全等三角形中輔助線的添加

1、全等三角形中輔助線的添加一.教學(xué)內(nèi)容：全等三角形的常見(jiàn)輔助線的添加方法、基本圖形的性質(zhì)的掌握及熟練應(yīng)用。二知識(shí)要點(diǎn)：1、添加輔助線的方法和語(yǔ)言表述（1）作線段：連接；（2）作平行線：過(guò)點(diǎn)作；（3）作垂線（作高）：過(guò)點(diǎn)作，垂足為；（4）作中線：取中點(diǎn)，連接；（5）延長(zhǎng)并截取線段：延長(zhǎng)使等于；（6）截取等長(zhǎng)線段：在上截取，使等于；（7）作角平分線：作平分；作角等于已知角；（8）作一個(gè)角等于已知角：作角等于。2、全等三角形中的基本圖形的構(gòu)造與運(yùn)用常用的輔助線的添加方法：（1） 倍長(zhǎng)中線（或類(lèi)中線）法：若遇到三角形的中線或類(lèi)中線（與中點(diǎn)有關(guān)的線段），通常考慮倍長(zhǎng)中線或類(lèi)中線，構(gòu)造全等三角形。（2） 截

2、長(zhǎng)補(bǔ)短法：若遇到證明線段的和差倍分關(guān)系時(shí)，通?？紤]截長(zhǎng)補(bǔ)短法，構(gòu)造全等三角形。截長(zhǎng)：在較長(zhǎng)線段中截取一段等于另兩條中的一條，然后證明剩下部分等于另一條；補(bǔ)短：將一條較短線段延長(zhǎng)，延長(zhǎng)部分等于另一條較短線段，然后證明新線段等于較長(zhǎng)線段；或延長(zhǎng)一條較短線段等于較長(zhǎng)線段，然后證明延長(zhǎng)部分等于另一條較短線段。（3） 一線三等角問(wèn)題（“K”字圖、弦圖、三垂圖）：兩個(gè)全等的直角三角形的斜邊恰好是一個(gè)等腰直角三角形的直角邊。（4） 角平分線、中垂線法：以角平分線、中垂線為對(duì)稱(chēng)軸利用”軸對(duì)稱(chēng)性“構(gòu)造全等三角形。（5） 角含半角、等腰三角形的（繞頂點(diǎn)、繞斜邊中點(diǎn)）旋轉(zhuǎn)重合法：用旋轉(zhuǎn)構(gòu)造三角形全等。（6） 構(gòu)造特

3、殊三角形：主要是30°、60°、90°、等腰直角三角形(用平移、對(duì)稱(chēng)和弦圖也可以構(gòu)造)和等邊三角形的特殊三角形來(lái)構(gòu)造全等三角形。三、基本模型：（1）ABC中AD是BC邊中線方式1： 延長(zhǎng)AD到E，使DE=AD，連接BE 方式2：間接倍長(zhǎng)，作CFAD于F，作BEAD的延長(zhǎng)線于E，連接BE方式3： 延長(zhǎng)MD到N，使DN=MD，連接CD（2）由ABEBCD導(dǎo)出 由ABEBCD導(dǎo)出 由ABEBCD導(dǎo)出BC=BE+ED=AB+CD ED=AE-CD EC=AB-CD（3）角分線，分兩邊，對(duì)稱(chēng)全等要記全角分線+垂線，等腰三角形必呈現(xiàn)（三線合一）（4） 旋轉(zhuǎn)：方法：延長(zhǎng)其中一個(gè)

4、補(bǔ)角的線段（延長(zhǎng)CD到E，使ED=BM ，連AE或延長(zhǎng)CB到F，使FB=DN ，連AF ） 結(jié)論：MN=BM+DN AM、AN分別平分BMN和DNM翻折：思路:分別將ABM和ADN以AM和AN 為對(duì)稱(chēng)軸翻折，但一定要證明 M、P、N三點(diǎn)共線.（B+D=且AB=AD）（5）手拉手模型ABE和ACF均為等邊三角形 結(jié)論：（1）ABFAEC；（2）B0E=BAE=60°（“八字型”模型證明）；（3）OA平分EOF拓展：條件：ABC和CDE均為等邊三角形 結(jié)論：（1）、AD=BE （2）、ACB=AOB （3）、PCQ為等邊三角形 （4）、PQAE （5）、AP=BQ （6）、CO平分AOE

