初三數(shù)學(xué)相似三角形知識(shí)精講

1、初三數(shù)學(xué)相似三角形知識(shí)精講(一相似三角形是初中幾何的一個(gè)重點(diǎn),同時(shí)也是一個(gè)難點(diǎn),本節(jié)復(fù)習(xí)的目標(biāo)是:1. 理解線段的比、成比例線段的概念,會(huì)根據(jù)比例線段的有關(guān)概念和性質(zhì)求線段的長或兩線段的比,了解黃金分割。2. 會(huì)用平行線分線段成比例定理進(jìn)行有關(guān)的計(jì)算、證明,會(huì)分線段成已知比。3. 能熟練應(yīng)用相似三角形的判定和性質(zhì)解答有關(guān)的計(jì)算與證明題。4. 能熟練運(yùn)用相似三角形的有關(guān)概念解決實(shí)際問題本節(jié)的重點(diǎn)內(nèi)容是相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理以及平行線分線段成比例定理。 本節(jié)的難點(diǎn)內(nèi)容是利用判定定理證明兩個(gè)三角形相似以及相似三角形性質(zhì)的應(yīng)用。相似三角形是平面幾何的主要內(nèi)容之一,在中考試題中時(shí)常與四邊形、圓的

2、知識(shí)相結(jié)合構(gòu)成高分值的綜合題,題型常以填空、選擇、簡答或綜合出現(xiàn),分值一般在10%左右,有時(shí)也單獨(dú)成題,形成創(chuàng)新與探索型試題;有利于培養(yǎng)學(xué)生的綜合素質(zhì)。(二重要知識(shí)點(diǎn)介紹: 1. 比例線段的有關(guān)概念: 在比例式:中,、叫外項(xiàng),、叫內(nèi)項(xiàng),、叫前項(xiàng),a b cda b c d a d b c a c =( b 、d 叫后項(xiàng),d 叫第四比例項(xiàng),如果b=c ,那么b 叫做a 、d 的比例中項(xiàng)。把線段AB 分成兩條線段AC 和BC ,使AC 2=AB ·BC ,叫做把線段AB 黃金分割,C 叫做線段AB 的黃金分割點(diǎn)。2. 比例性質(zhì): 基本性質(zhì):a b cdad bc = 合比性質(zhì):±

3、;±a b c d a b b c d d= 等比性質(zhì):a b c d m n b d n a c m b d n a b=+=(03. 平行線分線段成比例定理:定理:三條平行線截兩條直線,所得的對(duì)應(yīng)線段成比例,如圖:l 1l 2l 3。 則,AB BC DE EF AB AC DE DF BC AC EFDF=推論:平行于三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊的延長線所得的對(duì)應(yīng)線段成比例。定理:如果一條直線截三角形的兩邊(或兩邊的延長線所得的對(duì)應(yīng)線段成比例,那么這條直線平行于三角形的第三邊。4. 相似三角形的判定:兩角對(duì)應(yīng)相等,兩個(gè)三角形相似兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等,兩三角形相似三邊對(duì)

4、應(yīng)成比例,兩三角形相似如果一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)成比例,那么這兩個(gè)直角形相似平行于三角形一邊的直線和其他兩邊(或兩邊的延長線相交,所構(gòu)成的三角形與原三角形相似直角三角形被斜邊上的高分成的兩個(gè)直角三角形和原三角形相似5. 相似三角形的性質(zhì)相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例相似三角形對(duì)應(yīng)高的比、對(duì)應(yīng)中線的比和對(duì)應(yīng)角平分線的比都等于相似比相似三角形周長的比等于相似比相似三角形面積的比等于相似比的平方【典型例題】例1. (1在比例尺是1:8000000的中國行政區(qū)地圖上,量得A 、B 兩城市的距離是7.5厘米,那么A 、B 兩城市的實(shí)際距離

5、是_千米。(2小芳的身高是1.6m ,在某一時(shí)刻,她的影子長2m ,此刻測(cè)得某建筑物的影長是18米,則此建筑物的高是_米。解:這是兩道與比例有關(guān)的題目,都比較簡單。 (1應(yīng)填600 (2應(yīng)填14.4。例2. 如圖,已知DE BC ,EF AB ,則下列比例式錯(cuò)誤的是:_ A AD AB AEAC B CE CF EAFB .= C DE BC ADBDD EF AB CF CB.=分析:由,可知,、都正確。而不能得到,DE BC EF AB A B D DE BC ADBD= 故應(yīng)選C 。利用平行線分線段成比例定理及推論求解時(shí),一定要分清誰是截線、誰是被截線,中很顯然是兩平行線段的比,因此應(yīng)是

