲面積分的聯絡 RdxdyQdzdxPdydzdvzRyQxP)(高斯公式高斯公式4.曲面積分與曲線積分的聯絡曲面積分與曲線積分的聯絡 dxdyyPxQdzdxxRzPdydzzQyR)()()( RdzQdyPdx斯托

5、克斯公式斯托克斯公式梯度梯度kzujyuixugradu 通量通量旋度旋度環(huán)流量環(huán)流量zRyQxPAdiv RdxdyQdzdxPdydzkyPxQjxRzPizQyRArot)()()( RdzQdyPdx散度散度三場論初步三場論初步例例1 計算計算 12LLxy dsxy dx :1,1,00,1Lxy 從從到到。 二、 例題1，00，11.解解 21:1,12L yx dsy dxdx 10122Lxy dsdx 12LLLxy dsdsds 或或 2:1,:10,L yx x 0111Lxy dxdx 解解xxyxyyP2)2(2 知知xyxxxQ2)(42 ,xQyP 即即所以積分與

6、路徑無關所以積分與路徑無關xyo11A LdyyxdxxyxI)()2(422由由BD 104102)1(dyydxx.1523 xyo11A BAOBLdyyxdxxyxdyyxdxxyxdyyxdxxyxI)()2()()2()()2(422422422所所以以BD例例3 計算曲線積分計算曲線積分 , 其中其中 LyydyexdxxeI 222)1()1(為為 在第一象限沿逆時針方向的半圓弧在第一象限沿逆時針方向的半圓弧.L4)2(22 yx解：記解：記 , . 那么由于那么由于 ,yxeP21 122 yexQxQxeyPy 22 1 222)1()1(Lyydyexdxxe.12)1(

7、0 4 dxx那么所給積分與途徑無關。現取那么所給積分與途徑無關?，F取 , 從從 變到變到 ;0 :1 yL40 x LyydyexdxxeI 222)1()1(那么有那么有分析分析 此題假設直接轉化為定積分計算是比較繁的。我們可以此題假設直接轉化為定積分計算是比較繁的。我們可以先看先看 ,以決議能否用格林公式或其他的方法計算。以決議能否用格林公式或其他的方法計算。,yPxQ yPxQ4cossinxxLeydxeydy 例例 計計算算 22(0)1,00,0Lxyx yAO 其其中中 ：從從到到的的上上半半圓圓周周. .sinxQPeyxx 解解積積分分與與路路徑徑無無關關Ao:0,:0AO

8、yx a 另另選選直直線線 0cossin1cos012xxLxaaeydxeydyedxe 25x dS例 求2222xyzR：，第一卦限部分.222222221:1xyzRxyRdxdydSzzdxdyRxy 解解法法222222222:,0,0 xyxyDRx dxdyx dSDxyR xyRxy32422200cos6RrRdRRr解解 法法2 由對稱性輪換性由對稱性輪換性222x dSy dSz dS2222222411433386RRx dSxyz dSdSRR22226xyzxy dxdy例，22:10.zxyz 的下側22:1xyxoyDxy下下解解向向面面的的投投影影區(qū)區(qū)域域

9、22222221200=23xyDxyzxy dxdyxy dxdydr dr 曲面面積的計算法曲面面積的計算法SDxy),(yxfz xyoz dSS xyDyxdxdyzz221dsyxfSBAL ),(),(dxyyxfba 21),(zxoy),(yxfz sLABab解解由對稱性由對稱性 LLdsyxzdsS2218, 1:3232 yxL)20(,sin,cos33 ttytx參參數數方方程程為為,cossin3)()(22tdttdtyxdstt tdttttScossin3sincos182066 tdttttcossincossin3242022 2022cossin324tdtt.233 在第四卦限部分的上側在第四卦限部分的上側為平面為平面為連續(xù)函數為連續(xù)函數其中其中計算計算1,),(,),(),(2),( zyxzyxfdxdyzzyxfdzdxyzyxfdydzxzyxfI例例8xyoz111 解解利用兩類曲面積分之間的關系利用兩類曲面積分之間的關系,1:yxz .31cos,31cos,31cos dSzzyxfyzyxfxzyxfI),(31),(231),(31 dSzyx)(31 xyDdxdy3131.21 解解22101xzyyxyz 軸軸旋旋轉轉面面方方程程為為繞繞(