5、 （7）、OA=OB+OC （8）、OE=OC+OD （7），（8）需構(gòu)造等邊三角形證明）ABD和ACE均為等腰直角三角形 結(jié)論：（1）、BE=CD （2）BECD ABEF和ACHD均為正方形結(jié)論：（1）、BDCF （2）、BD=CF變形一：ABEF和ACHD均為正方形，ASBC交FD于T，求證：T為FD的中點(diǎn). 方法一：方法二：方法三：變形二：ABEF和ACHD均為正方形，M為FD的中點(diǎn)，求證：ANBC當(dāng)以AB、AC為邊構(gòu)造正多邊形時(shí)，總有：1=2=.四、典型例題：考點(diǎn)一：倍長(zhǎng)中線（或類(lèi)中線）法：核心母題 已知，如圖ABC中，AB=5，AC=3，則中線AD的取值范圍是_.練習(xí)：1、如圖，A

6、BC中，E、F分別在AB、AC上，DEDF，D是中點(diǎn)，試比較BE+CF與EF的大小.2、 如圖，ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中點(diǎn)，求證：AD平分BAE.3、 如圖，CE、CB分別是ABC與ADC的中線，且ACB=ABC，求證：CD=2CE。4、 已知：如圖，在正方形ABCD中，E是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在CD上，F(xiàn)AE=BAE求證：AF=BC+FC5、 如圖，D是AB的中點(diǎn)，ACB=90°,求證：2CD=AB.6、 已知在ABC中，AB=AC，D在AB上，E在AC的延長(zhǎng)線上，DE交BC于F，且DF=EF，求證：BD=CE。7、 已知在ABC中，AD是BC邊上的中線，E是AD上一點(diǎn)

7、，且BE=AC，延長(zhǎng)BE交AC于F，求證：AF=EF。8、 已知：如圖，在中，D、E在BC上，且DE=EC，過(guò)D作交AE于點(diǎn)F，DF=AC.求證：AE平分。9、 以的兩邊AB、AC為腰分別向外作等腰Rt和等腰Rt，連接DE，M、N分別是BC、DE的中點(diǎn)探究：AM與DE的位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系（1）如圖 當(dāng)為直角三角形時(shí)，AM與DE的位置關(guān)系是 ，線段AM與DE的數(shù)量關(guān)系是 ；（2）將圖中的等腰Rt繞點(diǎn)A沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)(0<<90)后，如圖所示，（1）問(wèn)中得到的兩個(gè)結(jié)論是否發(fā)生改變？并說(shuō)明理由10、已知：ABC和ADE是兩個(gè)不全等的等腰直角三角形，其中BA=BC，DA=DE，聯(lián)結(jié)EC，

8、取EC的中點(diǎn)M，聯(lián)結(jié)BM和DM（1）如圖1，如果點(diǎn)D、E分別在邊AC、AB上，那么BM、DM的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系是 ； （2）將圖1中的ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時(shí)，判斷（1）中的結(jié)論是否仍然成立，并說(shuō)明理由 變式1：已知：在RtABC中，AB=BC，在RtADE中，AD=DE，連結(jié)EC，取EC的中點(diǎn)M，連結(jié)DM和BM（1）若點(diǎn)D在邊AC上，點(diǎn)E在邊AB上且與點(diǎn)B不重合，如圖，探索BM、DM的關(guān)系并給予證明； （2）如果將圖中的ADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)小于45°的角，如圖，那么（1）中的結(jié)論是否仍成立？如果不成立，請(qǐng)舉出反例；如果成立，請(qǐng)給予證明圖圖 變式:2：已知：ABC和ADE都

