立體幾何中的向量方法

1、3.2.13.2.1立體幾何中的向量方法立體幾何中的向量方法 利用空間向量求空間角利用空間向量求空間角復習引入1用空間向量解決立體幾何問題的“三步曲”（1）建立立體圖形立體圖形與空間向量空間向量的聯(lián)系，用空間向量表示表示問題中涉及的點點、直線直線、平面平面，把立體幾何問題轉化為向向量問題量問題；（2）通過向量運算向量運算，研究點、直線、平面點、直線、平面之間的位置關位置關系系以及它們之間夾角夾角問題（3）把向量的運算結果運算結果“翻譯”成相應的幾何意義幾何意義。2向量的有關知識：（1）兩向量數(shù)量積的定義：（2）兩向量夾角公式：（3）平面的法向量：與平面垂直的向量知識點知識點1：異異面直線所成的

2、角面直線所成的角（1）定義：定義：過空間任意一點任意一點o分別作異面直線異面直線a與b的平行線平行線a與b，那么直線a與b 所成的銳角或直角銳角或直角，叫做異面直線a與b 所成的角.兩直線l,m所成的角為(02 ),cosa ba b ；（2）兩條直線的夾角：）兩條直線的夾角：lamlamb b所以 與 所成角的余弦值為A1AB1BC1C1D1Fxyz 解：解：以點C為坐標原點建立空間直角坐標系 如圖所示，設 則： Cxyz11CC(1,0,0), (0,1,0),AB1111 1( ,0,1),( ,1)22 2FD所以：11(,0,1),2 AF111( ,1)22 BD11cos, AF

3、 BD1111| AF BDAFBD113041053421BD1AF3010.,111111111111所成的角的余弦值和求，、的中點、取中，在直三棱柱AFBDFDCABACCCABCACBCCBAABC例：例：（3）直線與平面的夾角：）直線與平面的夾角：aa ABCD1A1B1C1DMNxyz例：例：(0,0,0),A1(0,0,4),A(0,8,0),D因為 ,AMDA1ANDA1(0,8,0),AD 1(0,8, 4),AD 1cos,AD AD 2 55ADANM與平面所成角的正弦值是2 55所以 是平面ANM的法向量DA1解解:建立如圖示的直角坐標系,則lcoscos,AB CDA

4、B CDAB CD DCBA知識點知識點2：二面角：二面角方向向量法：方向向量法：（范圍： ）0, ll法向量法法向量法 1n 1n 2n 2n 12n n ，12n n ，12n n ，12n n ，cos12cos, n ncos12cos, n n法向量的方向：法向量的方向：一進一出一進一出，二面角等于法向量夾角；，二面角等于法向量夾角；同進同出同進同出，二面角等于法向量夾角的補角，二面角等于法向量夾角的補角ABCDSxzyA- xyz解： 建立空直角坐系如所示,A( 0, 0, 0) ,C ( -1, 1, 0) ,1,0),2D ( 0,(0,0,1)S11(0,0)2SBAnAD易

5、知面的法向量11(1,0),(0, 1)22 CDSD2( , , ), SCDnx y z的法向量22, nCD nSD由得：設平面設平面0202yxyz22yxyz2(1,2,1) n任取1212126cos,3| n nn nnn63即所求二面角得余弦值是.,211,所成二面角的余弦值與面求面，平面是直角梯形，如圖所示，SBASCDADBCABSAABCDSABCABABCD例例1：如圖，已知：直角梯形如圖，已知：直角梯形OABC中，中， OABC,AOC=90，SO面面OABC， 且且OS=OC=BC=1，OA=2.求：求：(1)異面直線異面直線SA和和OB所成的角的余弦值所成的角的余

6、弦值; (2)OS與面與面SAB所成角的余弦值所成角的余弦值; (3)二面角二面角BASO的余弦值的余弦值.OABCSxyz例例2 2： OABCSxyz(1)OAOC OS 解：以， ， 為正交基底建立空間直角坐標系如圖。(0 0 0)(0 01)(2 0 0)(110)OSAB則， ， ， ， ，(2 01)(110)SAOB ， ， ， ，20010cos552SAOB ，如圖，已知：直角梯形如圖，已知：直角梯形OABC中，中， OABC,AOC=90，SO面面OABC， 且且OS=OC=BC=1，OA=2.求：求：(1)異面直線異面直線SA和和OB所成的所成的 角的余弦值角的余弦值;

7、OABCSxyz如圖，已知：直角梯形如圖，已知：直角梯形OABC中，中， OABC,AOC=90，SO面面OABC， 且且OS=OC=BC=1，OA=2.求：求：(2)OS與面與面SAB所成角的余弦值所成角的余弦值 ; (2)(2 01)(111)SASB解：， ， ， ，()SABnxyz設平面的一個法向量為， ，201120 xzxyzxyz 取，則，(112)(0 01)SABnOS 故平面的一個法向量為， ，又， ，0026cos316nOS ，所以所以OS與面與面SAB所成角的余弦值為所成角的余弦值為33OABCSxyz(112)SABn 解：由(2)知平面的一個法向量為， ，OCS

8、AOOCSAO又由平面知是平面的法向量(010)OC 且， ，0 1 06cos66 1n OC ，所以二面角所以二面角BASO的余弦值為的余弦值為66如圖，已知：直角梯形如圖，已知：直角梯形OABC中，中， OABC,AOC=90，SO面面OABC， 且且OS=OC=BC=1，OA=2.求：求：(3)二面角二面角BASO的余弦值的余弦值.課堂小結課堂小結 1異面直線所成的角： 2直線和平面所成的角： 3二面角： . .練習練習1：如圖，四面體如圖，四面體ABCD中，中，O是是BD的中點的中點, ,（I）求證：）求證：AO平面平面BCD；（II）求異面直線）求異面直線AB與與CD所成角的大??；

9、所成角的大??；2BDCDCBCA2 ADAB?C?A?D?B?O?E能力提升能力提升?x?C?A?B?O?D?y?z?E解：（解：（I）略）略 （II）解：以）解：以O為原點，如圖建立空間直角坐標系，為原點，如圖建立空間直角坐標系，(1,0,0),( 1,0,0),BD 則13(0, 3,0), (0,0,1),( ,0),( 1,0,1),( 1,3,0).22CAEBACD .2cos,4BACDBA CDBA CD 所以異面直線所以異面直線AB與與CD所成角的所成角的余弦值為余弦值為 2.4練習練習2：如圖所示，在四棱錐如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，底面中，底面ABCD是正方形，側棱

10、是正方形，側棱PD ABCD，PD=DC，E是是PC的中的中點點.(1)證明：證明：PA/平面平面EDB；(2)求求EB與底面與底面ABCD所成的角的正切值所成的角的正切值.ABCDPEGxyzABCDPEGxyz(1)證明：設正方形邊長為證明：設正方形邊長為1，則，則PD=DC=DA=1.連連AC、BD交于交于G點點DADC DP 以， ， 為正交基底建立空間直角坐標系。如圖所示。則(0 0 0)(0 01)(10 0)(010)(110)DPACB， ， ， ， ， ，(101)PA ， ，1 1(0)2 2EPCE又 為中點，點坐標為 ，1 1(0)2 2GBDG 為中點，點坐標為，11(0)22EG ， ，2/PAEGPAEGPAEGPAEG 可得。因為與不共線，所以/PAEDBEGEDBPAEDB又平面，平面平面(2)求求EB與底面與底面ABCD所成的角的正切值。所成的角的正切值。ABCDPEGxyz(1)(0 0 0)(0 01)1 1(110)