高等數(shù)學ppt課件

1、二、二、 導(dǎo)數(shù)運用導(dǎo)數(shù)運用習題課一、一、 微分中值定理及其運用微分中值定理及其運用機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 中值定理及導(dǎo)數(shù)的運用 第三章 拉格朗日中值定理 )()(bfaf一、一、 微分中值定理及其運用微分中值定理及其運用1. 微分中值定理及其相互關(guān)系微分中值定理及其相互關(guān)系 羅爾定理 0)(fxyoab)(xfy )()()()()()(FfaFbFafbfabafbff)()()()()()(bfafxxF 柯西中值定理 xxF)(xyoab)(xfy機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 2. 微分中值定理的主要運用微分中值定理的主要運用(1) 研討函數(shù)或?qū)?shù)的性態(tài)(2) 證明恒等

2、式或不等式(3) 證明有關(guān)中值問題的結(jié)論機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 (4) 利用洛必達法那么求極限3、未定式、未定式:,0 ,00,1型0處理方法處理方法:通分轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化000取倒數(shù)轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化0010取對數(shù)轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 0,0闡明闡明利用洛必達法那么求極限，留意利用洛必達法那么求極限，留意兩種根本方式的解題方法要熟習(2) 其它類型的未定式轉(zhuǎn)化為根本方式的方法要明確(3) 要結(jié)合以前學過的各種方法，靈敏解題.機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 二、二、 導(dǎo)數(shù)運用導(dǎo)數(shù)運用1. 研討函數(shù)的性態(tài):增減 , 極值 , 凹凸 , 拐點 , 漸近線 ,曲率2. 處理最值問

3、題 目的函數(shù)的建立與簡化 最值的判別問題3. 其他運用 :求不定式極限 ;幾何運用 ;相關(guān)變化率;證明不等式 ;研討方程實根等.機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 的延續(xù)性及導(dǎo)函數(shù)例例1. 填空題填空題(1) 設(shè)函數(shù)上連續(xù)，在),()(xf的則)(xf其導(dǎo)數(shù)圖形如下圖,機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 單調(diào)減區(qū)間為 ;極小值點為 ;極大值點為 .)(xf ),0(),(21xx),(),0,(21xx21, xx0 x提示提示:)(xf根據(jù)的正負作 f (x) 的表示圖. 單調(diào)增區(qū)間為 ;o2x1xyxox)(xf1x2xo)(xfx .在區(qū)間 上是凸弧 ;拐點為 ),0(),(21xx)0

4、(, 0( ,)(,( ,)(,(2211fxfxxfx提示提示:)()(xfxf 的可導(dǎo)性及根據(jù)的正負作 f (x) 的表示圖. 形在區(qū)間 上是凹弧; 那么函數(shù) f (x) 的圖 (2) 設(shè)函數(shù)上可導(dǎo)，在),()(xf的圖形如下圖,機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 ),(),0,(21xx)(xf o2x1xyx2x)(xf 1xln)1ln()()(1xxxfxf例例2. 證明證明在xxxf)1 ()(1),0(上單調(diào)添加.證證:)1ln()(ln1xxxfln)1ln(xxx11ln)1ln()11()(xxxxxfx令,ln)(ttF在 x , x +1 上利用拉氏中值定理,機動 目

5、錄 上頁 下頁 前往 終了 111xxx) 10(1ln)1ln(xxxxx11故當 x 0 時,0)( xf從而)(xf在),0(上單調(diào)增.得例例3. 設(shè)設(shè)在)(xf),(上可導(dǎo), 且證明 f ( x ) 至多只需一個零點 . 證證: 設(shè)設(shè))()(xfexx那么 )()()(xfxfexx0,0)()(xfxf故)(x在),(上延續(xù)單調(diào)遞增, 從而至多只需一個零點 .又因,0 xe因此)(xf也至多只需一個零點 .思索思索: 假設(shè)題中假設(shè)題中0)()(xfxf改為,0)()(xfxf其它不變時, 如何設(shè)輔助函數(shù)?)()(xfexx機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 例例4. 求數(shù)列求數(shù)列nn

6、的最大項 .證證: 設(shè)設(shè)),1()(1xxxfx用對數(shù)求導(dǎo)法得)ln1()(21xxxfx令,0)( xf得, ex x)(xf )(xfe), 1e),(e0ee1由于)(xf在),1只需獨一的極大點,ex 因此在ex 處)(xf也取最大值 .又因,32 e442 且,33nn為數(shù)列故33中的最大項 .極大值機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 列表判別:例例5. 證明證明. )0(1arctan)1ln(xxxx證證: 設(shè)設(shè)xxxxarctan)1ln()1 ()(, 那么0)0(211)1ln(1)(xxx)0(0 x故0 x時, )(x單調(diào)添加 , 從而0)0()(x即)0(1arcta

7、n)1ln(xxxx機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 例例6. 設(shè)設(shè),0)0(f且在),0上)(xf 存在 , 且單調(diào)遞減 , 證明對一切0,0ba有)()()(bfafbaf證證: 設(shè)設(shè), )()()()(xfafxafx那么0)0()()()(xfxafx)0(0 x所以當時，0 x)(x0)0(令,bx 得0)()()()(bfafbafb即所證不等式成立 .機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 例例7. 求求)0()1arctan(arctanlim2ananann解法解法1 利用中值定理求極限利用中值定理求極限原式)1(11lim22nanann之間）與在1(nana221) 1(limannnna機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 解法解法2 利用羅必