高等數(shù)學無窮級數(shù)ppt課件

1、第九章第九章 無無 窮窮 級級 數(shù)數(shù) 第一節(jié) 常數(shù)項級數(shù)第二節(jié) 正項級數(shù)及其審斂法第三節(jié) 任意項級數(shù)第四節(jié) 冪級數(shù)第五節(jié) 函數(shù)的冪級數(shù)展開第六節(jié) 傅立葉級數(shù)第一節(jié) 常數(shù)項級數(shù)第一節(jié)第一節(jié) 常數(shù)項級數(shù)常數(shù)項級數(shù)一、無窮級數(shù)的基本概念二、無窮級數(shù)的基本性質(zhì)三、級數(shù)收斂的必要條件無窮級數(shù)無窮級數(shù)的基本概念的基本概念第一節(jié)第一節(jié) 常數(shù)項級數(shù)常數(shù)項級數(shù)1nnu設(shè)有數(shù)列設(shè)有數(shù)列 ,21nuuunuuu21那么稱為常數(shù)項無窮級數(shù)，記作稱為常數(shù)項無窮級數(shù)，記作 nuuu21 稱為一般項或通項 nu左式中每一項都是常數(shù)，故為常數(shù)項級數(shù)無窮多個數(shù)無窮多個數(shù)怎樣求和怎樣求和,21211uuSuS令nSnuuu21級

2、數(shù)的前 n 項部分和 是一個數(shù)列 nSSSnnlim假設(shè)則稱級數(shù)則稱級數(shù) 收斂收斂 1nnuS 稱為級數(shù)和 1nnuSuuun21假設(shè)假設(shè) 不存在，則稱級數(shù)不存在，則稱級數(shù) 發(fā)散發(fā)散 nnSlim1nnu留意：發(fā)散級數(shù)沒有和，留意：發(fā)散級數(shù)沒有和，但存在部分和但存在部分和無窮級數(shù)的基本概念無窮級數(shù)的基本概念例討論等比幾何級數(shù)例討論等比幾何級數(shù) )0(12aaqaqaqan的收斂性. 解解 1nnaqu1當 時1q nSqqaaqnnn1111qaqqaSqnnnn1)1 (1,1limlim時（1）級數(shù)收斂qaaqnn111（2）0,1limaqqnn而因為時.,)1 (1limlim等比級數(shù)

3、發(fā)散nnnnqqaS2當,1時q（1假設(shè)nSq, 11nnaa，等比級數(shù)發(fā)散，等比級數(shù)發(fā)散 （2假設(shè)為偶數(shù)為奇數(shù)nnaaaaaSqnn, 0,) 1(, 11nnSlim所以 不存在，等比級數(shù)發(fā)散 綜上： .1;11,11時發(fā)散當時收斂于當qqaqaqnn無窮級數(shù)的基本概念無窮級數(shù)的基本概念例2、判定級數(shù) 的斂散性 1)3)(2(1nnn解解 3121)3)(2(1nnnnnSnkkk1)3)(2(1nkkk12121312151414131nn3131n313131limlimnSnnn所以，級數(shù)收斂 31)3)(2(11nnn無窮級數(shù)的基本性質(zhì)無窮級數(shù)的基本性質(zhì)性質(zhì)添加、去掉或改變級數(shù)的任

4、意有限項，級數(shù)的收斂散性不變，性質(zhì)添加、去掉或改變級數(shù)的任意有限項，級數(shù)的收斂散性不變，但一般會改變收斂級數(shù)的和但一般會改變收斂級數(shù)的和 級數(shù)的斂散性取決于后面的無窮項，而與前級數(shù)的斂散性取決于后面的無窮項，而與前 n n 項無關(guān)，但級數(shù)和與項無關(guān)，但級數(shù)和與前前 n n 項有關(guān)。項有關(guān)。性質(zhì)性質(zhì)2 2 級數(shù)級數(shù) 與級數(shù)與級數(shù) 有相同的斂散性有相同的斂散性 1nnu1nnku)0(k1nnu1nnku當級數(shù)當級數(shù) 收斂于收斂于S S 時，那么時，那么 收斂于收斂于kSkS性質(zhì)性質(zhì)3 3 設(shè)有收斂級數(shù)設(shè)有收斂級數(shù) 和和 ，則它們對應(yīng)項相加或相減所，則它們對應(yīng)項相加或相減所得的級數(shù)得的級數(shù) 收斂于

5、和收斂于和 11Sunn21Svnn)(1nnnvu21SSS無窮級數(shù)的基本性質(zhì)無窮級數(shù)的基本性質(zhì)余項余項去掉級數(shù)去掉級數(shù) 的前的前 n n 項項, ,所得的級數(shù)所得的級數(shù) 1nnu1nkku若級數(shù)若級數(shù) 收斂于收斂于S S，則余項，則余項 也收斂也收斂1nnunR321nnnnuuuRnnSSR0)(limlimlimSSSSSSRnnnnnn且且當級數(shù)收斂時，用當級數(shù)收斂時，用部分和部分和 代替級代替級數(shù)和數(shù)和S S產(chǎn)生的誤差產(chǎn)生的誤差很小，為近似計算很小，為近似計算提供了依據(jù)提供了依據(jù)nS例判定級數(shù)例判定級數(shù) 的斂散性的斂散性 12) 1(1nnn解由于解由于 與與 都收斂都收斂 121

6、nnnn121等比級數(shù)，公比絕對值小于等比級數(shù)，公比絕對值小于1 1所以所以12) 1(1nnn收斂收斂根據(jù)性質(zhì)根據(jù)性質(zhì)3 3且且12) 1(1nnn121nn322112121121211nn三、級數(shù)收斂的必要條件三、級數(shù)收斂的必要條件 定理若級數(shù)定理若級數(shù) 收斂，那么收斂，那么 1nnu. 0limnnu證由于證由于 收斂，存在和收斂，存在和 ，故，故 1nnunnSSlim0)(11limlimlimlimSSSSSSunnnnnnnnn. 0limnnu 僅是級數(shù)收斂的必要條件僅是級數(shù)收斂的必要條件當 時，級數(shù) 一定發(fā)散0limnnu1nnu結(jié)結(jié)論論例判定級數(shù)例判定級數(shù) 的斂散性的斂散

