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1、習(xí)題課定積分及其相關(guān)問題 第五章 一、定積分問題舉例一、定積分問題舉例1. 曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積設(shè)曲邊梯形是由延續(xù)曲線)0)()(xfxfy，軸及x以及兩直線bxax,所圍成 , 求其面積 A .?A)(xfy 矩形面積ahhaahb梯形面積)(2bahyOxab1xix1ixxabyO處理步驟處理步驟 :1) 大化小大化小.在區(qū)間 a , b 中恣意插入 n 1 個(gè)分點(diǎn)bxxxxxann1210,1iiixx用直線ixx 將曲邊梯形分成 n 個(gè)小曲邊梯形;2) 常代變常代變.在第i 個(gè)窄曲邊梯形上任取作以,1iixx為底 ,)(if為高的小矩形, 并以此小矩形面積近似替代相應(yīng)窄曲邊梯
2、形面積,iA得)()(1iiiiiixxxxfA),2, 1,nii3) 近似和近似和.niiAA1niiixf1)(4) 取極限取極限. 令, max1inix那么曲邊梯形面積niiAA10limniiixf10)(lim1xix1ixxabyOi定積分的性質(zhì)定積分的性質(zhì)(設(shè)所列定積分都存在)abbaxxfxxfd)(d)(. 10d)(aaxxfbaxd. 2xxfkxxfkbabad)(d)(. 3( k 為常數(shù))bababaxxgxxfxxgxfd)(d)(d)()(. 4abbccabaxxfxxfxxfd)(d)(d)(. 56. 假設(shè)在假設(shè)在 a , b 上上那么.0d)(xxf
3、ba,0)(xfa 0 ; (2) 在(a, b) 內(nèi)存在點(diǎn) , 使 )(2d)(22fxxfabba(3) 在(a, b) 內(nèi)存在與 相異的點(diǎn) , 使 baxxfaabfd)(2)(22(2019 考研) 證證: (1) ,)2(lim存在axaxfax,0)2(limaxfax由 f (x)在a, b上延續(xù), 知 f (a) = 0. ，又0)( xf所以f (x) 在(a, b)內(nèi)單調(diào)增, 因此 ),(, 0)()(baxafxf(2) 設(shè)2( ),( )( )d()xaF xxg xf ttaxb, 0)()(xfxg則)(),(xgxF故滿足柯西中值定理?xiàng)l件, 于是存在 使),(baaabattfttfabagbgaFbFd)(d)()()()()(22xxattfxd)()(2即 )(2d)(22fttfabba(3) 因 0)()(ff)()(aff在a, 上用拉格朗日中值定理),(),(
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