全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽模擬試題11

1、2015年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽模擬試題11第一試（時間：8:00-9:20 滿分：120）一、填空題：本大題共8小題，每小題8分，共64分.1. 已知數(shù)列滿足：則的最大值為 .2. 已知,則的值域為 .3. 不等式的解集是 4.單位正方體中，分別是棱的中點，則點到所在平面的距離為 5.不等式對所有滿足的二次函數(shù)恒成立，則實數(shù)的最小值是 6.橢圓的左右焦點分別為為橢圓上不與左右頂點重合的任意一點，點分別是的內(nèi)心、重心.已知對任意點，恒垂直于軸，則橢圓的離心率為 7.已知方程在上有一根，則= 8.甲乙兩人進(jìn)行某種游戲比賽，規(guī)定每一次勝者得1分，負(fù)者得0分；當(dāng)其中一人的得分比另一人的多2分時即贏得這場游

2、戲，比賽隨之結(jié)束；同時規(guī)定比賽次數(shù)最多不超過20次，即經(jīng)20次比賽，得分多者贏得這場游戲，得分相等為和局已知每次比賽甲獲勝的概率為（），乙獲勝的概率為假定各次比賽的結(jié)果是相互獨立的，比賽經(jīng)次結(jié)束，則的期望的變化范圍為 二、解答題：本大題共3小題，共56分.9已知，求證：10.設(shè).(1)若，求及數(shù)列的通項公式；(2)若，問：是否存在實數(shù)使得?證明你的結(jié)論11.已知兩條直線點到直線的射影分別為，（1）求使成立的點的軌跡曲線；（2）若與曲線恰有7個交點，求的值2015年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽模擬試題11加試（時間：9:40-12:10 滿分：180）一、（本小題滿分40分）設(shè)是給定的正整數(shù)，且.對于個實數(shù)

3、，記的最小值為.若，試求的最大值二、（本小題滿分40分）如圖，設(shè)依次是一個圓上的六個點，滿足，直線與交于點，直線與交于點，直線與交于點，直線與交于點，直線與交于點，點在線段上，使得.求證：.三、（本題滿分50分）試確定所有同時滿足的三元數(shù)組，其中為奇素數(shù)，為大于1的整數(shù)四、（本題滿分50分）2015年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽模擬試題11第一試參考解答一、填空題：本大題共8小題，每小題8分，共64分.1. 已知數(shù)列滿足：則的最大值為 .解：構(gòu)成的點列排列在一個凸函數(shù)中，因此當(dāng)點列分布在由點確定的直線上時其值最大，所以的最大值為.2. 已知,則的值域為 .解：顯然當(dāng)時等號成立，另一方面，等號當(dāng)時成立，所以

4、值域為3. 不等式的解集是 解：由得，原不等式等價于，即相減得，此時，原不等式成立，即不等式解集為4.單位正方體中，分別是棱的中點，則點到所在平面的距離為 答案：解一、補(bǔ)形法，如圖，過的平面截正方體，所得截面是一個正六邊形，易知該平面垂直平分正方體的對角線，而，所以到面的距離解二：等體積法，易知，而點到平面的距離，所以又，即，則，若到面的距離為，則，所以5.不等式對所有滿足的二次函數(shù)恒成立，則實數(shù)的最小值是 6.橢圓的左右焦點分別為為橢圓上不與左右頂點重合的任意一點，點分別是的內(nèi)心、重心.已知對任意點，恒垂直于軸，則橢圓的離心率為 7.已知方程在上有一根，則= 8.甲乙兩人進(jìn)行某種游戲比賽，規(guī)

5、定每一次勝者得1分，負(fù)者得0分；當(dāng)其中一人的得分比另一人的多2分時即贏得這場游戲，比賽隨之結(jié)束；同時規(guī)定比賽次數(shù)最多不超過20次，即經(jīng)20次比賽，得分多者贏得這場游戲，得分相等為和局已知每次比賽甲獲勝的概率為（），乙獲勝的概率為假定各次比賽的結(jié)果是相互獨立的，比賽經(jīng)次結(jié)束，則的期望的變化范圍為 以記比賽經(jīng)次結(jié)束的概率若為奇數(shù)，則甲乙得分之差亦為奇數(shù)， 因而有考慮頭兩次比賽的結(jié)果：（1）甲連勝或乙連勝兩次，稱為有勝負(fù)的兩次，此結(jié)果出現(xiàn)的概率為；（2）甲乙各勝一次，稱為無勝負(fù)的兩次，此結(jié)果有兩種情況，故出現(xiàn)的概率為比賽經(jīng)次結(jié)束，必為偶數(shù)，則1,2兩次，3,4兩次，兩次均未分勝負(fù)若，則第兩為有勝負(fù)的

6、兩次，從而有若，比賽必須結(jié)束， 所以 由，知令，則，所以令則因 ，所以有 二、解答題：本大題共3小題，共56分.9已知，求證：10.設(shè).(1)若，求及數(shù)列的通項公式；(2)若，問：是否存在實數(shù)使得?證明你的結(jié)論解：（1）解法一:當(dāng)時，是公差為1，首項為的等差數(shù)列，故，即解法二： 。因此猜想.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明上式：當(dāng)時結(jié)論顯然成立.假設(shè)時結(jié)論成立，即.則即時結(jié)論成立.所以，(2)設(shè)，則.令,即，解得.下用數(shù)學(xué)歸納法證明加強(qiáng)命題：.當(dāng)時，所以，結(jié)論成立.假設(shè)假設(shè)時結(jié)論成立，即.易知在上為減函數(shù)，從而，即再由在上為減函數(shù)得故，因此，即時結(jié)論成立.綜上，符合條件的存在，其中的一個值為.11.已知兩條直線點到直線的射影分別為，（1）求使成立的點的軌跡曲線；（2）若與曲線恰有7個交點，求的值2015年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽模擬試題11加試參考解答（時間：9:40-12:10 滿分：180）一、（本小題滿