15.分析靜力學(xué)

1、3分析力學(xué)概述分析力學(xué)概述 牛頓力學(xué)牛頓力學(xué)以力、位移、速度、加速度等矢量為基本量力、位移、速度、加速度等矢量為基本量。故又稱矢量力學(xué)矢量力學(xué)。牛頓力學(xué)一般取單個(gè)質(zhì)點(diǎn)或剛體為研究對(duì)象，以建立坐標(biāo)、矢量在坐標(biāo)軸上投影的方法求解。 這種求解方法對(duì)質(zhì)點(diǎn)或剛體個(gè)數(shù)少的不甚復(fù)雜的力學(xué)系統(tǒng)可以得到滿意的結(jié)果，且直觀性較強(qiáng)。但對(duì)于質(zhì)點(diǎn)或剛體個(gè)數(shù)較多的復(fù)雜系統(tǒng)的力學(xué)問(wèn)題，取單個(gè)物體為研究對(duì)象就會(huì)出現(xiàn)約束力多、方程多、求解困難的問(wèn)題。 分析力學(xué)在處理復(fù)雜系統(tǒng)的力學(xué)問(wèn)題，以及過(guò)渡到分析力學(xué)在處理復(fù)雜系統(tǒng)的力學(xué)問(wèn)題，以及過(guò)渡到非力學(xué)現(xiàn)象方面比牛頓力學(xué)更優(yōu)越。非力學(xué)現(xiàn)象方面比牛頓力學(xué)更優(yōu)越。 分析力學(xué)的奠基人是拉格朗

2、日拉格朗日。他在1788年發(fā)表了名稱為分析力學(xué)的著作。在該著作中，拉格朗日以能量以能量和功為基本量，使用數(shù)學(xué)分析方法導(dǎo)出了具有普遍意義的和功為基本量，使用數(shù)學(xué)分析方法導(dǎo)出了具有普遍意義的拉格朗日動(dòng)力學(xué)方程，拉格朗日動(dòng)力學(xué)方程，開(kāi)創(chuàng)了力學(xué)的新的重要分支。 分析力學(xué)分析力學(xué)取標(biāo)量形式的能量和功為基本量能量和功為基本量。采用廣義廣義坐標(biāo)、廣義速度、虛位移坐標(biāo)、廣義速度、虛位移等描述系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，從能量和功等基本量出發(fā)，取整個(gè)系統(tǒng)為研究對(duì)象，建立系統(tǒng)主動(dòng)力之間的聯(lián)系，從而避免了復(fù)雜系統(tǒng)中各質(zhì)點(diǎn)或剛體之間的眾多約束力問(wèn)題，使求解更便捷、更規(guī)范。 7 在第一篇靜力學(xué)中，我們從靜力學(xué)公理出發(fā)，通過(guò)力系的簡(jiǎn)

3、化，得出剛體的平衡條件，用來(lái)研究剛體及剛體系統(tǒng)的平衡問(wèn)題。 分析靜力學(xué)的基本原理是虛位移原理虛位移原理，它從位移和功的概念出發(fā)，得出任意質(zhì)點(diǎn)系的平衡條件。該方法適用于研究任意質(zhì)點(diǎn)系的平衡問(wèn)題，是研究平衡問(wèn)題的最一般的方法。引引 言言8第十一章第十一章 分析靜力學(xué)基礎(chǔ)分析靜力學(xué)基礎(chǔ) 111 分析力學(xué)基本概念分析力學(xué)基本概念 112 虛位移、虛功、理想約束虛位移、虛功、理想約束 113 虛位移原理虛位移原理 114 以廣義坐標(biāo)表示的虛位移原理以廣義坐標(biāo)表示的虛位移原理 、廣義力、廣義力 115 保守系統(tǒng)平衡的穩(wěn)定性保守系統(tǒng)平衡的穩(wěn)定性 911-1分析力學(xué)基本概念分析力學(xué)基本概念 一、約束和約束方程

4、一、約束和約束方程 限制質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系運(yùn)動(dòng)的各種條件稱為約束。限制質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系運(yùn)動(dòng)的各種條件稱為約束。 將約束的限制條件以數(shù)學(xué)方程來(lái)表示，則稱為約束方程。將約束的限制條件以數(shù)學(xué)方程來(lái)表示，則稱為約束方程。 平面單擺222lyx例如例如：曲柄連桿機(jī)構(gòu)222ryxAA0 , )()(222BABABylyyxx0tanAAAztxy0)(00222BBBAAzlyvtxzy11 根據(jù)約束的形式和性質(zhì)，可將約束劃分為不同的類(lèi)型，通常按如下分類(lèi)：二、約束的分類(lèi)二、約束的分類(lèi)1、幾何約束和運(yùn)動(dòng)約束幾何約束和運(yùn)動(dòng)約束 限制質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系在空間幾何位置的條件稱為幾何約束幾何約束。 如前述的平面單擺和曲柄連桿機(jī)構(gòu)