7、性 11lnnnnn01111ln1lnlimlimlimnnnnnnnnnu解解11lnnnnn發(fā)散發(fā)散判定級數(shù)收斂例題判定級數(shù)收斂例題 例判定調(diào)和級數(shù)例判定調(diào)和級數(shù) 的斂散性的斂散性 11nn解、當解、當 時，時，0 xxx )1ln(nn11ln1nSn131211n11ln311ln211ln11lnnn1ln34ln23ln2lnnn134232ln)(1lnnnnnSlim即調(diào)和級數(shù)即調(diào)和級數(shù) 發(fā)散發(fā)散 11nn調(diào)和級數(shù)滿足收斂的必要條件，但卻發(fā)散調(diào)和級數(shù)滿足收斂的必要條件，但卻發(fā)散第九章第九章 無無 窮窮 級級 數(shù)數(shù) 第一節(jié) 常數(shù)項級數(shù)第二節(jié) 正項級數(shù)及其審斂法第三節(jié) 任意項級數(shù)

8、第四節(jié) 冪級數(shù)第五節(jié) 函數(shù)的冪級數(shù)展開第六節(jié) 傅立葉級數(shù)第二節(jié) 正項級數(shù)及其審斂法第二節(jié)第二節(jié) 正項級數(shù)及其審斂法正項級數(shù)及其審斂法一、比較審斂法二、比值審斂法正項級數(shù)及其審斂法正項級數(shù)及其審斂法 正項級數(shù)正項級數(shù) 1nnu), 3 , 2 , 1(0nun中中1nnnSSu由于由于11nnnnSuSS結(jié)論：正項級數(shù)的部分和的數(shù)列結(jié)論：正項級數(shù)的部分和的數(shù)列 是單調(diào)不減的是單調(diào)不減的 nSnSSSS321一、比較審斂法一、比較審斂法 定理定理1 1 設(shè)正項級數(shù)設(shè)正項級數(shù) 與與 滿足滿足 1nnu1nnv), 3 , 2 , 1(nvunn（1 1假設(shè)假設(shè) 收斂，那么收斂，那么 也收斂；也收斂；

9、 1nnv1nnu（2 2假設(shè)假設(shè) 發(fā)散，那么發(fā)散，那么 也也發(fā)散發(fā)散 1nnu1nnv大收斂則小收斂；大收斂則小收斂；小發(fā)散則大發(fā)散。小發(fā)散則大發(fā)散。正項級數(shù)及其審斂法正項級數(shù)及其審斂法 證證 （設(shè)（設(shè) 收斂于和收斂于和 ，其部分和為，其部分和為 ，由，由 的單調(diào)不減性可知：的單調(diào)不減性可知： 1nnvnS nS1nnvnS*nS1nnu1nnv nS有界有界又又 *nS是單調(diào)不減是單調(diào)不減; ; *limnnS存在存在1nnu收斂；收斂；所以所以1nnv發(fā)散發(fā)散（假設(shè)（假設(shè) 收斂，由收斂，由1 1得得 收斂，與已知矛盾，收斂，與已知矛盾，1nnv1nnu 定理定理1 1 設(shè)正項級數(shù)設(shè)正項級

10、數(shù) 與與 滿足滿足 1nnu1nnv), 3 , 2 , 1(nvunn（1 1假設(shè)假設(shè) 收斂，那么收斂，那么 也收斂；也收斂； 1nnv1nnu（2 2假設(shè)假設(shè) 發(fā)散，那么發(fā)散，那么 也也發(fā)散發(fā)散 1nnu1nnv留意：小的收斂，大的不一定收斂；大的發(fā)散小的不一定發(fā)散留意：小的收斂，大的不一定收斂；大的發(fā)散小的不一定發(fā)散正項級數(shù)及其審斂法例題正項級數(shù)及其審斂法例題 例討論例討論 的斂散的斂散性性 級數(shù)p11npn解（當解（當 ), 3 , 2 , 1(11,1nnnuppn時11nn發(fā)散發(fā)散11npn發(fā)散發(fā)散（當（當 時時 1pppppppnpppn15181716151413121111p

11、ppppppp818141414141212111118141211ppp312112121211ppp等比級數(shù)等比級數(shù) , ,收斂收斂) 1(1211pqp公比公比11npn收斂收斂正項級數(shù)及其審斂法例題正項級數(shù)及其審斂法例題 結(jié)論結(jié)論級數(shù)p11npn當當時收斂當時發(fā)散1;1pp在使用比較判別法審斂時，需有一個斂散性已知的級數(shù)作為比較的標在使用比較判別法審斂時，需有一個斂散性已知的級數(shù)作為比較的標準常用的這種標準級數(shù)有：等比級數(shù)、調(diào)和級數(shù)和準常用的這種標準級數(shù)有：等比級數(shù)、調(diào)和級數(shù)和p- p- 級數(shù)級數(shù) 例審斂下列級數(shù)的斂散性例審斂下列級數(shù)的斂散性 1221nan（1 1）1) 1(1nnn

12、（2 2）11nnn（3 3）12251nnnn（4 4）解（因解（因 ), 3 , 2 , 1(11222nnan而而121nn收斂收斂所以所以1221nan收斂收斂（因（因 11) 1(1, 1) 1() 1(2nnnnnnn111nn而而發(fā)散發(fā)散1) 1(1nnn發(fā)散發(fā)散正項級數(shù)及其審斂法例題正項級數(shù)及其審斂法例題 121nn而而收斂收斂11nnn收斂收斂)2(211nnunnn（3 3）11nnn（3 3）12251nnnn（4 4）（）（） )4)(1(133) 1(113) 1(1251222nnnnnnnnnnnnun), 3 , 2 , 1(41nn141nn而而發(fā)散發(fā)散122

13、51nnnn發(fā)散發(fā)散特點：正項級數(shù)的通項特點：正項級數(shù)的通項 是分式而其分子分母都是分式而其分子分母都是是 n n 的多項式常數(shù)是的多項式常數(shù)是零次多項式或無理式零次多項式或無理式時，只要分母的最高次時，只要分母的最高次數(shù)高出分子最高次數(shù)一數(shù)高出分子最高次數(shù)一次以上不包括一次），次以上不包括一次），該正項級數(shù)收斂，否則該正項級數(shù)收斂，否則發(fā)散發(fā)散 nu比值審斂法比值審斂法 證（當證（當 ，取適當?shù)?，取適當?shù)?11, 0使nnnuu1lim因因定理達朗貝爾定理達朗貝爾DAlembertDAlembert判別法設(shè)正項級數(shù)判別法設(shè)正項級數(shù) ，如果極限，如果極限 1nnunnnuu1lim存在，那么存