9、是等腰直角三角形，ABC=ADE=90°，點(diǎn)M是CE的中點(diǎn)，連接BM. （1）如圖，點(diǎn)D在AB上，連接DM，并延長(zhǎng)DM交BC于點(diǎn)N，可探究得出BD與BM的數(shù)量關(guān)系為 ； （2）如圖，點(diǎn)D不在AB上，（1）中的結(jié)論還成立嗎？如果成立，請(qǐng)證明；如果不成立，說(shuō)明理由.變式3： 四邊形是正方形，是等腰直角三角形，連接，為的中點(diǎn)，連接，。（1）如圖24-1，若點(diǎn)在邊的延長(zhǎng)線上，直接寫(xiě)出與的位置關(guān)系及的值；（2）將圖24-1中的繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖24-2所示位置，請(qǐng)問(wèn)（1）中所得的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)寫(xiě)出證明過(guò)程；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）將圖24-1中的繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)（），若，當(dāng)，三

10、點(diǎn)共線時(shí)，求的長(zhǎng)及ABF的度數(shù)。ABCD備用圖圖24-2ACDGEFBACDGEFB圖24-1考點(diǎn)二：截長(zhǎng)補(bǔ)短法：核心母題 如圖，ADBC，EA，EB分別平分DAB，CBA，CD過(guò)點(diǎn)E，求證：AB=AD+BC練習(xí)：1、 如圖，ABC和CEF是兩個(gè)大小不等的等邊三角形，且有一個(gè)公共頂點(diǎn)C，連接AF和BE. (1)線段AF和BE有怎樣的大小關(guān)系?請(qǐng)證明你的結(jié)論； (2)將圖中的CEF繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)一定的角度，得到圖b，(1)中的結(jié)論還成立嗎?作出判斷并說(shuō)明理由；、已知：如圖，是等邊三角形， 求證：.ABCD、已知四邊形中，°，為四邊形的對(duì)角線上一點(diǎn)，且，求證：2、 在ABC中，BAC=60&

11、#176;，C=40°，AP平分BAC交BC于P，BQ平分ABC交AC于Q，求證：AB+BP=BQ+AQ。ABCDEO3、如圖，在中，AD，CE分別為的平分線，求證：AC=AE+CD4、如圖，在ABC中，AB=AC，D是ABC外一點(diǎn)，且ABD=60°，ACD=60°求證：BD+DC=AB5、已知：如圖在ABC中，AB=AC，D為ABC外一點(diǎn)，ABD=60°，ADB=90°BDC，求證：AB=BDDC?？键c(diǎn)三：一線三等角問(wèn)題（“K”字圖）核心母題 已知：如圖，在RtABC中，BAC=90°，AB=AC，D是BC邊上一點(diǎn)，ADE=45&#

12、176;，AD=DE，求證：BD=EC.練習(xí)：1、已知：如圖，在矩形ABCD中，E、F分別是邊BC、AB上的點(diǎn)，且EF=ED，EFED求證：AE平分BAD2、兩個(gè)全等的含30°，60°角的三角板ADE和三角板ABC如圖所示放置，E，A，C三點(diǎn)在一條直線上，連接BD，取BD的中點(diǎn)M，連接ME，MC試判斷EMC的形狀，并說(shuō)明理由3、如圖，在中，直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，且于點(diǎn)D，于點(diǎn)E。（1）當(dāng)直線繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖（1）的位置時(shí)，求證：DE=AD+BE；（2）當(dāng)直線繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖（2）的位置時(shí)，求證：DE=ADBE；（3）當(dāng)直線繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖（3）的位置時(shí)，試問(wèn)：DE，AD，BE有怎樣的等量

13、關(guān)系？請(qǐng)寫(xiě)出等量關(guān)系，并加以證明。BCMNEDABCNMDEABCNMDE4、 如圖所示，AEAB，BCCD且AB=AE，BC=CD，F(xiàn)、A、G、C、H在同一直線上，如按照?qǐng)D中所標(biāo)注的數(shù)據(jù)及符號(hào)，則圖中實(shí)線所圍成的圖形面積是？6、小雨遇到這樣一個(gè)問(wèn)題：如圖1，直線l1l2l3 ，l1與l2之間的距離是1，l2與l3之間的距離是2，試畫(huà)出一個(gè)等腰直角三角形ABC，使三個(gè)頂點(diǎn)分別在直線l1、l2、l3上，并求出所畫(huà)等腰直角三角形ABC的面積圖2圖1 小雨是這樣思考的：要想解決這個(gè)問(wèn)題，首先應(yīng)想辦法利用平行線之間的距離，根據(jù)所求圖形的性質(zhì)嘗試用旋轉(zhuǎn)的方法構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題具體作法如圖2所示：在直