5、例子中的限制條件都是幾何約束。 當(dāng)約束對(duì)質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系的運(yùn)動(dòng)情況進(jìn)行限制時(shí)，這種約束條件稱為運(yùn)動(dòng)約束運(yùn)動(dòng)約束。例如：例如：車(chē)輪沿直線軌道作純滾動(dòng)時(shí)。12幾何約束：運(yùn)動(dòng)約束：)0(0rxrvryAAA 當(dāng)約束條件與時(shí)間有關(guān)，并隨時(shí)間變化時(shí)稱為非定常約束非定常約束。 約束條件不隨時(shí)間改變的約束為定常約束定常約束。 前面的例子中約束條件皆不隨時(shí)間變化，它們都是定常約束。2、定常約束和非定常約束定常約束和非定常約束例如例如：重物M由一條穿過(guò)固定圓環(huán)的細(xì)繩系住。初始時(shí)擺長(zhǎng) l0 , 勻速v拉動(dòng)繩子。x2+y2=( l0 -vt )2 約束方程中顯含時(shí)間 t 13 如果在約束方程中含有坐標(biāo)對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)（例如

6、運(yùn)動(dòng)約束）而且方程中的這些導(dǎo)數(shù)不能經(jīng)過(guò)積分運(yùn)算消除，即約束方程中含有的坐標(biāo)導(dǎo)數(shù)項(xiàng)不是某一函數(shù)全微分，從而不能將約束方程積分為有限形式，這類(lèi)約束稱為非完整約束非完整約束。一般地，非完整約束方程只能以微分形式表達(dá)。 3、完整約束和非完整約束完整約束和非完整約束 如果約束方程中不含有坐標(biāo)對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，或者約束方程中雖有坐標(biāo)對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，但這些導(dǎo)數(shù)可以經(jīng)過(guò)積分運(yùn)算化為有限形式，則這類(lèi)約束稱為完整約束完整約束。14 在兩個(gè)相對(duì)的方向上同時(shí)對(duì)質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系進(jìn)行運(yùn)動(dòng)限制的約束稱為雙面約束雙面約束。只能限制質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系單一方向運(yùn)動(dòng)的約束稱為單面約束單面約束。 例如：例如：車(chē)輪沿直線軌道作純滾動(dòng)， 是微分方程，但

7、經(jīng)過(guò)積分可得到 （常數(shù)），該約束仍為完整約束。 0rxACrxA 4、單面約束和雙面約束單面約束和雙面約束 幾何約束必定是完整約束，但完整約束未必是幾何約束。幾何約束必定是完整約束，但完整約束未必是幾何約束。 非完整約束一定是運(yùn)動(dòng)約束，但運(yùn)動(dòng)約束未必是非完整約束非完整約束一定是運(yùn)動(dòng)約束，但運(yùn)動(dòng)約束未必是非完整約束。剛桿x2+y2=l2x2+y20。如果系統(tǒng)處于不穩(wěn)定平衡，勢(shì)能具有極大值，于是有 0。此式即為一個(gè)自由度系統(tǒng)的平衡穩(wěn)定性判據(jù)。0dqdV22dqVd22dqVd一個(gè)自由度質(zhì)點(diǎn)系平衡穩(wěn)定性的判別一個(gè)自由度質(zhì)點(diǎn)系平衡穩(wěn)定性的判別 例例14 均質(zhì)桿AB的長(zhǎng)度l=0.6m，質(zhì)量m=10kg。連接彈簧的彈簧剛度系數(shù)k=200N/m。當(dāng)桿與鉛直方向的夾角=0時(shí)，彈簧為原長(zhǎng)l0。求桿的平衡位置，并判斷平衡位置的穩(wěn)定性。則任意位置系統(tǒng)的勢(shì)能 解解: :取彈簧原長(zhǎng)為彈性力的零勢(shì)能位置，過(guò)B的水平面為重力零勢(shì)能面。cos21)cos1 (2122mgklV0ddV由 0sin21sin)cos1 (2mgklco