14、在，那么 (1)(1)當當 ，級數(shù)收斂；，級數(shù)收斂； 1(2)(2)當當 ，級數(shù)發(fā)散；，級數(shù)發(fā)散； 1(3)(3)當當 ，級數(shù)可能收斂，也可能發(fā)，級數(shù)可能收斂，也可能發(fā)散散 10對對NnN當,有有nnnnuuuu11,即比值審斂法證明比值審斂法證明 rNn 令令，當，當 有有11ruunn,3232121NNNNNNNNurruuurruuruu), 3 , 2 , 1(kurunkkN普通普通kNnNrururu2而幾何級數(shù)而幾何級數(shù)收斂收斂1kkNu收斂收斂1nnu1kkNu與與僅相差僅相差 n n 項項收斂收斂1nnu1(2)(2)當當 時，取正數(shù)時，取正數(shù) 1, 1則nnnuu1lim

15、由由NnN當,1,11nnnnuuuu即有有nnuu1而而0limnnu1nnu發(fā)散發(fā)散比值審斂法證明比值審斂法證明 (3)(3)當當 時，級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散，時，級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散， 1級數(shù)p11npn對任意對任意p p值，有值，有 11limlimlim1)1(11pnnnnnnnnnuupp而而時級數(shù)收斂當時級數(shù)發(fā)散1;1pp所以，當所以，當 1時，判別法實效時，判別法實效例判定下列級數(shù)的斂散性例判定下列級數(shù)的斂散性 432113211211111(1)(1)13 !nnnnn(2)(2)12) 12(1nnn(3)(3)比值審斂法例題比值審斂法例題 解（）解（） )!1(1)

16、1(3211nnun101limlimlim)!1(1!11nuunnnnnnn所以，該級數(shù)收斂所以，該級數(shù)收斂 nnnnnnnnnnnnuu3 !) 1(3)!1(111limlim（2 2）13113limennn所以，該級數(shù)發(fā)散所以，該級數(shù)發(fā)散 1) 12)(22() 12(2limlim1nnnnuunnnn（3 3）比值判別法失效，比值判別法失效，改用其它方法改用其它方法 比值審斂法例題比值審斂法例題 12) 12(1nnn(3)(3)由于由于nnn12221) 12(21nnn而而121nn收斂收斂12) 12(1nnn收斂收斂留意留意比值審斂法的特點是利用級數(shù)本身的比值審斂法的特

17、點是利用級數(shù)本身的第第 n n 項和第項和第 n +1 n +1 項之比的極限判項之比的極限判定其收斂性，使用起來極為方便值定其收斂性，使用起來極為方便值得注意的是，比值得注意的是，比值 審斂法失效審斂法失效時，要改用其它方法時，要改用其它方法 ) 1(第九章第九章 無無 窮窮 級級 數(shù)數(shù) 第一節(jié) 常數(shù)項級數(shù)第二節(jié) 正項級數(shù)及其審斂法第三節(jié) 任意項級數(shù)第四節(jié) 冪級數(shù)第五節(jié) 函數(shù)的冪級數(shù)展開第六節(jié) 傅立葉級數(shù)第三節(jié) 任意項級數(shù)第三節(jié)第三節(jié) 任意項級數(shù)任意項級數(shù)一、交錯級數(shù)二、絕對收斂與條件收斂第三節(jié)第三節(jié) 任意項級數(shù)任意項級數(shù)任意項級數(shù)任意項級數(shù) 1nnu中總含有無窮多個正項和負項中總含有無窮多

18、個正項和負項 對級數(shù)中只有有限項是正的，或有限項是負的，總可以轉(zhuǎn)化對正項級數(shù)的研究對級數(shù)中只有有限項是正的，或有限項是負的，總可以轉(zhuǎn)化對正項級數(shù)的研究 一、交錯級數(shù)一、交錯級數(shù) nnnnnuuuuuu1432111) 1() 1(nnnnnuuuuuu) 1() 1(43211或或), 3 , 2 , 1(0nun4131211) 1(1nnn交錯級數(shù)交錯級數(shù)61514131211不是交錯級數(shù)不是交錯級數(shù)交錯級數(shù)判別法交錯級數(shù)判別法定理（萊布尼茲判別法設(shè)交錯級數(shù)定理（萊布尼茲判別法設(shè)交錯級數(shù) )0() 1(11nnnnuu滿足滿足 0limnnu（2 2）), 3 , 2 , 1(1nuunn

19、（1 1）則級數(shù)則級數(shù) 11) 1(nnnu收斂，和收斂，和 1uS ，余項絕對值，余項絕對值 1nnuR證設(shè)交錯級數(shù)證設(shè)交錯級數(shù) 11) 1(nnnu的部分和數(shù)列為的部分和數(shù)列為 nS（1當 n=2m 時， mmmuuuuuuS21243212)()()(2124321mmuuuuuu由于由于 單調(diào)遞減單調(diào)遞減 nu0.021mkkSuu從而mS2且且 單增單增mmmuuuuuuS21243212又又mmmuuuuuuuu2122254321)()()(1umS2是單調(diào)遞增且有上界，從而是單調(diào)遞增且有上界，從而 mnS2lim存在存在設(shè)其極限值為，有設(shè)其極限值為，有 mnSS2lim當 n=

20、2m+1時 12212432112mmmmuuuuuuuS122mmuS0limnnu由于由于12limmnSSuSmmm)(lim122mnS2limSSmn12lim綜上所述綜上所述 SSnnlim11) 1(nnnu所以所以收斂收斂且且1uS )(4321nnnnnuuuuR由于由于也是交錯級數(shù)也是交錯級數(shù)1nnuR對于收斂的交錯級數(shù)，如果用對于收斂的交錯級數(shù)，如果用 作為作為 S 的近似值，則產(chǎn)生的誤差的近似值，則產(chǎn)生的誤差不會超過余項中第一項的絕對值不會超過余項中第一項的絕對值 ，在近似計算中，常用此法，在近似計算中，常用此法來估計誤差來估計誤差nS1nu交錯級數(shù)例題交錯級數(shù)例題),