14、線l1任取一點(diǎn)A，作ADl2于點(diǎn)D，作DAH=90°，在AH上截取AE=AD，過(guò)點(diǎn)E作EBAE交l3于點(diǎn)B，連接AB，作BAC=90°，交直線l2于點(diǎn)C，連接BC，即可得到等腰直角三角形ABC請(qǐng)你回答：圖2中等腰直角三角形ABC的面積等于 參考小雨同學(xué)的方法，解決下列問(wèn)題：如圖3，直線l1l2l3, l1與l2之間的距離是2，l2與l3之間的距離是1,試畫(huà)出一個(gè)等邊三角形ABC，使三個(gè)頂點(diǎn)分別在直線l1、l2、l3上，并直接寫(xiě)出所畫(huà)等邊三角形ABC的面積（保留畫(huà)圖痕跡）圖3圖37、如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將直角三角形的直角頂點(diǎn)放在P（5,5）處，兩條直角邊與坐標(biāo)軸分別交于

15、點(diǎn)A和點(diǎn)B.（1） 當(dāng)點(diǎn)A、點(diǎn)B分別在x軸、y軸正半軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，試探究OA+0B的值或取值范圍；（2） 點(diǎn)A在x軸正半軸上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)B在y軸負(fù)半軸上時(shí)，試探究OA-OB的值或取值范圍，直接寫(xiě)出結(jié)果。9、 已知：在平面直角坐標(biāo)系中，等腰直角ABC頂點(diǎn)A、C分別在y軸、x軸上，且ACB=90°，AC=BC（1）如圖1，當(dāng)A（0，-2），C（1，0），點(diǎn)B在第四象限時(shí)，先寫(xiě)出點(diǎn)B的坐標(biāo)，并說(shuō)明理由（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)C在x軸正半軸上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)A（0，a）在y軸正半軸上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)B（m，n）在第四象限時(shí)，作BDy軸于點(diǎn)D，試判斷a，m，n之間的關(guān)系，請(qǐng)證明你的結(jié)論考點(diǎn)四：角平分線、中垂線法核心母題

16、1、在中，是的平分線是上任意一點(diǎn)求證：2、已知等腰直角三角形ABC，BC是斜邊B的角平分線交AC于D，過(guò)C作CE與BD垂直且交BD延長(zhǎng)線于E，求證：BD=2CE3、 如圖，ABC的邊BC的中垂線DF交BAC的外角平分線AD于D，F(xiàn)為垂足，DEAB于E，且ABAC，求證：BE-AC=AE練習(xí) 1、 如圖所示，在中，是的外角平分線，是上異于點(diǎn)的任意一點(diǎn)，試比較與的大小，并說(shuō)明理由2、 如圖所示：ABC的平分線BF與ABC中ACB的相鄰?fù)饨茿CG的平分線CF相交于點(diǎn)F，過(guò)F作DFBC，交AB于D，交AC于E問(wèn)：（1）寫(xiě)出圖中的等腰三角形并說(shuō)明理由（2）若BD=8cm，DE=3cm，求CE的長(zhǎng)3、在中

17、，平分，是中點(diǎn)，連結(jié)，求證：4、如圖，ABC中，ABC=2C，BE平分ABC交AC于E、ADBE于D，求證：（1）AC-BE=AE；（2）AC=2BD5、 如圖，在ABC中，ABAC，E為BC邊的中點(diǎn)，AD為BAC的平分線，過(guò)E作AD的平行線，交AB于F，交CA的延長(zhǎng)線于G求證：BF=CG變式一：如圖，在中，交于點(diǎn)，點(diǎn)是中點(diǎn)，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，交 于點(diǎn)，若，求證：為的角平分線變式二：已知：ABC中，AD是ABC的角平分線，M為BC的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作MNAD，交AC于點(diǎn)N ,求證：AN+AB=NC.變式三：在ABC中，AD是ABC的角平分線（1）如圖1，過(guò)C作CEAD交BA延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，若F為CE的