6、利用三角相似后對(duì)應(yīng)邊成比C DEBC例這一性質(zhì)來寫結(jié)論,即DE BC AD AB AEAC=例3. 如圖,在等邊ABC 中,P 為BC 上一點(diǎn),D 為AC 上一點(diǎn),且APD=60°,BP CD ABC =123,求的邊長 解:ABC 是等邊三角形 C=B=60°又PDC=1+APD=1+60° APB=1+C=1+60° PDC=APB PDC APBPC AB CDPB= 設(shè)PC=x ,則AB=BC=1+x,xx x 12312+=AB=1+x=3。ABC 的邊長為3。例4. 如圖:四邊形ABEG 、GEFH 、HFCD 都是邊長為a 的正方形, (1

7、求證:AEF CEA (2求證:AFB+ACB=45°分析:因?yàn)锳EF 、CEA 有公共角AEF 故要證明AEF CEA只需證明兩個(gè)三角形中,夾AEF 、CEA 的兩邊對(duì)應(yīng)成比例即可。 證明:(1四邊形ABEG 、GEFH 、HFCD 是正方形 AB=BE=EF=FC=a ,ABE=90° ,AE a EC a =22,AE EF a a EC AE aa=22222 AE EF ECAE= 又CEA=AEFCEA AEF(2AEF CEA AFE=EAC四邊形ABEG 是正方形 AD BC ,AG=GE ,AG GE ACB=CAD ,EAG=45°AFB+AC

8、B=EAC+CAD=EAG AFB+ACB=45°例5. 已知:如圖,梯形ABCD 中,AD BC ,AC 、BD 交于點(diǎn)O ,EF 經(jīng)過點(diǎn)O 且和兩底平行,交AB 于E ,交CD 于F 求證:OE=OF證明:AD EF BC,OE BC AE AB OE AD EBAB= OE BC OE AD AE AB EB AB ABAB +=+=1 111BC AD OE+= 同理:111BC AD OF += 11OE OF= OE=OF從本例的證明過程中,我們還可以得到以下重要的結(jié)論:AD EF BC AD BC OE+=111 AD EF BC OE OF EF =12AD EF B

9、C AD BC OE +=111 =1122EF OF 即112AD BC EF+= 這是梯形中的一個(gè)性質(zhì),由此可知,在AD 、BC 、EF 中,已知任何兩條線段的長度,都可以求出第三條線段的長度。例6. 已知:如圖,ABC 中,AD BC 于D ,DE AB 于E ,DF AC 于F 求證:AE AF ACAB= 分析:觀察AE 、AF 、AC 、AB 在圖中的位置不宜直接通過兩個(gè)三角形相似加以解決。因此可根據(jù)圖中直角三角形多,因而相似三角形多的特點(diǎn),可設(shè)法尋求中間量進(jìn)行代換,通過,可得:,于是得到·,同理ABD ADE AB AD ADAEAD AE AB =2 可得到·

10、;,故可得:··,即AD AF AC AE AB AF AC AE AF ACAB 2=證明:在ABD 和ADE 中, ADB=AED=90° BAD=DAE ABD ADE AB AD ADAE= AD 2=AE ·AB同理:ACD ADF可得:AD 2=AF ·AC AE ·AB=AF ·AC AE AF ACAB=例7. 如圖,D 為ABC 中BC 邊上的一點(diǎn),CAD=B ,若AD=6,AB=8,BD=7,求DC 的長。 分析:本題的圖形是證明比例中項(xiàng)時(shí)經(jīng)常使用的“公邊共角”的基本圖形,我們可以由基本圖形中得到的相似三

11、角形,從而得到對(duì)應(yīng)邊成比例,從而構(gòu)造出關(guān)于所求線段的方程,使問題得以解決。 解:在ADC 和BAC 中 CAD=B ,C=C ADC BAC AD AB DC AC ACBC = 又AD=6,AD=8,BD=7 DC AC AC DC =+=734即DC AC AC DC =+=34734解得:DC=9例8. 如圖,在矩形ABCD 中,E 是CD 的中點(diǎn),BE AC 于F ,過F 作FG AB 交AE 于G , 求證:AG 2=AF ·FC證明:在矩形ABCD 中,AD=BC , ADC=BCE=90°又E 是CD 的中點(diǎn),DE=CE Rt ADE Rt BCE AE=BE

12、 FG AB AE BE AGBF= AG=BF在Rt ABC 中,BF AC 于F Rt BFC Rt AFB AF BF FBFC= BF 2=AF ·FCAG 2=AF ·FC例9. 如圖,在梯形ABCD 中,AD BC ,若BCD 的平分線CH AB 于點(diǎn)H ,BH=3AH ,且四邊形AHCD 的面積為21,求HBC 的面積。 分析:因?yàn)閱栴}涉及四邊形AHCD ,所以可構(gòu)造相似三角形。把問題轉(zhuǎn)化為相似三角形的面積比而加以解決。解:延長BA 、CD 交于點(diǎn)P CH AB ,CD 平分BCD CB=CP ,且BH=PH BH=3AHPA :AB=1:2 PA :PB=1