21、 3 , 2 , 1(1nuunn0limnnu交錯級數(shù)收斂的條件：交錯級數(shù)收斂的條件：例討論下列級數(shù)的斂散性例討論下列級數(shù)的斂散性 nnn1) 1(1111) 1(nnnn(2)(2)(1)(1)解（）解（） nnnnn111) 1(41312111) 1(是交錯級數(shù)是交錯級數(shù)) , 3 , 2 , 1(1111nunnunn0limnnu且且nnn1) 1(11所以所以收斂收斂11) 1(nnnn（2 2）雖然是交錯級數(shù)，但雖然是交錯級數(shù)，但 011limlimnnunnnnnn1) 1(11所以所以發(fā)散發(fā)散交錯級數(shù)例題交錯級數(shù)例題), 3 , 2 , 1(1nuunn0limnnu交錯級

22、數(shù)收斂的條件：交錯級數(shù)收斂的條件：例例2 2 利用交錯級數(shù)利用交錯級數(shù) 112101) 1(10110111110nn計算計算 的近似值的近似值,使其誤差不超過使其誤差不超過 0.00011110解利用解利用 111101) 1(nnn的前的前 n n 項和作為項和作為 1110的近似值的近似值 1nnuR而而541010001. 0u取取 n n 4 4909. 01011011011111032所以所以以上計算就可保證近似值的誤差不超過 0.0001 二、絕對收斂與條件收斂二、絕對收斂與條件收斂 1nnu1nnu絕對收斂：假絕對收斂：假設(shè)設(shè)收斂， 則稱 絕對收斂 211) 1(nnn如：如

23、：絕對收斂定理假設(shè) 收斂，那么 稱也收斂 1nnu1nnu證證nnnnnuuuuu201nnnuu收斂收斂1nnu由于由于收斂收斂nnnnuuuu又又1nnu11nnnnnuuu1nnu收斂條條 件件 收收 斂斂 1nnu1nnu條件收斂：假條件收斂：假設(shè)設(shè)收斂，而則稱 條件收斂 發(fā)散，1nnu例判定下列級數(shù)的斂散性例判定下列級數(shù)的斂散性 若收斂需判定是條件收斂還是絕對收斂若收斂需判定是條件收斂還是絕對收斂nnnn3) 1(2111) 1(nnpn（2 2）（1 1）解（） nnnnnnu33) 1(22131113133) 1(22121limlimlimnnnuunnnnnnn1nnu收斂

24、1nnu絕對收斂例判定下列級數(shù)的斂散性例判定下列級數(shù)的斂散性 若收斂需判定是條件收斂還是絕對收斂若收斂需判定是條件收斂還是絕對收斂nnnn3) 1(2111) 1(nnpn（2 2）（1 1）條件收斂例題條件收斂例題 級數(shù)是 pnnnpnpn1111) 1(（2）,1時p11npn當收斂11) 1(nnpn絕對收斂； ,10時 p當1111) 1(npnpnnn發(fā)散， 11) 1(nnpn而是交錯級數(shù)11) 1(nnpn條件收斂； 滿足交錯級數(shù)收斂的條件0p當時，0) 1(1limlimpnnnnnu故級數(shù)發(fā)散 結(jié)論11) 1(nnpn對級數(shù)時1p當,絕對收斂； 當 ,條件收斂； 時10 p當

25、 時，級數(shù)發(fā)散。0p以后凡是對正項級數(shù)審斂，只需判定收斂與發(fā)散對任意項級數(shù)審斂，應(yīng)判定是絕對收斂、條件收斂與發(fā)散三種情形 第九章第九章 無無 窮窮 級級 數(shù)數(shù) 第一節(jié) 常數(shù)項級數(shù)第二節(jié) 正項級數(shù)及其審斂法第三節(jié) 任意項級數(shù)第四節(jié) 冪級數(shù)第五節(jié) 函數(shù)的冪級數(shù)展開第六節(jié) 傅立葉級數(shù)第四節(jié) 冪級數(shù)第四節(jié)第四節(jié) 冪級數(shù)冪級數(shù)一、冪級數(shù)的收斂性二、冪級數(shù)的性質(zhì)第四節(jié)第四節(jié) 冪級數(shù)冪級數(shù)函數(shù)項級數(shù)函數(shù)項級數(shù) )(1xunn) 1 ()()()(21xuxuxun特特點點級數(shù)的每一項都是函數(shù)，當 x 取定一個值，即為數(shù)項級數(shù)Ixx0取)(01xunn)2()()()(00201xuxuxun假設(shè)2收斂,則稱

26、0 xx 為函數(shù)項級數(shù)的一個收斂點；反之 0 xx 是的一個發(fā)散點 收斂點全體構(gòu)成的集合，稱為函數(shù)項級數(shù)的收斂域 0 xx 假設(shè)為收斂點，則和函數(shù))()()()(002010 xuxuxuxSn當 x 在收斂域取任意值時，必有確定的和S(x)與之對應(yīng)，得)()()()(21xuxuxuxSn第四節(jié)第四節(jié) 冪級數(shù)冪級數(shù))()()()()(211xuxuxuxuxSnnkkn前 n 項部分和函數(shù) 在收斂域內(nèi)有 )()(limxSxSnn余項 )()()(xSxSxRnn在收斂域內(nèi) 0)(limxRnn例討論函數(shù)項級數(shù)例討論函數(shù)項級數(shù) 121nxxx的收斂域 )(xSn解xxxxxnn111121x

27、當 時，xxxxSnnnn1111)(limlim級數(shù)在（，內(nèi)收斂，即收斂域為（，）， 和函數(shù)xxS11)(冪級數(shù)的收斂性冪級數(shù)的收斂性 )3(22100nnnnnxaxaxaaxa為 x 的冪級數(shù) ,210naaaa冪級數(shù)的系數(shù) （式是否一定存在收斂點 x =0時冪級數(shù)收斂nnnnnxxaxxaxxaaxxa)()()()(020201000冪級數(shù)的一般形式是 令 或 即得3式0 xxy00 x問題轉(zhuǎn)化為討論冪級數(shù)3的形式定理對于冪級數(shù) ，假設(shè) nnnxa0nnnaa1lim則當 1x時，該級數(shù)收斂 則當 時，該級數(shù)發(fā)散 1x為則換1, 0假設(shè)冪級數(shù)的收斂性冪級數(shù)的收斂性 定理對于冪級數(shù) ，