18、中點(diǎn)，連結(jié)AF，求證：AFAD；（2）如圖2，M為BC的中點(diǎn)，過(guò)M作MNAD交AC于點(diǎn)N，若AB=4， AC=7，圖1圖2求NC的長(zhǎng)ACBD6、如圖，已知ABC中，ABAC，A100°，B的平分線交AC于D， 求證：ADBDBC7、如圖，在ABC中，ADBC于D，CDABBD，B的平分線交AC于點(diǎn)E，求證：點(diǎn)E恰好在BC的垂直平分線上。EADBC8、如圖1，在ABC中，ACB=2B，BAC的平分線AO交BC于點(diǎn)D，點(diǎn)H為AO上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)H作直線lAO于H，分別交直線AB、AC、BC于點(diǎn)N、E、M（1）當(dāng)直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)C時(shí)（如圖2），證明：BN=CD； （2）當(dāng)M是BC中點(diǎn)時(shí)，寫(xiě)出CE

19、和CD之間的等量關(guān)系，并加以證明；（3）請(qǐng)直接寫(xiě)出BN、CE、CD之間的等量關(guān)系9、如圖所示，在ABC中，ABC=3C，AD是BAC的平分線，BEAD于F，求證：2BE=AC-AB變式：如圖，已知在中，求證：10、如圖所示，在中，平分，于，求證變式一：如圖1=2，B為AC中點(diǎn)，CMFB于M，ANFB于N，求證：EF=2BM；FB=（FM+FN）變式二：如圖，在ODC中，過(guò)點(diǎn)E作變式三：如圖所示，在ABC中，ACAB，M為BC的中點(diǎn)，AD是BAC的平分線，若CFAD且交AD的延長(zhǎng)線于F，求證：MF=（ACAB）?？键c(diǎn)五：角含半角、等腰三角形的（繞頂點(diǎn)）旋轉(zhuǎn)重合法核心母題 如圖，在正方形ABCD中

20、，E、F分別是BC、CD邊上的點(diǎn)，EAF=45°，求證：EF=BE+DF. 變式一：如圖，E、F分別是邊長(zhǎng)為 1的正方形ABCD的邊BC、CD上的點(diǎn),若ECF的周長(zhǎng)是2，求EAF的度數(shù)?變式二：如圖，在正方形ABCD中，E、F分別是BC、CD邊上的點(diǎn)，EAQ=45°，AHEF，求證：AH=AB.綜合：在正方形ABCD中，若M、N分別在邊BC、CD上移動(dòng)，且滿(mǎn)足MN=BM +DN，求證：.MAN=.AM、AN分別平分BMN和DNM.練習(xí) 1、 如圖，在四邊形ABCD中，AB=BC,A=C=90°，B=135°，K、N分別是AB、BC上的點(diǎn)，若BKN的周長(zhǎng)是

21、AB的2倍，求KDN的度數(shù)？2、 已知：正方形ABCD中，MAN=45°，MAN繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交CB、DC（或它們的延長(zhǎng)線）于點(diǎn)M、N當(dāng)MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到BM=DN時(shí)（如圖1），易證BM+DN=MN（1）當(dāng)MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到BMDN時(shí)（如圖2），線段BM、DN和MN之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫(xiě)出猜想，并加以證明；（2）當(dāng)MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到如圖3的位置時(shí)，線段BM、DN和MN之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)直接寫(xiě)出你的猜想3、如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD，B+D=180°，E、F分別是邊BC、CD上的點(diǎn)，且2EAF=BAD，（1） 求證：EF=BE+FD（2） 如果E、F分別是邊BC、CD延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，其他條件不變，結(jié)論是否仍然成立？說(shuō)明理由。5、如圖所示，在五邊形ABCDE中，AB=AE，BC+DE=CD，ABC+AED=180°求證：AD平分CDE.6、 如圖，已知AB=CD=AE=BC+DE=2，ABC=AED=90°，求五邊形ABCDE的面積7、 如圖1在四邊形ABCD中AB=AD，B+D=180，E、F分別是邊BC、CD上的點(diǎn)，且BAD=2EAF（1）求證：EF=BE+DF；（2）在（1）問(wèn)中，若將AEF繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)E、F分別運(yùn)動(dòng)到BC、CD延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖2所示，試探究EF、