13、:3 AD BCPAD PBC:S S PAD PBC =19S S PCH PBC=12 :四邊形S S PAD AHCD =27 四邊形S AHCD =21 S PAD =6 S PBC =54 S S HBC PBC=1227一、填空題: 1. 已知a b a b +-=2295,則a b :=_2. 若三角形三邊之比為3:5:7,與它相似的三角形的最長邊是21cm ,則其余兩邊之和是_cm3. 如圖,ABC 中,D 、E 分別是AB 、AC 的中點(diǎn),BC=6,則DE=_;ADE 與ABC 的面積之比為:_。 4. 已知線段a=4cm ,b=9cm ,則線段a 、b 的比例中項(xiàng)c 為_c

14、m 。5. 在ABC 中,點(diǎn)D 、E 分別在邊AB 、AC 上,DE BC ,如果AD=8,DB=6,EC=9,那么AE=_6. 已知三個(gè)數(shù)1,2,3,請(qǐng)你添上一個(gè)數(shù),使它能構(gòu)成一個(gè)比例式,則這個(gè)數(shù)是_7. 如圖,在梯形ABCD 中,AD BC ,EF BC ,若AD=12cm ,BC=18cm ,AE :EB=2:3,則EF=_ 8. 如圖,在梯形ABCD 中,AD BC ,A=90°,BD CD ,AD=6,BC=10,則梯形的面積為:_ 二、選擇題:1. 如果兩個(gè)相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比是3:4,那么它們的對(duì)應(yīng)高的比是_A. 9:16B. 3:2C. 3:4D. 3:72. 在比例

15、尺為1:m的某市地圖上,規(guī)劃出長a厘米,寬b厘米的矩形工業(yè)園區(qū),該園區(qū)的實(shí)際面積是_米2A. 104mabB.1042mabC.abm104D.abm24103. 已知,如圖,DEBC,EFAB,則下列結(jié)論: AEECBEFC=ADBFABBC=EFABDEBC=CECFEABF=其中正確的比例式的個(gè)數(shù)是_A. 4個(gè)B. 3個(gè)C. 2個(gè)D. 1個(gè)4. 如圖,在ABC中,AB=24,AC=18,D是AC上一點(diǎn),AD=12,在AB上取一點(diǎn)E,使A、D、E三點(diǎn)為頂點(diǎn)組成的三角形與ABC相似,則AE的長是_ A. 16B. 14C. 16或14D. 16或95. 如圖,在RtABC中,BAC=90&#

16、176;,D是BC的中點(diǎn),AEAD,交CB的延長線于點(diǎn)E,則下列結(jié)論正確的是_ A. AEDACBB. AEBACDC. BAEACED. AECDAC三、解答題:1. 如圖,ADEGBC,AD=6,BC=9,AE:AB=2:3,求GF的長。 2. 如圖,ABC中,D是AB上一點(diǎn),且AB=3AD,B=75°,CDB=60°, 求證:ABCCBD。3. 如圖,BE為ABC的外接圓O的直徑,CD為ABC的高, 求證:AC·BC=BE·CD4. 如圖,RtABC中,ACB=90°,AD平分CAB交BC于點(diǎn)D,過點(diǎn)C作CEAD于E,CE的延長線交AB于

17、點(diǎn)F,過點(diǎn)E作EGBC交AB于點(diǎn)G,AE·AD=16,AB 45, (1求證:CE=EF(2求EG的長參考答案 一、填空題： 1. 19：13 4. 6 2. 24 5. 12 3. 3；1：4 6. 只要是使得其中兩個(gè)數(shù)的比值等于另外兩個(gè)數(shù)的比值即可，如： 2 2 、 2 2 等。 7. 14.4 8. 16 6 二、選擇題： 1. C 2. D 三、解答題： 1. 解：ADEGBC 在ABC 中，有 EG = AE BC AB EF BE 在ABD 中，有 = AD AB 3. B 4. D 5. C AE：AB=2：3 BE：AB=1：3 EG = 2 3 BC， EF = 1

18、 3 AD BC=9，AD=6 EG=6，EF=2 GF=EGEF=4 2. 解：過點(diǎn) B 作 BECD 于點(diǎn) E， CDB=60°，CBD=75° DBE=30°， CBE=CBDDBE=75°30°=45° CBE 是等腰直角三角形。 AB=3AD，設(shè) AD=k，則 AB=3k，BD=2k DE=k，BE = BC = BD BC BC AB 6k 3k = 3k 6k 2k 6k 2 3 2 3 = ， = = BD BC = BC AB ABCCBD 3. 連結(jié) EC， BC = BC E=A 又BE 是O 的直徑 BCE=90° 又CDAB ADC=90° ADCECB AC EB = CD BC