28、假設(shè) nnnxa0nnnaa1lim則當 1x時，該級數(shù)收斂 則當 時，該級數(shù)發(fā)散 1x（1）（2）證證 )4(22100nnnnnxaxaxaaxannnnnxaxa11limxxaannn1lim比值判別法 1, 1xx即當時，級數(shù)4收斂 nnnxa0收斂1, 1xx即當時，即 111limnnnnnxaxa0limnnnxannnxa0發(fā)散冪級數(shù)的收斂半徑1R0),(RR為收斂區(qū)間對區(qū)間端點的收斂性要另行討論冪級數(shù)的收斂性習題冪級數(shù)的收斂性習題 例求下列冪級數(shù)的收斂半徑與收斂區(qū)間例求下列冪級數(shù)的收斂半徑與收斂區(qū)間 0!nnxnnxnnn11) 1(12) 1(20nxnnnnnnnx2)

29、2() 1(0（3）（1）（2）（4）解（） !)!1(limlim1nnaannnn) 1(limnn收斂半徑R0，收斂區(qū)間退縮為一點x0（） 11limlim1nnaannnn收斂半徑 11R當x1時，冪級數(shù)為 nnn1) 1(11由萊布尼茲判別法可知它是收斂的 當x1時，冪級數(shù)為 11nn，發(fā)散收斂區(qū)間為（1，1冪級數(shù)的收斂性習題冪級數(shù)的收斂性習題 12) 1(20nxnnn(3)所給冪級數(shù)缺少x的奇次冪項，不能直接應(yīng)用定理求收斂半徑 法法 0212) 1(nnnnx0212nnnx2222121) 1(2limxnxnxnnn可用比值判別法11, 1, 12xx也即即由時冪級數(shù)絕對收斂

30、，當1x112) 1(nnn，時收斂所以12) 1(20nxnnn的收斂區(qū)間為-1,112) 1(20nxnnn(3)冪級數(shù)的收斂性習題冪級數(shù)的收斂性習題 法2則,2yx 令12) 1(20nxnnn12) 1(0nynnynnnaa1lim132121211) 1(21limlimnnnnnn11yyR1y當所以, 02 xy，僅討論在端點處 1y112) 1(nnn收斂12) 1(0nynn的收斂區(qū)間為0,1即102 x12) 1(20nxnnn的收斂區(qū)間是-1,1,R=1冪級數(shù)的收斂性習題冪級數(shù)的收斂性習題 yx 2令nnnnx2)2() 1(0(4)可采用類似于3的方法nnnnx2)2

31、() 1(0nnnny2) 1(0ynnnaa1limnnnnn2) 1(2) 1(11lim2121limn21yyR當y=2時,0) 1(nn發(fā)散；當y 2時，01n發(fā)散nnnny2) 1(0的收斂區(qū)間是（2，2）222x40 xnnnnx2)2() 1(0所以的收斂區(qū)間是0，4）冪級數(shù)的性質(zhì)冪級數(shù)的性質(zhì) 設(shè)冪級數(shù) nnnxa0)(1xSnnnxb0)(2xSnnnxb0nnnxa0nnnnxba0)()(1xS)(2xS那么收斂半徑分別為21RR 與證明略設(shè)冪級數(shù)設(shè)冪級數(shù) 的和函數(shù)為的和函數(shù)為 ，收斂半徑為，收斂半徑為R ，則在收斂區(qū)間，則在收斂區(qū)間 內(nèi)有內(nèi)有nnnxa0)(xS)0)(

32、,(RRR1.1.和函數(shù)和函數(shù) 延續(xù)延續(xù) )(xS2.2.和函數(shù)和函數(shù) 可導且可以逐項求導任意次可導且可以逐項求導任意次, ,收斂半徑不變收斂半徑不變 )(xS00)(nnnnnnxaxaxS11nnnxna和函數(shù)和函數(shù) 可積，且可以逐項積分任意次可積，且可以逐項積分任意次, ,收斂半徑不變收斂半徑不變 )(xS dxxadxxSxxnnn000)(00nxnndxxa101nnnxna冪級數(shù)例題冪級數(shù)例題 例求冪級數(shù)例求冪級數(shù) 的收斂區(qū)間及和函數(shù)的收斂區(qū)間及和函數(shù) 1nnnx1nnnx解的收斂半徑R 1和函數(shù)Sx），在（1，1上有11)(nnnnnxnxxSxxnn1111)(xS)1ln(

33、)1ln(11)(000 xxdxxdxxSxxx當x=1時，級數(shù)為 11nn是發(fā)散的； 當x1時，級數(shù)1) 1(nnn是調(diào)和級數(shù)，收斂所以冪級數(shù)的收斂區(qū)間為1，1）， 在收斂區(qū)間內(nèi)和函數(shù))1ln()(xxS冪級數(shù)例題冪級數(shù)例題 例求冪級數(shù)例求冪級數(shù) 的和函數(shù)的和函數(shù) nnxn0) 1(解所給冪級數(shù)收斂半徑解所給冪級數(shù)收斂半徑R =1R =1，收斂區(qū)間為（，），收斂區(qū)間為（，） )(xSnnxn0) 1(設(shè) dxndxxSxxnn000) 1()(那么00) 1(nxndxxn01nnx132nxxxxx111小結(jié)小結(jié)冪級數(shù)求和的步驟(1)對所給冪級數(shù)逐項微分或逐項積分；(2)求出中所得冪級數(shù)

34、的和函數(shù)；(3)對中所得的冪級數(shù)的和函數(shù)進行積分或微分運算即可得到所求冪級數(shù)的和函數(shù) 第九章第九章 無無 窮窮 級級 數(shù)數(shù) 第一節(jié) 常數(shù)項級數(shù)第二節(jié) 正項級數(shù)及其審斂法第三節(jié) 任意項級數(shù)第四節(jié) 冪級數(shù)第五節(jié) 函數(shù)的冪級數(shù)展開第六節(jié) 傅立葉級數(shù)第五節(jié) 函數(shù)的冪級數(shù)展開第五節(jié)第五節(jié) 函數(shù)的冪級數(shù)展開函數(shù)的冪級數(shù)展開一、馬克勞林級數(shù)二、將函數(shù)展開成冪級數(shù)的方法函數(shù)的冪級數(shù)展開函數(shù)的冪級數(shù)展開 1.把任意一個已知函數(shù)f(x)表示成一個冪級數(shù)；2.展開的冪級數(shù)是否以f(x)為和函數(shù) .馬克勞林公式馬克勞林公式 0 xx 泰勒公式如果函數(shù)泰勒公式如果函數(shù)f(x)在在 的某一鄰域內(nèi)，有直到的某一鄰域內(nèi)，有直

35、到(n+1)階導數(shù)，則階導數(shù)，則在這個鄰域內(nèi)有在這個鄰域內(nèi)有 )()(!)()(! 2)()()()(00)(200000 xRxxnxfxxxfxxxfxfxfnnn )()()!1()()(010)1(之間與介于xxxxnfxRnnn泰勒公式 拉格朗日型余項拉格朗日型余項 證明略函數(shù)的冪級數(shù)展開函數(shù)的冪級數(shù)展開 )()(!)()(! 2)()()()(00)(200000 xRxxnxfxxxfxxxfxfxfnnn 令 x0 得)(!)0(! 2)0()0()0()()(2xRxnfxfxffxfnnn )0()!1()()(1)1(之間與介于xxnfxRnnn馬克勞林公式馬克勞林公式

36、nnxnfxfxffxf!)0(! 2)0()0()0()()(2fx的馬克勞林級數(shù) 上式右端是否以函數(shù)f(x)為和函數(shù)nnnxnfxfxffxS!)0(! 2)0()0()0()()(21 令fx收斂條件為)()(1limxfxSnn)()()(1xRxSxfnn由于當0)(limxRnn)()(1limxfxSnn函數(shù)的冪級數(shù)展開函數(shù)的冪級數(shù)展開 nnxnfxfxffxf!)0(! 2)0()0()0()()(20)(limxRnn)()(1limxfxSnn)()(1limxfxSnn反之0)(limxRnn函數(shù)能否展開的充要條件一個函數(shù)fx的展式是否唯一nnnnnxaxaxaaxaxf

37、22100)(設(shè))0(, 00fax令1212)(nnxnaxaaxf)0(, 01fax令,!)0(,! 2)0(, )0(, )0()(210nfafafafann 由此可知馬克勞林展式是唯一的函數(shù)的冪級數(shù)展開函數(shù)的冪級數(shù)展開 如果f(x)在 的鄰域內(nèi)有任意階導數(shù)，則冪級數(shù) 0 x nnxxnxfxxxfxxxfxfxf)(!)()(! 2)()()()(00)(200000泰勒級數(shù) 00 x令則得馬克勞林級數(shù)將函數(shù)展開成冪級數(shù)將函數(shù)展開成冪級數(shù) (1)直接展開法 !)0()(nfann直接計算,!)0(,! 2)0(, )0(, )0()(210nfafafafann 留意：留意：計算

38、一定是尋求遞推規(guī)律na函數(shù)的冪級數(shù)展開例題函數(shù)的冪級數(shù)展開例題 例試將函數(shù)例試將函數(shù) 展成的冪級展成的冪級數(shù)數(shù) xexf)(), 3 , 2, 1()(,)()(nexfexfxnx解), 3 , 2 , 1(1)0(, 1)0()(nffn得到冪級數(shù) ! 3! 2132nxxxxn nnxnfxfxffxf!)0(!2)0()0()0()()(2收斂區(qū)間為 ),()0()!1()!1()(11之間和介于xnxexnexRnxnn由于11)!1(nnnx絕對收斂0)!(1limnxnn0)!(1limnxenxn0)(limxRnn即)(! 3! 2132xnxxxxenx函數(shù)的冪級數(shù)展開例題

39、函數(shù)的冪級數(shù)展開例題 例將例將f(x)=sinx f(x)=sinx 展成展成 x x 的冪級數(shù)的冪級數(shù) ), 3 , 2 , 1(2sin)()(nnxxfn解xxfsin)()2sin(cos)(xxxf 22cos)2sin()(xxxf0)0(f), 3 , 2 , 1(2sin)0()(nnfn當 n=2k 時0sin)0()2(kfk當 n=2k1 時為奇數(shù)為偶數(shù)kkkkkfk11cos2sin212sin)0()12(得冪級數(shù) )!12() 1(! 5! 31253kxxxxkk),(收斂區(qū)間函數(shù)的冪級數(shù)展開例題函數(shù)的冪級數(shù)展開例題 例將例將f(x)=sinx f(x)=sinx

40、 展成展成 x x 的冪級數(shù)的冪級數(shù) )()!12() 1(! 5! 3sin1253xkxxxxxkk)()!2() 1(! 4! 21cos242xkxxxxkk利用逐項求導法可得 利用直接展開法還可得到) 11(1) 1(3121)1ln(132xnxxxxxnn) 11(!) 1() 1(1)1 (1xxnnmmmxnnm二項展開式，m為任意實數(shù)，在 是否收斂取決于m的值 1x(2)間接展開法 函數(shù)的冪級數(shù)展開例題函數(shù)的冪級數(shù)展開例題 間接展開法是利用已知的函數(shù)的冪級數(shù)展開式，運用冪級數(shù)的運算逐項相加、逐項微分和逐項積分等和變量替換等方法求得函數(shù)的冪級數(shù)展開式 方法方法例將函數(shù) 展成

41、x 的冪級數(shù) xxfarctan)(dxxxx0211arctan解而 ) 11() 1(1112xxxxxnn得 ) 11() 1(1112422xxxxxnn換 為x2x) 11(12) 1(53arctan1253xnxxxxxnn上式兩邊積分得 函數(shù)的冪級數(shù)展開例題函數(shù)的冪級數(shù)展開例題 例將函數(shù)例將函數(shù) 231)(2xxxf展成 x 的冪級數(shù) xxxxxxxf2111) 1)(2(1231)(2解)22(22212111212122xxxxxnx而) 11(1112xxxxxnxxxf2111)(1322222221)1 (nnnxxxxxxnnnxxx1123322212212212

42、21收斂區(qū)間為（，） 收斂半徑應(yīng)取較小的一個，故R=1 函數(shù)的冪級數(shù)展開例題函數(shù)的冪級數(shù)展開例題 例例9 9 將函數(shù)將函數(shù) xxf1)(展開成(x-1)的冪級數(shù) 解 nnxxxxxxf) 1() 1() 1() 1(1) 1(111)(2) 11(1112xxxxxn收斂區(qū)間為 111x20 x即函數(shù)冪級數(shù)的間接展開有較強的技巧性，主要是用一些已知函數(shù)的展開式和微分、積分的方法。以下為常見的一些冪級數(shù)的展開式。常見函數(shù)的冪級數(shù)展開式常見函數(shù)的冪級數(shù)展開式 )(! 3!2132xnxxxxenx) 11(1) 1(3121)1ln(132xnxxxxxnn)()!12() 1(! 5! 3sin

43、1253xkxxxxxkk)()!2() 1(! 4! 21cos242xkxxxxkk) 11(12) 1(53arctan1253xnxxxxxnn) 11(!) 1() 1(! 2) 1(1)1 (2xxnnmmmxmmmxxnm第九章第九章 無無 窮窮 級級 數(shù)數(shù) 第一節(jié) 常數(shù)項級數(shù)第二節(jié) 正項級數(shù)及其審斂法第三節(jié) 任意項級數(shù)第四節(jié) 冪級數(shù)第五節(jié) 函數(shù)的冪級數(shù)展開第六節(jié) 傅立葉級數(shù)第六節(jié) 傅立葉級數(shù)第六節(jié)第六節(jié) 傅立葉級數(shù)傅立葉級數(shù)一、周期為 的函數(shù)的傅立葉級數(shù)二、周期為 的函數(shù)的傅立葉級數(shù)三、定義在有限區(qū)間上函數(shù)的展開22l傅立葉級數(shù)傅立葉級數(shù) 在科學實驗與工程技術(shù)的某些現(xiàn)象中,經(jīng)常

44、會碰到一種周期運動,三角函數(shù)是最常見的周期函數(shù)那么各項都由正弦函數(shù)或余弦函數(shù)和常數(shù)構(gòu)成的函數(shù)項級數(shù)稱為三角級數(shù)它的一般形式是 )sincos(210nxbnxaannn三角級數(shù)), 3 , 2 , 1(,0nbaann為常數(shù)本節(jié)主要研究把一個周期函數(shù)展開成三角級數(shù)的方法 周期為周期為 的函數(shù)的傅立葉級數(shù)的函數(shù)的傅立葉級數(shù) 21.三角函數(shù)系的正交性 三角函數(shù)系 ,sin,cos,2sin,2cos,sin,cos, 1nxnxxxxx察看0cos1nxdx0sin1nxdx), 3 , 2 , 1, 3 , 2 , 1(0sincosnmmxdxnx),3 , 2 , 1,(0sinsinnmn

45、mnxdxmx),3 , 2 , 1,(0coscosnmnmnxdxmx三角函數(shù)系中任意兩個不同的函數(shù)的乘積在 上的積分為零 ,結(jié)論三角函數(shù)的正交系周期為周期為 的函數(shù)的傅立葉級數(shù)的函數(shù)的傅立葉級數(shù) 2三角函數(shù)系中任意兩個不同的函數(shù)的乘積在 上的積分為零 ,而 212dxnxdx2cosnxdx2sin, 3 , 2 , 1n三角函數(shù)系中任一個函數(shù)的平方乘積在 上的積分都不為零 ,即2.周期為 的函數(shù)的傅立葉級數(shù) 2設(shè)是 以 為周期的函數(shù)，在 上可積 )(xf2,)sincos(210nxbnxaannn的和函數(shù)與三角級數(shù)的系數(shù) nnbaa,0關(guān)系)sincos(2)(10nxbnxaaxf

46、nnn設(shè)逐項可積dxnxbnxadxadxxfnnn 10sincos2)(求出 即可nnbaa,0周期為周期為 的函數(shù)的傅立葉級數(shù)的函數(shù)的傅立葉級數(shù) 2dxnxbnxadxadxxfnnn 10sincos2)( 10sincosnnnnxdxbnxdxaa0a利用三角函數(shù)系的正交性其積分為零dxxfa)(10kxxfcos)()sincoscoscos(cos210nxkxbnxkxakxannn以下求)0( nannxdxkxbnxdxkxakxdxakxdxxfnnnnsincoscoscoscos2cos)(110kkakxdxa2cos), 3 , 2 , 1(cos)(1nnxd

47、xxfan周期為周期為 的函數(shù)的傅立葉級數(shù)的函數(shù)的傅立葉級數(shù) 2)sincos(2)(10nxbnxaaxfnnn對nxdxxfancos)(1以 sinkx 乘上式兩端，同樣方法可得) , 3 , 2 , 1(sin)(1nnxdxxfbn3 , 2 , 1 , 0n 傅立葉系數(shù) nnba ,)sincos(210nxbnxaannn傅立葉系數(shù)組成的三角級數(shù)，稱為函數(shù)f(x)的傅立葉級數(shù) 結(jié)論一個函數(shù)f(x)只要在 可積，它的傅立葉級數(shù)就一定存在 ,f(x)f(x)的傅立葉級數(shù)是否一定收斂于的傅立葉級數(shù)是否一定收斂于f(x) f(x) 周期為周期為 的函數(shù)的傅立葉級數(shù)的函數(shù)的傅立葉級數(shù) 2收

48、斂定理狄利克雷Dirichlet充分條件設(shè) 是周期為 的周期函數(shù)在 上滿足： )(xf2,(1)連續(xù)或只有有限個第一類間斷點； 那么 的傅立葉級數(shù)收斂且 )(xf(1)當 x 是 的連續(xù)點時，級數(shù)收斂于 )(xf)(xf(2)當 x 是 的間斷點時，級數(shù)收斂于 )(xf2)0()0(xfxf(2)最多只有有限個極值點即不作無限多次振蕩） 的間斷點為的連續(xù)點為)(2)0()0()()()sincos(210 xfxxfxfxfxxfnxbnxaannn即證明略例1 設(shè)函數(shù)f(x)是周期為 的周期函數(shù)，它在 上的表達式為 2,周期為周期為 的函數(shù)的傅立葉級數(shù)例題的函數(shù)的傅立葉級數(shù)例題 2xxxf0

49、101)(試將函數(shù) 展開成傅立葉級數(shù) )(xf解 作出圖形，它顯然滿足收斂定理的條件 nxdxxfancos)(10cos) 1(1nxdx0cos1nxdx0sin11nxn0sin11nxn), 3 , 2 , 1(0n3 , 2 , 1, 0nandxxfa)(100) 1(1dx010dxnxdxxfbnsin)(10sin) 1(1nxdx0sin1nxdx0cos11nxn0cos11nxn6 , 4 , 20, 5 , 3 , 14) 1(12nnnnn6 , 4 , 20, 5 , 3 , 14nnnbn, 3 , 2 , 1 , 00nan時), 2, 1, 0(kkn當,傅

50、立葉級數(shù)收斂于 )(xfxnnxxxf) 12sin(1213sin31sin4)(時), 2, 1, 0(kkn 當,傅立葉級數(shù)收斂于 02)0()0(kfkf作出傅立葉級數(shù)圖形f(x)的圖形與其傅立葉級數(shù)圖形僅在間斷點 有差異), 2, 1, 0(kkxfx)也稱為矩形波函數(shù)xnnxxxf) 12sin(1213sin31sin4)(以下觀察n1，2，3，4時的圖形n4n1n2n3可用數(shù)學軟件Maple作出n100的圖形，這時和fx非常逼近xnnxxxf) 12sin(1213sin31sin4)(xxxf0101)(周期為周期為 的函數(shù)的傅立葉級數(shù)例題的函數(shù)的傅立葉級數(shù)例題 2例設(shè)函數(shù)例

51、設(shè)函數(shù) 是周期為是周期為 的周期函數(shù)，它在的周期函數(shù)，它在 上的表達式為上的表達式為 )(xf2,xxxxxf00)(試將函數(shù) 展開成傅立葉級數(shù) )(xf解作出圖形，由于 滿足收斂定理的條件 )(xfdxxfa)(1002xdxnxdxxfancos)(00sin12cos2nxxdnnxdxx0sin0sin2nxdxxxn1) 1(2cos2202nnnxn周期為周期為 的函數(shù)的傅立葉級數(shù)例題的函數(shù)的傅立葉級數(shù)例題 2. 6 , 4 , 20, 5 , 3 , 142nnnan當當), 3 , 2 , 1(0sin)(1nnxdxxfbnxkkxfk) 12cos() 12(142)(12

52、由于 是一個連續(xù)函數(shù)，它的傅立葉級數(shù)在任何點都收斂于 )(xf)(xf留意留意1.1.求一個函數(shù)的傅立葉級數(shù)關(guān)鍵是求傅立葉系數(shù)；求一個函數(shù)的傅立葉級數(shù)關(guān)鍵是求傅立葉系數(shù)；2.2.求傅立葉系數(shù)要尋找求傅立葉系數(shù)要尋找 的規(guī)律；的規(guī)律；3.3.對同次冪的系數(shù)要合并。對同次冪的系數(shù)要合并。nnba ,二、周期為二、周期為2l 2l 的函數(shù)的傅立葉級的函數(shù)的傅立葉級數(shù)數(shù) 對周期為2l 的周期函數(shù)如何展開為傅立葉級數(shù)討論周期為 2l 的周期函數(shù)在區(qū)間（l，l上展開成傅立葉級數(shù)的方法設(shè)f(x)是以 2l 為周期的周期函數(shù) tlx令xlt當x在l，l上變化時， ),便在t上變化)()(tFtlfxfF(t)

53、是以 為周期的周期函數(shù),設(shè)在區(qū)間 上滿足收斂定理的條件 2),在連續(xù)點有：)sincos(2)()(10ntbntaatFxfnnn)sincos(210 xlnbxlnaannndttFa)(10dttlf)(1xtl令lldxxfl)(1二、周期為二、周期為2l 2l 的函數(shù)的傅立葉級的函數(shù)的傅立葉級數(shù)數(shù) ), 3 , 2 , 1(cos)(1cos)(nxdxlnxflntdttFalln同理), 3 , 2 , 1(sin)(1sin)(nxdxlnxflntdttFblln討討論論如果fx)在（l，l是奇函數(shù)，那么lnnnxdxlnxflbna0)3 , 2 , 1(sin)(2)3

54、 , 2 , 1 , 0(0其傅立葉級數(shù)為 xlnbxfnnsin)(1特點：僅含有正弦正弦級數(shù)正弦級數(shù)如果fx)在（l，l是偶函數(shù)，那么), 3 , 2 , 1(0), 3 , 2 , 1 , 0(cos)(20nbnxdxlnxflanln二、周期為二、周期為2l 2l 的函數(shù)的傅立葉級的函數(shù)的傅立葉級數(shù)數(shù) fx)在（l，l是奇函數(shù)，得正弦級數(shù)xlnbxfnnsin)(1fx)在（l，l是偶函數(shù)，得余弦級數(shù)xlnaaxfnncos2)(10例若函數(shù)例若函數(shù)f(x)f(x)以為周期，在區(qū)間，上的表達式為以為周期，在區(qū)間，上的表達式為 102011)(xxxf試將其展開成傅立葉級數(shù) 解解 32

55、)(111001110dxdxdxxfa011011cos2coscos)(11xdxnxdxnxdxnxfan), 3 , 2 , 1(001sin210sin1nxnnxnn周期為周期為2l 2l 的函數(shù)的傅立葉級數(shù)習的函數(shù)的傅立葉級數(shù)習題題 例若函數(shù)例若函數(shù)f(x)f(x)以為周期，在區(qū)間，上的表達式為以為周期，在區(qū)間，上的表達式為 102011)(xxxf試將其展開成傅立葉級數(shù) 0, 30nba011011sin2sinsin)(11xdxnxdxnxdxnxfbn01cos210cos1xnnxnnnnnnnn2) 1(2) 1(16 , 4 , 20, 5 , 3 , 12) 1(11nnnnnxxxxf5sin513sin31sin223)(), 3, 1, 0,(kkxx), 2, 1, 0(kkx級數(shù)收斂于 23端點周期為周期為2l 2l 的函數(shù)的傅立葉級數(shù)習的函數(shù)的傅立葉級數(shù)習題題 例若矩形以例若矩形以T T為周期，且在為周期，且在 上表達式為上表達式為 2,2TT24044420)(TtTTtTATtTtf試將其展開成傅立葉級數(shù) 解解 f(t)f(t